2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)講解

第23章旋轉(zhuǎn)——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：23.1-23.2

?

O重難點(diǎn)知識(shí)剖析

直點(diǎn)’

知識(shí)點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心形成的角等于旋轉(zhuǎn)

角；

(2)對(duì)應(yīng)角的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等；

(3)對(duì)應(yīng)邊的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等；

(4)圖形的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置；

2.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的比較

平移軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)

相同點(diǎn)都是(合同變換)，即變換前后的圖形全等.

不定把一個(gè)圖形沿某一方向把一個(gè)圖形沿著某一條直把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)

同義移動(dòng)一定距離的圖形變線折疊的圖形變換.轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變

點(diǎn)換.換.

K-d

W

圖..............--A'

形

B,

0

要平移

對(duì)稱軸

素平移

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離

連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心

平行（或共線）且相等.被對(duì)稱軸平分.所連線段的夾角都等于旋

轉(zhuǎn)角.

性

*對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距

質(zhì)

離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段心所連線段的夾角等于旋

對(duì)應(yīng)線段平行且相等.

被對(duì)稱軸垂直平分.轉(zhuǎn)角，即：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)

中心連線所成的角彼此相

等.

3.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形

（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360。）后能與原圖

形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

（2）常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

4.旋轉(zhuǎn)作圖

（1）旋轉(zhuǎn)作圖的基本步驟：確定關(guān)鍵點(diǎn)—作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；

（2）作關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的步通：一連二旋三相等；

口:典例精講

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

例1

1.如圖，將VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C',若點(diǎn)C,B,C共線，則NACB

的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

例2

2.如圖，把VABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VADE,點(diǎn)3,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)O,E,

且點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接80,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.NCAE=/BEDB.AB=BD

C.ZACE^ZADED."CE是等邊三角形

Q變式訓(xùn)練

變式1

3.圖①中的花瓣圖案繞著旋轉(zhuǎn)中心，連續(xù)旋轉(zhuǎn)4次，每次旋轉(zhuǎn)角可以得到圖②中的花

變式2

4.在等邊VABC中，。是邊AC上一點(diǎn)，連接3D,將△■BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

△BAE,連接ED,若8c=5,BD=4,則以下四個(gè)結(jié)論中：①VR9E是等邊三角形；②

AE//BC-,③VA￡>E的周長(zhǎng)是9；@ZADE=ZBDC.其中錯(cuò)誤的序號(hào)是（）

A.①B.②C.③D.@

知識(shí)點(diǎn)二：中心對(duì)稱的性質(zhì)

1.中心對(duì)稱的性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心平分.

（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的.

2.軸對(duì)稱與中心對(duì)稱比較

比較項(xiàng)

軸對(duì)稱中心對(duì)稱

目

]

4_.....A'

圖形q---

C

?

對(duì)應(yīng)邊相等平行且相等

對(duì)應(yīng)角相等相等

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連2去被對(duì)稱軸垂直平對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心

對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分平分

3.中心對(duì)稱作圖

（1）中心對(duì)稱作圖的步驟：確定關(guān)鍵點(diǎn)—作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一連接關(guān)鍵點(diǎn);

（2）作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的方法：一連二延三相等；

4.圖案設(shè)計(jì)

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

由一個(gè)基本圖案可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱以及中心對(duì)稱等方法變換出一些復(fù)合圖案.

典例精講

例1

5.如圖，VABC與△ABiG關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，下列說(shuō)法:

@ZBAC=ZB1AC1；②AC=AC；③。4=。4；④VABC與4A由G的面積相等，其中正

C.3個(gè)D.4個(gè)

例2

6.如圖，VABC和3所關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱.

⑴找出它們的對(duì)稱中心。；

⑵若AB=7,AC=5,BC=6,求ADEF的周長(zhǎng).

