2024-2025學年度九年級數(shù)學上冊第2章旋轉(zhuǎn)重難點講解

第23章旋轉(zhuǎn)——重難點

內(nèi)容范圍：23.1-23.2

?

O重難點知識剖析

直點’

知識點一：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對應點的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心形成的角等于旋轉(zhuǎn)

角；

(2)對應角的性質(zhì)：對應角相等；

(3)對應邊的性質(zhì)：對應邊相等；

(4)圖形的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置；

2.平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的比較

平移軸對稱旋轉(zhuǎn)

相同點都是(合同變換)，即變換前后的圖形全等.

不定把一個圖形沿某一方向把一個圖形沿著某一條直把一個圖形繞著某一定點

同義移動一定距離的圖形變線折疊的圖形變換.轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變

點換.換.

K-d

W

圖..............--A'

形

B,

0

要平移

對稱軸

素平移

對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

連接各組對應點的線段任意一對對應點所連線段相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心

平行（或共線）且相等.被對稱軸平分.所連線段的夾角都等于旋

轉(zhuǎn)角.

性

*對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距

質(zhì)

離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中

任意一對對應點所連線段心所連線段的夾角等于旋

對應線段平行且相等.

被對稱軸垂直平分.轉(zhuǎn)角，即：對應點與旋轉(zhuǎn)

中心連線所成的角彼此相

等.

3.旋轉(zhuǎn)對稱圖形

（1）旋轉(zhuǎn)對稱圖形：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360。）后能與原圖

形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

（2）常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

4.旋轉(zhuǎn)作圖

（1）旋轉(zhuǎn)作圖的基本步驟：確定關鍵點—作關鍵點的對應點一連接對應點即可；

（2）作關鍵點對應點的步通：一連二旋三相等；

口:典例精講

試卷第2頁，共12頁

例1

1.如圖，將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C',若點C,B,C共線，則NACB

的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

例2

2.如圖，把VABC以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到VADE,點3,C的對應點分別是點O,E,

且點E在BC的延長線上，連接80,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.NCAE=/BEDB.AB=BD

C.ZACE^ZADED."CE是等邊三角形

Q變式訓練

變式1

3.圖①中的花瓣圖案繞著旋轉(zhuǎn)中心，連續(xù)旋轉(zhuǎn)4次，每次旋轉(zhuǎn)角可以得到圖②中的花

變式2

4.在等邊VABC中，。是邊AC上一點，連接3D,將△■BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

△BAE,連接ED,若8c=5,BD=4,則以下四個結(jié)論中：①VR9E是等邊三角形；②

AE//BC-,③VA￡>E的周長是9；@ZADE=ZBDC.其中錯誤的序號是（）

A.①B.②C.③D.@

知識點二：中心對稱的性質(zhì)

1.中心對稱的性質(zhì)

（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分.

（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等的.

2.軸對稱與中心對稱比較

比較項

軸對稱中心對稱

目

]

4_.....A'

圖形q---

C

?

對應邊相等平行且相等

對應角相等相等

對應點的連2去被對稱軸垂直平對應點的連線經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心

對應點

分平分

3.中心對稱作圖

（1）中心對稱作圖的步驟：確定關鍵點—作關鍵點的對稱點一連接關鍵點;

（2）作關鍵點的對稱點的方法：一連二延三相等；

4.圖案設計

試卷第4頁，共12頁

由一個基本圖案可以通過平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱以及中心對稱等方法變換出一些復合圖案.

典例精講

例1

5.如圖，VABC與△ABiG關于點。成中心對稱，下列說法:

@ZBAC=ZB1AC1；②AC=AC；③。4=。4；④VABC與4A由G的面積相等，其中正

C.3個D.4個

例2

6.如圖，VABC和3所關于點。成中心對稱.

⑴找出它們的對稱中心。；

⑵若AB=7,AC=5,BC=6,求ADEF的周長.

G）變式訓練

變式1

7.如圖，直線。、b垂直相交于點。，曲線C關于點。成中心對稱，點A的對稱點是點A,

AB，。于點B,ADL6于點D.若03=4,OD=3,則陰影部分的面積之和為

8.已知拋物線乙：丫=-2/+/+￡?的頂點坐標為(-2,4),與x軸交于A、8兩點(點A在點

2左側(cè))，拋物線〃與拋物線L關于原點。中心對稱，且拋物線L過拋物線2/的頂點.

