2025屆上海市高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷1

2025屆高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷1

時(shí)間：120分鐘滿分：150

一、填空題：

1.已知集合A={—3,—1,1,2},集合3=[0,+“)，則AC5=.

2.若復(fù)數(shù)z=(l+i)(3—ai)(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

3.現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人參加某項(xiàng)活動，則甲被選中的概率為.

4.若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,a的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差/=.

5.在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為了=；，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與

拋物線丁=_4X的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為.

6.設(shè)函數(shù)='+若成等差數(shù)列(公差不為零)，則/(a)+/(c)=.

xb

7.已知下列兩個(gè)命題：p:VxeR+,不等式x..“五一1恒成立；q：y=loga(x2-ax+l)(a>0,aHl)有

最小值.若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

8.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓工+)2=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程

2

是.

9.己知2=(1,0),6=(0,1),求使向量匯+歷與向量B+2切的夾角為銳角的左的取值范圍________.

、x+11271

10.已知函數(shù)/(x)=j]]1，函數(shù)g(x)=asin-X-2a+2(a〉0),若存在

4

-----X,X￡

3--6

%、%2e[0,l]，使得/(%)=g(%)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是1

2

11.如圖，用一塊形狀為半橢圓/+亍=l(yN0)的鐵皮截取一個(gè)以短軸為底的等腰梯形A5CD,記

所得等腰梯形的面積為S,則9的最小值是.

B|。Cx

12.給出定義：若m-gcxK/w+g(其中加為整數(shù))，則機(jī)叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作｛%｝=m.在

此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)/(力=k-｛到的四個(gè)命題：

①函數(shù)丁=/("的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?,1；

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=|?(keZ)對稱；

③函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1；

④函數(shù)y=/(x)在一盤；上是增函數(shù).

其中正確的命題的序號是.

二、選擇題：

13.設(shè)。力都是不等于1的正數(shù)，則“l(fā)og02<l0gz.2”是“2“>2萬>2”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

14.關(guān)于函數(shù)/(x)=sinN+biiu|有下述四個(gè)結(jié)論：①/(X)是偶函數(shù)；②/(x)的最大值為2；③/(x)

在［-兀，可有4個(gè)零點(diǎn)；④/(x)在區(qū)間［5,兀］單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③

15.如圖，平面為A3的中點(diǎn)，|A6|=2,/CD6=60°,P為a內(nèi)的動點(diǎn)，且尸到直線CD的

距離為百，則ZAPB的最大值為()

ADB

A.30B，60°C.90,D.120°

n<5

2,〃€川）.若正整數(shù)左（左上5）使得

16.已知數(shù)列｛a“｝滿足：an=<

^^2???“〃一1Ln>6

+a；+…+a：=…％成立，則上二（)

A.16B.17C.18D.19

三.解答題：

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)AQ'P(costz,sintz),其中0<a<；

(1)若cosa=9,求證：PA1PO-

6

（2）若同=困，求sin2a+1的值.

18.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝4G。中，E為5c的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn).

（1）求證：5。]〃平面加?！辏?/p>

（2）求三棱錐A-皮加的體積.

19.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處

理量最少為400噸，最多為60。噸，月處理成本》（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表

示為y=-x2-200^+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使

該單位不虧損？

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓C:=+[=l（a〉6〉0）的離心率為更，以橢圓。左

ab2

頂點(diǎn)T為圓心作圓?。海▁+2）2+丁2=戶（廠>0）,設(shè)圓丁與橢圓C交于點(diǎn)V與點(diǎn)N.

（1）求橢圓C的方程;

（2）求麗.前的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于的任意一點(diǎn)，且直線MRNP分別與x軸交于點(diǎn)尺S,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，求證：為定值.

3

21.已知函數(shù)/（尤）=111（2以+1）+]_-》2一2以（0€陽

⑴若無=2為/⑴的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若丁=/（力在[3,+。）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）當(dāng)。=—；時(shí)，方程/（1一同=&爐+2有實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的最大值.

參考答案及逐題解析:

一、填空題：

1.【答案】{1,2}

解：由題意可知集合A表示四個(gè)實(shí)數(shù)，而集合8表示非負(fù)實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合交集為{1,2}.

2.【答案】—3

解：先由復(fù)數(shù)乘法化為（3+。）+（3-。）心再由純虛數(shù)的概念得3+。=0,3—。力0即。=一3.

3.【答案】-

3

解：從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙、甲丙兩種選

2

法，所以甲被選中的概率為一.

3

4.【答案】y

21

解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為（—1,0）,所以。=1.又幺=上，所以c=2,6=G.而雙曲線的漸近線方程為

c2

br-

y=±—x,即)=±，3%.

a

6.【答案】2

【詳解】因?yàn)閐瓦。成等差數(shù)列，

所以2〃=a+c,

\r(\1111c-b+a-bca+c-2b

/(Q+f(c)=——-+1+------+1=7——-V7——-V+2=7——7T7——7T

a-bc-b

7.【答案】〃=2或0<%l.

