2024-2025學年新教材高中數(shù)學課后素養(yǎng)落實十九2.5.1橢圓的標準方程含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(十九)橢圓的標準方程(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若曲線eq\f(x2,1－k)＋eq\f(y2,1＋k)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是()A．k＞1 B．k＜－1C．－1＜k＜1 D．－1＜k＜0或0＜k＜1D[∵曲線eq\f(x2,1－k)＋eq\f(y2,1＋k)＝1表示橢圓，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k＞0，,1＋k＞0，,1－k≠1＋k，))解得－1＜k＜1，且k≠0．]2．已知點M是平面α內(nèi)的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面α內(nèi)的兩個定點，則“點M到點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值”是“點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件C[若點M到點F1，F(xiàn)2的距離之和恰好為F1，F(xiàn)2兩點之間的距離，則軌跡不是橢圓，所以前者不能推出后者．依據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為常數(shù)2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分條件，故選C．]3．已知橢圓eq\f(x2,8)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值是()A．8B．2eq\r(2)C．10D．4eq\r(2)A[由橢圓的定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝8(當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號)．]4．已知△ABC的周長為20，且頂點B(0，－4)，C(0，4)，則頂點A的軌跡方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)B[∵△ABC的周長為20，頂點B(0，－4)，C(0，4)，∴BC＝8．AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，焦點在y軸上，∴a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴點A的軌跡方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．]5．以坐標軸為對稱軸，兩焦點的距離是2，且過點(0，2)的橢圓的標準方程是()A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C[若橢圓的焦點在x軸上，則c＝1，b＝2，得a2＝5，此時橢圓方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦點在y軸上，則a＝2，c＝1，b2＝3，此時橢圓方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1．]二、填空題6．已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓與x軸的一個交點到兩焦點的距離分別為3和1，則橢圓的標準方程為________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3，,a－c＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1.))故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．]7．已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則橢圓的方程為________．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．∵橢圓經(jīng)過點P1，P2，∴點P1，P2的坐標適合橢圓方程．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1．]8．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為eq\r(3)的正三角形，則b2＝________．2eq\r(3)[由題意Seq\s\do6(△POF2)＝eq\f(\r(3),4)c2＝eq\r(3)，∴c＝2，∴a2＝b2＋4．∴點P坐標為(1，eq\r(3))，把x＝1，y＝eq\r(3)代入橢圓方程eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1中得eq\f(1,b2＋4)＋eq\f(3,b2)＝1，解得b2＝2eq\r(3)．]三、解答題9．求與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦點，且過點(3，eq\r(15))的橢圓的標準方程．[解]法一：因為所求橢圓與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝25－9＝16．設(shè)所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又點P(3，eq\r(15))在所求橢圓上，所以eq\f(32,a2)＋eq\f(\r(15)2,b2)＝1，即eq\f(9,a2)＋eq\f(15,b2)＝1．②聯(lián)立①②可解得a2＝36，b2＝20，故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1．法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,25＋λ)＋eq\f(y2,9＋λ)＝1．又橢圓過點(3，eq\r(15))，則eq\f(9,25＋λ)＋eq\f(15,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21．因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋λ＞0，,9＋λ＞0，))所以λ＞－9，故λ＝－21不符合題意，舍去．故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1．10．一動圓過定點A(2，0)，且與定圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．[解]將定圓的方程化為標準形式為(x＋2)2＋y2＝62，∴圓心坐標為B(－2，0)，半徑為6，如圖．由于動圓M與已知圓B相內(nèi)切，設(shè)切點為C．∴已知圓(大圓)半徑與動圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6．依據(jù)橢圓的定義知M的軌跡是以點B(－2，0)和點A(2，0)為焦點的橢圓，且2a＝6．∴a＝3，c＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(5)，∴所求圓心的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1．1．(多選題)已知P是橢圓E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，且△F1PF2的面積為3，則下列說法正確的是()A．點P的縱坐標為3B．∠F1PF2＞eq\f(π,2)C．△F1PF2的周長為4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)CD[因為c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(8－4)＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．又△F1PF2的面積為3，△F1PF2的邊F1F2上的高為eq\f(3,2)，即點P的縱坐標為eq\f(3,2)或－eq\f(3,2)，故A錯誤．由焦點三角形面積公式可得4taneq\f(∠F1PF2,2)＝3，所以taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(3,4)＜1，故∠F1PF2＜eq\f(π,2)，故B錯誤．△F1PF2的周長等于2a＋2c＝4(eq\r(2)＋1)，故C正確．設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則有eq\f(1,2)×(4eq\r(2)＋4)r＝3，所以r＝eq\f(3,2)(eq\r(2)－1)，故D正確．]2．已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，假如線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|∶|PF2|＝()A．3∶5B．3∶4C．5∶3D．4∶3C[依題意知，線段PF1的中點在y軸上，因為原點為F1F2的中點，易得y軸∥PF2，所以PF2⊥x軸，則有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又依據(jù)橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，從而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3．]3．已知A(－1，0)，C(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過C且垂直于x軸的直線交橢圓于M，N兩點，且|MN|＝3，則橢圓的方程為________，若B是橢圓上一點，則△ABC的最大面積為________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1eq\r(3)[設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，令x＝c，則y＝±eq\f(b2,a)，由|MN|＝3，得eq\f(2b2,a)＝3，又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，結(jié)合橢圓知當B點為橢圓與y軸交點時，S△ABC的面積最大，此時S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．]4．已知點P(0，1)，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝m(m＞1)上兩點A，B滿意eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PB,\s\up9(→))，則當m＝________時，點B橫坐標的肯定值最大．5[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PB,\s\up9(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2x2，,y1＝3－2y2.))因為點A，B在橢圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\o\al(2,2),4)＋y\o\al(2,2)＝m，))得y2＝eq\f(1,4)m＋eq\f(3,4)，所以xeq\o\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(5,2)m－eq\f(9,4)＝－eq\f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以當m＝5時，點B橫坐標的肯定值最大，最大值為2．]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩焦點，B為橢圓上的點且坐標為(0，－1)．(1)若P是該橢圓上的一個動點，求|eq\o(PF1,\s\up9(→))|·|eq\o(PF2,\s\up9(→))|的最大值；(2)若C為橢圓上異于B的一點，且eq\o(BF1,\s\up9(→))＝λeq\o(CF1,\s\up9(→))，求λ的值；(3)[JP4]設(shè)P是該橢圓上的一個動點，求△PBF1的周長的最大值．[解](1)因為橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，即|F1F2|＝2eq\r(3)，又因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝2時取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值為4，即|eq\o(PF1,\s\up9(→))|·|eq\o(PF2,\s\up9(→))|的最大值為4．(2)設(shè)C(x0，y0)，B(0，－1)，F(xiàn)1(－eq\r(3)，0)，由eq\o(BF1,\s\up9(→))＝λeq