與圓有關(guān)的計(jì)算（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第28講與圓有關(guān)的計(jì)算

目錄

題型04求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度

一、考情分析題型05求扇形面積

題型06求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積

二、知識(shí)建構(gòu)題型07求圓錐側(cè)面積

考點(diǎn)一正多邊形與圓題型08求圓錐側(cè)面積

題型求圓錐底面半徑

題型01求正多邊形中心角09

題型求圓錐的高

題型02求正多邊的邊數(shù)10

題型求圓錐側(cè)面積展開(kāi)圖的圓心角

題型03正多邊形與圓中求角度11

題型圓錐的實(shí)際問(wèn)題

題型04正多邊形與圓中求面積12

題型圓錐側(cè)面上的最短路徑問(wèn)題

題型05正多邊形與圓中求周長(zhǎng)13

考點(diǎn)三不規(guī)則面積的有關(guān)計(jì)算

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)

題型直接公式法

題型07正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)01

題型直接和差法

題型08正多邊形與圓中求最值02

題型構(gòu)造和差法

題型09尺規(guī)作圖-正多邊形03

題型等面積法

題型10正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題04

考點(diǎn)二弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算題型05旋轉(zhuǎn)法

題型對(duì)稱法

題型01求弧長(zhǎng)06

題型全等法

題型02利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑07

題型03利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

該板塊內(nèi)容以考查綜合題為

正多邊形與圓>了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.

主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和

弧長(zhǎng)、扇形面積、選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，

>會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積.

圓錐的有關(guān)計(jì)算對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，2024

不規(guī)則面積的有關(guān)年各地中考肯定還是會(huì)考查.

>

計(jì)算

崢a1t=2Rn.今《Rn為正^邊形夕樓因的半徑）~

3sL

Pn=n?ani外角心心角題型01求正多邊形中心角

n

題型02求正多邊的邊數(shù)

面枳Sn=3irm?nQ對(duì)角線條數(shù)??（吁3）.

2題型03止多邊形與圓中求角度

題型04正多邊形與圓中求面積

=3（n-2）X1800.0

邊心距rnRn,COS-^-,內(nèi)角和題型05止多邊形與圓中求周氏

題型06止多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)

（吁2）x180*,niwmw（內(nèi)角和+180°）+2~

n題型07止多邊形與圓中求線段長(zhǎng)

題型08止多邊形與圓中求最值

Q..Rn、rnfi快某颼=瑁+胃（-、%、m為構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，已知M中兩個(gè)值，第三個(gè)題型09尺規(guī)作圖-正多邊形

題型10正多邊形與1員1的規(guī)律問(wèn)題

值可以借助勾股定理求解.）-

—正多邊形與圓

設(shè)。0的半徑為R,n。圖心角所對(duì)瓠長(zhǎng)為1,n為邨所對(duì)的圓心角的度數(shù)，貝卜

題型01求弧長(zhǎng)

扇形孤長(zhǎng)公式Q1=嘿（孤長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表題型02利用弧長(zhǎng)及扇形而積公式求半徑

示1°的圓口角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）P題型03利用弧長(zhǎng)及扇形而枳公式求圓心角

題型04求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度

扇形面積公式二enirMz1

S*MZT一以~題型05求扇形而枳

題型06求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積

圓錐側(cè)面積公式-S?Sffl=nrl（其中1是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圖錐的底面半徑）~題型07求圓錐側(cè)面枳

題型08求I園錐側(cè)面積

圓錐全面積公式-S?s±=nrl+nr2（圖錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）」題型09求圓錐底面半徑

題型10求圓錐的高

2223

圓錐的高h(yuǎn),圓r+h=I*-題型11求圓錦側(cè)面積展開(kāi)圖的圓心角

錐的底面半徑A

弧長(zhǎng)、扇形面積、圓題型12圓錐的實(shí)際問(wèn)題

題型13圓錐側(cè)面上的最矩路徑問(wèn)題

椎的有關(guān)計(jì)算

解題技巧：求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化

思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

直接用公式求解

不規(guī)則面積

直接和差法題型01直接公式法

的有關(guān)計(jì)算和差法題型直接和看法

常用方法02

構(gòu)造和差法題型03構(gòu)造和壬法

（內(nèi)含模型講解）題型04等面積法

全等法

題型05旋轉(zhuǎn)法

等面積法題型06對(duì)稱法

題型07全等法

割補(bǔ)法平移法

旋轉(zhuǎn)法

對(duì)稱法

考點(diǎn)一正多邊形與圓

.夯基-必備基礎(chǔ)述儂

1.正多邊形的相關(guān)概念

正多邊形概念各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.

