江西省南昌市東湖區(qū)南昌市心遠中學2024-2025學年八年級上學期11月期中數(shù)學試題

八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，42．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．如圖，已知BC＝BD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB第4題第5題第6題5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，判斷下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD6．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點A，B，P是網(wǎng)格交點）．A．30 B．45 C．60 D．75二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則∠C＝．8．計算：（15y2﹣5y）÷5y＝．9．若2x﹣5y＝3，則代數(shù)式4+4x﹣10y的值是．10．如圖，已知直線l經(jīng)過點（0，﹣1）并且垂直于y軸，若點P（﹣3，2）與點Q（a，b）關(guān)于直線l對稱，則a+b＝．11.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點M在EF上運動，則△CDM周長的最小值為．12．如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段AE，連接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，則α＝．第10題第11題第12題三、（本大題共5個小題，每小題6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x（2）3x2﹣6xy+3y214．先化簡，再求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．15．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△DEF，其中點A與點D對應，點B與點E對稱；（2）連接CD，CE，則△CDE的面積為．16．作圖：（1）已知：四邊形ABCD是等腰梯形，請你用無刻度直尺作出它的對稱軸；（2）如圖，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于點M、N，請你用無刻度直尺作出△ABC邊BC上中線．17．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分線．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周長．四、（本大題共3個小題，每小題8分，共24分）18．四個全等的長方形（長a，寬b，且a＞b）既可以拼成一個大的長方形（如圖1），也可以拼成一個正方形（如圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2．（1）繼續(xù)觀察，請你直接寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．19．如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．20.已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？五、（本大題共2個小題，每小題9分，共18分）21．我們定義：如圖1，在四邊形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，對角線BD平分∠ABC，我們稱這種四邊形為“分角對補四邊形”．（1）特例感知：如圖1，在“分角對補四邊形”ABCD中，當α＝90°時，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝DC，這個性質(zhì)是；（填序號）①垂線段最短；②垂直平分線的性質(zhì)；③角平分線的性質(zhì)；④三角形內(nèi)角和定理．（2）猜想論證：如圖2，當α為任意角時，猜想DA與DC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）探究應用：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．22.閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．（本大題共12分）23.如圖1，在平面直角坐標系中，A、B坐標為（6，0）、（0，6），P為線段AB上的一點（1）如圖1，若S△AOP＝12，求P的坐標（2）如圖2，若P為AB的中點，點M、N分別是OA、OB邊上的動點，點M從頂點A、點N從頂點O同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，則在M、N運動的過程中，線段PM、PN之間有何關(guān)系？并證明（3）如圖3，若P為線段AB上異于A、B的任意一點，過B點作BD⊥OP，交OP、OA分別與F、D兩點，E為OA上一點，且∠PEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．八年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項逐一分析即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、1+2＜5，不能組成三角形，故此選項不符合題意；B、2+2＝4，不能組成三角形，故此選項不合題意；C、2+3＝5，不能組成三角形，故此選項不符合題意．D、2+3＞4，能組成三角形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握判斷能否組成三角形的簡便方法是：較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．2．（3分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，進行判斷即可；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：A．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：A．【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】先利用多項式乘多項式法則求出（x+2）（x﹣3），再根據(jù)（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6求出m．【解答】解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6．∴m＝﹣1．故選：C．4．如圖，已知BC＝BD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB【分析】要判定△ABC≌△ABD，已知BC＝BD，AB是公共邊，具備了兩組邊對應相等，故添加AC＝AD、∠ABC＝∠ABD、∠C＝∠D＝90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ABD，而添加∠CAB＝∠DAB后則不能．【解答】解：A、添加AC＝AD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ABD，故A選項不符合題意；B、添加∠ABC＝∠ABD，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ABD，故B選項不符合題意；C、添加∠C＝∠D＝90°時，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ABD，故C選項不符合題意；D、添加∠CAB＝∠DAB，SSA不能判定△ABC≌△ABD，故D選項符合題意；故選：D．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，判斷下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD【分析】根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等高模型一一判斷即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作圖可知AD是∠CAB的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴AD＝DB，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，∴BD＝2CD，∴S△ABD＝2S△ACD，∴選項A，B，C正確，選項D錯誤．