(1)求拋物線乙的函數(shù)表達式；

(2)若拋物線〃與無軸的交點分別為A'、3,(其中A與4對應，B與9對應)，E是y軸上一

點，在拋物線〃上是否存在一點P,使得以點8、A'、E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

知識點三：旋轉(zhuǎn)與坐標

1.關于原點對稱的點的坐標

特征：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)；P(x,y)今P(-x,-y)

2.旋轉(zhuǎn)圖形的坐標

(1)旋轉(zhuǎn)90。的坐標特征：點尸36)的對應點尸(〃[,〃)，則有同=時,網(wǎng)=|m|,正負號由具

體位置確定；

(2)旋轉(zhuǎn)30。，45°,60。的坐標特征，需要結(jié)合30。直角三角形的性質(zhì)和45。的直角三角形

的性質(zhì)確定；

3.函數(shù)圖象關于原點對稱的圖象的特征

函數(shù)名稱原解析式關于原點對稱的圖象的解析式

一次函數(shù)y=kx-\-b—y=k(—x)+by=kx-b

二次函數(shù)y=ax1+bx+c-y=〃(一x)2+b(-x)+c即y=-ax2+bx-c

二6：典例精講

例1

試卷第6頁，共12頁

9.如圖，正方形。4、OC的兩邊。4、OC分別在x軸.V軸上，點。（3,2）在邊力B上，以

C為中心，把△（7￡啰旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點。的對應點）的坐標是（）

A.(1,6)B.(-1,0)C.(1,6)或(TO)D.(6,1)或(一1,0)

例2

10.如圖所示，VASC三個頂點坐標分別為4（-1,0）、*-2,-2）、C（4-1）請在所給的正

方形網(wǎng)格中按要求畫圖和解答下列問題：

（1）以A點為旋轉(zhuǎn)中心，將VA5c繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得△A耳G，畫出△A^G.

（2）畫出VABC關于坐標原點。成中心對稱的△A與G.

⑶若4482G可看作是由旋轉(zhuǎn)得來，則旋轉(zhuǎn)中心坐標為

o變式訓練

變式1

11.若點A（3,。）與6他-2）關于原點對稱，則點〃（。力）所在的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式2

12.如圖，等邊三角形3s的邊長為2VL邊。4在無軸正半軸上，現(xiàn)將等邊三角形（MB繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標為（）

B.（0,-1）C.（也，-1）D.（0,-2）

知識點四：旋轉(zhuǎn)與幾何

1.常見的旋轉(zhuǎn)模型

試卷第8頁，共12頁

例1

13.如圖，在VABC中，ZR4c=60。，。為邊AC上的一點，當時，連接8。，將

線段BO繞點3按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段3E,連接AE,DE.若AD=6,貝LABE

的面積的最大值為（）

A.73B.五C.更D.拽

24

例2

14.閱讀與思考

下面是小宇同學收集的一篇數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.

構(gòu)圖法在初中數(shù)學解題中的應用構(gòu)圖法指的是構(gòu)造與數(shù)量關系對應的幾何圖形，用幾何圖形

中反映的數(shù)量關系來解決數(shù)學問題的方法.巧妙地構(gòu)造圖形有助于我們把握問題的本質(zhì)，明

晰解題的路徑，也有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論.本文通過列舉一個例子，介紹構(gòu)圖法在解題中的應

用，

例：如圖1,已知尸為等邊三角形ABC內(nèi)一點，ZAPB=H3°,ZAPC=123°.

求以AP,BP,CP為邊的三角形中各個內(nèi)角的度數(shù).

解析：如何求所構(gòu)成的三角形三個內(nèi)角的度數(shù)？由于沒有出現(xiàn)以小，BP,CP為邊的三角

形，問題難以解決.于是考慮通過構(gòu)圖法構(gòu)造長度為AP,BP,CP的三角形來解決問題.

解：將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AQ8,則AAQB%APC.

BQ=CP,AQ=AP,Z[=ZCAP.

