2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2.1基本不等式的證明課后素養(yǎng)落實(shí)含解析蘇教版必修第一冊(cè)

課后素養(yǎng)落實(shí)(十)基本不等式的證明(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)D[a<0，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯(cuò)；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B錯(cuò)；a＝4，b＝16，則eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確．]2．(多選題)已知a>0，b>0，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 B．a(chǎn)b≤eq\f(a2＋b2,2)C．eq\f(1,ab)≥eq\f(2,a2＋b2) D．eq\f(1,ab)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2ABC[由基本不等式知A、C正確，由重要不等式知B正確，由eq\f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴eq\f(1,ab)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2.]3．若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2D[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立．]4．若0<a<b且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A．eq\f(1,2) B．a(chǎn)2＋b2C．2ab D．a(chǎn)B[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,2).a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2).∴a2＋b2最大．]5．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4B[∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時(shí)取等號(hào)．故選B.]二、填空題6．已知a>b>c，則eq\r(a－bb－c)與eq\f(a－c,2)的大小關(guān)系是________．eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)[∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2).]7．某工廠第一年的產(chǎn)量為A，其次年的增長率為a，第三年的增長率為b，則這兩年的平均增長率x與增長率的平均值eq\f(a＋b,2)的大小關(guān)系為________．x≤eq\f(a＋b,2)[用兩種方法求出第三年的產(chǎn)量分別為A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，則有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．]8．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________，最小值為________．3624[f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))(x>0，a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)f(x)取得最小值4eq\r(a)，由已知x＝3時(shí)，f(x)min＝4eq\r(a)，∴eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36，f(x)min＝24.]三、解答題9．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．[解](a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝(a－b＋b－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋1＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c).∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)取等號(hào)，∴(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值為4.10．已知a，b，c為正數(shù)，求證：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.[證明]左邊＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3.∵a，b，c為正數(shù)，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”)；eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取“＝”)；eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取“＝”)．從而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào))．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，即eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.1．(多選題)下列函數(shù)中，最小值是2eq\r(2)的有()A．y＝x＋eq\f(2,x) B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4 D．y＝ex＋2e－xBD[A.x<0時(shí)，y<0，無最小值．B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)，正確．C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4≥2eq\r(x2＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2＋4))))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋4＝eq\f(2,x2＋4)時(shí)，等號(hào)成立，明顯不行能取到，故選項(xiàng)C不正確；D．y＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝lneq\r(2)時(shí)取等號(hào)，正確．]2．已知a>b>1且b＝eq\r(a)，則a＋eq\f(1,b2－1)的最小值為()A．3 B．4C．5 D．6A[因?yàn)閍>b>1且b＝eq\r(a)，所以a＋eq\f(1,b2－1)＝a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(1,a－1)即a＝2時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)最小值為3.]3．若實(shí)數(shù)a，b滿意eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為________．2eq\r(2)[因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a>0，b>0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))，所以ab的最小值為2eq\r(2).]4．已知a，b是正實(shí)數(shù)，且a＋2b－3ab＝0，則ab的最小值是________，a＋b的最小值是________．eq\f(8,9)1＋eq\f(2\r(2),3)[①因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，且a＋2b－3ab＝0，所以3ab＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),3)或eq\r(ab)≤0(舍)，所以ab≥eq\f(8,9)，所以ab的最小值為eq\f(8,9)；②由a，b是正實(shí)數(shù)，且a＋2b－3ab＝0，可得eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(2,a)))＝1，所以a＋b＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(2,a)))(a＋b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(a,b)＋\f(2b,a)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(a,b)·\f(2b,a))))＝1＋eq\f(2\r(2),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(2b,a)，即a＝eq\f(2＋\r(2),3)，b＝eq\f(\r(2)＋1,3)，所以a＋b的最小值為1＋eq\f(2\r(2),3).]若0<x<eq\