2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的切線問題 練習(xí)題匯編（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的切線問題練習(xí)題匯編

1.如圖，是，:O的直徑，直線AC切。于點(diǎn)C,OP_LAC于點(diǎn)R連接C￡>,AO,AB,且

CD//AO.

⑴求證：A3是；。的切線；

(2)若筋=比)=10,求。尸的長.

2.如圖，AB為。的一條弦，PB切。于點(diǎn)氏PA=P3,直線P。交A3于點(diǎn)E,交「。于

點(diǎn)C.

⑴求證：叢是工。的切線；

⑵若CD〃尸ACD交直線A3于點(diǎn)。，交(。于另一點(diǎn)f

①求證：AD^CD；

②若AB=8,BZ)=2,求：。的半徑.

3.如圖，在VABC中，AB=AC=A/3,ABAC=120°,點(diǎn)。在3C上，。過點(diǎn)A和點(diǎn)艮

⑴求證：C4是的切線；

(2)點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，ZADC=90°,求CD的長.

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4.如圖，VABC內(nèi)接于。。.

⑴若NC=45。，。的半徑是2cm,求AB的長；

(2)過A點(diǎn)作(。的切線DE,求證：ZBAE=NC.

5.如圖，點(diǎn)。是以A3為直徑的，。上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作的切線，交A。的延長線于點(diǎn)

C,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接。E并延長與的延長線交于點(diǎn)尸.

(2)若OB=BF,EF=8,求AD的長.

6.如圖，在VABC中，AB=BC,A3為。的直徑，AC與。相交于點(diǎn)，過點(diǎn)。作

DEL3c于點(diǎn)E,CB延長線交(O于點(diǎn)孔

(2)若BE=1,BF=2,求的長.

7.在。中，A3為直徑，C為。上一點(diǎn).

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cD

C

圖①圖②

(1)如圖①，過點(diǎn)C作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)P,若NC4B=27。，求—P的大

小;

(2汝口圖②，。為AC上一點(diǎn)，且OD經(jīng)過AC的中點(diǎn)E，連接。C并延長，與A3的延長線相

交于點(diǎn)P,若NC4B=10。，求一尸的大小.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAABC的斜邊A3在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D,AE

平分/3AC交邊3C于點(diǎn)E,經(jīng)過點(diǎn)A、D、E的圓的圓心尸恰好在y軸上，1與y軸相交

于另一點(diǎn)G.

A\

⑴求證：BC是：歹的切線；

(2)若點(diǎn)A、。的坐標(biāo)分別為A(0,-1),。(2,0),求，:P的半徑；

⑶在(2)的條件下，求CE的長；

(4)試探究線段AG、AD.CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以AB上一點(diǎn)。為圓心，Q4的長為半徑作。，交AC,

AB分別于D,E兩點(diǎn)，連接3D,且NA=NCBD.

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C

D

A

(1)求證：BD是:。的切線;

⑵若8=2,BC=4,求4）的長度.

10.如圖,VA3C是。的內(nèi)接三角形，A3是：。的直徑，點(diǎn)。在0C的延長線上，且

⑵若/0=/昆。的半徑是4,求AD的長.

11.如圖，.ACD內(nèi)接于。，直徑力B交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作射線。尸，使得/4DF=NACD,

延長0c交過點(diǎn)2的切線于點(diǎn)E,連接BC.

Q

⑵若cr>=§CG,BE=3CE=3.

①求DE的長;

②求。的半徑.

12.如圖，AABD是:。的內(nèi)接三角形，AB邊上的中線。C經(jīng)過點(diǎn)。，過點(diǎn)。作D尸〃AB

交40的延長線于點(diǎn)P.

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(2)若OP=10,AB=12,求。的半徑長.

13.在RtZ\ABC中，NBAC=90。，ZACD=ZACB,過點(diǎn)A作ADJLCD于點(diǎn)。.AD的反

向延長線交CB的延長線于點(diǎn)E,。為VABC的外接圓(以2C為直徑).

(2)若CD=9,DE=12,求OC的長.

14.如圖，在VABC中，NC=90。，點(diǎn)尸是邊A3上一點(diǎn)，以正為直徑的。與邊8C,AC,

分別相交于點(diǎn)RE,且DE=EF.

(2)若NA=30。,3c=3,求陰影部分的面積.

15.如圖，A3是的直徑，點(diǎn)C、尸是上的點(diǎn)，MZCBF=ZS4C,連結(jié)AF,過點(diǎn)

C作AF的垂線交AF的延長線于點(diǎn)D,交AB的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)歹作PG1舫于點(diǎn)G,

交AC于點(diǎn)H.