G）變式訓(xùn)練

變式1

7.如圖，直線。、b垂直相交于點(diǎn)。，曲線C關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A,

AB，。于點(diǎn)B,ADL6于點(diǎn)D.若03=4,OD=3,則陰影部分的面積之和為

8.已知拋物線乙：丫=-2/+/+￡?的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4),與x軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)

2左側(cè))，拋物線〃與拋物線L關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，且拋物線L過(guò)拋物線2/的頂點(diǎn).

(1)求拋物線乙的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若拋物線〃與無(wú)軸的交點(diǎn)分別為A'、3,(其中A與4對(duì)應(yīng)，B與9對(duì)應(yīng))，E是y軸上一

點(diǎn)，在拋物線〃上是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)8、A'、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

知識(shí)點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)

1.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；P(x,y)今P(-x,-y)

2.旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)

(1)旋轉(zhuǎn)90。的坐標(biāo)特征：點(diǎn)尸36)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸(〃[,〃)，則有同=時(shí),網(wǎng)=|m|,正負(fù)號(hào)由具

體位置確定；

(2)旋轉(zhuǎn)30。，45°,60。的坐標(biāo)特征，需要結(jié)合30。直角三角形的性質(zhì)和45。的直角三角形

的性質(zhì)確定；

3.函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象的特征

函數(shù)名稱原解析式關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象的解析式

一次函數(shù)y=kx-\-b—y=k(—x)+by=kx-b

二次函數(shù)y=ax1+bx+c-y=〃(一x)2+b(-x)+c即y=-ax2+bx-c

二6：典例精講

例1

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

9.如圖，正方形。4、OC的兩邊。4、OC分別在x軸.V軸上，點(diǎn)。（3,2）在邊力B上，以

C為中心，把△（7￡啰旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的坐標(biāo)是（）

A.(1,6)B.(-1,0)C.(1,6)或(TO)D.(6,1)或(一1,0)

例2

10.如圖所示，VASC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（-1,0）、*-2,-2）、C（4-1）請(qǐng)?jiān)谒o的正

方形網(wǎng)格中按要求畫圖和解答下列問(wèn)題：

（1）以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將VA5c繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△A耳G，畫出△A^G.

（2）畫出VABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的△A與G.

⑶若4482G可看作是由旋轉(zhuǎn)得來(lái)，則旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為

o變式訓(xùn)練

變式1

11.若點(diǎn)A（3,。）與6他-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)〃（。力）所在的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式2

12.如圖，等邊三角形3s的邊長(zhǎng)為2VL邊。4在無(wú)軸正半軸上，現(xiàn)將等邊三角形（MB繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)為（）

B.（0,-1）C.（也，-1）D.（0,-2）

知識(shí)點(diǎn)四：旋轉(zhuǎn)與幾何

1.常見的旋轉(zhuǎn)模型

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

例1

13.如圖，在VABC中，ZR4c=60。，。為邊AC上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接8。，將

線段BO繞點(diǎn)3按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段3E,連接AE,DE.若AD=6,貝LABE

的面積的最大值為（）

A.73B.五C.更D.拽

24

例2

14.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)收集的一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

構(gòu)圖法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用構(gòu)圖法指的是構(gòu)造與數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)的幾何圖形，用幾何圖形

中反映的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.巧妙地構(gòu)造圖形有助于我們把握問(wèn)題的本質(zhì)，明

晰解題的路徑，也有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.本文通過(guò)列舉一個(gè)例子，介紹構(gòu)圖法在解題中的應(yīng)

用，

例：如圖1,已知尸為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB=H3°,ZAPC=123°.

求以AP,BP,CP為邊的三角形中各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

解析：如何求所構(gòu)成的三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)？由于沒有出現(xiàn)以小，BP,CP為邊的三角

形，問(wèn)題難以解決.于是考慮通過(guò)構(gòu)圖法構(gòu)造長(zhǎng)度為AP,BP,CP的三角形來(lái)解決問(wèn)題.

解：將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AQ8,則AAQB%APC.

BQ=CP,AQ=AP,Z[=ZCAP.

由旋轉(zhuǎn)可知NQ”=60。，是等邊三角形.【依據(jù)】

?.QP=AP,Z3=Z4=60°.

