2024年河南中考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)?全解全析

第倦

選擇題（共io小題,滿分30分，每小題3分）

1.-3的絕對值是（)

A.3B.-3C.3或-3D.工或」

33

【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)即可求解.

【解答】解：?.1-3|=3,

-3的絕對值是3.

故選：A.

2.風(fēng)云二號是我國自行研制的第一代地球靜止氣象衛(wèi)星,它在地球赤道上空距地面約35800

公里的軌道上運行.將35800用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（)

A.0358x105B.35.8x103C.3.58義105D.3.58x104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中1<|?|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時,

要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)

絕對值N10時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

【角星答】角星：35800=3.58x104.

故選：D.

3.圖①是2023年6月11日吉林市全程馬拉松男子組頒獎現(xiàn)場.圖②是領(lǐng)獎臺的示意圖，則

此領(lǐng)獎臺的主視圖是（)

/正面

圖①圖②

A.[

B.I?…」

C.

D.目

【分析】根據(jù)主視圖是從幾何體的正面觀察得到的視圖進行判斷即可.

【解答】解：領(lǐng)獎臺從正面看，是由三個矩形組成的，右邊的矩形是最低的，中間的矩形

是最高的,

故選：A.

4.如圖，直線?！◤闹苯侨切稳鐖D放置，ZDCB=90°,若Nl+N8=65。，則N2的度數(shù)為

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得N3=N1+N5,再根

據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補列式計算即可得解.

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可得,Z3=Z1+ZS=65°,

'：a//b,ZDCB=90°,

：.Z2=180°-Z3-90°=180°-65°-90°=25°.

5.下列運算正確的是()

A.a2*ai=a4B.(a/?3)2=a2b3

C.(2a-b)2=4a2-2ab+b2V(-a)2=lfll

【分析】利用二次根式的化簡的法則，完全平方公式，同底數(shù)幕的乘法的法則，積的乘方

的法則對各項進行運算即可.

【解答】解：4〃2“3=〃5,故4不符合題意；

B、Cab3)2=a2b6,故B不符合題意；

C、(2a-b)2=4a2-4ab+b2,故C不符合題意;

D、4(-a/=|a|，故。符合題意;

故選：D.

6.如圖，點2、B、尸在。。上，若N/O8=80。，則N4P8的度數(shù)為()

C.50°D.40°

【分析】直接利用圓周角定理求解.

【解答】解：ZAPB=^ZAOB=^x80°=40°.

22

故選：D.

7.若一次函數(shù)了=ax+b的圖象經(jīng)過第二'三、四象限，則二次函數(shù)了="2+區(qū)的圖象只可能

【分析】根據(jù)一次函數(shù)了="+。的圖象經(jīng)過第二、三、四象限判斷出。、6的符號，從而判

斷出函數(shù)開口方向，對稱軸的位置，據(jù)此即可判斷.

【解答】解：?.?一次函數(shù)了="+。的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

.*.4/<0,Z?<0,

???二次函數(shù)了="2+區(qū)的開口向下，對稱軸在J軸左側(cè)，

故選：C.

8.人類的性別是由一對性染色體（x,y）決定，當(dāng)染色體為立時，是女性；當(dāng)染色體為打

時，是男性.如圖為一對夫妻的性染色體遺傳圖譜，如果這位女士懷上了一個小孩，該小

孩為女孩的概率是（）

【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，再由概率

公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下:

共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種,

.,.該小孩為女孩的概率為2=工，

42

故選：C.

丈夫X*

AA

妻子XXXX

9.一元二次方程/+》=0的根的情況為（)

A.沒有實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.有兩個不相等的實數(shù)根

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出八=1>0,進而即可得出方程/+》=0

有兩個不相等的實數(shù)根.

【解答】解：b=l,c=0,

.*.A=&2-4ac=I2-4x1x0=l>0,

???方程/+尸0有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：D.

10.如圖所示，邊長為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個橫截面.一束光線班沿著與N8邊垂

直的方向射入到5c邊上的點。處（點。與8,C不重合），反射光線沿。9的方向射出去,

DK與8C垂直，且入射光線和反射光線使NMDK=NFDK.設(shè)的長為x,△。內(nèi)。的面

積為丹則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的（）

A.B.