故選：D．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．6．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點A，B，P是網(wǎng)格交點）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則∠C＝80°．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合條件可求得答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴設∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，由三角形內(nèi)角和定理可得：2x+3x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝4x°＝80°，故答案為：80°．8．計算：（15y2﹣5y）÷5y＝3y﹣1．【分析】根據(jù)整式的除法運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝15y2÷5y﹣5y÷5y＝3y﹣1，故答案為：3y﹣1．【點評】本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．9．若2x﹣5y＝3，則代數(shù)式4+4x﹣10y的值是10．【解答】解：原式＝4+4x﹣10y＝4+2（2x﹣5y），∵2x﹣5y＝3，∴原式＝4+2×3＝10．故答案為：10．10．如圖，已知直線l經(jīng)過點（0，﹣1）并且垂直于y軸，若點P（﹣3，2）與點Q（a，b）關(guān)于直線l對稱，則a+b＝﹣7．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），從而可得b的值，進一步求解即可．【解答】解：∵點P（﹣3，2）與點Q（a，b）關(guān)于直線l對稱，又∵直線l經(jīng)過點（0，﹣1）并且垂直于y軸，∴a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），∴b＝﹣4，∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故答案為：﹣7．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點M在EF上運動，則△CDM周長的最小值為18．【分析】由EF垂直平分線段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得當A、D、M共線時，DM+MC的值最小，最小值就是線段AD的長，即可求解．【解答】解：連接MA，∵EF垂直平分線段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴當A、D、M共線時，DM+MC的值最小，∵AD＝13，∴DM+MC的最小值就是線段AD的長，∴△CDM周長的最小值為DM+MC+CD＝13+5＝18，故答案為：18．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱，解決最短問題，屬于中考?？碱}型．12．（3分）如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段AE，連接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，則α＝30°或60°或150°．【分析】分EB＝BC或EB＝BC或EB＝EC，三種情形，分別畫出圖形，利用正方形和等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，當EB＝BC時，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝150°，即a＝150°；如圖，當EB＝BC時，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝30°，即a＝30°；如圖，當EB＝EC時，連接DE，∴E在線段BC的垂直平分線上，∴ED＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，即a＝60°，當CE＝BC＝AD時，此種情況不存在，綜上所述，a的值為：30°或60°或150°，故答案為：30°或60°或150°．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用分類思想是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共5個小題，每小題6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x；（2）3x2﹣6xy+3y2【解答】解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）．-------------------------------------3分（2）3x2﹣6xy+3y2＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2；-------------------------------------6分14.先化簡，后求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．解：原式＝4x2+4x+1﹣（x2﹣x）+（x2﹣4），＝4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4，＝4x2+5x﹣3，-------------------------------4分∵x＝1，∴4x2+5x﹣3=6，-------------------------------6分【點評】此題考查了整式的化簡及化簡求值運算，熟練掌握運算法則及整體代入思想是解題的關(guān)鍵．15．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△DEF，其中點A與點D對應，點B與點E對稱；（2）連接CD，CE，則△CDE的面積為．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出對應點即可求解；（2）根據(jù)割補法即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求；-------------------------------3分（2）圖中連接了CD、CE，△CDE的面積為7×4﹣×7×2﹣×3×2﹣×4×4＝10，-------------------------------6分16．作圖：（1）已知：四邊形ABCD是等腰梯形，請你用無刻度直尺作出它的對稱軸；-------------------------3分（2）如圖，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于點M、N，請你用無刻度直尺作出△ABC邊BC上中線．-------------------------------6分2.【分析】（1）連接AC、BD，它們相交于點O，延長BA、CD，它們相交于P點，利用等腰梯形的性質(zhì)可判斷PO垂直平分AD、BC，從而得到直線OP滿足條件；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到M點為AB的中點，N為AC的中點，連接CM、BN，它們相交于Q，則Q點為三角形△ABC的重心，延長AQ交BC于D，則AD為BC邊上的中線．【解答】解：（1）如圖1，直線PO為所作；（2）如圖2，AD為所作．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．也考查了等腰梯形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．17．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分線．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周長．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）30°；（2）14．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝70°，∠ABD＝40°，進而可得∠DBC；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝DE，所以BD+DC＝AC，可得△BDC的周長＝AC+BC．