平面向量的數(shù)量積常考題型歸類（考題猜想10題型）

專題03平面向量的數(shù)量積

型大裳合

___________

八、數(shù)量積與向量垂直關(guān)系~~、

三、基底法求向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積

四、向量的投影求解九、向量數(shù)量積的最值與范圍

五、利用數(shù)量積求向量夾角十、向量的新定義問(wèn)題

駁型大通關(guān)

?

向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.（2324高一下?河南周口?月考）設(shè)向量￡,石的夾角的余弦值為一，同=2,慟=3,則（2辦3到0=

()

A.23B.23C.27D.27

【答案】B

【解析】設(shè)2與B的夾角為。，則cos”-5

又問(wèn)=2,忖=3,所以a.B=k「Wcosd=2x3x

所以(2Z+3萬(wàn))％=223+3/=-4+27=23.故選：B.

2.（2324高一下?廣東東莞?月考）對(duì)任意向量方石忑，下列向量運(yùn)算一定成立的是（）

A.若聲=廬，貝B.（a-b\c=a-（b-c]

C.若無(wú)B=則D.（a+b^a-b）=a2-b2

【答案】D

【解析】例如且=（1,0）/=（一1,。）忑=（0,1）,可知42=斤=1,但口力方，故A錯(cuò)誤;

可知（西/"=3=（0,—1）,無(wú)（5句=0汗=。，即伍旬10如（53,故B錯(cuò)誤；

例如商=（l,O）,B=（O,l）,1=（一1,0）,可知無(wú)B=B.^=O，但Mwl,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：由數(shù)量積的運(yùn)算律可得,+可?（日-q=/-52,故D正確；故選：D.

3.（2324高一下.四川成者小期中）以下等式錯(cuò)誤的是（）

A.（m+H）?（m—n^=fn2—n2B.（m+n）2=m2+2m-n+fi2

C.|m+n||m-n|=|m2—n21D.（m-n）2=m2-2m-n+n2

【答案】C

【解析】對(duì)于A,（羽+力）?（比一為）=慶？一慶?萬(wàn)+慶?萬(wàn)一萬(wàn)2=慶2一萬(wàn)2正確；

對(duì)于B,（m+n）2=（m+H）-（m+n）=m2+m-n+n-m+n2=rn2+2m-n+n2,正確；

對(duì)于C,設(shè)慶=（1,1）,萬(wàn)=（-1）,則訪+為=（2,0）,玩—方=（O,—2）,

所以惘+司=2,|成一臼=2,貝（J忸+為幀_司=4,而行2=12+12=2,而之=仔+（一爐=2,

所以怔—砌=。，貝”慶+司同一同w同一同，錯(cuò)誤；

對(duì)于D,（初一訊）2=（玩一為）.（玩一而）=病一玩力一亢玩+五2=玩2-2玩?為+為2,正確.故選：C

4.（2324高一下.安徽?月考）（多選）下列關(guān)于平面向量的運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（）

A.伍+5）+卜+1）=（萬(wàn)+3+（5+3）

B.（五-B）?*=b-（a-c）

C.（文?B）?^=5?（H）

D.若,則B=

【答案】BCD

【解析】因?yàn)椋ㄎ?5）+1+，）=（萬(wàn)+不）+（5+1）,故A正確；

因?yàn)?一可e二歷^一5忑，b{a-c）=a-b-bc,a-c-b-ca-b-b-c故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閮H石卜表示與^共線的向量，瓦他⑹表示與B共線的向量，

而］與B不一定共線，且倒歸”與石伍⑹不一定相等，故C錯(cuò)誤；

若@=0,且商1=則5與才是任意向量，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.

5.（2324高一下?江西?月考）（多選）已知乙石忑是三個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若=B貝！J4=B

B.若卜+可=卜一可，則商工B

C.若K一同=同+呵,則C〃石

D.若G//E,則（萬(wàn)方六二??，日

【答案】BCD

【解析】A：由必［=兀3,所以同cos伍4='|cos（瓦?,不一定有a=5,故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)椴?0=,一W，所以卜+B『=忖一5『，gpar+la-b+b2=az-2a-b+b2.

