江西省南昌市東湖區(qū)南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，42．下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．如圖，已知BC＝BD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB第4題第5題第6題5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，判斷下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD6．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．A．30 B．45 C．60 D．75二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則∠C＝．8．計(jì)算：（15y2﹣5y）÷5y＝．9．若2x﹣5y＝3，則代數(shù)式4+4x﹣10y的值是．10．如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）并且垂直于y軸，若點(diǎn)P（﹣3，2）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則a+b＝．11.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動(dòng)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為．12．如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段AE，連接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，則α＝．第10題第11題第12題三、（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x（2）3x2﹣6xy+3y214．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形△DEF，其中點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)；（2）連接CD，CE，則△CDE的面積為．16．作圖：（1）已知：四邊形ABCD是等腰梯形，請(qǐng)你用無(wú)刻度直尺作出它的對(duì)稱(chēng)軸；（2）如圖，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于點(diǎn)M、N，請(qǐng)你用無(wú)刻度直尺作出△ABC邊BC上中線．17．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分線．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周長(zhǎng)．四、（本大題共3個(gè)小題，每小題8分，共24分）18．四個(gè)全等的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)a，寬b，且a＞b）既可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形（如圖1），也可以拼成一個(gè)正方形（如圖2），通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2．（1）繼續(xù)觀察，請(qǐng)你直接寫(xiě)出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問(wèn)題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．19．如圖，A、B兩點(diǎn)分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長(zhǎng)．20.已知：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？五、（本大題共2個(gè)小題，每小題9分，共18分）21．我們定義：如圖1，在四邊形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，對(duì)角線BD平分∠ABC，我們稱(chēng)這種四邊形為“分角對(duì)補(bǔ)四邊形”．（1）特例感知：如圖1，在“分角對(duì)補(bǔ)四邊形”ABCD中，當(dāng)α＝90°時(shí)，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝DC，這個(gè)性質(zhì)是；（填序號(hào)）①垂線段最短；②垂直平分線的性質(zhì)；③角平分線的性質(zhì)；④三角形內(nèi)角和定理．（2）猜想論證：如圖2，當(dāng)α為任意角時(shí)，猜想DA與DC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）探究應(yīng)用：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．22.閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．（本大題共12分）23.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B坐標(biāo)為（6，0）、（0，6），P為線段AB上的一點(diǎn)（1）如圖1，若S△AOP＝12，求P的坐標(biāo)（2）如圖2，若P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從頂點(diǎn)A、點(diǎn)N從頂點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，則在M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段PM、PN之間有何關(guān)系？并證明（3）如圖3，若P為線段AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥OP，交OP、OA分別與F、D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且∠PEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、1+2＜5，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、2+2＝4，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、2+3＝5，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．D、2+3＞4，能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是：較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．2．（3分）下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，進(jìn)行判斷即可；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．【解答】解：A．該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．3．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求出（x+2）（x﹣3），再根據(jù)（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6求出m．【解答】解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6．∴m＝﹣1．故選：C．4．如圖，已知BC＝BD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB【分析】要判定△ABC≌△ABD，已知BC＝BD，AB是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加AC＝AD、∠ABC＝∠ABD、∠C＝∠D＝90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ABD，而添加∠CAB＝∠DAB后則不能．【解答】解：A、添加AC＝AD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ABD，故A選項(xiàng)不符合題意；B、添加∠ABC＝∠ABD，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ABD，故B選項(xiàng)不符合題意；C、添加∠C＝∠D＝90°時(shí)，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ABD，故C選項(xiàng)不符合題意；D、添加∠CAB＝∠DAB，SSA不能判定△ABC≌△ABD，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根據(jù)尺規(guī)作圖保留的痕跡，判斷下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD是∠BAC的平分線 B．