△QBP就是以AP,BP,CP為邊的三角形.

1,1ZAPB=113°,Z5=ZAPB-Z4=53°.

ZAQB=ZAPC=123°.:.N6=ZAQB-N3=63°.

ZQBP=180°-Z5-Z6=64°.

.,.以AP,BP,CP為邊的三角形中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為64。，63°,53°.

構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于通過(guò)圖形的變化，能使抽象的數(shù)量關(guān)系集中在一個(gè)圖形上直觀地表達(dá)出

來(lái)，使問(wèn)題變簡(jiǎn)單.

任務(wù)：

(1)上面小論文中的“依據(jù)”是.

⑵如圖2,已知點(diǎn)尸是等邊三角形ABC的邊上的一點(diǎn)，若NAPC=102。，則在以線段轉(zhuǎn)，

BP,CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的度數(shù)為

PC

圖2

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZADC=30°,ZABC=60。，AB=3C.求證：BD2=AD2+CD2.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

D

A

BC

圖3

G）變式訓(xùn)練

變式i

15.如圖，有兩個(gè)全等的矩形ABCZ）和矩形AB'C'D重合擺放，將矩形A'B'C'D'繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)AD交AO于點(diǎn)E,線段AE的中點(diǎn)為點(diǎn)尸，AB的長(zhǎng)為2,8C的長(zhǎng)為4,當(dāng)

CR取最小時(shí)，AF的長(zhǎng)為（）

變式2

將三角形紙片A3C進(jìn)行以下操作：①折疊三角形紙片A5C,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折

痕DE,然后展開鋪平；②將ADEC繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)E,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分別是點(diǎn)RG,直線GF與邊AC交于點(diǎn)〃（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊AB交于點(diǎn)N.

【數(shù)學(xué)思考】

(1)折痕DE的長(zhǎng)為;

(2)在ADEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試判斷與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

【數(shù)學(xué)探究】；

(3)如圖②，在A￡)EC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線G廠經(jīng)過(guò)點(diǎn)8時(shí)，求AM的長(zhǎng)；

【問(wèn)題延伸工

(4)在ADEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，連接AF,則"的取值范圍是.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理即可求解.

【詳解】解：,??將VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△AB'C,且點(diǎn)C,B,C'共線，

\AC=ACft,ZCAC'=120°,

ZACB=ZAC'C=1(180°-120°)=30°.

故選：C.

2.A

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的運(yùn)用是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=AE,ZACB=ZAED,ZABC^ZADE.

ZACB=ZAED,

：.ZCAE+ZAEB=ZAEB+ZBED,

AZCAE=ZBED,故選項(xiàng)A正確，符合題意；

無(wú)法證明鉆=BD,故選項(xiàng)B不正確，不符合題意；

,/ZABC=ZADE,

又ZACE=ZABC+ZBAC=ZADE+ZBAC,

：.ZACE^ZADE,故選項(xiàng)C不正確，不符合題意；

AC=AE,

：.ZACE=ZAEC,

：."慮是等腰三角形，但無(wú)法證明“匿是等邊三角形，

故選項(xiàng)D不正確，不符合題意.

故選：A

3.B

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)和正多邊形外角，結(jié)合正多邊形的外角是求旋轉(zhuǎn)角的關(guān)鍵.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形可知，旋轉(zhuǎn)后的圖形內(nèi)部是一個(gè)正五邊形，所以旋轉(zhuǎn)角應(yīng)為正五邊形外角

的正整數(shù)倍，然后判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】解：由圖可知旋轉(zhuǎn)后的圖形內(nèi)部是正五邊形，

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

1="?平，（0<〃W5）〃為正整數(shù)；

a可以為72。，

故選：B

4.D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線

段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).