解：p:WxeR+,不等式—1恒成立；

x+1

即出氏+-/=恒成立;

yjx

由于?+—7=的最小值為2,

故尸為真命題時(shí)，④2

q'.y=log“(爐—ov+l)(a>0,a'1）有最小值.

表示以。為底的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且V—雙+1＞0恒成立

a>1

即《2,c，解得1<。<2

儲一4<0

故4為真命題時(shí)，1＜。＜2

???兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題,

當(dāng)尸真q假時(shí)，a=2或q，1,；a>0,awL，a=2或0<④1,

當(dāng)產(chǎn)假4真時(shí)，這樣的。值不存在

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=2或0＜2,1

8.【答案】2d—2/=1

22

【詳解】：橢圓土+y2=i中c=l,?.?中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓土+/=i有公共的焦點(diǎn),

2?2-

???雙曲線中c=1,；橢圓工+y2=1的離心率為￡=也，橢圓與雙曲線的離心率互為倒

2-a2

數(shù).，雙曲線的離心率為&,

二雙曲線中。=正力2=02—/=’力=正雙曲線的方程為2%2-2/=1.

222

9.【答案】左＞0且左

2

【詳解】a+l￡=(l,k^,b+2ka=(2k,l^,

(4+防)(5+2%)=1k2+1?Jl+4/2costz-2k+k>0,即左>0,

又@++2k3不共線，：.k手立~，

2

.?.左>0且左。走

2

io.【答案】

1]]「1一

【詳解】當(dāng)OKxK—時(shí)，/'(x)=——x+—在0,-上單調(diào)遞減,

2'，36L2」

所以/[￡|</(x)</(O),即，0</(x)<1.

12r3

當(dāng)一<九(1時(shí)，〃動=2，

所以,可得“X)在匕單調(diào)遞增,

</(%)</(1),即2</(力41,

所以/(X)的值域?yàn)閇0,1],

因?yàn)間(x)=asin

7Tjr

所以O(shè)K—x<—,即0<sin

13

因?yàn)閍>0,所以0Vasin~^a9所以2—2aWg(x)W2——

22

所以g(%)的值域?yàn)?-2a,2-■—,

乙

因?yàn)榇嬖谑ⅰ┠?』，使得/a)=g(%)成立，所以[0』c2-2a,2--l-/0,

若[0,l]c2—2a,2---=0,則2—^―<0或2—2a>0,此時(shí)a<一或a>—,

LJL2J223

所以當(dāng)[0,l]c2-2a,2--時(shí)，。的取值范圍是：-<a<-.

23

14

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

11.【答案】其1

9

22

【詳解】設(shè)。(％,%)，因?yàn)闋t+?=1仔》0),可得5C=2且年+?=1,

所以梯形ABCZ)的面積為S=^(2+2x0)xy0=(x0+l)y0,

1_11_1_1

則S(Xo+1)%，所以S?(%+1)2￥(X0+1)2(4—4x；)，

令g(x)=(x+l)2(4—4x>,可得gf(x)=-8(X+1)2(2X-1),

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)寸，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

i<iA?7

所以當(dāng)X=5時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為g(x)max=8匕)=彳，

即臼=述

(sA11n9

12.【答案】①②③

【詳解】①由定義知：—L<x—{x}〈L，所以0<|x—{x}|<J，即/(%)=上一"}|的值域?yàn)?,1；

故①對；

②因?yàn)椤ㄗ笠?)=上一%—{左一閶=卜了—{—x}|=/(—x),所以函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線

%=：(左62)對稱；故②對；

③因?yàn)?(x+l)=|x+l—{%+4|=卜—{x}|=/(x),所以函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1；

故③對；

④當(dāng)x=—工時(shí)，m=|=^；

2V2；2

故④錯(cuò).

故答案為：①②③

二、選擇題：

13.【答案】C

【解析】由"2<1。瓦2，，，得由1<由1，得［l皿og,<2><0?；騦ogQlog…或

0<〃<1、、

0>log?>logZ?,即<或或Ovbvavl,由2">2">2，得故

22b7>l

“l(fā)og.2<log,2”是“2。>2人>2”的必要不充分條件，故選C.

14.【答案】A

【解析】/（￡）=sin|X+kinx|的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?（一%）=sin卜乂+,11（一%）|=sin|x|+|sinx|=/（x）,

故/（x）為偶函數(shù),結(jié)論①正確,當(dāng)％￡［2日,（2%+1）兀］,kwN*,

/（x）=sinx+sinx=2sinx

當(dāng)xw（（2左+1）兀,（2左+2）兀］，攵￡N*,/（x）=sinx-sinx=O

2sinx,xG［2左兀,（2左+1）兀］,左￡N"

故當(dāng)工20時(shí)，/（%）=<

0,x￡（（2左+1）兀,（2左+2）兀］，女eN*

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，作出大致圖像，如圖所示

Rx）=sin（x）+sin（x）

、Gr\/

^Ox2xX

故函數(shù)的最大值為2,結(jié)論②正確，

根據(jù)圖像可得，〃力在［-兀,兀］

有3個(gè)零點(diǎn)，故結(jié)論③錯(cuò)誤，由圖象可以

看出，/（X）在區(qū)間［方，兀］單調(diào)遞減，結(jié)論④正確.故選：A.

