雙變量不等式類能成立、恒成立問題-高考數(shù)學復(fù)習壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題12雙變量不等式類能成立、恒成立問題

【方法點撥】

I.VXI^D,V%2￡E,均有加1)>g(%2)恒成立，則危)min>gWmax；

Vxi￡D,3X2￡E,使得y(Xl)>g(%2)成立，則兀0加n>g(x)min；

3X1eD,3X2￡E,使得加1)>g(%2)成立，則危)max>g(%)min.

記憶方法：都任意，大小小大(即對于兩個變量都是“任意”的，不等式中較大者的最小

值大于不等式中較小者的最大值)，存在換任意，大小應(yīng)互換.

2.雙元型不等式恒成立、能成立問題一般應(yīng)遵循“雙元化一元，逐一處理”的策略，即選擇

主次元的方法，一般應(yīng)”先獨立后分參”，即先處置獨立變量(所謂獨立變量''是指與所求參數(shù)

無關(guān)的變量)，再處置另一變量,而解題過程中往往采取分參方法.

【典型題示例】

例1已知a>0,〃￡尺，若I〃二3一以2+。兀區(qū)+(〃++〃對任意；,2都成立,

則2的取值范圍是—

a

【答案】|,+ooj

【分析】不等式化為無一？+工2+1,令廣尤+1,可得

axaax1ax\_2

2產(chǎn)分別討論2=o，2<o,和。>o時，求最值可得出.

aaaaa

【解析】不等式兩邊同時除以初2得x_2+_L<^X2^._L.^1,

axa+axz+2a+

整理得綜+廣+1/+—

ayx)xa

A11小則te2,-,則2d>-2

=--，XG—,2+1

x|_22aa

由于對任意元e-,2都成立，則有2"+iN--對任意te[2,2]恒成立,

2aa2

(I)當2=0時，12/不成立，不符合題意;

a

(2)當2<o時，則當/=9時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意,

a2

則”上-解得229,與2<o矛盾，不符合；

4a2aa29a

(3)當。>0時，

①當時，則當/=2時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意，

a2

則4.。+122_2,解得.?心三；

aaaa2

,,,"，—_L_L

②當0<生2時，有*2+1之廠生即廠/工一1，則當r=2時，1取得最大值

aaat+-t+-

>/,2rn.rb22b八

為一，則一N—,..—<—<2；

5a55a

③當2<。<』時，2/+i>]>”2恒成立，滿足題意，

a2aa

綜上所述，2的取值范圍是[2收].

aL5)

故答案為：g,+oo).

例2已知函數(shù)/(%)=loga(af且awl),若對V%]e[2,3],總

3X2e[3,4]，使得/(%1)>log(8-x2),則實數(shù)a的取值范圍是.

J.號0|,+8

【答案】

259

【分析1即/(無。>[10ga(8-切1nto.

當時，[loga(8-x)]min=log°4,故只需/(X)>loga4,所以(62-x),>4即OT?-%>4

對Vxe[2,3]恒成立，分參得a>-+4，令-=?(-<?<-)，a>4r+t,

XXXDZ

3,故

a>

22

當Ovavl時，[logfl(8-x)l.=log5,故只需/(%)>log”5,所以(如2_1)<4,且

Jmin

L\/max

(a^-x\>0,即0<a?-x<5對Vxe[2,3]恒成立，分參得令

\/minXXX

t<a<5t2+t,g=fmax<a<(5/+心n=(5/+"=g'故；<若;

X

綜上，實數(shù)。的取值范圍

4X-1

例3已知函數(shù)/(x)=,若對任意王e[1,2],都存在x2e[1,2]使-2bxi>f(x2)

2X

成立，則實數(shù)6的取值范圍是.

2

【解析】由條件可知(x-2to)min>/(x)min

因為/(x)=2'-2T,且y=2*、y=—2-x在［1,2］上單調(diào)遞增

3

所以函數(shù)/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，/(x)min=/(l)=-,

2

所以(犬2—2Mmin23，BPx-2bx>-^xe［1,2］恒成立,

33

即2b?x-3在xe［1,2］恒成立，記/z(x)=x——,xe［1,2］,

2x2x

易證/z(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以，,從而只需，即—.