得d.5=。,所以五工B，故B正確；

C：因?yàn)镵_同=同+忖，所以，_q=（|^|+|/?|）2,即。2—2。Z+萬(wàn)2=左2+2同W+7,

得cos?=T,故一與方反向,所以商〃5,故C正確：

D：因?yàn)榉健ㄈ怂源嬖趯?shí)數(shù)X,使得江=斯，

此時(shí),加卜=（2。5,=彳卜,方）己（5］"=（方］）衣=彳（濟(jì)5斤，

即（灑5卜=（5下”，故D正確.故選：BCD.

坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積

1.(1213高一上?黑龍江牡丹江?期末)已知Z=(1,1),3=(2,5),工=(3,x),若(8￡-3>"=30,貝口=()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)閆=(l,l)石=(2,5),"=(3,幻,所以“―1=(8,8)—(2,5)=(6,3),

又(8〃-B)?c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.故選：C.

2.(2324高一下?重慶?期中)已知向量4=(2,〃)，5=(—1,2),5=(n,n),若口〃石，則無(wú)(2方+h=()

A.-12B.24C.-24D.12

【答案】A

【解析】因?yàn)?〃B，故2X2-(T)X”=0,故〃=—4,故Z=(2,T),"=(T,-4),

5.(25+5)=(2,-4).(2x(-1,2)+(-4,-4))=(2,-4)-(-6,0)=-12A

3.（2324高一下.江蘇?月考）在AABC中，滿足A5=3,BC=4,AC=5,則恁.而=.

【答案】16

【解析】在AABC中，由AB=3,BC=4,AC=5,AB1+BC2=AC2,所以44BC為直角三角形,

以B為原點(diǎn)，以所在的直線分別為羽y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則B(0,0),C(4,0),A(0,3),可得尼=(4,一3),南=(4,0),

所以前?居=4x4+(-3)x0=16.

4.（2324高一下?江蘇南通?期中）在矩形ABCQ中，已知AB=4,4）=2,點(diǎn)尸在C。邊上，滿足

UUU1UUU___________

AP-AB=6，則福?麗=（）

【答案】C

【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，A（0,0）,B（4,0）,C（4,2）,D（0,2）,

設(shè)尸（x,2）,（04x44）,則Q=（x,2）,通=（4,0）,

ULU1UUU13

所以APAB=4x=6，得x=m，

所以Q=g,2）,而［-

—.—151

所以”加=-二+4=:.故選：C.

44

5.（2324高一下?甘肅天水?期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。中，M,N分別為線段8C,OC上的

7T

點(diǎn)，且MN=2,ZCNM=-,則赤.而的值為.

【答案】32-8A/2

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

TT

由于MV=2,ZCNM=-,

4

所以MN=y/2NC=y[2MC,MC=NC=&,

故M,,4_夜),N(4-&,4),W=(4,4-A/2),M=(4-V2,4),

三.基底法求向量的數(shù)量積

1.（2324高一下?天津?月考）在平行四邊形A3CD中，AB=2,AD=\,/」RW=60。，點(diǎn)E在CD上，滿

足配=3麻，^\AC-BE=.

、41

【答案】一丁―J

【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BC。中，AB=2,AD=1,NS4D=60。，點(diǎn)E在。。上，滿足詼=3詼，

所以荏.而=|麗,而卜os60°=2xlxg=l,AC=AB+AD，

__,__.__2__.__.9__?

BE=BC-^-CEk=ADk+-CD=AD——AB,

33

所以就領(lǐng)=（市+蒞）?（而函=ABAD-^AB2+AD-^ABAb

224

=1——x4+l——xl=——，

333

DEC

2.（2324高一下?江蘇南京?期中）在平行四邊形ABC。中，AB=3,AD=4,ABAD=6,DC=3DM,則

MAMB=()

A.12B.16C.14D.10

【答案】A

i____.__.2_______.__.

【解析】MA=DA-DM=-AD--AB,MB=MC+CB=-AB-Al5,

33

—?—?(—?1—A(2—?—2—?—?—a2—d1—?—?

所以+4￡)-14葉］§48-40)=-§40.42+40--AB+-ADAB

=--AD-AB+AZ)2--AB2=--x6+16--x9=-2+16-2=12,^^：A,

3939

3.（2324搞一下?四川南充?月考）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中，而=2覺(jué)，麗=4礪，則

AEAC^（）

A

【答案】C

-.1-.—?9―?