15.【答案】B

【解析】空間中到直線的距離為出的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

柱面，它和面a相交得一橢圓，所以P在a內(nèi)的軌跡為

一個(gè)橢圓，。為橢圓的中心，b=?a=------二2，

sin60°

則c=l,于是AB為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角，在短軸的端點(diǎn)取得最大,

故為60°.故選B.

16.【答案】B

2,n<5

【解析】a=<〃￡N',即％=4=%==%=2,

n…冊-1一1,〃26

a6=qg/…1=2,—1=31,

1+。"+1

〃26時(shí)，T=1+4，4。2…％=1+4+1，兩式相除可得%,則

1+4

4=。"+1-4+1，"26,

由a；=%—4+1，4=/—%+L,,,，說=。尢+]—%+L左25,可得

+dj+...+a：=4+]—4+k—5

a；+說+…+a；=20+。左+1—&+左一5=4+i+左一16,且+%+i，

正整數(shù)人（左25）時(shí)，要使得a；+a：+…+a；=…以成立，則4+i+左一16=a左十1+1,則上二17,

故選:B.

三、解答題:

6

17.【詳解】（1）由題設(shè)知百=——cos%—sina，方=(-cos6r,-sincr)

5

6-costz)+(-sintz)2=一tcosa+cos2a+sin2a

所以西=——cosa

5

▲osa+1

5

因?yàn)閏osa=3，所以西?用=0.故百_LA0.

6

2

（2）因?yàn)閨西日所卜所以|麗『=|所『，即（cosa-^

+si.n2a=cos2or+si?n2a,

3

解得cosa=y.

兀424

因?yàn)?＜。＜一,所以sina=—.因此sin2a=2sinacosa=一，

2525

cos2a=2cos2。-1=一-—

25

從而?(rJ、6.-叵、叵246(7)17A/2

I4j22225225J50

18.【詳解】

（1）連接與DG交于點(diǎn)尸，連接EF；

因?yàn)镋為5c的中點(diǎn)，/為DG的中點(diǎn).

所以，EF//BDX

又EFu平面CXDE,BD]<z平面C.DE.

所以8?！ㄆ矫鍳DE.

（2）由于點(diǎn)尸到平面A5D的距離為1,

故三棱錐A-的的體積匕_B?F".=3加4=*-221=|.

19.【詳解】（1）由題意可知，月處理成本y（元）與月處理量1（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

y=1x2-200%+80000（400<%<600）,

所以，每噸二氧化碳的平均處理成本為工=+幽^-200,

x2x

由基本不等式可得上2?竺52-200=200（元），

xV2x

當(dāng)且僅當(dāng)工工=幽^時(shí)，即當(dāng)x=400時(shí)，等號成立，

2%

因此，該單位每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低；

⑵令/（x）=100x—卜2_200%+8000（）］=-1x2+300x-80000=-1（x-300）2-35000

400<x<600,函數(shù)/（尤）在區(qū)間［400,600］上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=400時(shí)，函數(shù)“X）取得最大值，即/（x）1mx=/（400）=-40000.

所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補(bǔ)貼40000元才能使該單位不虧損.

20.【詳解】（1）依題意，得q=2,e=￡=W，

a2

c=yfi,b=-3=1?

2

故橢圓C的方程為土+y2=i.

4

（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)〃（七,%）川（毛,-%）,設(shè)％>0,

由于點(diǎn)河在橢圓。上，所以才=1-

由T（—2,0）,則俞=（%+2,%）,麗=（石+2,—%）,

.-.TM-7N=（x1+2,yI）-（xl+2,-y1）

（2、

=（西+2）——y；=（玉+2『一1-^-

?

由于一2<石<2,

Q13

故當(dāng)再二一g時(shí),7M,7N的最小值為一不，所以弘=《，故”

13

又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到戶9=一.

25

,,13

故圓T的方程為：（x+2）2+y2=z

（3）設(shè)P（%,%），則直線MP的方程為：y—%=三』

X。一玉

令…，得3g同理…二包山

%-X%+%

2222

故XRF=~%2-，X

y0-%

又點(diǎn)M與點(diǎn)p在橢圓上，

故X02=4（1—y；）,#=4（l—弁），代入上式得:

1fB%?-4(1一"1^=4，

XR-XS=22

%一%%一%

所以I。氏|?IQS|=|4|k|=上?%|=4