圖形的相似 知識(shí)歸納與題型突破（十一類題型清單） （原卷版）-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記（北師版）

第四章圖形的相似知識(shí)歸納與題型突破(十一類題型清單)

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、相似圖形及比例線段

1.相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).

要點(diǎn)：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等;

2.相似多邊形

如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形.

要點(diǎn)：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).

（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.

3.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:斥c:d,

我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

要點(diǎn)：（1）若a:b=c:d,則ad=6c；（d也叫第四比例項(xiàng)）

（2）若a:b=b:c,則8*=ac（6稱為a、c的比例中項(xiàng)）.

4.平行線分線段成比例：

基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

二、相似三角形

1.相似三角形的判定：

判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而

言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

判定方法（三）：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊

的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.

判定方法（四）：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)：

ci）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；

（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；

相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

要點(diǎn)：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

3.相似多邊形的性質(zhì)：

（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比.

（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方.

三、位似

1.位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

2.位似圖形的性質(zhì)：

（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等

于相似比；（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.

要點(diǎn)：

（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)

為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

03題型歸納

題型一成比例線段比例的性質(zhì)

例題

1.下列四組長(zhǎng)度的線段中，是成比例線段的是（）

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm，5cm，8cm

C.3cm，5cm,9cm,15cmD.1cm,3cm，4cm,8cm

鞏固訓(xùn)練

2.下列四組線段中,是成比例線段的一組是（)

A.a=l,b=2,c=3,d=4B.a=l,b=^2,c=^3,d=y/6

C.a=5,Z?=6,c=7,d=8D.a=4,Z7=6,c=6,d=8

若號(hào)=3,則下列式子不正確的是

3.()

b3

b3「a+b5aba2

A.B.------二一C.D.

a2b323a-b3

322a+b

4.若±=3,則的值為.

ab2a-b

x-2y3x

5.若V則［

y-x

6.若3=營(yíng)=京，且x+2y-2z=-l,貝丹+3〉一32的值為.

3810

題型二黃金分割

例題

7.如圖，點(diǎn)P是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且尸3,若AB=2,則上4的長(zhǎng)度是（

APB

A.75-1B.3-下C.2百-4D.1

鞏固訓(xùn)練

8.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB=16,則AP=

9.已知點(diǎn)尸是線段A2的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,如果AP=?-1,那么42

10.已知，點(diǎn)P、Q是線段A3的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，若AB=8,則PQ的長(zhǎng)是

11.點(diǎn)P是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且則下列等式不成立的是（）

PBA/5-IAPV5-1

A.B.

AP2AB2

C.AP2^ABBPD.AB2=AP2+PB2

題型三平行線分線段成比例

例題

12.如圖，DE//BC,AD:DB=2:3,EC=6,則AE的長(zhǎng)是（）

A

鞏固訓(xùn)練

13.如圖，已知AB//CD,AO=2,3O=3,CO=6,那么。。=()

14.已知，如圖，點(diǎn)。、尸和￡\6分別在丫43。的邊48、4。上,且?！辍ㄒ馈?,若"):￡＞尸:必=1:2:3,

則DE.FG-.BC=.

15.如圖，直線?！?2〃，3，直線AC和。尸被4，4，4所截，如果AB=EF=3,3C=2,則DE的長(zhǎng)

是.

16.如圖，11//12//13,AB=2,AC=5,DF=7.5,則￡>E=

例題

17.如圖，點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，。暇〃AB交AD于點(diǎn)若QH=3,3c=10,則

的長(zhǎng)為____________.

鞏固訓(xùn)練

18.如圖，已知VABC為等腰三角形，S.AB=AC,延長(zhǎng)A3至，使得A5：BD=rrtn,連接CO,E是BC

邊上的中點(diǎn)，連接AE,并延長(zhǎng)AE交CD與點(diǎn)尸，連接所，則3F：FD=.

19.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是4。的中點(diǎn)，尸是射線3E上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合），且NAT>F=45。,

則BF的長(zhǎng)為.

題型五相似多邊形

例題

20.下列說法中正確的是（）

A.各角分別相等的兩個(gè)多邊形一定是相似多邊形

B.各邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

C.邊數(shù)相同的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

D.邊數(shù)相同、各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

鞏固訓(xùn)練

21.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.全等圖形一定是相似圖形B.兩面大小不等的標(biāo)準(zhǔn)國(guó)旗一定相似

C.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似D.兩個(gè)直角三角形一定相似

22.五邊形ABCDEs五邊形AEC'D'E',相似比為1：3,若AB=2,則AZ'=

23.兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1:4,則它們的對(duì)應(yīng)邊之比為（）

A.1；5/2B.1:2C.1:4D.1:8

24.如圖，取一張長(zhǎng)為“，寬為b的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與

原矩形紙片相似，則4?=

a

題型六相似三角形的判定

例題

25.如圖，下列條件中，不能判定.5c的是（）

rACAD

A.ZADC=ZACBB.ZB=ZACDC.—=——D.----=-----

BCACABAC

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26.VABC和.AB'C'符合下列條件，其中使VABC與qAB'C'不相似的是（）

A.ZA=ZA'=45°,ZB=26°,ZB'=109°

B.AB=l,AC=1.5,BC=2,AB'=12,AC=8,B'C=16

153

C.NA=/B',AB^l.5,AC=—,A'B'=-,B'C'=2.1

142

D.BC=a,AC=b,AB=c,B'C=-Ja,A'C=4b,A'B'=

27.如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中VABC相似的是（）

的是（）

D

A.AC2=BC-CDB.ZDAC=ZABCC.C4平分/BCDD.—=—

ABAC

29.如圖，若要=娶=加，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得△MCSACB。，你添加的條件是_____.（寫

BCBD

出一個(gè)即可）

30.如圖，不等長(zhǎng)的兩條對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，且將四邊形A3。分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形.若

絲;2,則甲、乙、丙、丁這4個(gè)三角形中，一定相似的有.