【解析】由題意知3石=工3。，AD=-AC,

-|1o1Q1

則衣=通+麗=南+］麗=通+彳網(wǎng)+畫(huà)=1荏+］蒞=1通+不正，

―.―.(3—?1—A—.3—?—?1->231c39

所以AE-AC=一A3+—AC-AC=—AB-AC+—AC=-x3x3xcos600+-x32=—.^：C.

［46)46468

TT

4.（2324高一下.江西景德鎮(zhèn).期中）如圖，在平面四邊形A3CQ中,ABJ.BC,AD±CD,NBCD=—

3

CB=CD=273.若點(diǎn)"為邊BC上的中點(diǎn)，則蘇.麗的值為（)

B.6C.8D.12

4

【答案】B

【解析】由ADLCD,得羽灰=0,正鉆=0,

由CB=CD=2^?得瓦-6=|麗||麗kosg=2若x2-xg=6,

BAW=^-CB+CD+yCD=-CBO5+CD2+CI>DA=~6+n=6,

MA=MB+BA=-CB+BA,MD=MC+CD=--CB+CD,

22

|CB+BA^-1CB+

所以耐?汨二=--CB+-CB-a)--CBBA+BA-CD

422

」xl2+4x6+6=6故選：B

42

L-?1—.

5.(2324高一下?安徽?月考)如圖所示，中，AB=AC=16,BC=16y/3,BD=-BC,

DE=^DA,則礪?醞=（）

A.-161B.-232C.-291D.-300

【答案】A

【解析】由題意，BE=BA+AE=BA+|AD=BA+|(BD-BA)=BA+|QBC-BA^=-^-AB+^BC

^AAB+L(AC-AB\=--AB+-AC,

416、)1616

CE=AE-AC=-A5-AC=-(B5-BA)-AC=-|-BC-BA|-AC=—BC--BA-AC

44、)4(4)164

-AB-AC=-AB--AC.

1616

在AABC中,由余弦定理得?osABAC=?+16=(16⑹1

2x16x162

913239--2

所以赤?屈二-工費(fèi)+2正.2起上63.AB+111AB.AC-——AC

16161616256256256

空139

-Wx*xl6xl6xxl62=-161.故選：A.

2562562256

四.向量的投影求解

1.（2324高一下?吉林長(zhǎng)春?期中）已知向量日與石的夾角為同=4,則不在方上的投影向量的模

為;

【答案】2

【解析】@在B上的投影向量的模為為同卜os（叫=4xcos1=2.

2.（2324高一下.云南?月考）已知向量2=（2,2）,a-b=4,則向量方在行方向上的投影向量的坐標(biāo)

為.

【答案】（U）

【解析】依題意，而|=在萬(wàn)=2夜,

。-?―?1―?

所以向量3在Z方向上的投影向量為亞=

3.(2324高一下.河北邢臺(tái)?期中)已知平面向量％=(1,0),B=(2,行)，則向量Z+分在B方向上的投影向量

為()

2_5_7f

A.bB.—bC.—bD.—b

333

【答案】C

【解析】平面向量Z=(1,0),B=(2,0),

Q+歷1=(3,2揚(yáng)<2,應(yīng))=3x2+20x忘=10,|年廳7說(shuō)7="，

所以向量Z+B在B上的投影向量為絲土處*?±=：九故選：c.

\b\\b\3

4.(2324高一下.江蘇連云港?期中)已知向量Z=(-2,2g)出=(1,6),貝州在￡方向上的填影回量為()

1一1f一一

A.—ciB.—aC.—bD.b

44

【答案】A

【解析】由Q=(―2,2b=(1,,得|a|二J(-2)2+(2A/§)2=b=—2x1+2\/3xy/3=4>

所以石在Z方向上的投影向量為警Z區(qū)故選：A

|a|24-4

5.(2324高一下?山東淄博?期中)已知。是AABC的外心，AB+AC=2AO,|OA|-|AB|,則向量方在向

量而上的投影向量為()

