第二節(jié)兩條直線的位置關系-2025屆高三數(shù)學一輪復習講義

第二節(jié)兩條直線的位置關系

【知識梳理?歸納】

L兩條直線的位置關系

⑴位置關系

項目斜截式一般式

y=kix+bi,4%+3iy+G=0(A：+B存0),

方程

y=fex+Z?2A2x+&y+Q=0(A芻+B#0)

相交ki*k?AIB2-A2B^0

垂直kikz=3AiA2+3ib2=0

(A1B2-A2B1=0,或

(B1C2-B2clH0A

平行左i二左2,且b#b?

fA1B2-A2B1=0,

(A1C2-A2C1W0

AiB2-A2Bi=BiC2-

重合M二42,且歷二岳

82cl=AiG-A2ci=0

(2)交點坐標

若直線/i：Aix+Biy+G=O(力什B3r0),

/2加+&“2=0(段噲0)相交則h與12的交點坐標就是方程組償:々的解.

2.三種距離公式

⑴兩點間的距離公式

①條件:點Pi(xi,yi),P2(X2,y2).

②結論：|P1BI=J(“2-X])2+①4)2-

③特例:點P(x,y)到原點0(0,0)的距離|。尸|=J%2+y2

(2)點到直線的距離

點尸(無。,把)到直線l-.Ax+By+C=Q的距離^|AX°+gjo+C,.

VA2+正

(3)兩條平行直線間的距離

兩條平行直線/i：Ar+By+Ci=0與/2：Ax+By+C2=0間的距離d=尸

VA2+B2

【微點撥】A

點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時,應先將直線方程化為一般式，且尤的系數(shù)對應相等.

【基礎小題?自測】

類型辨析改編易錯

題號12,34.5

1.(多維辨析)(多選題)下列結論正確的是()

A.若兩條直線斜率相等，則兩直線平行

B.若則k\=k2

C.若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在,則兩直線相交

D.若兩直線斜率都不存在,則兩直線平行或重合

【解析】選CD.A.兩直線有可能重合，故A錯誤；

B.可能出現(xiàn)兩直線斜率不存在的情況，故B錯誤：

C.若兩直線中有一條直線的斜率不存在則直線垂直于x軸.另一條直線的斜率存在，則直線不與x軸垂直，所

以兩直線相交，故C正確.

D.兩直線斜率都不存在，可能重合，可能平行，故D正確.

2.（選擇性必修第一冊P57例5變形式）以A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）為頂點的三角形是（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.以A為直角頂點的直角三角形

D.以B為直角頂點的直角三角形

【解析】選D.直線AB的斜率心肝中手，直線BC的斜率法=券=2,

由kAB-kBC=-}.^AB±BC,

故AABC是以B為直角頂點的直角三角形.

3.（選擇性必修第一冊P57練習T2變條件）若直線3尤-2y-l=0與3x-ay+6=0平行，則a=（）

A.-2B.-lC.-D.2

2

【解析】選D.由題意|二,則。=2.經檢驗兩條直線不重合.

2a

4.（忽視直線斜率不存在的情形致誤）侈選題）若4（九3）,8（2打徵+4）,。（徵+1,3）,。（1,0）,且直線AB與CD平行，則

機的值為（）

A.-lB.OC.lD.2

【解析】選BD.當AB與CD的斜率均不存在時，片2m,加+1=1,故得m=0,此時AB//CD;

當即*0時,附工未解得片2,止匕時AB//CD.

5.（誤用兩平行線間的距離公式致誤）直線Zi：3x+4y-7=0與直線Z2:6x+8y+l=0之間的距離為（）

OO

A.8B.4C.-D.-

52

【解析】選D.因為/1〃/2,所以直線h與直線/2之間的距離公興=|.

V6Z+8Z2

【巧記結論速算】

1.直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2￥0)平行的直線系方程是Ax+By+m=Q(meR,且m^C).

⑵與直線Ar+By+C=O(A2+82￥0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=O(nGR).

(3)過直線/Mx+Biy+Ci=O(國+比加)與/2：A2x+B2y+C2=0(掰+B知0)的交點的直線系方程為

Aix+Biy+Ci+a(AM+B2y+C2)=0(/lGR),但不包括li.

2.點關于特殊的直線的對稱問題的結論：

點的坐標對稱直線對稱點的坐標

y=x—

y=-xGyo,-xo)

點尸(xo,yo)

x+y+t=0(1-yo,-￡-%o)

x-y+t=0Oo-^xo+O

【即時練】

1.過點(1,0)且與直線『2廣2=0平行的直線方程是()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x+y-2=QD.尤+2y-l=0

【解析】選A.因為所求直線與直線x-2y-2=0平行，所以設直線方程為x-2y+c=0,又直線經過點(1,0X得出c=-l,

故所求直線方程為『2y-l=0.