【分析】先根據(jù)△ZBC是邊長為2的等邊三角形及分別用x表示出8。、CD-,再

證明NQFC=90。，進而用含x的式子表示出PC和陽，則可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

觀察圖象即可得出答案.

【解答】解：：△NBC是邊長為2的等邊三角形，

AZB=ZC=6Q°,BC=2,

,：MELAB,

，ZBED=90°,

：.NBDE=30。,

又?：BE=x,ME沿著與48邊垂直的方向射入到BC邊上的點。處(點。與8,C不重合),

.,.0<x<l,

:?BD=2x,CD=2-2.x.

"?ZMDK=ZFDK,Z)K與5c垂直，

ZCDF=/BDE=3U°,

：.ZZ)FC=180°-ACDF-ZC=90°,

.\FC——CD=—(2-2x)—1-x,FD=CZ>sin60°=(2-2x)x^l_=y(1-x),

222

：.y=^-FC*FD

2

=—(1-X)x百(1-x)

2

=近(l-x)2.

2

函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x=1.

故選：A.

第n卷

填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)

11.要使工有意義，則x的取值范圍是n-1.

x+1

【分析】根據(jù)分式有意義的條件，求解即可.

【解答】解：要使分式工有意義，

x+1

需滿足x+19.

即X#-1.

故答案為：x#-l.

，2x<3

12.不等式組x+3-的解集是-1〈爛旦.

-^->12

【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分.

'2x43①

【解答】解：]空I>[②，

解不等式①，得

解不等式②，得x>7,

所以不等式組的解集為1〈爛3.

2

故答案為：1〈忘區(qū).

2

13.某運動隊要從甲、乙、丙、丁四名跳高運動員中選拔一人參加比賽，教練組統(tǒng)計了最近幾

次隊內(nèi)選拔賽的成績并進行了分析，得到表：

甲乙丙T

平均數(shù)(cm)176173175176

方差10.510.532.742.1

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，教練組應(yīng)該選擇甲參加比賽(填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”).

【分析】首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時選擇方差較小的運動員參加即可.

=

【解答】解：XEfiXT>乂丙>X乙，

???從甲和丁中選擇一人參加，

甲2Vs丁2,

/.教練組應(yīng)該選擇甲參加比賽；

故答案為：甲.

14.如圖，在△NBC中，AB=AC=6cm,ZBAC=50°,以Z8為直徑作半圓，交8c于點。,

交ZC于點區(qū)則弧?！甑拈L為—&cm.

—6—

C

【分析】連接。及OD,由等腰三角形的性質(zhì)推出NC=N0Q3,得到OD〃/C,推出N￡。。

=/AEO,由OE=CM,Z0EA=ZBAC=5Q°,因此NNEOQ=NA4C=50。，由弧長公式

即可求出前的長.

【解答】解：連接OE,0D,

?：OD=OB,

：.ZB=ZODB,

'：AB=AC,

：.NB=NC,

:./C=/ODB,

：.OD//AC,

：.ZEOD=ZAEO,

"：OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

：.ZEOD=ZBAC=50°,

OD=—AB=—><6=3(cm),

22

???施的長=園工^■=&(cm).

1806

故答案為:乎

15.已知△48C中，AB=AC=2,/BAC=90。,直角NEP尸的頂點尸是8C的中點，兩邊尸￡、

PF分別交4B、ZC于點E\F,給出以下四個結(jié)論：?AE=CF；②tan/PEF=叵；③S^EPF

3

的最小值為工；?S四邊形/石尸尸=1■當(dāng)NE尸尸在△4BC內(nèi)繞頂點尸旋轉(zhuǎn)時（點￡不與2、8重

合），上述結(jié)論中始終正確的有①③⑷.

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等.根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷.

【解答】解：,??N4PE、NCP/都是N4PE的余角，

/.ZAPE=ZCPF,

,；AB=AC,ZBAC=90°,尸是8c中點，

：.AP=CP,

^'：AP=CP,ZEPA=ZFPC,

:.XAPEQXCPF(ASA),同理可證m△APE,

：.AE=CF(故①正確)，△￡/不是等腰直角三角形(最小值為1,tanZPEF1,故②錯誤

③正確)，s四邊形力￡7斤=勢△/BC=1(故④正確)，①③④正確；

故答案為：①③④.