QUUU/?1B

A.-BCB.^-BCC.--BCD.上配

4444

【答案】C

【解析】由而+恁=2而，可知點(diǎn)。在8C的中點(diǎn)，且。是AABC的外心，

所以AB1AC,又因?yàn)閨方|=|而則ZB=60。，則COS(麗網(wǎng)=120。，

所以向量存在向量阮上的投影向量為網(wǎng)xcosl2(Tx贏=；｛-￡|而=一;而故選：c

五.利用數(shù)量積求向量夾角

1.（2324高一下.天津?月考）已知2=（2,-1）與石=。,-3）,它們的夾角為（）

A.90°B.45°或135°C.135°D.45°

【答案】D

八a-b2xl+(-l)x(-3)V2

【解析】設(shè)￡與石的夾角為則cos"麗

722+(-1)^^12+(-3)2

因?yàn)?。<。4180。，所以8=45。，故選：D

2.(2324高一下.河南?期中)在四邊形ABCD中，AD+2AB=AC,S.AB=1,AD=2,AC=2盤(pán),則

cos/CBD=（）

A.垣B,-C.好D.-

5555

【答案】B

【解析】???汨+2麗=/，.?.加=2順，則。C//AB且DC=2AB=2,

又AD=2,AC=25/2,所以AC?=4￡>2+￡^2,則AD_LDC,

所以四邊形A5CD為直角梯形，

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,ZM分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則8（1,2）,C（2,0）,0（0,0）,所以麗=（一1,一2）,BC=（1,-2）,

BDBC—1+43

所以cos/C&)==不故選:

^5x^5B.

3.（2324高一下?遼寧?期中）已知向量Z,b,c，滿足同:幃同=3:胱6（左eN*）,且12石=2色-"）,

若6為"的夾角，則cos?的值是（）

A,--B.立C.如D.--

8536

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?=2（石—c）,可得Z+2工=4萬(wàn)，

所以/+47+4初=16片，可得疝"=16片-二――

所以4間同8S6=同51一同2-4|c|2,可得cos。」6）4|[[4同，

不妨令同,W，同分別為3,太6且壯N*,

16汰2-9-4x3616左2一15372cos6>+153

所以cos6=,即42=

4x3x67216

因?yàn)閏os6e[-l,l]且keN*,經(jīng)檢驗(yàn)可得左=3,此時(shí)cosO=-已故選：A.

8

4.（2324高一下?安徽安慶?月考）已知平面內(nèi)非零向量d在向量石上的投影向量為-;且同=3問(wèn)，則

西與方夾角的余弦值為

【答案】

0

【解析】設(shè)H與石的夾角為。,

|^|-|5|cos0

a-bba-b一同cos6i_同cosei..

因?yàn)榇?口=/力r=,6=-/即^p=_］，又同=3忖,

網(wǎng)網(wǎng)出||5|2

則3cos6=——,即cos。=

26

5.（2324高一下?湖北?月考）已知向量，石忑滿足|=|B|=2,修|=2?,且M+B+乙=0，則

cos（a-c,b-c）=（）

433

A.——B.——C.-

544

【答案】D

【解析】因?yàn)樯?B+穌6,所以上力=」，所以,+方『=（-靖,

即同2+忖+2。石=同2,所以4+4+27B=8，即7B=0，

a+c=-b^(4+32H-5),|a|2+|c|2+2^-c=|fe|,即H=—4；

b+c=—a(5+E)=(—萬(wàn))，M+同+2b-c=\a\,B|J-c=-4;

(?—c)-^—cj=d'b-a-c—b-C+|C|2=0+4+4+8=16,

_{a-c)\b-c\

164

所以cos〈M-c,b-c)=------p~~I2.故選：D

口一1b-c\2^X2A/5

六.根據(jù)向量夾角求參數(shù)

1.（2324高一下?上海.月考）已知商=（1』）石=（2,加）,若日與B夾角為銳角，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍

為.

【答案】(—2,2)U(2,M)

【解析】已知4=(1,1)石=(2,⑼，

當(dāng)日〃3時(shí)，有〃？=2,此時(shí)商與B方向相同，

若少與B夾角為銳角，則小B>o且汗與石不同向,

f2+m>0,

即《，解得機(jī)>-2且機(jī)w2,

[m^2

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-2,2)"2,y).

2.(2324高一下?江蘇鹽城?期中)設(shè)Z=(x,3),5=(2,-1)且a,B的夾角為鈍角，實(shí)數(shù)尤的取值范圍

是.