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D

⑴求證：CE是。的切線;

⑵若NE=30。，OB=4,求弓形8CF的面積（結(jié)果保留兀）;

3

(3)若tanE=1,BE=4,求EH的長.

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參考答案:

1.(1)解：連接OC,

直線AC切。于點(diǎn)C,

:.OC±AF,

QCD〃AO,

/.ZCDO=ZAOB,ZDCO=ZAOC.

OC=OD,

.\ZCDO=ZDCO

：.ZAOB=ZAOC.

QOB=OC,OA=OA,

AOB^AOC(SAS),

,\ZABO=ZACO=90°f

是。的切線；

(2)解：延長㈤交于點(diǎn)區(qū)連接班.作5GLA尸于點(diǎn)G,

QBD為。的直徑，

:.ZBED=90°.

QDF_LAC,BG1AF,

二.四邊形G5EF為矩形，

BG=EF,/GBE=900.

至是。的切線，

.-.ZABD=90°,

.\ZABG=ZDBE.

AB=BD,

/.ABGWDBE(AAS),

:.BG=BE,

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.?.矩形G班F為正方形.

延長CO交班于點(diǎn)“，

QOC//DF,/BED=90°,

:.ZBMO=90°,

:.BM=EM,

:.OM=-DE.

2

設(shè)=貝UD￡=2x.

BD=10,

：.CO=BO=DO=5,

CM=EF=BE=5+x.

在Rt△班厄中，(5+X)2+(2X)2=100,

解得：石=3,尤2=-5(舍去)，

:.DE=6,DF=EF-DE=8-6=2.

2.(1)證明：連接。4,OB.

:.PBVOB,

:.NPBO=90°,

PA=PB,PO=PO,OA=OB,

PAgPBO(SSS),

:.ZPAO=ZPBO=90°,

：.PALOA,

是：。的切線；

(2)①證明：連接AC.

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PA=PB,OA=OB,

OP.LAB,

.\ZAEC=90°f

440=90。，

ZEAO+ZAOE=90°,ZAOE+ZAPO=90°,

..ZEAO=ZAPOf

APCD,

:.ZAPO=ZDCE,

:.ZEAO=ZDCE,

OA=OC9

.\ZOAC=ZOCA,

/.ZEAO+ZOAC=ZDCE+AOCE,

即NQAC=NDC4,

,\DA=DC.

②解：PA=PB,OA=OB,

OP.LAB,

AE=EB=-AB=4,

2

DC=DA=AB+BD=10,DE=BE+BD=6,/CED=90。,

EC=^DC2-DE2=V102-62=8，設(shè)05=0。=〃，

在RtAO￡B中，OB2=EB2+OE2,

/.r2=42+(8-r)2,

/.r=5,

，。的半徑為5.

3.(1)解：連接0A.

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---------------=30°

OA^OB,

:.ZOBA=ZOAB=30°,

ZOAC=ZBAC-ZOAB=120°-30°=90°,

即OA_LAC,

OA為。的半徑，

二。1是1O的切線.

（2）解：延長Q4交,;。于點(diǎn)E,連接OE.

ZA￡>C=90°,

\1ADC?ADE180?,

:.E、D、C三點(diǎn)共線.

設(shè)OA=OE=r,

-ZACB=30°,AC=G，ZOAC=90°,

則OC=2r,

（2r）2=，+（>/§'）,

解得r=l,r=-l（不符合題意舍去），

..丁=1,

:.AE=2,CE=4AC2+AE2=^（^）2+22=77.

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在RtAAED和RtAACD中，

S=-AE2AC-CE?AD,

*AFC22

-AE^AC2'73_2>/21

\AD^^---------

V7~~

-CE

2

AB=AB

：.ZAO3=2/C=90°,

由勾股定理得，AB=ylo^+OB2=2A/2>

AB的長為2應(yīng)；

(2)證明：如圖1,連接。4OB,

:過A點(diǎn)作。的切線DE,

ZOAE=90°,則ZOAB+NBAE=90°,

同理(1)ZAOB=2NC,

OA=OB,

180°-/AOB

NOAB=NOBA==90°-ZC

2

：.NBAE=90°一ZOAB=90°-（90°-NC）=ZC,

ZBAE=ZC.

5.(1)證明：如圖，連接?！?,BD,

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AB為1。的直徑,

在RtBOC中,

BE=EC,

DE=EC=BE,

5c是。的切線,

Z3+Z4=90°,

.?.Nl+N4=90。，

OD=OB,

.-.Z2=Z4,

/.Zl+Z2=90°,

即NO。方=90。，

??半徑OD_LO/，

，DF為。的切線；

(2)解：OB=BF,ZODF=90°,

;.OB=BD=BF=ODf

「.△Oa)是等邊三角形，

:.ZBOD=ZOBD=60°f

ZODF=ZADB=90°f

.\ZF=ZA=30°9

:.AD=DF,

/FBE=9G,

:.BE=-EF=4

29

:.DE=BE=4,

：.DF=12,

第6頁共26頁

,\AD=DF=n.

