2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章統(tǒng)計(jì)案例3獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE§3獨(dú)立性檢驗(yàn)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是2×2列聯(lián)表？2．什么叫作獨(dú)立性檢驗(yàn)？1.2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝A1；變量B：B1，B2＝B1．2×2列聯(lián)表如表：B1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；d表示變量A取A2，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)定義：利用隨機(jī)變量χ2來推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對(duì)變量的獨(dú)立性進(jìn)行檢驗(yàn)，①當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)推斷變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；②當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握推斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握推斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；④當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握推斷變量A，B有關(guān)聯(lián)．有人說：“我們有99%的把握認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺癌的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？提示：觀點(diǎn)不正確.99%的把握說明的是吸煙與患肺癌有關(guān)的程度，不是患肺癌的百分?jǐn)?shù)．1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若χ2越大，則兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．()(2)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系．()(3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷肯定是正確的．()提示：(1)√(2)√(3)×2．下面2×2列聯(lián)表的χ2的值為________．Beq\x\to(B)總計(jì)A8412eq\x\to(A)21618總計(jì)102030【解析】χ2＝eq\f(30\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8×16－2×4))2,10×20×12×18)＝10.答案：103．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行同一門課程的考試，依據(jù)學(xué)生考試成果優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成果后，得到如下的列聯(lián)表．班級(jí)與成果列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390由上表供應(yīng)的數(shù)據(jù)可知，學(xué)生的成果與班級(jí)之間________．(填“有關(guān)系”或“沒有關(guān)系”)【解析】由公式得χ2＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,17×73×45×45)≈0.653.因?yàn)?.653<2.706，所以我們沒有理由說成果與班級(jí)有關(guān)系．答案：沒有關(guān)系關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)推斷二者是否有關(guān)系．【思路導(dǎo)引】結(jié)合題干數(shù)據(jù)寫出列聯(lián)表求解eq\f(a,a＋b)和eq\f(c,c＋d).【解析】2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.明顯二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．2×2列聯(lián)表的應(yīng)用(1)作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．留意應(yīng)當(dāng)是4行4列，計(jì)算時(shí)要精確無誤．(2)利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí)，首先要依據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表，然后依據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱()A．8B．9C．14D．19【解析】選C.由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．類型二用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了改變．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了n個(gè)人，其中男性占調(diào)查人數(shù)的eq\f(2,5).已知男性中有一半的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)，而女性中只有eq\f(1,3)的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)完成下列2×2列聯(lián)表：運(yùn)動(dòng)非運(yùn)動(dòng)總計(jì)男性女性總計(jì)n(2)若有95%的把握認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？【思路導(dǎo)引】(1)依據(jù)2×2列聯(lián)表的定義填表；(2)計(jì)算χ2，利用臨界值建立不等關(guān)系，求n的值．【解析】(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如表：運(yùn)動(dòng)非運(yùn)動(dòng)總計(jì)男性eq\f(1,5)neq\f(1,5)neq\f(2,5)n女性eq\f(1,5)neq\f(2,5)neq\f(3,5)n總計(jì)eq\f(2,5)neq\f(3,5)nn(2)若有95%的把握認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，則χ2＞3.841.由于χ2＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)·\f(2n,5)－\f(n,5)·\f(n,5)))\s\up12(2),\f(2n,5)·\f(3n,5)·\f(2n,5)·\f(3n,5))＝eq\f(n,36)，故eq\f(n,36)＞3.841，即n＞138.276.又由eq\f(1,5)n∈Z，故n≥140.故若有95%的把握認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有140人．解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟【變式訓(xùn)練】近年來，國(guó)資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決實(shí)行中心扶貧工作重大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推動(dòng)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了主動(dòng)成效，某貧困縣為了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，已知土地的運(yùn)用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如表所示：并調(diào)查了某村300名村民參加管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：情愿參加管理不情愿參加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相關(guān)系數(shù)r的大小，并推斷管理時(shí)間y與土地運(yùn)用面積x是否線性相關(guān)？(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參加管理的意愿具有相關(guān)性？參考公式：土地運(yùn)用面積x(單位：畝)12345管理時(shí)間y(單位：月)810132524r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參考數(shù)據(jù)：eq\r(635)≈25.2.【解析】依題意：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，故(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，(xi－eq\x\to(x))2＝4＋1＋1＋4＝10，(yi－eq\x\to(y))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，則r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理時(shí)間y與土地運(yùn)用面積x線性相關(guān)．(2)依題意，完善表格：情愿參加管理不情愿參加管理總計(jì)男性村民15050200女性村民5050100總計(jì)200100300計(jì)算得χ2＝eq\f(300×（150×50－50×50）2,200×100×200×100)＝eq\f(300×5000×5000,200×100×200×100)＝18.75>10.828，故有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參加管理的意愿具有相關(guān)性．課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．在一項(xiàng)中學(xué)生近視狀況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有勸服力()A．平均數(shù)與方差B．回來分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn)D．概率【解析】選C.推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)在探討打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾C．100個(gè)心臟病患者中肯定有打鼾的人D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有【解析】選D.這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.3．已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2的觀測(cè)值k≈4.328，χ2的部分臨界值表如表：P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879以下推斷正確的是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y有關(guān)系B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y沒有關(guān)系C．有97.5%的把握說變量X，Y有關(guān)系D．有97.5%的把握說變量X，Y沒有關(guān)系【解析】選A.因?yàn)橛^測(cè)值k≈4.328>3.841，而在觀測(cè)值表中對(duì)應(yīng)于3.841的是0.05，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y有關(guān)系．4．為大力提倡“厲行節(jié)約，反對(duì)奢侈”，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到如表的列聯(lián)表：做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015附：P(χ2≥k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到′光盤′與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到′光盤′與性別無關(guān)”C．有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到′光盤′與性別有關(guān)”D．有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到′光盤′與性別無關(guān)”【解析】選C.由表計(jì)算得χ2＝eq\f(100（45×15－3