【答案】(-S,-6)U(-6,||

【解析】因?yàn)樯谭降膴A角為鈍角，則無(wú)5<0且為方不共線,

j2x-3<03

可得[-%-6w0解得且xw-6,

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍是(-s,-6)U、6,1

3.(2324高一下?江蘇南京?月考)已知向量M=(-L-2),b=(1,X),若花，石的夾角為鈍角，則幾的取值范

圍是()

A.1一雙-JB.1一;,2卜(2,+8)

C.D.(2,+8)

【答案】B

【解析】因?yàn)?=(-1,-2),^=(1,2),a,方的夾角為鈍角，

-1-22<0

所以“1A,解得幾>一：，且彳關(guān)2,

——w—2

1-1-2

即彳的取值范圍是1;，2]“2,+s),故選：B

4.(2324高一下?浙江?期中)已知向量2=(-1,6),B=(私6),且Z與石的夾角為三.

(1)求加和忖一2q；

⑵若向量2+4與Z+2B所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

【答案】（1）租=1,0一2'=2g；（2）|^-1,2jU（2,+oo）.

【解析】（1）向量Z=（T,右），方=（私出），且日與石的夾角為三.

則）/=一加+3，同=2,忖=+3,

由萬(wàn)石=|aWcos；,有-加+3=J1+3,解得〃］=1,

所以苕-2石=卜3,-@,得卜-2M=2丘

（2）（2+幾5>（1+25）=萬(wàn)2+（2+彳）萬(wàn).5+2XF2=4+2（2+彳）+8彳=102+8,

4

由題意，10A+8>0A>——,

又乙+4〃=（―l++,a+2b=^1,3A/3j,

若Z+彳萬(wàn)與Z+2］共線，貝！J有34（-1+彳）=有+融，解得2=2,

此時(shí)Z+4與Z+2B同向平行，不合題意，

4

所以％>-1且4w2.

則實(shí)數(shù)力的取值范圍為1-。2）口（2,+8）.

5.（2324高一下.河南濮陽(yáng)?月考）已知向量:=（1,2）,5=（0,2）,向量"滿足且初/（2之+@.

⑴求2的坐標(biāo)；

（2）若"與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【答案】⑴（-2,1）；（2）［-右-￡|1-；，。）

【解析】（1）設(shè)"=（x,y）,貝U2Z+"=2（l,2）+（x,y）=（2+x,4+y）,

Xa±c,且初/（2Z+Z）,

\x+（x=

所以：2（22+y力=0。（4+疔解得0=—12,所以-I一2」）

（2）因?yàn)椤?4=（1，2）+九（。，2）=（1,2+2孫

因?yàn)?與Z+XB的夾角為鈍角，

不仿+加=-2xl+lx（2+22）<05

則、,，解得彳<0且彳*-1,

-2x（2+22）#lxl4

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍為卜鞏-

七.利用數(shù)量積求向量的模長(zhǎng)

1.（2324高一下?江西贛州?期中）已知向量;=（1,2）,向量"滿足7"=3,>"=2,貝亭|=（）

A.V2B.73C.走D.史

22

【答案】A

【解析】設(shè)f,力則\二tc——一JV4+~23V—"32,解得Ei

即1=所以同=正+儼=0.故選：A.

2.（2324高一下.山東青島?期中）如果冏=1,忖=后，a-b=l，貝中-同的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】因?yàn)橥?1,忖=0,a-b=l，

所以忖_閘=,（￡_石『=6+62-2￡石=1+（用一2x1=1,故選：A.

3.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知向量心方滿足同=1,忖=&,且至與方的夾角為,，貝“2”同=

（）

A.1B.V13C.1D.13

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，=|而|cosg=lx石x

貝!1124_.=J（2日=V4a~-4a-b+b2=—4+6+3故選:B

4.（2324高一下?云南?月考）已知平面向量日=（1,2）,5=（%,彳+1）,萬(wàn)_15,則卜-*

【答案】9R應(yīng)

33

【角星析】因?yàn)樯?（1,2）石=（冗,尤+1）,萬(wàn)_15,

2

所以M?B=1XX+2(X+1)=0,解得x=-§

則TV可得苕所以I”昨半.