、/inmin=h(、V,)=—222Z??—4

點評：

3

為避免求函數(shù)y=x2-2bx最小值時的含參討論，逆向轉(zhuǎn)化為犬-2法2］在

xe［l,2］上恒成立，再利用分離參數(shù)求解.此種處理手段太重要，意味深長?。?/p>

例4已知函數(shù)/(x)=2"g(x)=/(尤)+/(兇)，若e(0,+8),3x2e［-1,0］,

使得g(2%)+ag(xJ+2g(X2)>0成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-9,+oo)

【解析】雙變量問題，逐一突破，這里先處理不含參部分

由題意得，Va；iG(0,+ex)),g(2C1)+agQi)>［-2g(g)］mM，

當xe［—l,0］時,g(z)=2，+0

令力=2，則沙=%+，w4,1-y'=1-^2<0,

irii5

即沙=1+了在5,1上為減函數(shù)，故(g(2：2))mw=5

所以［/。(引、…―，

所以2?(2軟)2+2-2%>-5恒成立,

即a>-(貴+2')恒成立，

又得？+2初三2、/|=同，當且僅當為二口8？手時取等號，

所以實數(shù)a的取值范圍為(-，m,+°°)-

點評：

存在性和恒成立混合問題注意理解題意，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值的關(guān)系.

例5若對任意再eR,存在/e(l,2],使不等式x；+xxx2+x^>2xl+mx2+3成立,

則實數(shù)m的取值范圍是___________.

【答案】(—oo,g]

【解析一】先視為以“國”為主元的二次不等式的恒成立，

即不等式X；+(%2-2)再+%2-儂2-32。在玉￡尺上恒成立，

所以A=(%2—2)2—4(%2—rnx2—3)?0,

E

即-(4m-4)X2-16>0，存在％(1,2],使不等式-(4m-4)x2-1620成立,

再視為以"超”為元的二次不等式的存在性問題，即能成立，

,791

設(shè)h(x2)=3X2-(4m-4)X2-16,則只需/z(l)>0或h(2)>0,即加〈一^或加

所以實數(shù)加的取值范圍為(—8,g].

【解析二】先視為以“再”為主元的二次不等式的恒成立，

即不等式X；+(12-2)七+%2一儂2-32。在國wR上恒成立，

所以A=(x2—2)2—4(%2—ivx2—3)?0,

即-(4m-4)X2-16>0，存在馬￡(1,2],使不等式-(4m-4)x2-16>0成立,

再視為以"超”為元的二次不等式的存在性問題，即能成立，

即3%2—(4wt—4)%2—1620在/￡(L2]能成立

分離變量得4〃2-4<3々—3

x2

設(shè)g(x)=3x—3，則g(x)=3x—3在區(qū)間(1,2]上單增，

XX

所以g(x)max=g(2)=-2,故4加一4W—2,即加

所以實數(shù)加的取值范圍為(—℃,—].

點評：

1.二元存在性、恒成立問題應(yīng)考慮“主次元”思想；

2.解法二用到了“分離參數(shù)”構(gòu)造函數(shù)的方法，一般來說，求參變量范圍問題，應(yīng)盡量做

到“能分則分”，以避免參數(shù)參與運算帶來的分類討論等不必要的麻煩.

例6設(shè)a>0,函數(shù)/'(x)=x+《，g(x)=x—Inx+4,若對任意的e],存在無2G口，

e],都有/(尤i),g(X2)成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[|，+￡)

【分析】問題可轉(zhuǎn)化為/(X)min》g(X)min，函數(shù)g(x)不含參，易求得ga)min=g(D=5,接下來

的思路有二，一是直接分類討論求/(尤)min，二是將/(X)min，g(X)mi轉(zhuǎn)化為/。)=尤+1》5

恒成立，通過分離參數(shù)再解決

【解析】問題可轉(zhuǎn)化為/(X)min(尤)min.

當XG[1,e]時，g'(無)=1—故g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，則g(x)min=g(l)=5.

/—“2

思路一：又(x)=l—丁=/，令/'(%)=0,易知是函數(shù)/(%)的極小值.

當時，/(X)min=l+〃2,則1+/25,不成立；

當l<〃We時，/(x)min=/(□)=2〃，則2a25,得產(chǎn)〃We；

當a>e時，/(x)min=/(e)=e+-^5顯然成立，得?2>5e—e2,所以〃>e.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為e，+8)

思路二：故有了(X)min25,即/(X)=x+：，5恒成立，分離參數(shù)得(5—％),

nr5

易得[x(5—X)]max=T，又〃>0,故

所以實數(shù)a的取值范圍為[|，+8).

例7已知函數(shù)2亦+1,g(x)=*其中。>0,xHO.