由旋轉(zhuǎn)可知NQ”=60。，是等邊三角形.【依據(jù)】

?.QP=AP,Z3=Z4=60°.

△QBP就是以AP,BP,CP為邊的三角形.

1,1ZAPB=113°,Z5=ZAPB-Z4=53°.

ZAQB=ZAPC=123°.:.N6=ZAQB-N3=63°.

ZQBP=180°-Z5-Z6=64°.

.,.以AP,BP,CP為邊的三角形中，三個內(nèi)角的度數(shù)分別為64。，63°,53°.

構(gòu)造圖形的關鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數(shù)量關系集中在一個圖形上直觀地表達出

來，使問題變簡單.

任務：

(1)上面小論文中的“依據(jù)”是.

⑵如圖2,已知點尸是等邊三角形ABC的邊上的一點，若NAPC=102。，則在以線段轉(zhuǎn)，

BP,CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的度數(shù)為

PC

圖2

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZADC=30°,ZABC=60。，AB=3C.求證：BD2=AD2+CD2.

試卷第10頁，共12頁

D

A

BC

圖3

G）變式訓練

變式i

15.如圖，有兩個全等的矩形ABCZ）和矩形AB'C'D重合擺放，將矩形A'B'C'D'繞點C逆時

針旋轉(zhuǎn)，延長AD交AO于點E,線段AE的中點為點尸，AB的長為2,8C的長為4,當

CR取最小時，AF的長為（）

變式2

將三角形紙片A3C進行以下操作：①折疊三角形紙片A5C,使點C與點A重合，得到折

痕DE,然后展開鋪平；②將ADEC繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到點E,C的對應點

分別是點RG,直線GF與邊AC交于點〃（點M不與點A重合），與邊AB交于點N.

【數(shù)學思考】

(1)折痕DE的長為;

(2)在ADEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷與ME的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論;

【數(shù)學探究】；

(3)如圖②，在A￡)EC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當直線G廠經(jīng)過點8時，求AM的長；

【問題延伸工

(4)在ADEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，連接AF,則"的取值范圍是.

試卷第12頁，共12頁

參考答案：

1.C

【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理即可求解.

【詳解】解：,??將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C,且點C,B,C'共線，

\AC=ACft,ZCAC'=120°,

ZACB=ZAC'C=1(180°-120°)=30°.

故選：C.

2.A

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的運用是解題的關

鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的定義和性質(zhì)，逐項分析判斷即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=AE,ZACB=ZAED,ZABC^ZADE.

ZACB=ZAED,

：.ZCAE+ZAEB=ZAEB+ZBED,

AZCAE=ZBED,故選項A正確，符合題意；

無法證明鉆=BD,故選項B不正確，不符合題意；

,/ZABC=ZADE,

又ZACE=ZABC+ZBAC=ZADE+ZBAC,

：.ZACE^ZADE,故選項C不正確，不符合題意；

AC=AE,

：.ZACE=ZAEC,

：."慮是等腰三角形，但無法證明“匿是等邊三角形，

故選項D不正確，不符合題意.

故選：A

3.B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)和正多邊形外角，結(jié)合正多邊形的外角是求旋轉(zhuǎn)角的關鍵.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形可知，旋轉(zhuǎn)后的圖形內(nèi)部是一個正五邊形，所以旋轉(zhuǎn)角應為正五邊形外角

的正整數(shù)倍，然后判斷選項即可.

【詳解】解：由圖可知旋轉(zhuǎn)后的圖形內(nèi)部是正五邊形，

答案第1頁，共15頁

1="?平，（0<〃W5）〃為正整數(shù)；

a可以為72。，

故選：B

4.D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線

段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).

先由△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到1得到=ZDBE=60°,則可判斷

VBDE是等邊三角形；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得朋=BC,ZABC=ZC=ABAC=60°,再

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NBA￡=/5CD=60。，所以=NABC=60。，則根據(jù)平行線的判

定方法即可得到AE〃BC；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/5DE=60。，而ZBDC>60。，則可判

斷ZADEwNBDC；由AB/汨是等邊三角形得到/汨=砒>=4,再利用△BCD繞點3逆時針

旋轉(zhuǎn)60。，得到△R4E,則AE=CD,所以的周長=AC+3D.