正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.

正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

2.正多邊形的常用公式

邊長(zhǎng)an=2Rnsin^-（Rn為正多邊形外接圓的半徑）

周長(zhǎng)Pn=n,an外角/中心角度數(shù)360°

n

面積Sn=ian-rn-n對(duì)角線條數(shù)n(n—3)

22

邊心距rn=Rn-COS^^內(nèi)角和(n-2)X180°.

n

內(nèi)角度數(shù)(n-2)x180°n邊形的邊數(shù)(內(nèi)角和+180°)+2

n

瑞+a（an、Rn、rn為構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，己知其中兩個(gè)值，第三個(gè)

an,Rn、rn的關(guān)系

值可以借助勾股定理求解.）

【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問(wèn)題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成

2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系，

故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算.

3.正多邊形常見(jiàn)邊心距與邊長(zhǎng)的比值

圖形OA:AB:OB內(nèi)切圓與外接圓半徑的比

等邊三角形1：VF：21:2

ZAOB=60°

正方形i：i：VF1:V2

?ZAOB=45°

正六邊形cVF：1：2VF：2

ZAOaB=30°

【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.

.提升-必考題型歸納

題型01求正多邊形中心角

【例1】（2021?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考二模）在圓內(nèi)接正六邊形A8CCEF中，正六邊形的邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)正六邊形

的中心角和邊心距分別是（）

A.30°,1B.45°,V2C.60。,遮D.120°,2

【變式1T】（2022?四川廣安?統(tǒng)考二模）如圖，五邊形28CDE是。。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角

NCOD的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【變式「2】（2020?上海金山?統(tǒng)考一模）正十邊形的中心角等于度.

題型02求正多邊的邊數(shù)

【例2】（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）如圖，一個(gè)正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部分，則這個(gè)正多邊形

紙片的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【變式2-1］（2023?廣東陽(yáng)江?統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角是45。,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.8D.10

【變式2-2］（2023?湖南長(zhǎng)沙?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，A、B、C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，。為正多邊形

的中心.若乙WB=20°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【變式2-3］（2021.貴州貴陽(yáng).統(tǒng)考一模）如圖，四邊形A3CD為。。的內(nèi)接正四邊形，為。。的內(nèi)接

正三角形，連接。？若恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為一.

C

題型03正多邊形與圓中求角度

【例3】（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ZBCDEF內(nèi)接于。。，點(diǎn)M在腦上，貝此CME的度

36°C.45°D.60°

【變式3-1］（2022.廣西南寧?校聯(lián)考一模）如圖,O。與正五邊形/BCDE的兩邊/瓦CD相切于4c兩點(diǎn)，則

乙4OC的度數(shù)是

A.144°B.130°C.129°D.108°

【變式3-2］（2022.福建福州.福建省福州延安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于。

則NOCD的度數(shù)為

C

題型04正多邊形與圓中求面積

【例4】（2022?山西大同?校聯(lián)考一模）如圖，是一張邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙版，連接對(duì)角線，則陰影部分的

A.3V3B.6V3C.6D.12

【變式4-1］（2023?海南海口?海師附中?？既＃┤鐖D，正五邊形4BCDE的邊長(zhǎng)為4,以頂點(diǎn)A為圓心，AB

長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則圖中陰影部分的面積是.

【變式4-2］（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出

了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積.設(shè)。。的半徑為2,若用O。的內(nèi)

接正六邊形的面積來(lái)近似估計(jì)O。的面積，則O。的面積約為.

【變式4-3］.（2023?河南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考二模）如圖，已知正六邊形ABCDEF,O。是此正六邊形的

外接圓，若AB=2,則陰影部分的面積是.

題型05正多邊形與圓中求周長(zhǎng)

【例5】（2023?廣西欽州?統(tǒng)考一模）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線4B的長(zhǎng)為10,則正六邊形的周長(zhǎng)（）

A

A.5B.6C.30D.36

【變式5-1］（2023?吉林松原?統(tǒng)考二模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為24,則圖中陰影部分圖形的周

長(zhǎng)是（結(jié)果保留n）.

【變式5-2］（2023?陜西西安?高新一中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形4BCDEF的邊心距。G等

于3遮，則O。的周長(zhǎng)等于.