(1)對任意的工￡[1,2],都有/。)>虱工)恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍；

【解析】由題意知，/(x)—g(x)>0對入￡[1,2]恒成立，即%2—2依+1—￡>0對入￡[1,2]恒成立，

即〃<2.2+]對工￡[1⑵恒成立，令9(%)=2$+]，只需tz<^(x)min(x^[l,2]).

由于9’(x)=>0,故9(尤)在⑵上是增函數(shù),

2X2+12

9(x)min=9(l)=|，所以。的取值范圍是(0，I).

(2)對任意的苞引1,2],存在檢母1,2],使得/(xi)>g(尤2)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】由題意知X2—2依即a<岑/對xd[l,2]恒成立.

XA/乙T-XI1

人2(X2+1)8(^—l)+4x「上、

令9a)=一生曰_]，則ea)=(4X+1)2>°對.金“⑵怛成立,

4

則夕⑴在[1,2]上是增函數(shù)，9(x)min=9(l)=m，

所以a的取值范圍是(0,

點評：

防止誤將均有月入)>g(X)恒成立，轉(zhuǎn)化為7(%)min>ga)max，一般應(yīng)作差構(gòu)造函數(shù)

F(X)=f(X)—g(X)f轉(zhuǎn)化為F(X)min>0恒成立.

例8已知函數(shù)/(司="+%2-xlna(a>0且awl),若對任意的%,馬三口⑵，

不等式/(X)—/(々)0/—。+1恒成立，則實數(shù)0的取值范圍為.

【答案】值+8)

【分析】求導/'(%)=(優(yōu)T)lna+2x,分0<a<l,a>l,求得[/(石)一/(九2)]1mx，

再根據(jù)對任意的e[l,2],不等式。+1恒成立求解.

【解析】因為函數(shù)/(%)="+三—xlna(。>0且awl),

所以廣(x)=(a"-l)lna+2x,

當0<a<l,xw[l,2]時，優(yōu)一1<0,lna<0,

則/'(x)>0在[1,2]上成立，

所以/(可[1,2]上遞增，

所以/("厘"⑵=>+4—21114"⑺勒=/(l)=a+l-lna,

2

所以"(%)-/(尤2)]11ax=?-a+3-lna,

因為任意的/，e[l,2],不等式/(石)一/(馬)</一。+1恒成立,

所以〃2—〃+12〃2一a+3-ln”，即ln〃N2，

解得6?>e2?

當a>l,xw[l,2]時，優(yōu)—l>0,ln〃>0,

則/'(x)>0在[1,2]上成立，

所以“X)在[1,2]上遞增，

2

所以/(Ma=/(2)=fl+4-21na,/(x)min=/(l)=a+l—Ina,

所以"(石)-/(%2)11ax=/-a+3-Ina,

因為任意的e[l,2],不等式/(%)—/(々)</一。+1恒成立,

所以a?—a+3-lna，Wln?>2,

解得a>e2>

綜上：實數(shù)a的取值范圍為卜2,+8),

故答案為：,2,+8)

【鞏固訓練】

1.已知函數(shù)於LV—Zx+B,g(x)=log2x+機，對任意的為，入2￡[1,4]有危1)"(%2)恒成立，

則實數(shù)m的取值范圍是.

2.已知函數(shù)/OOulnCF+l),g(x)=O一m，若對Hxi￡[O,3],3%2e[1,2],使得犬為后以及)，

則實數(shù)m的取值范圍是.

,

41-

3.已知函數(shù)?x)=x+1,ga)=2*+4,若2_,3X2[2,3],使得於1回3)，則實數(shù)

a的取值范圍是.

4.函數(shù)段)=必一12x+3,g(x)=y~m,若對VXI￡[—1,5],3X2E[0,2],f(xi)>g(x2)9則實數(shù)機

的最小值是.

、2

5.已知函數(shù)g(x)=x_].若對任意的為￡[0,3],總存在％2仁[2,3],使得

府1)|可。2)成立，則實數(shù)。的值為.

6.已知函數(shù)本)=$2+x,g(x)=lna+l)—Q,若存在為，%2e[0,2],使得危i)>g(X2)，則

實數(shù)〃的取值范圍是.

7.已知函數(shù)/(x)=x+：g(x)=2x+a,若1],A2G[2,3],使得於1)&(忿)，則實

數(shù)a的取值范圍是.

8.若對于Va?T'l]，不等式/+(。一4)"+4—2a>0都成立，則x的取值范圍是

9.若關(guān)于X的不等式f—如+3機—220在區(qū)間[1,2]上有解，則實數(shù)加的取值范圍是

10.關(guān)于X的一元二次方程X2+(機+1)%+；=0(m62)有兩個根%1、X],且滿足

0<再<1<%2<3,則實數(shù)機的值是().