【詳解】解：???△BCD繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

:.BD=BE,ZD3E=60。，

.?△BOE是等邊三角形，所以①正確；

?.?AABC為等邊三角形，

:.BA=BC,ZABC=NC=NBAC=60。，

繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AAM,

ZBAE=ZBCD=60°,

:.ZBAE=ZABC,

：.AE//BC,所以②正確；

:.ZBDE=Gd0,

ZBDC=ZBAC+ZABD>60°,

:.ZADE^ZBDC,所以④錯誤；

?.?△5DE是等邊三角形，

：.DE=BD=4,

而△BCD繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到A54E,

AE=CD,

...△A￡D的周長=AE+AD+OE=CD+AZ）+QE=AC+4=5+4=9,所以③正確.

答案第2頁，共15頁

故選：D.

5.D

【分析】本題考查中心對稱，根據(jù)“成中心對稱的兩個圖形全等，對稱點到對稱中心的距離

相等”即可判斷.

【詳解】解：,?,VA5C與44與G關于點。成中心對稱，

NABC絲△AAG,

/BAC=,AC=AG，VABC與△AB1G的面積相等，

故①②④正確；

對稱點到對稱中心的距離相等，

OA=OR,

故③正確；

綜上可知，正確的有4個，

故選D.

6.(1)見解析

⑵18

【分析】本題考查了中心對稱，正確掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解此題的關鍵.

(1)連接AD、CF,其交點就是對稱中心。；

(2)根據(jù)V43c和△￡)￡尸關于點0成中心對稱，得出AS=Z)E=7,AC=DF=5,

BC=EF=6,再由三角形周長公式計算即可.

(2)解：：VABC和通砂關于點。成中心對稱,

:.AB=DE=1,AC=DF=5,BC=EF=6,

：.ADEF的周長=產(chǎn)+￡F=7+5+6=18,

答：△口￡戶的周長為18.

答案第3頁，共15頁

7.12

【分析】此題考查了中心對稱的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，過點4作AF于點F,

過點A作于點E,證明四邊形AL（,是矩形，則H產(chǎn)=8=3,同理可知，四邊形

ABOE是矩形，則AE=OB=4,由曲線C關于點。成中心對稱，點A的對稱點是點A,則

AE=AD=OB=4,AB=AF=3,圖形①與圖形②面積相等，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過點A作于點E過點A作AEJ_6于點￡,

；AD_LZ?于點D

ZAFO=AFOD=ZADO=90°,

四邊形ADO尸是矩形，

A尸=8=3,

同理可知，四邊形ABOE是矩形，

AE=OB=4,

1?,曲線C關于點。成中心對稱，點A的對稱點是點A,

AAE=A'D=OB=4,AB=AF=3,圖形①與圖形②面積相等,

/.陰影部分的面積之和=長方形ABOE的面積=3x4=12.

故答案為：12.

8.(l)y=-2x2-8x-4；

⑵存在，(-4,68)或(4,4)或(2/20-160)

【分析】（1）由題意得拋物線工的頂點式為：y=-2（x+2）2+4,將點C'（0,4）代入求出。

的值即可；

（2）根據(jù)關于原點。對稱的點的橫縱坐標均互為相反數(shù)可得拋物線〃的頂點坐標為（2,T）,

與y軸交于點（0,-4）,拋物線//的函數(shù)表達式為：J；=2（%-2）2-4=2%2-8%+4；求出點A

答案第4頁，共15頁

的坐標是卜2-忘,0),點B的坐標是卜2+0,0),點A的坐標是(2+&,0),點8的坐標

是(2-血,0),得出34=2+立一卜2+0)=4,設以0,〃2)可〃,〃2-8〃+4),分兩種情況:

①B4'為平行四邊形的邊時，②BA為平行四邊形的對角線時，分別求解即可得到答案.