5.（2324高一下?北京順義?期中）已知非零向量商,b,5滿足:a-b=O,同=忖=2,10=2,

c-&=b則同=

【答案】回《非

22

【解析】因?yàn)橄逇w=0，同=2,

不妨設(shè)互=(2,0),石=(0,2),c=(x,y),

由E0=2x=2,得x=l；

由於B=2y=l,得＞=；；所以

八.數(shù)量積與向量垂直關(guān)系

1.（2324高一下?重慶璧山?月考）已知向量4=（2,-1）,方=（1,3）,且〃（姐+B）,貝1］左=（）

A.--B.--C.-D.-

5454

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄?=（2,-1）,石=0,3）,可得妨+石=（2左+1,-左+3）,

因?yàn)樯蘝L（妨+B）,所以苕?（妨+方）=4左+2+%-3=0,解得：*=［，故選：C

2.（2324高一下.河北保定?月考）已知單位向量方與5的夾角為三國(guó)，（依+可，貝心=（）

A.|B.立C.--D.-近

2222

【答案】C

——711

【解析】依題意，tZ-Z?=lxlxCOSy=-,

_]1

由a_l_(%a+))，得a,(ka+b)=ka+a-b=k+—=0,所以左=一萬(wàn).故選：C

3.（2324高一下.廣東茂名.月考）已知向量Z=（2—,-3）3=（-1,2+力，^alb，貝心=

【答案】-4

【解析】由向量Z=(2T,—3)1=(—1,2+0,

因?yàn)椤╛LB，可得〃%=(2—入一3)《一1,2+力=-2+1一6—3,=0,解得，=-4.

4.(2324高一下?黑龍江哈爾濱?期中)已知|泊=2,出|=g,落石的夾角。==,若

6

(23+3^)1(ma-4b),則m=.

【答案】岑

【解析】由13=2,出|=6以及夕=￡可得=B=WWcos0=2x0x#=3,

由(22+35)±(ma-^b)

,,_2一一一260

可得(2M+3B),(m^—4$)=2mq+(3m-8)?-&-12&=8m+3(3m—8)-12x3=0,解得根=在?

5.（2324高一下?山西運(yùn)城?月考）已知向量Z,B滿足|〃|=2,|b\=2^3,cos（a,E）=

4

⑴求Z在石上的投影向量；

（2）若向量2Z—彳3與2Z+B垂直，求實(shí)數(shù)之的值.

【答案】（l）jB；；（2）2二-2±也.

43

【解析】（1）a-b=\a\\b\cos（a,b）=2x2>/3x^-=3,

4

所以￡在B上的投影向量為c學(xué)i'h力—=白3—6=1:6—

|邸124

（2）由向量2。一幾5與痛+5垂直，得（2。一萬(wàn)）萬(wàn)+5）=0,

整理得22a2+(2-22)ab-^M=82+3(2-A2)-122=0>即3分+44-6=0,

所以彳=一2±?.

3

九.向量數(shù)量積的最值與范圍

1.（2324高一下?四川瀘州?期中）在梯形ABC。中，AB//DC,ADA.DC,AD=AB=2OC=2,E為

3C的中點(diǎn)，尸為。C上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則通?正的取值范圍是（）

「58]（9、817-

A.B.2,—C.3,—D.2,—

\_23jI2）L3jL2」

【答案】D

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,0）,3（2,0）,C（l,2）,￡>（0,2）,F（x,2）（0<x<l）,

所以荏=1|,1）/=（工2）,正-正=3工+2,

「7"

因?yàn)閄的取值范圍是[0』，所以在.衣的取值范圍是2,-故選：D.

2.（2324高一下.山西運(yùn)城?月考）已知正六邊形ABCOEF的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸為邊。E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端

點(diǎn)），則衣?衣的取值范圍是.

【答案】[24,48]

【解析】建系如圖，則A（0,0）,C（6,2A/3）,設(shè)尸（X,46）,

因?yàn)辄c(diǎn)尸是邊DE上的一點(diǎn)，則04x<4,Q=,4君），AC=（6,273）,

貝I反,麗=（6,2@.（x,4@=6x+24e[24,48].

3.（2324高一下?安徽合肥?期中）如圖，某公園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的正方形區(qū)域A3CD市民健身用

地，為提高安全性，擬在點(diǎn)A處安裝一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的大型探照燈，其照射角ZPAQ始終為45°（其中P,Q

分別在邊BC,CD上），則市5?碩的取值范圍.

【答案】[872-8,4]

【解析】設(shè)NPAS=atane=r,

2（l-tang）2（l-r）

則5尸=2tan9=2乙DQ=2tan。=

1+tan0i+t''

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AO所在直線分別為羽y軸建立坐標(biāo)系,

（2。一）]

,2,Q=（2,2f）,曲i+t5

7IJ

告-2]

所以Q,而=4。―。+4=4,+]+

~1+t1

令〃=t+1,wG[1,2],則AP?AQ=4M+--2|,we[l,2].

uJ

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/'（M）=a+2在（1,應(yīng)）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增,

H

月7以后）=20.

