人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章 直線和圓的方程章末復(fù)習(xí)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)一、兩直線的平行與垂直1．判斷兩直線平行、垂直的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1＝k2?l1∥l2.(2)若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－1?l1⊥l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)2．討論兩直線的平行、垂直關(guān)系，可以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．例1(1)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a＋1,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，C(2－2a，1)，D(－a，0)四點(diǎn)，若直線AB與直線CD平行，則a＝________.〖答案〗3〖解析〗kAB＝eq\f(－\f(1,3)＋\f(a＋1,3),0－1)＝－eq\f(a,3)，當(dāng)2－2a＝－a，即a＝2時(shí)，kAB＝－eq\f(2,3)，CD的斜率不存在．∴AB和CD不平行；當(dāng)a≠2時(shí)，kCD＝eq\f(0－1,－a－2＋2a)＝eq\f(1,2－a).由kAB＝kCD，得－eq\f(a,3)＝eq\f(1,2－a)，即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1.當(dāng)a＝3時(shí)，kAB＝－1，kBD＝eq\f(0＋\f(1,3),－3)＝－eq\f(1,9)≠kAB，∴AB與CD平行．當(dāng)a＝－1時(shí)，kAB＝eq\f(1,3)，kBC＝eq\f(1＋\f(1,3),4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(1－0,4－1)＝eq\f(1,3)，∴AB與CD重合．∴當(dāng)a＝3時(shí)，直線AB和直線CD平行．(2)若點(diǎn)A(4，－1)在直線l1：ax－y＋1＝0上，則l1與l2：2x－y－3＝0的位置關(guān)系是________．〖答案〗垂直〖解析〗將點(diǎn)A(4，－1)的坐標(biāo)代入ax－y＋1＝0，得a＝－eq\f(1,2)，則＝－eq\f(1,2)×2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.反思感悟一般式方程下兩直線的平行與垂直：已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為________．〖答案〗－3(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝________.〖答案〗－1〖解析〗因?yàn)橹本€x＋my＋6＝0與(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×3－mm－2＝0，,2m≠6m－2，))解得m＝－1.二、兩直線的交點(diǎn)與距離問題1．兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題．2．兩直線的交點(diǎn)與距離問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．例2(1)若點(diǎn)(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1 B．5C．－1或5 D．－3或3〖答案〗C〖解析〗∵點(diǎn)(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，∴eq\f(|1－a＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，即|a－2|＝3，解得a＝－1或a＝5，∴實(shí)數(shù)a的值為－1或5.(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．解設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是關(guān)于x的方程x2＋x－2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則這兩條直線之間的距離為()A．2eq\r(3)B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D.eq\f(3\r(2),2)〖答案〗D〖解析〗根據(jù)a，b是關(guān)于x的方程x2＋x－2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，故兩條直線之間的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0,4)到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為()A．0B．1C．2D．3〖答案〗C〖解析〗方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直線l過點(diǎn)(1,2)．設(shè)點(diǎn)Q(1,2)，因?yàn)閨PQ|＝eq\r(1－02＋2－42)＝eq\r(5)＞2，所以滿足條件的直線l有2條．故選C.方法二依題意，設(shè)經(jīng)過直線l1與l2交點(diǎn)的直線l的方程為2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由題意得eq\f(|12－8λ＋3λ－8|,\r(2＋λ2＋3－2λ2))＝2，化簡得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或eq\f(18,5)，代入得直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0，故選C.三、直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑長為r.若d<r，則直線和圓相交；若d＝r，則直線和圓相切；若d>r，則直線和圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離．2．研究直線與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．例3已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R時(shí)，證明l與C總相交；(2)m取何值時(shí)，l被C截得的弦長最短？求此弦長．(1)證明直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點(diǎn)斜式可知，直線恒過點(diǎn)P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交．(2)解圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如圖，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時(shí)，線段AB的長度最短．此時(shí)PC⊥l，又kPC＝eq\f(－3－－6,4－3)＝3，所以直線l的斜率為－eq\f(1,3)，則2m＝－eq\f(1,3)，所以m＝－eq\f(1,6).在Rt△APC中，|PC|＝eq\r(10)，|AC|＝r＝5.所以|AB|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(15).故當(dāng)m＝－eq\f(1,6)時(shí)，l被C截得的弦長最短，最短弦長為2eq\r(15).反思感悟直線與圓問題的類型(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得．(2)弦長問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結(jié)合弦長公式求解．跟蹤訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱，且過點(diǎn)P(－2,2)和原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過點(diǎn)A(－1,0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長相等，求此時(shí)直線l1的方程．解(1)由題意知，直線x＋y＋2＝0過圓C的圓心，設(shè)圓心C(a，－a－2)．由題意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.因?yàn)閳A心C(－2,0)，半徑r＝2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋y2＝4.(2)由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－eq\f(1,k)，所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，l2：y＝－eq\f(1,k)(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以eq\f(|－2k＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－2＋1|,\r(k2＋1))，解得k＝±1，所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.四、圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系：一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系．2．圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．例4已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程；(2)求過點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程．解(1)把圓C1與圓C2都化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圓心與半徑長分別為C1(－2,2)，r1＝eq\r(13)；C2(4，－2)，r2＝eq\r(13).因?yàn)閨C1C2|＝eq\r(－2－42＋2＋22)＝2eq\r(13)＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2相切．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程．(2)由圓系方程，可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.點(diǎn)(2,3)在此圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程解得λ＝eq\f(4,3).所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋eq\f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.反思感悟兩圓的公共弦問題(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．跟蹤訓(xùn)練4(1)已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為________．〖答案〗x＋y－3＝0〖解析〗AB的中垂線即為圓C1、圓C2的連心線C1C2.又C1(3,0)，C2(0,3)，所以C1C2所在直線的方程為x＋y－3＝0.(2)已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＝0與圓C2：x2＋y2－2y－4＝0.①求證：兩圓相交；②求兩圓公共弦所在直線的方程．①證明圓C1的方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓C2的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，∴C1(2，－1)，C2(0,1)，兩圓的半徑均為eq\r(5)，∵|C1C2|＝eq\r(2－02＋－1－12)＝2eq\r(2)∈(0,2eq\r(5))，∴兩圓相交．②解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.1．(2019·天津改編)設(shè)a∈R，直線ax－y＋2＝0和圓x2＋y2－4x－2y＋1＝0相切，則a的值為________．〖答案〗eq\f(3,4)〖解析〗由已知條件可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(2,1)，半徑為2，由直線和圓相切可得eq\f(|2a－1＋2|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝eq\f(3,4).2．(2017·北京改編)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))的最小值為________．〖答案〗1〖解析〗x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長為1.∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，∴點(diǎn)P在圓C外．又∵點(diǎn)A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改編)已知點(diǎn)C在直線l：x＝－1上，點(diǎn)F(1,0)，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為________________．〖答案〗(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1〖解析〗由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因?yàn)椤螰AC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為eq\r(3).所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.4．(2019·江蘇改編)如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA.規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測得AB＝10，AC＝6，BD＝12(單位：百米)．(1