【詳解】(1)解：???已知拋物線￡：，=-2/+法+。的頂點坐標為(-2,4),

拋物線L的頂點式為：y=—2(x+2y+4,

拋物線L：y=-2/-8x-4；

(2)解：拋物線L與y軸交于點(0,-4),

..?關于原點。對稱的點的橫縱坐標均互為相反數(shù)，

???拋物線L'的頂點坐標為(2,-4),

；?設拋物線27的頂點式為：y=a(x-2)2-4,

將點C'(O,4)代入得4。-4=4,

解得：a-2,

：.拋物線L'的函數(shù)表達式為：y=2(X-2)2-4=-8x+4；

:拋物線L：y=-2x?-8x-2,當y=0時，-2--8x-4=0,

解得由=-2+,>/2%2=—2—A/2,

???點A的坐標是卜2-夜,0),點B的坐標是卜2+72,0),

???點A-的坐標是(2+及,0),點8的坐標是(2-72,0),

/.84=2+&-卜2+&)=4,

設E(0,m)尸(“,2“2_8〃+4),

①BA1為平行四邊形的邊時，BA，=EP=4,BA'//EP,

；.〃=4或T,

...點P的坐標為(Y,68)或(4,4)；

②BA為平行四邊形的對角線時，

2+-Jl.+卜2+A/2)=0+〃，

答案第5頁，共15頁

??n=2^2，

點P的坐標為(2a,20-16夜).

綜上，點尸的坐標為(-4,68)或(4,4)或(275;20-160).

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)

的頂點式、關于原點對稱的點的特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的平移、

二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵.

9.C

【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，坐標與圖形變換——旋轉(zhuǎn)，求直角坐標系中點的坐標，做

題時分兩種情況，順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，作出相應圖形進行計算即可.作出圖形分類討論是

解答本題的關鍵.

【詳解】解：△CD3順時針旋轉(zhuǎn)90。時，如下圖：

??.正方形的邊長為3,

:.AD=2,BD—3—2—1,

■：四邊形ABCD是正方形，

.-.ZB=ZAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：OD'=BD=BC=OC=1,ZB=NCOD=90。,

在x軸上，

"'(TO)；

△CD8逆時針旋轉(zhuǎn)90。時，如下圖：

答案第6頁，共15頁

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：B'C=BC=3,B'iy=BD=l,/BCB'=90°,NB=NCB'U=90。,

.18'在y軸上，B'D'//x^,

；.0B'=3+3=6,

綜上，)的坐標為。,6)或(-1,0)

故選：C.

10.(1)見解析

(2)見解析

⑶(。，-1)

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉(zhuǎn)和中心對稱：

（1）分別作出點夙C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的對應點，再與點A首尾順次連接即可;

（2）分別作出三個頂點關于原點的對稱點，再首尾順次連接即可；

（3）作線段用鳥的垂直平分線，與線段垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，從而得出答

案.

【詳解】（1）解：如圖所示，△AAG即為所求；

（2）解:如圖所示，△4與6即為所求；

（3）解：如圖所示，B\B-A4的線段垂直平分線交于（O，T），

旋轉(zhuǎn)中心的坐標即為（0,-1）。

答案第7頁，共15頁

【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特點以及各點所在象限的性質(zhì)，根據(jù)“點

A（3,a）與夕（6,-2）關于原點對稱”，求出服6的值，即可確定點M的坐標，進而得到結(jié)論.解

決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互

為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的

點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

【詳解】解：：點4（3,。）與方伍,-2）關于原點對稱，

a=2,b=—3j

：.M（2,-3）

.?.點”（2,-3）在第四象限，

故選：D.

12.C

【分析】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點的坐標，過點8和點。分別作3CLQ4

于點C,8，9于點。，根據(jù)VAOB是等邊三角形，可得點G的坐標，等邊三角形AO2

繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，旋轉(zhuǎn)6次為一個循環(huán)，分別求出等邊三角形中心G旋轉(zhuǎn)

后的坐標，進而可得第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標，理解等邊三角形和直

角三角形的性質(zhì)，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律是解題關鍵.

