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信息工程大學(xué)算法設(shè)計與分析綜合應(yīng)用—最短路徑問題迪杰斯特拉算法國家級實驗教學(xué)示范中心計算機(jī)學(xué)科組規(guī)劃教材算法設(shè)計與分析Python案例詳解微課視頻版
給定帶權(quán)有向圖G=(V,E),其中每條邊的權(quán)值是非負(fù)數(shù),u稱為源點;圖G的頂點編號為1~n(1≤n≤100)。求從u到G中所有其余頂點的最短路徑長度。50102060100301012534uu1u2…uk-1ukuk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1uu1uu1u2…最短路徑長度遞增迪杰斯特拉(Dijkstra)提出:按最短路徑長度遞增的次序,依次產(chǎn)生每個點的最短路徑。最短路徑問題滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì):u到v的最短路徑包含u到該路徑上其它各點的最短路徑。邊的權(quán)值為非負(fù)判斷題。Dijkstra算法按路徑長度遞增的次序依次產(chǎn)生源點到各點的最短路徑。A.錯誤
B.正確uu1u2…uk-1ukuk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1uu1uu1u2…最短路徑長度遞增Dijkstra提出:按最短路徑長度遞增的次序,依次產(chǎn)生每個點的最短路徑。進(jìn)一步可知:第一條最短路徑:直達(dá)其他:利用已得到最短路徑的點,求未知點的最短路徑集合集合SS’S中的點表示已找到該點的最短路徑S’中的點表示未找到最短路徑的點1.將圖中點分成兩個集合:S和S’;集合集合SS’1.將圖中點分成兩個集合:S和S’;2.計算從源點u出發(fā),經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度;集合集合SS’1.將圖中點分成兩個集合:S和S’;2.計算從源點u出發(fā),經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度;3.從S’中選擇距離最短的點v加入S中,并從S’中移除該點,同時更新S’中點的最短距離;集合S集合S’1.將圖中點分成兩個集合:S和S’;2.計算從源點u出發(fā),經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度;3.從S’中選擇距離最短的點v加入S中,并從S’中移除該點,同時更新S’中點的最短距離;4.重復(fù)第3步,直到S’為空。算法需要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):1.對各點所處集合的狀態(tài)進(jìn)行標(biāo)記,使用數(shù)組s;2.需要存儲S’中各點的距離,使用數(shù)組dist;3.記錄點的前驅(qū),使用數(shù)組pre;初始時,先將源點u放入S。對u之外的每個頂點v,令dist[v]為邊<u,v>的權(quán)或+∞;不斷地做貪心選擇來擴(kuò)充S,直到所有頂點均進(jìn)入S。貪心策略:如果頂點v不屬于S,且dist[v]值最小,則優(yōu)先選擇v。當(dāng)v加入S后,需調(diào)整尚未進(jìn)入S的點的dist和pre。算法結(jié)束時,dist[i]就是u到點i的最短距離。迭代Svdist[2]pre[2]dist[3]pre[3]dist[4]pre[4]dist[5]pre[5]初始1101+∞-1301100111,22101602301100121,2,4410150430190431,2,4,3310150430160341,2,4,3,5550102060100301012534迭代Svdist[2]pre[2]dist[3]pre[3]dist[4]pre[4]dist[5]pre[5]初始1101+∞-1301100111,22101602301100121,2,4410150430190431,2,4,3310150430160341,2,4,3,55選擇題。根據(jù)下表,源點1到點5的最短路徑長度和最短路徑是()。A.60,1-5
B.60,1-3-5C.60,1-4-3-5/*graph表示圖的鄰接矩陣,u表示源點,n表示頂點總數(shù)*/voidDijkstra(int**graph,intu,intn){ints[MaxSize],i=0;memset(s,0,sizeof(s));s[u]=1;for(i=1;i<=n;i++){dist[i]=graph[u][i];pre[i]=-1;}i=1;while(i<n){v為
滿足s[v]==0&&dist[v]最小的點;s[v]=1;i++;for(對每個相鄰于v的頂點k){
if
((s[k]==0)&&
(dist[v]+graph[v][k]<dist[k])){
dist[k]=dist[v]+graph[v][k]); pre[k]=v; }}/*endfor*/}/*endwhile*/}時間復(fù)雜度:O(n2)/*借助優(yōu)先隊列實現(xiàn)迪杰斯特拉算法*/#include<iostream>#include<cstring>#include<queue>usingnamespacestd;#defineMaxSize101typedefstruct{intno;/*no表示頂點的編號,從1開始*/intdist=0x3f3f3f3f;/*dist表示長度,初值為一個較大的值*/intprev=0;/*prev表示源點到該點的最短路徑中該點的前驅(qū)頂點的編號*/intflag=0;/*flag=0表示源點到該點的最短路徑還未求出*/}vertex;structcomp{/*定義優(yōu)先隊列的排序規(guī)則*/booloperator()(vertexa,vertexb){returna.dist>b.dist;}};/*函數(shù)功能:dijkstra算法求解單源最短路徑*//*參數(shù)說明:n表示圖中頂點總數(shù),graph表示圖的鄰接矩陣*//*a存儲頂點信息,u表示源點編號*/voiddijsktra(intn,intgraph[][MaxSize],vertexa[],intu){priority_queue<vertex,vector<vertex>,comp>p;/*定義優(yōu)先隊列*/inti=0;a[u].dist=0;/*設(shè)置源點到它自身的最短路徑長度為0*/p.push(a[u]);/*源點加入優(yōu)先隊列*/intt=0;vertexv;while(!p.empty()){v=p.top();/*取dist最小的頂點*/p.pop();/*dist最小的頂點出隊*/t=v.no;a[t].flag=1;/*出隊頂點的最短路徑已得到*/ ……}借助優(yōu)先隊列優(yōu)化算法時間復(fù)雜度O(|V|log|V|)單選題。
Dijkstra算法求解單源最短路徑,適用于()。 A.權(quán)值為非負(fù) B.權(quán)值為負(fù) C.權(quán)值無要求Q:迪杰斯特拉算法為什么需要“邊的權(quán)值為非負(fù)數(shù)”
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