A.—2；B.—3；C.—4；D.-5.

11.設(shè)函數(shù)=g3=x",若對任意%,/e(°，e]，不等式’(々)恒

xk+1k

成立，則正數(shù)上的取值范圍為()

12.已知大于1的正數(shù)。，〃滿足坐,則正整數(shù)”的最大值為()

A.7B.8C.9D.11

【答案或提示】

[【答案】(-8,0)

【解析】八%)=/一2x+3=(%—1>+2,當X￡[1,4]時，y(X)min=/Q)=2,g(%)max=g(4)=2+m,

則1%)min>ga)max，即2>2+m，解得根<0,故實數(shù)機的取值范圍是(一8,0).

2.【答案】由+J

【解析】當、引0,3]時，?mln=y(0)=0,當XG[1,2]時，g(A')rain=g(2)=1-/77,由於)mm

>g(X)min，得0>^—OT,所以”號.

3.【答案】(—00,1]

【解析】由題意知，/(x)min(xelJ)>g(X)mm(xG[2,3])>因為段)=x+],所以/(X)=L

ri-I

所以於)在E，1」上單調(diào)遞減，所以/(x)min=/(l)=5,又因為g(x)在[2,3]上的最小值為g(2)

=4+〃，所以5%+〃，即〃31.

4.【答案】14

【解析】由了(勸=3/—12,可得加0在區(qū)間［—1,2］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2,5］上單調(diào)遞增,

.7/U)1111n=<2)=-13,

g(X)=3"一根是增函數(shù)，g(X)min=1—，

要滿足題意，只需兀V)minNg(X)min即可，解得W>14,

故實數(shù)m的最小值是14.

5.【答案】

6.【答案】《，+8)

【解析】依題意知八X)max〈g(X)max.

?.?本)=犬+：在1上是減函數(shù)，.7Ax)max=/Q)=￥

又g(x)=2x+a在［2,3］上是增函數(shù)，...g(尤)max=8+a,

171

因此WW8+a,則

7.【答案】a>-4

【分析】問題可轉(zhuǎn)化為?r)max>g(X)min,易得7(X)max=4,g(X)min=—。，由7(尤)max>g(?min得：

4>-a,故〃>一4即為所求.

點評：

理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為［?X)］maxW［g(X)］max；利用函數(shù)的單調(diào)性，求八X)與

g(X)的最大值，得關(guān)于。的不等式求得。的取值范圍.

8.【答案】(7,1)D(3,+<?)

9.【答案】［-2,+8)

X2-2

【解析】對不等式V—如+3m—2之0分離參數(shù)得：相~-

x—3

尤2_2r1

設(shè)g(%)=-----(%目1,2］),則加

x-3

令3_%=.(1W/W2),則g⑺=(3一/—2="1)+6

—tt

函數(shù)/+工在區(qū)間讓［1,2］單減，故1+1=8,g(0^=1?(1)=-2

tV/max

所以加2—2,即實數(shù)加的取值范圍是［—2,”).

10.【答案】BC

11

【解析】將方程/+9(加+l)x+—=0分離參數(shù)得：—(祖+1)=%+一

22x

1319255

設(shè)如圖，則一<—(加+1)〈一，所以——<m<——

2x2662

11.【答案】D

【分析】轉(zhuǎn)化為［與等］］，求出/(%)在(0，e］上的最小值與g(xj在(o，e］

1化+1/max\化7min

上的最大值代入可解得結(jié)果.

4

【解析】因為/(%2)=%+一在(。,2)上遞減，在(2,0上遞增，

X2

所以當％=2時，/(%)取得最小值/(2)=4,

因為g(xj=石］，所以g'(xj=e否+芭/'=(1+玉)―，當/e(0,e］時，g'(xj>0,

所以g(xj=石］在(0,e］上單調(diào)遞增，所以g(xj的最大值為g(e)=e/,

因為對任意芯,馬€(0,耳，不等式叢人1<工@恒成立，

人+1k

所以［智KFL因為Q°,所以解得°%二?

故選：D

12.【答案】C

2a122x

r八*4b"坐人工In2b

【分析】「一〈一等價于----<J令〃x)=*Ag(x)=[,分別求/⑴，

/aanbnaxx

可求得了(X)有最大值/：)_〔〃1，g(x)有最小

g(x)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性,

/e=~^~

\7匕

pT〃

gm/

值"丫，根據(jù)題意，即:我小心"⑺”代入為2V,、，，等價于

,(J

-