先由△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到1得到=ZDBE=60°,則可判斷

VBDE是等邊三角形；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得朋=BC,ZABC=ZC=ABAC=60°,再

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NBA￡=/5CD=60。，所以=NABC=60。，則根據(jù)平行線的判

定方法即可得到AE〃BC；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/5DE=60。，而ZBDC>60。，則可判

斷ZADEwNBDC；由AB/汨是等邊三角形得到/汨=砒>=4,再利用△BCD繞點(diǎn)3逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。，得到△R4E,則AE=CD,所以的周長(zhǎng)=AC+3D.

【詳解】解：???△BCD繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

:.BD=BE,ZD3E=60。，

.?△BOE是等邊三角形，所以①正確；

?.?AABC為等邊三角形，

:.BA=BC,ZABC=NC=NBAC=60。，

繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AAM,

ZBAE=ZBCD=60°,

:.ZBAE=ZABC,

：.AE//BC,所以②正確；

:.ZBDE=Gd0,

ZBDC=ZBAC+ZABD>60°,

:.ZADE^ZBDC,所以④錯(cuò)誤；

?.?△5DE是等邊三角形，

：.DE=BD=4,

而△BCD繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到A54E,

AE=CD,

...△A￡D的周長(zhǎng)=AE+AD+OE=CD+AZ）+QE=AC+4=5+4=9,所以③正確.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

故選：D.

5.D

【分析】本題考查中心對(duì)稱，根據(jù)“成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離

相等”即可判斷.

【詳解】解：,?,VA5C與44與G關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，

NABC絲△AAG,

/BAC=,AC=AG，VABC與△AB1G的面積相等，

故①②④正確；

對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等，

OA=OR,

故③正確；

綜上可知，正確的有4個(gè)，

故選D.

6.(1)見解析

⑵18

【分析】本題考查了中心對(duì)稱，正確掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接AD、CF,其交點(diǎn)就是對(duì)稱中心。；

(2)根據(jù)V43c和△￡)￡尸關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱，得出AS=Z)E=7,AC=DF=5,

BC=EF=6,再由三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

(2)解：：VABC和通砂關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱,

:.AB=DE=1,AC=DF=5,BC=EF=6,

：.ADEF的周長(zhǎng)=產(chǎn)+￡F=7+5+6=18,

答：△口￡戶的周長(zhǎng)為18.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

7.12

【分析】此題考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)4作AF于點(diǎn)F,

過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,證明四邊形AL（,是矩形，則H產(chǎn)=8=3,同理可知，四邊形

ABOE是矩形，則AE=OB=4,由曲線C關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A,則

AE=AD=OB=4,AB=AF=3,圖形①與圖形②面積相等，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)A作AEJ_6于點(diǎn)￡,

；AD_LZ?于點(diǎn)D

ZAFO=AFOD=ZADO=90°,

四邊形ADO尸是矩形，

A尸=8=3,

同理可知，四邊形ABOE是矩形，

AE=OB=4,

1?,曲線C關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A,

AAE=A'D=OB=4,AB=AF=3,圖形①與圖形②面積相等,

/.陰影部分的面積之和=長(zhǎng)方形ABOE的面積=3x4=12.

故答案為：12.

8.(l)y=-2x2-8x-4；

⑵存在，(-4,68)或(4,4)或(2/20-160)

【分析】（1）由題意得拋物線工的頂點(diǎn)式為：y=-2（x+2）2+4,將點(diǎn)C'（0,4）代入求出。

的值即可；

（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)可得拋物線〃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,T）,

與y軸交于點(diǎn)（0,-4）,拋物線//的函數(shù)表達(dá)式為：J；=2（%-2）2-4=2%2-8%+4；求出點(diǎn)A

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

的坐標(biāo)是卜2-忘,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是卜2+0,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2+&,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)

是(2-血,0),得出34=2+立一卜2+0)=4,設(shè)以0,〃2)可〃,〃2-8〃+4),分兩種情況:

①B4'為平行四邊形的邊時(shí)，②BA為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可得到答案.