【變式5-3］（2023?江蘇南京?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形2BCDE尸中，AB=4,順次連接AB、BC、

CD、DE、EF、FA的中點(diǎn)A1、/、的、心、E1、則六邊形4/1的。止/1的周長(zhǎng)是.

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)

【例6】（2023?河北衡水?衡水桃城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，。。是正五邊形力8CDE的外接圓，這個(gè)正五邊

形的邊長(zhǎng)為。，半徑為R,邊心距為，，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）

E

4

w

A.v=/?cos36°B.a=2/?sin36°C.a=2rtan36°D.a=rsin36°

【變式6-1］（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┘褐?。。的半徑為1,則它的內(nèi)接正三角形邊

心距為.

【變式6-2］（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，已知。。的內(nèi)接正六邊形2BCDEF的邊心距?！笔前?，則正

六邊形的邊長(zhǎng)為.

【變式6-3］（2023?湖南衡陽(yáng)?校考模擬預(yù)測(cè)）己知圓的半徑為R,那么它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)

是.

【變式6-4］（2022?陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）半徑為4的正六邊形的邊心距為.

題型07正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)

【例7】（2023?安徽六安?統(tǒng)考三模）如圖，正六邊形48CDEF的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是其中心，點(diǎn)P是48上一點(diǎn),

且4P:BP=1:2,連接OP,貝ij0P=（）

ApK

A.2B.2A/7C.4D.6

【變式7-1］（2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形力8CDEF中，連接BE,CF,相

交于點(diǎn)。，若點(diǎn)M,N分別為08,。尸的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）

A.6B.6V3C.8D.9

【變式7-2］（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形螺帽，則扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少

A.2aB.V3aC.-aD.—a

22

【變式7-3］（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形4BCD和等邊三角形力EF均內(nèi)接于。0,則［的

AE

值為（）

題型08正多邊形與圓中求最值

【例8】（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一個(gè)正n邊形繞其中心。旋轉(zhuǎn)45?；?0。都能和其本身重合，貝切

的最小值是（）

A.6B.8C.12D.24

【變式8-1］（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙片48CDE尸上剪一個(gè)正方形GH〃,

若GHIIAB,則得到的正方形邊長(zhǎng)最大為（）

A.V6B.2V3C.3-V3D.6-2V3

【變式8-2］（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在正六邊形中，28=4,。為2。的中點(diǎn)，以。為

圓心，百為半徑作OO,M為。。上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到正六邊形上的點(diǎn)的距離為d.

⑴。4=.

（2）當(dāng)ABCM面積最小時(shí)，點(diǎn)M到BC的距離為,d的最大值為.

【變式8-3］（2022?陜西西安?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P為。。上一點(diǎn)，連接OP,且。P=4,點(diǎn)A為。尸上一

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接A8,以線段為邊在。。內(nèi)構(gòu)造矩形ABC。，且點(diǎn)C在。。上，則矩形

面積的最大值為.

題型09尺規(guī)作圖-正多邊形

【例9】（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知。0,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作。。的一個(gè)內(nèi)

接正方形（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

【變式9-1］（2019?江西南昌?校聯(lián)考三模）已知正八邊形ABCDEFGH,請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列

要求作圖.

A

圖①圖②

（1）在圖①中，作一個(gè)正方形；

（2）在圖②中，作一個(gè)與原圖形不相同的正八邊形.

【變式9-2］（2022.江西九江.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。為正五邊形4BCDE的外接圓，已知CF=】BC,請(qǐng)

用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫(huà)圖痕跡.

⑴在圖1中的邊DE上求作點(diǎn)G,使DG=CF-,

（2）在圖2中的邊DE上求作點(diǎn)使EH=CF.

題型10正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題

【例10】（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正八邊形48CDEFGH的中心與原點(diǎn)。

重合，頂點(diǎn)A,E在y軸上，頂點(diǎn)G,C在x軸上，連接OB,過(guò)點(diǎn)A作。B的垂線，垂足為P,將A4PB繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，已知。2=3,則第82次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

B.33'C.D.