題型七相似三角形的性質(zhì)

例題

31.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比是4:9,那么它們的周長(zhǎng)之比等于.

鞏固訓(xùn)練

32.若兩個(gè)相似三角形的面積比為1:3,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為.

33.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9,那么這兩個(gè)三角形一組對(duì)邊上的中線之比為—

34.已知VABC的三邊長(zhǎng)分別為2、3、4,必F與VABC相似，且周長(zhǎng)為54,那么3所的最短邊

的長(zhǎng)是.

35.如圖，已知點(diǎn)￡＞、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且相似比為1:3,AGLBC交DE于點(diǎn)

F,貝I|AP:AG=

A

題型八相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

例題

AF）1

36.如圖，D,￡兩點(diǎn)分別在丫48。的邊4民4^上，＞ZADE=ZC,—若VADE的面積是3,則

ACL

四邊形8CED的面積是（）

A.6B.9C.12D.15

鞏固訓(xùn)練

37.如圖，四邊形DBCE中，DE//BC,若Se。。：SBOC=1：9,則OROE=

38.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,點(diǎn)E/分別在邊AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于點(diǎn)、G,

若G是歷的中點(diǎn)，則線段3G的長(zhǎng)度是（）

以電四

A.石cmB.mC.D.^/13cm

33

39.如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=90°,AC,3。為對(duì)角線，若AB=AC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,

則AADC的面積為

A

D

/

BC

題型九利用相似三角形的判定測(cè)高

例題

40.小明和他的同學(xué)在太陽(yáng)下行走，小明身高1.4米，他的影長(zhǎng)為1.75米，他同學(xué)的身高為1.6米，則此時(shí)他

的同學(xué)的影長(zhǎng)為米.

鞏固訓(xùn)練

41.學(xué)校教學(xué)樓前面有一根高是4.2米的旗桿，在某時(shí)刻太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)是6.3米，與此同時(shí)，在旗桿

周邊的一棵大樹在地面上投影出的影子長(zhǎng)是9米，則此大樹的高度是（）

A.4.8米B.8.4米C.6米D.9米

42.如圖，曉波拿著一根筆直的小棍2C,站在距某建筑物約30米的點(diǎn)N處（即EN=30米），把手臂向

前伸直且讓小棍豎直，BC//DE,曉波看到點(diǎn)B和建筑物頂端。在一條直線上，點(diǎn)C和底端￡在一條

直線上.已知曉波的臂長(zhǎng)CM約為60厘米，小棍2C的長(zhǎng)為24厘米，ANYEN,CMLAN,DEIEN.求

這個(gè)建筑物的高度DE.

43.如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽(yáng)日月島上“生態(tài)守護(hù)者——徐秀娟”雕像的高度AB,于是，他們帶著測(cè)

量工具來(lái)到雕像前進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點(diǎn)C沿3C后退，

當(dāng)退行0.9米到E處時(shí),恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像,此時(shí)測(cè)得蘇海眼睛到地面的距離DE為1.2米；

然后，蘇海沿的延長(zhǎng)線繼續(xù)后退到點(diǎn)G,用測(cè)傾器測(cè)得雕像的頂端A的仰角為45。，此時(shí)，測(cè)得EG=2.1

米，測(cè)傾器的高度/G=1.2米.已知點(diǎn)8、C、E、G在同一水平直線上，且A3、DE、FG均垂直于5G,

求雕像的高度A3.

BCEG

題型十圖形的位似

例題

44.如圖，VABC與QEF是位似圖形，且位似中心為O,OBDE=23,若.。砂的面積為9,則VA3C的

面積為().

E

A.4B.6C.8D.9

鞏固訓(xùn)練

45.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)矩形OEFG和矩形A3。是位似圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)C和尸的坐標(biāo)分別為

(-4,4),(2,1),則位似中心的坐標(biāo)是()

A.(0,2)B.(0,2.5)C.(0,3)D.(0,4)

46.如圖，VABC中A、8兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,0),以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下

方作VABC的位似圖形一AB'C',且與VABC的位似比為2:1.設(shè)點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9的橫坐標(biāo)是°,則

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是()

A1

A.—aB.—(a+1)C.—(Q—1)D.—(a+3)

2222

47.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E(T,2)，W-2,-2),以原點(diǎn)。為位似中心，相似比為;，把△E/O縮小,

則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(—8,4)

C.(-8,4)或(8,T)D.(-2,1)或(2,-1)

48.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VA3C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(4,4),C(6,0).

(1)以原點(diǎn)。為位似中心，畫一AB'C,使它與VABC的相似比為1:2,變換后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A、

B',點(diǎn)3'在第一象限;

(2)若P(a,6)為線段8C上的任一點(diǎn)，則變換后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為

題型十一解答綜合題

例題

49.如圖，在VABC中，AB^AC,AG:AD^AF:AB,EGCD,求證：AF=AE.

鞏固訓(xùn)練

50.如圖，在VABC中，AB=6,BC=5,AC=4.

B

(1)尺規(guī)作圖：作菱形AD￡F,使