2.設"BC的一個頂點是A(3,-1),/B,NC的平分線的方程分別是x=0，尸x,則直線BC的方程是()

A.y=3x+5B.y=2x+3

x5

C.y=2x+5D.尸沃

【解析】選C.A關于直線x=0的對稱點是4(3-1),關于直線尸的對稱點是/"(-1,3),由角平分線的性質可

知，點4d均在直線BC上，所以直線BC的方程為廣2x+5.

【核心考點?分類突破】

考點一兩條直線的平行與垂直

[例1](一題多法)已知直線/i：ax+2y+6=0和直線l2：x+(a-l)y+a2-l=0.

⑴試判斷a為何值時/與h平行;

【解析】⑴方法一:當〃=1時,/i：x+2y+6=0j2：T=0Ji不平行于＜2；

當a=Q時,/i：y=-3,/2：x-y-l=0,/i不平行于；2；

a_1

2l-a,

(-3*-(a+1),

解得。=得

綜上可知，當a=-l時,/“瓦

2

方法二:顯然存0///h則匕?豐萼a(a-l)-lx2=0,(a-a-2=0,

a26Ia(a2-l)-lx6W0ta(a2-l)H6,

可得。=1,故當a=-l時

[例1](一題多法)已知直線/i：依+2y+6=0和直線/2：x+(〃-l)y+〃2-i=o.

(2)當/」/2時，求〃的值

【解析】(2)方法一:當a=\時,/i：x+2y+6=0,/2：D,/i與，2不垂直，故。=1不成立；

當。=0時,/i：產-3,/2：x-y-l=0,/i不垂直于以故〃=0不成立；

當即且分0時,/i：產-3-3,

/2：產各-3+1),由(-》專=-1,得a=|.

方法二:由442+8出2=0狷4+231)=0,可得a=|.

【解題技法】

1.已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行或垂直的方法

(1)兩直線平行=兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；

(2)兩直線垂直o兩直線的斜率之積等于1

提醒:當直線斜率不確定時.要注意斜率不存在的情況.

2.由一般式確定兩直線位置關系的方法

直線方程/iAx+3iy+G=0(A,+B存0)

/2：Azx+&y+C2=0(A[+B纖0)

八與/2平行的

(A-￡B2=A2B]

(A1C2WA2cl(或B1C2HB2ci)

充要條件

/1與h垂直

AiAz+Bi&u。

的充要條件

/1與，2相交

的充要條件

/1與/2重合

A[二B1二J

*1B2C?

的充要條件

提醒在判斷兩直線的位置關系時比例式F與小氈勺關系容易記住，在解答選擇題、填空題時,建議多用比例

式來解答.

【對點訓練】

1.（2024?合肥模擬）直線h：x+ay-l=0與直線l2：ax+y+l=0平行，則〃=（）

A.OB.lC.-lD.1或-1

【解析】選B.因為直線h：x+ay-l=0與直線h：ax-^-y+l=0平行，所以lxl=〃x〃，

所以a=l或〃=-1.當a=-l時直線li：x-y-l=0與直線/2：-x+y+l=0重合,舍去，

故〃=L

2.（2024?貴陽模擬）已知直線/1：3”+3=0,/2：21->3=0,若/i±以貝!]m的值為（）

11

A.-B.-C.2D.3

23

【解析】選A.因為直線/i：mx+y+3=0,/2：2%-y+3=0,若/」/2廁2怔1=0,解得m=|.

【加練備選】

若a,b為正實數(shù)，直線2x+（2〃-4）y+l=0與直線2Z?x+y-2=0互相垂直，則ab的最大值為，

【解析】由兩直線垂直得4b+2/4=0,

即2=°+2處2V2ab

當且僅當“=1,號時，等號成立，故ab的最大值為點

考點二距離問題

［例2］⑴已知直線3x+y-3=0和6x+my+l=0互相平行,則它們之間的距離是()

A.4B至C3D.也

20420

【解析】選D.由直線平行可得3%6=0,解得根=2,因此直線方程為6x+2y+l=0,即3x+y+),則所求距離是

l|+3|_7V10

V32+l220.

⑵過點4-1,2),到原點的距離等于1的直線方程為3x+4y-5=o或x=?l.

【解析】當直線的斜率存在時，設所求直線的斜率為匕則直線的方程為y-24(x+l),

即kx-y+k+2=0.