2'2,1°

【變式10T】（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形48CDEF的邊48在%軸正

半軸上，頂點(diǎn)尸在y軸正半軸上，AB=2.將正六邊形A8CDEF繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，經(jīng)過(guò)第

2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(—3,—2V3)B.(—2,—2A/3)C.(—3,—3)D.(—2,—3)

【變式10-2](2023?山東棗莊?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形A8Q)跖的中

心與原點(diǎn)O重合，力B||x軸，交y軸于點(diǎn)P.將△OAP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2022次旋

A.(V3,-1)B.(-1,-V3)C.(-V3,-l)D.(1,V3)

【變式10-3](2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考一模)如圖，正六邊形4/16。1%6的邊長(zhǎng)為2,正六邊形4282。2。2%?2

的外接圓與正六邊形的各邊相切，正六邊形4383c3。3當(dāng)尸3的外接圓與正六邊形4282c2。2%尸2

的各邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，AWBWCWDWEWFW的邊長(zhǎng)為.

考點(diǎn)二弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

設(shè)。O的半徑為R,n。圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為I,n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長(zhǎng)公式:鬻(弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.)

扇形面積公式

S扇形-360_2以

圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=Ei（其中1是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=Tui+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h(yuǎn),圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

方法技巧

1）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果.在弧長(zhǎng)公

式1=鬻中，已知1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng),

然后直接代入公式S扇形=瞎或S扇形=pR中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角

形、把弧長(zhǎng)I看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，己知S扇形，1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量.

5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng),

即

2兀廠粵，來(lái)建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角n。之間的關(guān)系，有時(shí)也根

180

據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式來(lái)解決問(wèn)題.

6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問(wèn)題常結(jié)合圓錐考查，解這類問(wèn)題只要抓住圓錐側(cè)面展開(kāi)即為扇形，而這個(gè)扇

形的弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線長(zhǎng).注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓

錐展開(kāi)后的扇形半徑兩個(gè)概念.

題型01求弧長(zhǎng)

【例1】（2023?河北滄州?校考一模）如圖，在放AABC中,ZC=90°,ZB=30°,AB=8,以點(diǎn)C為圓心,

CA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交A8于點(diǎn)。，則弧的長(zhǎng)為（）

C.-71D.27r

3

【變式IT】（2023?廣東汕頭??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A,B,C都在。。上，若NB=30。.則

品的長(zhǎng)為—（結(jié)果用含有n的式子表示）

【變式1-2］（2022?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)接于。。，則4g的長(zhǎng)是

（結(jié)果保留“）

【變式「3】（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，4B為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn),

弦AE的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為。，NC4D=35。，連接BC.

（1）求NB的度數(shù)；

（2）若=2,求品1的長(zhǎng).

【變式「4】（2023?湖北孝感?統(tǒng)考二模）如圖，分別以AABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作半徑均為1的三個(gè)圓,

三圓兩兩不相交，那么三個(gè)圓落在△ABC內(nèi)的三段弧長(zhǎng)度之和為（）

A.3兀B.2兀C.兀D.扣

題型02利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑

【例2】（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的圓心角為120。，扇形的弧長(zhǎng)12兀,

則扇形半徑是.

【變式2-1］（2023?福建福州??？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的圓心角為36。，面積為^cn?,則該扇形的半徑為_(kāi)

cm.

【變式2-2］（2023?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B,C,。為。。上的點(diǎn)，且直線A8與CD夾角為45。.若

AB,AC,⑦的長(zhǎng)分別為兀，兀和3兀，則。。的半徑是（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

【變式2-3］（2020.甘肅酒泉?統(tǒng)考二模）已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為2兀,扇形的面積是4兀,則它的半徑為

題型03利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角

【例3】（2021?山東德州?統(tǒng)考二模）一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm,當(dāng)重物上升10cm

時(shí)，滑輪的一條半徑OA繞軸心O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度約為（）

B.60°C.180°D.450°

【變式3-1］（2022.黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè)）己知一條弧的半徑為9,弧長(zhǎng)為8兀，那么這條弧所對(duì)的圓

心角為.

【變式3-2］（2021?浙江金華?統(tǒng)考一模）一個(gè)圓被三條半徑分成面積比為2：3：4的三個(gè)扇形，則最小扇形

的圓心角為

題型04求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度

【例4】（2022.河北?校聯(lián)考一模）如圖，己知利的半徑為5,所對(duì)的弦A2長(zhǎng)為8,點(diǎn)尸是他的中點(diǎn)，將舫繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到則在該旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（）

【變式4-1］（2021?貴州遵義??？级＃┤鐖D，扇形。的圓心角為30。，半徑為1,將它在水平直線上向

右無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)到。'49的位置時(shí)，則點(diǎn)。到點(diǎn)。'所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

【變式4-2］（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30。角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車.如圖，ZC

=90°,ZABC=30°,AC=2,將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△45C,使點(diǎn)落在AB邊上，以此方

法做下去……則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至9所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為—.（結(jié)果保留加）

【變式4-3］（2022?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC三個(gè)頂點(diǎn)

的坐標(biāo)分別為4（2,4）,C（4,3）.