三.解答題(共8小題，滿分75分)

16.(10分)⑴計算：^27-(1)°+2-2；

(2)化簡：三二1.(1-2).

XX

【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)幕運算，負整數(shù)指數(shù)幕運算，將式子化為3-1+工,再求值即可;

4

(2)將分式化為(x+2)(x-2).上,再化簡即可.

xx-2

【解答】解:(1)^27-(1)0+2-2

=3-1+1

4

=2.

4,

9

(2)(1-2-)

XX

二(x+2)(x-2)-x-2

XX

=(x+2)(x-2).x

xx-2

=x+2.

17.(9分)某社區(qū)為了加強社區(qū)居民對新型冠狀病毒肺炎防護知識的了解，通過微信群宣傳

新型冠狀病毒肺炎的防護知識，并鼓勵社區(qū)居民在線參與作答《2020年新冠病毒防治全國

統(tǒng)一考試(全國卷)》試卷，社區(qū)管理員隨機從甲、乙兩個小區(qū)各抽取20名人員的答卷成

績，并對他們的成績(單位：分)進行統(tǒng)計、分析，過程如下:

收集數(shù)據(jù)

甲小區(qū)：85809510090958565758590907090100808090

(3)社區(qū)管理員看完統(tǒng)計數(shù)據(jù)，認為甲小區(qū)對新型冠狀病毒肺炎防護知識掌握更好，請你

寫出社區(qū)管理員的理由(至少寫出一條).

【分析】(1)數(shù)出甲小區(qū)80〈爛90的數(shù)據(jù)數(shù)可求a；甲小區(qū)90〈爛100的數(shù)據(jù)數(shù)可求A；根

據(jù)中位數(shù)的意義，將乙小區(qū)的抽查的20人成績排序找出處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)即

可為中位數(shù)，從甲小區(qū)成績中找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)；

(2)抽查甲小區(qū)20人中成績高于90分的人數(shù)有5人，因此甲小區(qū)成績大于90分的人數(shù)

占抽查人數(shù)至求出甲小區(qū)成績大于90分的人數(shù)即可；

20

(3)依據(jù)表格中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等比較做出判斷即可.

【解答1解：⑴a=8,b=5,

甲小區(qū)的出現(xiàn)次數(shù)最多的是90,因此眾數(shù)是90,即c=90.

中位數(shù)是從小到大排列后處在第10、11位兩個數(shù)的平均數(shù)，

由乙小區(qū)中的數(shù)據(jù)可得處在第10、11位的兩個數(shù)的平均數(shù)為(80+85)+2=82.5,

因此d=82.5.

(2)600X_L=150(人).

20

答：估計甲小區(qū)成績大于90分的人數(shù)是150人.

(3)根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)，甲小區(qū)對新型冠狀病毒肺炎防護知識掌握得更好，理由是：甲小

區(qū)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都比乙小區(qū)的大.

故答案為：8,5,90,82.5.

18.(9分)如圖，在直角坐標平面內(nèi)，函數(shù)y=螞(x>0,也是常數(shù))的圖象經(jīng)過Z(1,4),

X

BQ,b),其中。>1.過點Z作X軸垂線，垂足為C,過點8作了軸垂線，垂足為。，連

接AD,DC,CB.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若的面積為4,求點B的坐標；

(3)求證：DC//AB.

【分析】(1)函數(shù)y=典的圖象經(jīng)過Z(1,4),可求根=4,則答案可求出，

X

(2)由△25。的面積為4,即L(4-1)=4,得。=3,則答案可求出；

2a

(3)得出至4且ZCED,證明△ZEBsaCEQ,得出ZABE=ZCDE,則。C〃4B.