【詳解】解：如圖，過點B和點。分別作3CLQ4于點C,于點。，

答案第8頁，共15頁

???VA03是等邊三角形，

OD平分ZBOA,

，ZDCM=30°,

又：OC=-OA=A/3,

2

ACG=1,OG=2,

???等邊三角形（MB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，

旋轉(zhuǎn)6次為一個循環(huán)，

:等邊三角形中心G坐標為（Q1）,

第1次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸正半軸上，坐標為（。，2）,

第2次旋轉(zhuǎn)后到第二象限，坐標為卜君，1）,

第3次旋轉(zhuǎn)后到第三象限，坐標為卜君，-1）,

第4次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸負半軸上，坐標為（0,-2）,

第5次旋轉(zhuǎn)后到第四象限，坐標為（、/i-l）,

第6次旋轉(zhuǎn)后回到第一象限，坐標為（61）,

,?2021+6=336.......5,

...第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標為（、屈-1）,

故選：C.

13.D

【分析】在AC上截取AF=AB,連接3戶，過8作砌±必交班延長線于氏由旋轉(zhuǎn)性

質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明AABF是等邊三角形得到AB=BF,

AAFB=ZABF=60°=AEBD,進而證明AASE也AFBO（SAS）得到NBAE=120。，則有

答案第9頁，共15頁

ZABH=30°,設AS=2x,利用直角三角形的性質(zhì)得到則出/=向仁為了=島，進而

得到S.ABE=-石］尤-1：+苧，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：在AC上截取AF=AB,連接即，過3作胡_L初交E4延長線于“，則

4=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得/EBD=60°,BE=BD,

VZBAC=60°,AF=AB,

△AB尸是等邊三角形，

：?AB=BF,ZAFB=ZABF=60°=ZEBDf

：.ZABE=ZFBD,

：.AABE%FBD（SAS）,

：.ZBAE=ZBFD=1800-ZAFB=120°f

：.ZABH=ZBAE-ZH=30°f

在R3AHB中，設AB=2無，則A"=gA3=x,=^AB2-AH2=-fix?

*.*AD=6,AF=AB=lx,AD>AB,

AE=DF=6—2x,0<x<3,

1/-y/3<0,

.?.當尤=:時，S最大，最大值為她，

24

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角的判

定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和二

答案第10頁，共15頁

次函數(shù)的性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解幾何最值問題是

解答的關鍵.

14.(1)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形

⑵18

(3)證明見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理：

(1)依據(jù)是有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

(2)將△ACP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。到^AQB的位置,連接PQ,則^AQB^APC,可得△AP。

是等邊三角形，則△QBP就是以"，BP,CP為邊的三角形.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三

角形內(nèi)角和定理分別求得三個內(nèi)角的度數(shù)，即可得到答案；

(3)連接AC,將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。到"慮的位置，連接DE,先證明VABC

是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△OCE為等邊三角形，進而可得

ZADE=ZADC+ZCDE=900,利用勾股定理即可得證.

【詳解】(1)解：依據(jù)是有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，

故答案為：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

(2)解：如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。到AAQ3的位置，連接PQ,貝IJAAQBRAPC,

AQ=AP,Z1=ZCAP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NQAP=60°,

???△4尸。是等邊三角形,

：.QP=AP,Z3=Z4=60°,

???AQBP就是以AP,BP,CP為邊的三角形,

vZAPC=102°,

...N5=180°-ZAPC-Z4=180o-102°-60o=18°,

ZAQB=ZAPC^102°,

答案第11頁，共15頁

...N6=ZAPC-Z3=102°-60°=42°，

ZQBP=180°-Z5-Z6=120°,

???/5<N6<NQBP,

「?最小內(nèi)角的度數(shù)為18。，

故答案為：18；

(3)證明：如圖，連接AC,將△5CD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。到△ACE的位置，連接DE,

/><X\?/ZABC=60°,AB=BC,

'"E

VA3C是等邊三角形，

BC=AB=AC,

由旋轉(zhuǎn)可知/場=應>,CE=CD,ZDCE=6O°,

△DCE為等邊三角形，

DE=DC,/CDE=60°,

..ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

在RtA/LDE中，由勾股定理得AB?=41)2+￡>岳，

BD-=AD'+DC2.

15.B

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識，確定CP何時取最小值是解題關鍵.連接CT,由“垂線段最短”的性質(zhì)可知當

CFA.AE,即點尸與點以重合時，CP取最小值，此時連接CE,易得

EF