專題63等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考浙江）（練）

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新高考·浙江）第六章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.2．（2021·山東濟(jì)南市·）已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意列方程，解出和q即可.【詳解】解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．則＝＝8．故選：C．3．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．4．（2020·安徽黃山?高一期末）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，該女子第二天織布多少尺？()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，該女子每天所織布的長度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，由題意可得，解得，所以第二天織的布為.故選B5．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））等比數(shù)列公比為2，，則________.【答案】【解析】根據(jù)，采用整體的思想計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?6．（2021·全國高三其他模擬（理））設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則_____．【答案】64．【解析】根據(jù)，可得，即可求得等比數(shù)列公比q，代入求和公式，可得首項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的共比為q（），由，得，即．所以，解得或（舍去），又，所以，解得，所以．故答案為：64．7．（2017全國卷3理）設(shè)等比數(shù)列滿足，，則___________．【答案】【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為．，即，顯然，，得，即，代入式可得，所以．8．（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．9.（2018·全國高考真題（文））等比數(shù)列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項(xiàng)和．若Sm【答案】（1）an=(-2)（2）m=6.【解析】（1）設(shè){an}的公比為q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(-2)（2）若an=(-2)n-1，則Sn若an=2n-1，則Sn=2綜上，m=6．10．（2020·海南省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由于：，故：.【提升能力】1．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由可得出，取，由，進(jìn)而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.2．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯(lián)考)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，結(jié)合可得：，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：.本題選擇B選項(xiàng).3．（2021·浙江紹興市·高三三模）已知數(shù)列，滿足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】根據(jù)可知數(shù)列為等比數(shù)列，將代入后將其變形可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可解得；將，代入即可解出答案.【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以.，,所以數(shù)列為以3為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以..故選：C.4．（2021·浙江紹興市·高三二模）若公比為的無窮等比數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，則（）A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值1 D．有最小值2【答案】B【解析】由題得，得到，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閷τ谌我庹麛?shù)，都存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)?所以有最大值.故選：B5．（2021·浙江金華市·高三其他模擬）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【解析】首先討論數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，再以零點(diǎn)分解，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)，，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故答案為：6．（2021·廣西高三其他模擬（文））若等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】根據(jù)，可建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，計(jì)算出首項(xiàng)和公比后即可計(jì)算出．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由；得①，又，得②，聯(lián)立①②得，即，解得，將代入①得，所以．故答案為：．7．（2021·山西高三三模（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意列出方程組，然后求得，進(jìn)而結(jié)合通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，又由，，得，解得，則.故答案為：.8．（2021·全國高三其他模擬（理））若在前項(xiàng)和為的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________________．【答案】或【解析】利用給定條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的意義列式求出公比q即可作答.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，無解；若，則，而q及a1均不為0，則有或，解得或，解，無解，所以或.故答案為：或9．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列，，滿足，，，，成等差數(shù)列．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由已知得，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，由等比數(shù)列的定義即可證是等比數(shù)列；（2）由（1）得，寫出通項(xiàng)，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求.【詳解】（1）證明：由數(shù)列，，滿足，，∴，由，，成等差數(shù)列，則有，整理得（常數(shù)），∴數(shù)列：以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知：，∴，∴．10．（2021·浙江溫州市·高三其他模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且數(shù)列滿足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）通過因式分解可得，由累乘法可得的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）設(shè)，題意即求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，得，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即，累乘得，，又也滿足上式故的通項(xiàng)由己知，得，又，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）設(shè)則的前項(xiàng)和即為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)為，則∴兩式相減得：∴.【拓展思維】1．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第行共有個數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第行的數(shù)字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列，即可求出；【詳解】解：“數(shù)塔”的第行共有個數(shù)，其和為，所以前行的和為故前行所有數(shù)學(xué)之和為，因此只需要加上第10行的前3個數(shù)字1,2,4，其和為，易知“數(shù)塔”前行共有個數(shù)，所以故選：C2．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意，函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【解析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可以判定函數(shù)為唯一零點(diǎn)的橫坐標(biāo)必然為0，進(jìn)而得到數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系式，利用作差法消和得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，結(jié)合首項(xiàng)的求解結(jié)果，可以判定此數(shù)列是等比數(shù)列，然后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)和二次函數(shù)的對稱性，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱可知這個公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是0，（否則公共點(diǎn)則成對出現(xiàn)），即,取得,s所以,當(dāng)時得到,,即,∴數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴,故答案為：.3．（2020·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一期末）已知數(shù)列滿足遞推公式.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________，的最小值是__________.【答案】；【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以；所以，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，；所以的最小值是.故答案為：；.4．（2021·沈陽市·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___．【答案】【解析】由給定條件借助消去，求出即可得解.【詳解】因，，而，則，于是得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而有，即，，時，，而滿足上式，所以，.故答案為：5．（2019·浙江高三期末）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，Ⅰ求通項(xiàng)公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】Ⅰ，當(dāng)時，，得，又，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．6．（2021·河北衡水中學(xué)高三三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使為等比數(shù)列？若存在，求出，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）將代入，由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，并檢驗(yàn)當(dāng)時是否滿足，即可得到結(jié)果；（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)，滿足題意，結(jié)合已知條件求出滿足數(shù)列是等比數(shù)列的實(shí)數(shù)，的值，運(yùn)用分組求和法求出的值.【詳解】（1）由題可知：當(dāng)時有：，當(dāng)時，，又滿足上式，故.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，滿足題意，則當(dāng)時，由題可得：，和題設(shè)對比系數(shù)可得：，，.此時，，故存在，使得是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.從而.所以.7．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數(shù)列，滿足，，設(shè)，（為實(shí)數(shù)）．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，變形為，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（3）根據(jù)是遞增數(shù)列，由,恒成立求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以是等比?shù)列．（2）由，公比為2，得，所以．（3）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以成立，故，成立，即，成立，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以該數(shù)列的最大項(xiàng)是，所以的取值范圍是．8．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達(dá)式，并歸納出的表達(dá)式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由數(shù)陣寫出，，，由此可歸納出.（II），利用錯位相減法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.9．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求的前2n項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，兩式相除可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，再由（1）可得數(shù)列的前2n項(xiàng)的和.【詳解】（1）由，，得，所以.因?yàn)椋?，所以?又當(dāng)時，，適合上式.所以，.（2）因?yàn)?，，所以，又，所?所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列的前2n項(xiàng)的和，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.10.（2021·浙江高三