【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；----------------------------3分（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周長＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周長是14．-------------------------------6分【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練的掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．四、（本大題共3個小題，每小題8分，共24分）18．四個全等的長方形（長a，寬b，且a＞b）既可以拼成一個大的長方形（如圖1），也可以拼成一個正方形（如圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2．（1）繼續(xù)觀察，請你直接寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的數(shù)量關(guān)系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得，可得空白部分的面積等于邊長為（a+b）的正方向面積減去長為a，寬為b的長方形面積，計算即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進行計算即可得出答案．【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；-------------------------------3分（2）根據(jù)題意可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4，-------------------------------5分∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．-------------------------------8分（少一個答案扣2分）【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．19．如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BE＝3，根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；-------------------------------4分（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．-------------------------------8分【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)等知識點，能熟記到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解此題的關(guān)鍵．20.已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，則6﹣2t＝3t，②當∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP，則1.5t＝2（6﹣2t），分別求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，則BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，當△PBQ為等邊三角形時，則有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得，即當t＝時，△PBQ為等邊三角形；-------------------------------3分（2）當∠BQP＝90°時，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得；-------------------------------6分當∠BPQ＝90°時，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得，綜上可知當t為或時，△PBQ為直角三角形．-------------------------------8分【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)，利用t表示出BP和BQ，化“動”為“靜”，是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2個小題，每小題9分，共18分）21．我們定義：如圖1，在四邊形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，對角線BD平分∠ABC，我們稱這種四邊形為“分角對補四邊形”．（1）特例感知：如圖1，在“分角對補四邊形”ABCD中，當α＝90°時，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得DA＝DC，這個性質(zhì)是③；（填序號）①垂線段最短；②垂直平分線的性質(zhì)；③角平分線的性質(zhì)；④三角形內(nèi)角和定理．（2）猜想論證：如圖2，當α為任意角時，猜想DA與DC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）探究應用：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問題；（2）如圖2中，作DE⊥BA交BA延長線于點E，DF⊥BC于點F，證明△DEA≌△DFC即可解決問題；（3）如圖3中，在BC時截取BG＝BD，連接DG，根據(jù)（2）的結(jié)論得到AD＝DG，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到GD＝GC，結(jié)合圖形證明即可．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知AD＝CD，故答案為：③；-------------------------------2分（2）解：DA＝DC，理由如下：如圖2中，作DE⊥BA交BA延長線于點E，DF⊥BC于點F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；-------------------------------5分（3）證明：如圖3，在BC上截取BG＝BD，連接DG，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBG＝∠ABC＝20°，∵BD＝BG，∴∠BGD＝∠BDG＝80°，即∠A+∠BGD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DG，∵∠BGD＝∠C+∠GDC，∴∠GDC＝∠C＝40°，∴DG＝CG，∴AD＝DG＝CG，∴BD+AD＝BG+CG＝BC．-------------------------------9分【點評】本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．22.閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【考點】因式分解的應用；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，應用因式分解的方法，判斷出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它們相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根據(jù)a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，應用因式分解的方法，判斷出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根據(jù)三角形的三條邊的長度的關(guān)系，求出△ABC的最大邊c的值是多少即可；（3）首先根據(jù)a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，應用因式分解的方法，判斷出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．-------------------------------2分（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．-------------------------------5分（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