由題意可得黑＞1,解得上指因此所求直線的方程為3x+4y-5=0.當直線的斜率不存在時，直線x=-l滿足題

意.

綜上.所求直線的方程為3x+4y-5=0或尸-L

一題多變

［變式1］將例⑴變?yōu)?求到兩平行直線3x+y-3=0和6x+my-l=0距離相等的直線的方程.

【解析】由題意得解得機=2,

將直線3x+y-3=0化為6x+2y-6=0,

則所求直線方程可以設為6x+2y+D(用-1,且佚6),

由歸+1|二歸+6|解得7

R后不屈仔'用牛1守L2'

因此所求直線的方程為6x+2y-|=0.

［變式2］將例⑴變?yōu)?已知兩直線3x+y-3=0和6x+2y-l=0,點21(孫男),尸2(孫丁2)分別在兩條直線上運動，求

(xi-X2)2+(yi-y2)2的最小值.

【解析】(為-%2)2+。l)2的幾何意義是點尸1(孫％),尸2(%2,次)之間距離的平方，

由題意知,兩直線3%+'-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-l=0平行，

因此該距離的最小值即兩條平行直線間的距離，品卷=島=乎.

22

可知(x1-%2)+(yi-y2)的最小值為

【解題技法】

距離問題的求解策略

⑴點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式求解，注意直線方程應為一般式.

⑵兩平行線間的距離的求法

①利用,轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.

②利用兩平行線間的距離公式求解，利用公式前需把兩平行線方程化為一般式，且的系數(shù)對應相等,即一

定要化成/i：Ar+By+Ci=012：Ax+By+C2=0的形式.

【對點訓練】

1.已知點A(3,3a+3)與點8(凡3)之間的距離為5,則實數(shù)。的值為()

A.-lBgC.-1或qD.1或-晟

【解析】選C.因為點A(3,3a+3)與點8Q3)之間的距離為5,可得

\AB\=l(a-3)2+(3-3a-3)2=J(a-3)2+(-3a)2=5,

整理得10。2-6°-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-l或o=|.

2.(2024.北京模擬)設cl為動點P(cos0,sin0)到直線x-y-2=0的距離，則d的最大值為()

A.V2-1B.—C.1+V2D.3

2

【解析】選C.點P(cos0,sin0)到直線x-j-2=0的距離上竿強”=

J#+(-1)2

|V2cos（0+^）-2|

因為-1WCOS（8+：）W1,則-&-2盤岳0$（。+已）-2?^-2,所以當cos（e+：）=-l時,

t/max=l-^2-1+V2.

3.（2024.青島模擬）若動點A（xi,yi）,B（X2j2）分別在直線/i：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動，則AB的中點做到原點

距離的最小值為（）

A.3V2B.2C.V2D.4

【解析】選A.由題意知，點M在直線h與/2之間且與兩直線距離相等的直線上，

設該直線方程為x+y+c=0,則詈=詈，即c=-6,所以點M在直線x+y-6=0上，

所以點M到原點的距離的最小值就是原點到直線x+y-6=0的距離，即號=3段.

【加練備選】

（2024?遂寧模擬）拋物線y=f上的點P到直線x-y-2=0距離的最小值為（）

A延B,延C.逋D.V2

888

【解析】選C.設拋物線產？上一點為尸（的,詔），

點P（xo,據倒直線尤*2=0的距離d噂屆一打+ZI

VzyzIZ41

所以當xo=*即P（泊時倒直線廣廣2=0的距離最短,為乎.

考點三對稱問題

【考情提示】

對稱問題常常涉及中點坐標、兩條直線的垂直關系及直線方程的求解等問題，其中掌握中心對稱及軸對稱滿

足的幾何條件是解決此類問題的關鍵.

角度1中心對稱問題

［例3］直線,r-2y-3=0關于定點加（-2,1）對稱的直線方程是x-2v+U=0.

【解析】設所求直線上任一點（x,y）,

則關于M(-2,l)的對稱點(-4-x,2-y)在已知直線上，所以所求直線方程為

(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+l1=0.

【解題技法】

中心對稱問題的解法

=2a-x9

=2b-y.

(2)直線關于點的對稱問題可轉化為點關于點的對稱問題來解決.

角度2軸對稱問題

［例4］(1)已知點A的坐標為(-4,4),直線/的方程為3尤+廣2=0,則點A關于直線I的對稱點A的坐標為3.

y-4=1

44二3'"4解得匕I獨斤以點A的坐標為(2,6).

{3x>+2=。，3一6，

(2)直線2x-y+3=0