6.(1)證明：°：OB=OD,

:.ZABD=ZODB,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC,

,:DE_LAC,

：.DE八OD,

TOD是。的半徑，

DE是。的切線；

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作分于點(diǎn)”,

C

???/ODE=90。,

■:OHYBF,

：.ZOHE=90°,

9：DELBC,

???NDEH=90。,

：.ZODE=ZDEH=ZOHE=90°,

???四邊形。。石H是矩形，

：.OD=EH,OH=DE,

?：OB=OF,OHLBF,

：.BH=FH=-BF=l

2f

第7頁共26頁

EH^BE+BH=1+1=2,

：.OD=OB=EH=2,

：.AB=2OD=4,

/.在RtAOHB,

OH=JOB、-BH。="—F=5

DE=OH=A,

.?.在RtADEB,

BD=yjDE2+BE2=J(可+『=2,

是。的直徑，

ZA￡)B=90°,

.,.在RtzMDB,

AD=y/AB2-BD2=742-22=2A/3?

7.(1)解：如圖，連接OC,

,/。與尸C相切于點(diǎn)C,

OCLPC,即NOCP=90。，

ZG4B=27°,

ZCOB=2ZCAB=54°,

在Rt^POC中，ZP+ZCOP=90°,

：.ZP=90°-ZCOP=36°.

(2)解：為AC的中點(diǎn)，

ODLAC,即ZAEO=90°,

:Z.CAB=10°,

NAOE=90°-ZEAO=80°,

/.ZACD=-ZAOD=40°,

2

第8頁共26頁

在△AC尸中，ZACD=ZP+ZCAB,

：.ZP=ZACD-ZA=40o-10°=30°.

8.(1)證明：連接班，

TVABC是直角三角形，A3為斜邊，

???ZACB=90°,

???A石平分ZBAC交邊BC于點(diǎn)E,

ZFAE=ZEACf

?；EF=FA,

ZFAE=ZFEAf

???ZEAC=ZFEAf

:.EFAC,

：.ZBEF=ZBCA=90°,

:.EFYBC,

???5。是，尸的切線.

(2)解：連接也，

???點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為4(0,-1),0(2,0),

OA=1,OD=2,

設(shè)，:F的半徑為r,

OF=r-A,FD=r,

?：OF?+OD°=FD°,

.-.(r-l)2+22=r2,

解得：r=2.5,

；?萬的半徑為2.5.

(3)解：過點(diǎn)/作用交AD于點(diǎn)H,

?/FA=FD,

：.NFHD=90°,

,：ZBCA=ZFEC=90°,

.??四邊形FEC”是矩形，

FH=CE,

第9頁共26頁

V(9A=1,0D=2,

AD^y]0^+0D2=A/5>

VFA=FD,FH1AD，

AH=DH=-AD=—,

解得：FH=y[5,

CE=S

由(3)得，四邊形FECH是矩形，AH=DH=^AD,

：.CH=EF,

：AG為尸的直徑，

EF=-AG,

2

/.CH=-AG,

2

AD+CD=AC=AH+CH=-AD+-AG,

22

，2CD+AD=AG.

9.(1)連接。0、DE,

第10頁共26頁

〈A石為。直徑，

AZADE=90°,

,/ZC=90°,

???ZAZ)E=NC=90。，

:.DEI/CB,

：./EDB=/DBC,

'：OA=ODf

：.ZA=ZADOf

,:ZA=ZCBD,

：.ZA=NCBD=ZADO=NEDB,

,/ZODB=ZEDB+NODE=ZADO+AODE=ZADE=90°,

；?BD是。的切線；

(2)'：ZA=/CBD,NDCB=ZBCA,

：.ADCBs^BCA,

.CDBC

**BC-AC?

VCD=1,BC=2,

工4,

CD1

：.AD=3.

10.(1)證明：AB是直徑，

/.ZACB=90°,

/.ZB+ZBAC=90°,

/CAD=/B,

/.ZC4Z)+ZS4C=90o,即NCMD=90。，OA1AD.

又3是半徑，

第11頁共26頁

「.AT)是。的切線.

(2)?:/CAD=/B,/D=/B,

：.ZCAD=ZD.

：.AC=CD.

,/ZOAD=90°,

AZD+Zr)tt4=90°,ZCAD-^-ZOAC=90°

：.ZDOA=ZOAC.

：.OC=AC.

：.OC=CD.

：.OD=2OC=8.

:.AD=SJOD2-O^=473.