【詳解】(1)解：???已知拋物線￡：，=-2/+法+。的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4),

拋物線L的頂點(diǎn)式為：y=—2(x+2y+4,

拋物線L：y=-2/-8x-4；

(2)解：拋物線L與y軸交于點(diǎn)(0,-4),

..?關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，

???拋物線L'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4),

；?設(shè)拋物線27的頂點(diǎn)式為：y=a(x-2)2-4,

將點(diǎn)C'(O,4)代入得4。-4=4,

解得：a-2,

：.拋物線L'的函數(shù)表達(dá)式為：y=2(X-2)2-4=-8x+4；

:拋物線L：y=-2x?-8x-2,當(dāng)y=0時(shí)，-2--8x-4=0,

解得由=-2+,>/2%2=—2—A/2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是卜2-夜,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是卜2+72,0),

???點(diǎn)A-的坐標(biāo)是(2+及,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(2-72,0),

/.84=2+&-卜2+&)=4,

設(shè)E(0,m)尸(“,2“2_8〃+4),

①BA1為平行四邊形的邊時(shí)，BA，=EP=4,BA'//EP,

；.〃=4或T,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Y,68)或(4,4)；

②BA為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

2+-Jl.+卜2+A/2)=0+〃，

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

??n=2^2，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,20-16夜).

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,68)或(4,4)或(275;20-160).

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)

的頂點(diǎn)式、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的平移、

二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換——旋轉(zhuǎn)，求直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，做

題時(shí)分兩種情況，順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，作出相應(yīng)圖形進(jìn)行計(jì)算即可.作出圖形分類討論是

解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：△CD3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，如下圖：

??.正方形的邊長(zhǎng)為3,

:.AD=2,BD—3—2—1,

■：四邊形ABCD是正方形，

.-.ZB=ZAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：OD'=BD=BC=OC=1,ZB=NCOD=90。,

在x軸上，

"'(TO)；

△CD8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，如下圖：

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：B'C=BC=3,B'iy=BD=l,/BCB'=90°,NB=NCB'U=90。,

.18'在y軸上，B'D'//x^,

；.0B'=3+3=6,

綜上，)的坐標(biāo)為。,6)或(-1,0)

故選：C.

10.(1)見解析

(2)見解析

⑶(。，-1)

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱：

（1）分別作出點(diǎn)夙C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)A首尾順次連接即可;

（2）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；

（3）作線段用鳥的垂直平分線，與線段垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，從而得出答

案.

【詳解】（1）解：如圖所示，△AAG即為所求；

（2）解:如圖所示，△4與6即為所求；

（3）解：如圖所示，B\B-A4的線段垂直平分線交于（O，T），

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)即為（0,-1）。

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及各點(diǎn)所在象限的性質(zhì)，根據(jù)“點(diǎn)

A（3,a）與夕（6,-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”，求出服6的值，即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到結(jié)論.解

決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互

為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

【詳解】解：：點(diǎn)4（3,。）與方伍,-2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

a=2,b=—3j

：.M（2,-3）

.?.點(diǎn)”（2,-3）在第四象限，

故選：D.

12.C

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)。分別作3CLQ4

于點(diǎn)C,8，9于點(diǎn)。，根據(jù)VAOB是等邊三角形，可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，等邊三角形AO2

繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，旋轉(zhuǎn)6次為一個(gè)循環(huán)，分別求出等邊三角形中心G旋轉(zhuǎn)

后的坐標(biāo)，進(jìn)而可得第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)，理解等邊三角形和直

角三角形的性質(zhì)，根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)。分別作3CLQ4于點(diǎn)C,于點(diǎn)。，

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

???VA03是等邊三角形，

OD平分ZBOA,

，ZDCM=30°,

又：OC=-OA=A/3,

2

ACG=1,OG=2,

???等邊三角形（MB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，

旋轉(zhuǎn)6次為一個(gè)循環(huán)，

:等邊三角形中心G坐標(biāo)為（Q1）,

第1次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸正半軸上，坐標(biāo)為（。，2）,

第2次旋轉(zhuǎn)后到第二象限，坐標(biāo)為卜君，1）,

第3次旋轉(zhuǎn)后到第三象限，坐標(biāo)為卜君，-1）,

第4次旋轉(zhuǎn)后到y(tǒng)軸負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0,-2）,

第5次旋轉(zhuǎn)后到第四象限，坐標(biāo)為（、/i-l）,

第6次旋轉(zhuǎn)后回到第一象限，坐標(biāo)為（61）,

,?2021+6=336.......5,

...第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，等邊三角形中心的坐標(biāo)為（、屈-1）,

故選：C.