DECE

【解答】(1)解：???函數(shù)了=螞(x>0,掰是常數(shù))圖象經(jīng)過2(1,4),

X

/.m=4,

(2)設(shè)BD,ZC交于點E,據(jù)題意，可得5點的坐標為Q,A),。點的坐標為(0,A),

aa

E點的坐標為（1,A）,

：.DB=a,AE=4-1.

a

的面積為4,

，工（4--）=4,

2a

解得。=3,

???點8的坐標為（3,A）；

（3）證明：據(jù)題意，點。的坐標為（1,0）,DE=1,

:.EC=￡BE=a-1,

a

?BEAE

??，——■

DECE

ZAEB=ZCED,

：.AAEB^ACED,

：.ZABE=ZCDE,

:.DC〃AB；

19.（9分）如圖，Z處有一垂直于地面的標桿ZM,熱氣球沿著與的夾角為15。的方向升

空，到達8處，這時在Z處的正東方向200米的C處測得8的仰角為30°C4M、8、C在

同一平面內(nèi)）.求幺、8之間的距離.（結(jié)果精確到1米，V2-1.414）

B

【分析】過點Z作垂足為。，根據(jù)題意可得：NC=200米，ZBAC=105°,ZC

=30°,從而利用三角形內(nèi)角和定理可得N4S￡>=45。，然后在中，利用含30度角

的直角三角形的性質(zhì)可得幺。=100米，再在RtZUB。中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計

算，即可解答.

【解答】解：過點幺作/DL5C,垂足為。，

由題意得：ZC=200米，ZBAC=900+15°=105°,ZC=30°,

/.ZABD=180°-ABAC-ZC=45°,

在Rt^/CQ中，ZC=30°,

.?.4D=LC=1OO（米）,

2

在中，AB=—典寸=粵=10°&句41（米），

sin45

~2~

.'.A.8之間的距離約為141米.

20.（9分）夏季即將來臨，空調(diào)的銷售逐漸火起來，某商行去年7月份銷售某品牌N型號空

調(diào)總額為32萬元，由于原材料漲價，今年該型號空調(diào)銷售單價比去年提高了400元.若今

年7月份與去年7月份該型號空調(diào)銷售量相同，則今年7月份該型號空調(diào)的銷售總額將增

加25%.

該品牌Z,8兩種型號空調(diào)的進貨和銷售價格表如下：

N型號8型號

進貨價格(元/臺)11001400

銷售價格(元/臺)今年的銷售價格2400

(1)求今年7月份該品牌N型號空調(diào)的銷售單價;

(2)商行準備購入該品牌Z型號空調(diào)和8型號空調(diào)共400臺，且8型號空調(diào)進貨數(shù)量不超

過Z型號空調(diào)數(shù)量的2倍，應(yīng)如何進貨才能使這批空調(diào)獲利最多？

【分析】(1)設(shè)今年7月份該品牌Z型號空調(diào)的銷售單價為x元，則去年7月份該品牌Z

型號空調(diào)的銷售單價為(x-400)元，利用銷售數(shù)量=銷售總價+銷售單價，結(jié)合今年7月

份與去年7月份該型號空調(diào)銷售量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得

出結(jié)論；

(2)設(shè)購進Z型號空調(diào)機臺，則購進8型號空調(diào)(400-m)臺，根據(jù)8型號空調(diào)進貨數(shù)

量不超過Z型號空調(diào)數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于機的一元一次不等式，解之即可得出掰的

取值范圍，設(shè)購進的這批空調(diào)全部售出后獲得的利潤為w元，利用總利潤=每臺的銷售利

潤x銷售數(shù)量(進貨數(shù)量)，即可得出叩關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即

可解決最值問題.

【解答】解：(1)設(shè)今年7月份該品牌/型號空調(diào)的銷售單價為x元，則去年7月份該品

牌幺型號空調(diào)的銷售單價為(x-400)元，

依題意得：300000=300000*(1+25%)

x-400x

解得：x=2000,

經(jīng)檢驗，x=2000是原方程的解，且符合題意，

答：今年7月份該品牌幺型號空調(diào)的銷售單價為2000元.

(2)設(shè)購進/型號空調(diào)掰臺，則購進8型號空調(diào)(400-m)臺，

依題意得：400-m<2m,

解得：

設(shè)購進的這批空調(diào)全部售出后獲得的利潤為w元，貝ljw=(2000-1100)m+(2400-1400)

(400-m)=-100m+400000,

-100<0,

.*.w隨m的增大而減小，

又?.?根之等，且能為正整數(shù)，

，當(dāng)加=134時，w取得最大值，此時400-掰=400-134=266.