⑴請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

⑵請(qǐng)畫(huà)出繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△力2*82c2，求點(diǎn)A到4所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)?

題型05求扇形面積

【例5】（2022?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形2BCDEF的邊長(zhǎng)為2,以4為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

得糜，連接AC,AE,則圖中陰影部分的面積為（）

ED

2V3

A.27rB.47rC.-7TD.——TC

33

【變式5-l】（2023?廣東梅州?校考模擬預(yù)測(cè)）扇形的半徑為2,圓心角為90°,則該扇形的面積（結(jié)果保留it）

為.

【變式5-2］（2023?廣西百色?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長(zhǎng)為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心,

4B為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì)），則所得扇形的面積是.

題型06求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積

【例6】（2023.湖南株洲.模擬預(yù)測(cè)）如圖,在朋△ABC中，乙4c8=90。，AC=6,BC=8,將RtAABC繞點(diǎn)

8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到RtAABC.在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中RtAABC所掃過(guò)的面積為（）

A.25%+24B.5兀+24C.257rD.57r

【變式6-1］（2020?四川成都?統(tǒng)考一模）如圖，在2L4OC中，OA=3cm,OC=lcm,將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。后得到/B。。，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圖形的面積為（）cm2.

.7Tcc-17-19

A.—B.27rC.—7TD.—TC

288

【變式6-2］（2023?山東東營(yíng)?校聯(lián)考一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=2BC=2,將線段4B繞點(diǎn)力按逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)出處，線段4B掃過(guò)的面積為.

【變式6-3](2021?山東淄博?統(tǒng)考一模)在AABC中，已知NABC=90。，ZBAC=30°,BC=1,如圖所示,

將小A8C繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到△AB'C.則圖中陰影部分的面積為一.

【變式6-4](2023?黑龍江雞西??？既?在平面直角坐標(biāo)系中，已知2(2,0),B(3,l),C(l,3)；

(1)將A/IBC沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位至AAiBiCi，畫(huà)圖并寫(xiě)出G的坐標(biāo)；

(2)以4點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△&B1G逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得△4/2。2，畫(huà)圖并寫(xiě)出Q的坐標(biāo)；

(3)在平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BC掃過(guò)的面積為.

題型07求圓錐側(cè)面積

【例7】(2023?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考一模)如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)

9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為()

B.-7T-V3C.-7T-2V3D.-7T-V3

【變式7-1](2022.四川德陽(yáng).統(tǒng)考一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別與BC,AC

交于點(diǎn)。，E,過(guò)點(diǎn)。作。FLAG垂足為點(diǎn)R若。。的半徑為4百，NCDF=15。,則陰影部分的面積為

()

B'------D

A.16TT-12V316?r-24V3

C.2071-12V3D.20TT-24V3

【變式7-2](2023?云南昆明?昆明八中校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在扇形中，^AOB=90°,=6,則陰

影部分的面積是______.

【變式7-3](2023?山東德州?統(tǒng)考二模)如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C為O。上一點(diǎn)，BD1CE于點(diǎn)D,BC

平分乙4BD.

DCE

(1)求證：直線CE是。。的切線；

(2)若乙4BC=30。,。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

【變式7-4](2021?山東臨沂?統(tǒng)考一模)如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)(與點(diǎn)A,8不重合),

過(guò)點(diǎn)C作直線尸。，使得NACQ=NABC.

(1)求證：直線PQ是。。的切線.

(2)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)E,若。。的半徑為2,sinZZ)AC=j,求圖中陰影部分的面積.

Q.D

題型08求圓錐側(cè)面積

【例8】（2023?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長(zhǎng)為6cm,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.36ircm2B.2471cm2C.16ircm2D.12ncm2

【變式8T】（2023?浙江金華?校考一模）在放A43C中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直線為軸，把

△A5C旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.12%B.157rC.207TD.247r

【變式8-2］（2021?山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm）,則這個(gè)幾何體

C.1271cm2D.97icm2