13.D

【分析】在AC上截取AF=AB,連接3戶，過(guò)8作砌±必交班延長(zhǎng)線于氏由旋轉(zhuǎn)性

質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明AABF是等邊三角形得到AB=BF,

AAFB=ZABF=60°=AEBD,進(jìn)而證明AASE也AFBO（SAS）得到NBAE=120。，則有

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

ZABH=30°,設(shè)AS=2x,利用直角三角形的性質(zhì)得到則出/=向仁為了=島，進(jìn)而

得到S.ABE=-石］尤-1：+苧，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：在AC上截取AF=AB,連接即，過(guò)3作胡_L初交E4延長(zhǎng)線于“，則

4=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得/EBD=60°,BE=BD,

VZBAC=60°,AF=AB,

△AB尸是等邊三角形，

：?AB=BF,ZAFB=ZABF=60°=ZEBDf

：.ZABE=ZFBD,

：.AABE%FBD（SAS）,

：.ZBAE=ZBFD=1800-ZAFB=120°f

：.ZABH=ZBAE-ZH=30°f

在R3AHB中，設(shè)AB=2無(wú)，則A"=gA3=x,=^AB2-AH2=-fix?

*.*AD=6,AF=AB=lx,AD>AB,

AE=DF=6—2x,0<x<3,

1/-y/3<0,

.?.當(dāng)尤=:時(shí)，S最大，最大值為她，

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角的判

定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和二

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

次函數(shù)的性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解幾何最值問(wèn)題是

解答的關(guān)鍵.

14.(1)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形

⑵18

(3)證明見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理：

(1)依據(jù)是有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

(2)將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到^AQB的位置,連接PQ,則^AQB^APC,可得△AP。

是等邊三角形，則△QBP就是以"，BP,CP為邊的三角形.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三

角形內(nèi)角和定理分別求得三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，即可得到答案；

(3)連接AC,將△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到"慮的位置，連接DE,先證明VABC

是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△OCE為等邊三角形，進(jìn)而可得

ZADE=ZADC+ZCDE=900,利用勾股定理即可得證.

【詳解】(1)解：依據(jù)是有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，

故答案為：有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

(2)解：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AAQ3的位置，連接PQ,貝IJAAQBRAPC,

AQ=AP,Z1=ZCAP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NQAP=60°,

???△4尸。是等邊三角形,

：.QP=AP,Z3=Z4=60°,

???AQBP就是以AP,BP,CP為邊的三角形,

vZAPC=102°,

...N5=180°-ZAPC-Z4=180o-102°-60o=18°,

ZAQB=ZAPC^102°,

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

...N6=ZAPC-Z3=102°-60°=42°，

ZQBP=180°-Z5-Z6=120°,

???/5<N6<NQBP,

「?最小內(nèi)角的度數(shù)為18。，

故答案為：18；

(3)證明：如圖，連接AC,將△5CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ACE的位置，連接DE,

/><X\?/ZABC=60°,AB=BC,

'"E

VA3C是等邊三角形，

BC=AB=AC,

由旋轉(zhuǎn)可知/場(chǎng)=應(yīng)>,CE=CD,ZDCE=6O°,

△DCE為等邊三角形，

DE=DC,/CDE=60°,

..ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

在RtA/LDE中，由勾股定理得AB?=41)2+￡>岳，

BD-=AD'+DC2.

15.B

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，確定CP何時(shí)取最小值是解題關(guān)鍵.連接CT,由“垂線段最短”的性質(zhì)可知當(dāng)

CFA.AE,即點(diǎn)尸與點(diǎn)以重合時(shí)，CP取最小值，此時(shí)連接CE,易得

EF