又〃1）=3"（2）=3,所以〃"）=a+2在"中,2］上的值域?yàn)椋?0,3］,

U

所以Q?而=4U+--2

U

4.（2324高一下.遼寧朝陽(yáng)?期中）已知||荏|=1,|①|(zhì)=2,AD-AC=\A^,則在.詬的最大值為

（）

A.2B.2A/2C.3D.4

【答案】A

【解析】由礪=|閭2,得（女+①）?正=|罔2,即9?就=|無(wú)至『，則無(wú).*=0，

因此在.前=（無(wú)+通）?前=石.歷+南.歷=礪.而=|詬H而卜OS（詬，比）=2cos（麗現(xiàn),

而-IVcos（荏，①）＜1,所以當(dāng)cos〈麗，國(guó)〉=1時(shí)，麗.①取得最大值2.故選：A

5.（2324高一下?山西忻州?月考）已知|商|=3,|石|=2,?=1,且2%-0-辦"-1=0,則百上的取值范圍

是.

【答案】［-2/2我

【解析】由=0,得=（a-B）?c=|a-B||c|cos〈a-反c〉，

則Ia-11=|a1|cos〈a-b,c）\<\a-b\,當(dāng)且僅當(dāng)a-b,c共線時(shí)取等號(hào),

兩邊平方得（￡.歷2_27石+14f+/_2￡0，即03）2+1432+2?,解得-6，

所以3上的取值范圍是［-2百,2君］.

十.向量的新定義問(wèn)題

1.（2324高一下?山東淄博?期中）已知兩個(gè)非零向量商與B的夾角為凡我們把數(shù)量同忸卜皿。叫作向量H

與5的叉乘汗xB的模，記作人司,即人司=同Wsine.若向量4=（2,1）,B=（Y,3）,則融同=（）

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】B

一a-b2X（-4）+1X375

【解析】若向量”（2/），6=（T3）,則，。=麗=總§=一"，

0￡［。,兀］,貝!Jsin0=Vl-cos20=~~~，

卜又可=|?||&|sin=A/5x5x-10.故選：B

2.（2324高一下.福建福州?期中）（多選）定義:已知兩個(gè)非零向量1,5的夾角為8,把第5兩個(gè)向量的叉乘

記作:少xB=|打|.|5|-sin。，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.若。xB=0,貝!JM//5

B.2①xB）=（%㈤x5

C.若四邊形A3CD為平行四邊形，則它的面積等于前xMi

D.若1x5=百,萬(wàn).6=1,則|2+方|的最小值為"

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由0x5=0,得|萬(wàn)||5|sin0=0,而|初出隹0,因此sin8=0,

又0??！敦?，則9=0或8=兀，所以商/歷，A正確；

對(duì)于B,xb）=A\a\\b\sinO,當(dāng)2<0時(shí)，（Aa）xb=\^a\\b\sin（?i-0）=-A\a\\b\sin0,

當(dāng)0<。<兀時(shí)，40x5）w（4萬(wàn)）x5,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,YABCD的面積S=|瓶||礪|sinNE4O=希x而，C正確；

對(duì)于D,由。乂萬(wàn)二有，得|M||B|sin9=g,由灑5=1，得|M|出|cos。=1,

兩式平方相加得\a\\b\=2,貝ljg+刈=yla2+b2+2,a-b=A/F+P+2>萬(wàn)||5|+2=娓，

當(dāng)且僅當(dāng)Ia1=1B1=0時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD

rrm?77

3.（2324高一下.重慶璧山?月考）對(duì)任意兩個(gè)非零向量方，n,定義：

⑴若向量訝二（5,3）,石=（-3,2）,求到』+2力）的值；

（2）若單位向量B滿足R+6）?（25-6）=得，求向量4與2-5的夾角的余弦值；

（3）若非零向量石滿足同割力|,向量日與石的夾角是銳角，且4（力君）是整數(shù)，求日麗的取值范圍.

【答案】⑴^⑵亭⑶加

【解析】（1）因?yàn)橐?（5,3）,3=（—3,2）,所以。+2力=（5,3）+2（-3,2）=（-1,7）,

5x（-l）+3x7_16_8

故％伍+2/）的值為白

（2）因?yàn)橄蛄縂、方是單位向量，所