11.(1)證明：連接。Q、BD,則NACD=NABD,

?：ZADF=ZACD,

；?/ABD=ZADF,

???/B是：。的直徑，

：.ZADB=90°,

：.ZABD+ZBA￡>=90°,

???ZABF+NBAD=90。,

9：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

ZABF+ZOZM=90°,

即ZODF=9Q°,

：.OD1DF,

又???OD為。的半徑，

???O方是：。的切線；

第12頁共26頁

(2)解：①???踮是《。的切線,

AB.LBE,

：.ZABE=90°,

：.ZABC+ZCBE=90°,

???4B是O的直徑，

JZACS=90。,

J^ABC+ZBAC=90°,

:.ZCBE=ZBAC,

???/BAC=/BDC,

:.ZCBE=ZBDC,

即ZCBE=ZBDE,

又?：ZE=ZE,

:.一CBEs^BDE,

.CEBE

??=,

BEDE

,:BE=3CE=3,

：.CE=\,

??馬一DE，

：.DE=9；

DE=9,CE=\,

:.CD=DE—CE=9—1=8,

Q

?：CD=-CG,

3

3

：.CG=-CD=3,

8

ADG=CD-CG=8-3=5,GE=CG+CE=3+1=4,

第13頁共26頁

ZGBE=90°,

???BG=1GE2—BE2="2—32=幣,

■:/BAC=/BDC,ZAGC=/DGB,

:?AGCsDGB,

.AGCG

??而一疏’

AG3

即『五

:.AG—

7

?/to4廠r>廠15V7￡22A/7

??AB—AG+BG----------F，7---------,

77

???。的半徑為生笈.

7

12.1)證明：如圖，連接。3,

???。6=。4,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn),

AOCVAB,即。C

丁DP//AB,

：.DPVDC.

??,0D是。的半徑，

工。尸是。的切線.

(2)解：??,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

AC=—AB=6.

2

■:DP//AB,

：.ZP=ZOAGZPDO=ZACO.

：.NPDO^NACO.

ODDPOD105

——，即nn——二——

~OCACOC63

第14頁共26頁

設(shè)O4=OD=5x,則OC=3無.

在Rt.ACO中，

'/AO2=OC2+AC2,

(5x>=(3x)2+6?,

33

解得再=；，x2=-|(舍去).

則5尤=與.

2

即「。的半徑為￡.

13.(1)證明：如圖，連接Q4,

,\ZOAC=ZACBf

ZACD=ZACB,

.\ZOAC=ZACD,

:.OA//CD,

CDLDE,

.\OA±DEf

是。的半徑，

「.DE1是OO的切線；

(2)解：CD=9,DE=12,AD1CD

:.CE=yJcD2^DE2=15^

OA//CD,

:.4AEOs叢DEC,

.EOOA

―^C~'CD'

.15-OCOC

,?二,

159

第15頁共26頁

oc=—

:.ZFOE=ZEOD.

又;OB=OD,

:.ZOBD=ZODB.

又-,ZFOD=ZOBD+ZODB=2ZOBD,ZFOD=ZFOE+ZEOD=2ZFOE,

:.ZOBD=ZFOE.

:.OE//BC.

:.ZAEO=ZC.

又■.ZC=90°,

:.ZAEO=9Q°.

:.OE±AE.

又OE是半徑，

；.AC是(。的切線.

(2)解：過點(diǎn)。作。GJ_DE于點(diǎn)G.

則..OEG為直角三角形.

設(shè):。的半徑為九

在Rt^ABC中，ZA=30°,BC=3,ZC=90°

AB=2BC=6,AABC=60°,貝ljOA=6-r.

同理，在Rt/iAOE1中，ZA=30°,ZAEO=90°,則。4=2r

/.6—r=2r,

第16頁共26頁

解得：r=2

ZABC=60°,OD=OB

60。為等邊三角形

:.ZODB=60°

OE//BC

,\ZEOD=ZODB=60°

又二OE=OD

:._EOD為等邊三角形

ZOED=60°,DE=OE=2

?.在Rt^GO石中，OG=OE-sin60°=V3

.c_|60TTX221/T4/r

??S陰影部分=20［』一一于2、4廣丁-20

ZCBF=ZCAF

OC=OA

,\ZBAC=ZACO

:.ZCAF=ZACO

S.AD//OC

CO，A分交AF的延長線于點(diǎn)D

A?D90?

ZD=ZOCE=90°

，C￡是。的切線；

(2)連接。尸，

第17頁共26頁

由（1）可知NOCE=90。，OC垂直平分成

ZCOF=ZCOE=90°-ZE=90°-30°=60°

ZFOB=ZCOF+ZCOE=600+60°=120°

1?0°xirx4216

???―-——=—Ti,ZFOG=180°-