答：當(dāng)購進2型號空調(diào)134臺，8型號空調(diào)266臺時，才能使這批空調(diào)獲利最多.

21.(9分)如圖，48為。。的直徑，C、E為。。上的兩點，過點￡的切線交C8的延長線于

點。，且連接CE,AE.

(1)求證：/ABC=2/4；

(2)若。。半徑為、而，AB-.BD=5：1,求ZE的長.

【分析】⑴連接利用圓的切線的性質(zhì)定理和平行線的判定與性質(zhì)得到NNBC=N80E,

利用圓周角定理和等量代換即可得出結(jié)論；

(2)連接8。，利用圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)和相似三角形

的判定與性質(zhì)求得線段BE的長，再利用勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OE,如圖，

,..DE為。。的切線，

OELDE,

■:CDJLDE,

：.OE//CD,

：.ZABC=/BOE.

"：ZBOE=2ZA,

：.NABC=2NA；

(2)解：連接BE,

半徑為AB：BD=5：1,

:.AB=2泥,BD=2"5.

5

?.,4B為。。的直徑，

NAEB=90°,

：.ZAEB=ZD=90°.

'JOELED,

：.Z0EB+ZBED=9Q°.

,：OB=OE,

：.ZOEB=ZOBE,

：.ZOBE+ZBED=90°.

"：ZOBE+ZA=90°,

：.ZA=ZBED,

：.AABE^AEBD,

???A--B-=---B--E-■

BEBD

:.BG=AB?BD=2娓X2^_=4,

5

：.BE=2.

，4E=7AB2-BE2=V（2/5）2-22=4-

r

22.(10分)如圖，拋物線了="2+區(qū)+4與x軸交于點N(-2,0)和點8(4,0),與y軸交

于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點尸為拋物線位于第一象限上一個動點，過點尸作尸軸于點。，交直線8c于點

Q,求線段尸。的最大值；

(3)點〃(-2,8),N(3,8),將拋物線向上平移機個單位，若平移后的拋物線與線段

"N只有一個公共點，直接寫出機的取值范圍.

y

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)設(shè)p(x,-^-x^+x+4)>則。(X,-x+4),則

PQ=(-^-X2+X+4)-(-x+4)=^-X2+2X=-^-(X-2)2+2-2,即可求角星；

(3)①當(dāng)拋物線頂點落在兒W上時，則當(dāng)g=8,即可求解；②當(dāng)拋物線經(jīng)過點加(-2,8)

時，?(-2-1)24|如，即可求解?

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為：尸a(x+2)G-4)=a(x2-2x-8),

則-8a=4,

解得：a=-—,

2

???拋物線的解析式為y=-1x2+x+4；

(2)如圖：

對于yn-^x'+x+d，當(dāng)x=0時，y=4,則點C(0,4),

,:B(4,0),

直線BC的解析式為v=-x+4.

設(shè)P(X,-Jx\x+d)，則0(x,-x+4),

?*,PQ=(3x2+x+4)-(-x+4)=-^-x2+2x=-^~(x-2)2+2-2,

當(dāng)x=2時，尸。的最大值是2；

(3)拋物線丫=去2+*+4=46-1)2+1向上平移機個單位后解析式為

???平移后的拋物線的頂點坐標為(1,l+m),

①當(dāng)拋物線頂點落在上時，則?1—=8，

解得![!="■■

②當(dāng)拋物線經(jīng)過點河(-2,8)時，8=蔣(一2-1)24用,

解得加=8；

當(dāng)拋物線經(jīng)過點N(3,8)時，S^CS-D^+m-

解得m號，

...￡^<1^8時，滿足題意.

綜上所述，私總或?<同&

23.(10分)綜合與實踐

【問題情境】

在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

如圖1,將：矩形紙片48CD沿對角線ZC剪開，得至必48。和△NCD并且量得48=2加,

AC=4cm.

【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)將圖1中的△NC。以點Z為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)Na,使Na=NA4C,得到

如圖2所示的△ZC。，過點C作/C的平行線，與。C的延長線交于點￡,貝IJ四邊形ZCEC

的形狀是菱形.

(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△/C。以點Z為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使8、4、D三

點在同一條直線上，得到如圖3所示的△ZCD,連接CC,取CC的中點R連接Z尸并延

長