AD＝BD C．AD＝2CD D．2S△ABD＝3S△ACD【分析】根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等高模型一一判斷即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作圖可知AD是∠CAB的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴AD＝DB，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，∴BD＝2CD，∴S△ABD＝2S△ACD，∴選項(xiàng)A，B，C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則∠C＝80°．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合條件可求得答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴設(shè)∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，由三角形內(nèi)角和定理可得：2x+3x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝4x°＝80°，故答案為：80°．8．計(jì)算：（15y2﹣5y）÷5y＝3y﹣1．【分析】根據(jù)整式的除法運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝15y2÷5y﹣5y÷5y＝3y﹣1，故答案為：3y﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．若2x﹣5y＝3，則代數(shù)式4+4x﹣10y的值是10．【解答】解：原式＝4+4x﹣10y＝4+2（2x﹣5y），∵2x﹣5y＝3，∴原式＝4+2×3＝10．故答案為：10．10．如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）并且垂直于y軸，若點(diǎn)P（﹣3，2）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則a+b＝﹣7．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），從而可得b的值，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：∵點(diǎn)P（﹣3，2）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，又∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）并且垂直于y軸，∴a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），∴b＝﹣4，∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對(duì)稱(chēng)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，且CD＝5，AD＝13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動(dòng)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為18．【分析】由EF垂直平分線段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得當(dāng)A、D、M共線時(shí)，DM+MC的值最小，最小值就是線段AD的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：連接MA，∵EF垂直平分線段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴當(dāng)A、D、M共線時(shí)，DM+MC的值最小，∵AD＝13，∴DM+MC的最小值就是線段AD的長(zhǎng)，∴△CDM周長(zhǎng)的最小值為DM+MC+CD＝13+5＝18，故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)，解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．12．（3分）如圖，在正方形ABCD中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）得到線段AE，連接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，則α＝30°或60°或150°．【分析】分EB＝BC或EB＝BC或EB＝EC，三種情形，分別畫(huà)出圖形，利用正方形和等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，當(dāng)EB＝BC時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝150°，即a＝150°；如圖，當(dāng)EB＝BC時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝AB＝BC＝EB，∠DAB＝90°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝30°，即a＝30°；如圖，當(dāng)EB＝EC時(shí)，連接DE，∴E在線段BC的垂直平分線上，∴ED＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AD＝DE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，即a＝60°，當(dāng)CE＝BC＝AD時(shí)，此種情況不存在，綜上所述，a的值為：30°或60°或150°，故答案為：30°或60°或150°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分）13．分解因式：（1）x3﹣9x；（2）3x2﹣6xy+3y2【解答】解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）．-------------------------------------3分（2）3x2﹣6xy+3y2＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2；-------------------------------------6分14.先化簡(jiǎn)，后求值：（2x+1）2﹣x（x﹣1）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1．解：原式＝4x2+4x+1﹣（x2﹣x）+（x2﹣4），＝4x2+4x+1﹣x2+x+x2﹣4，＝4x2+5x﹣3，-------------------------------4分∵x＝1，∴4x2+5x﹣3=6，-------------------------------6分【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的化簡(jiǎn)及化簡(jiǎn)求值運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及整體代入思想是解題的關(guān)鍵．15．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形△DEF，其中點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)；（2）連接CD，CE，則△CDE的面積為．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)割補(bǔ)法即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求；-------------------------------3分（2）圖中連接了CD、CE，△CDE的面積為7×4﹣×7×2﹣×3×2﹣×4×4＝10，-------------------------------6分16．作圖：（1）已知：四邊形ABCD是等腰梯形，請(qǐng)你用無(wú)刻度直尺作出它的對(duì)稱(chēng)軸；-------------------------3分（2）如圖，BE＝AE，AF＝CF，EM⊥AB，NF⊥AC于點(diǎn)M、N，請(qǐng)你用無(wú)刻度直尺作出△ABC邊BC上中線．-------------------------------6分2.【分析】（1）連接AC、BD，它們相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BA、CD，它們相交于P點(diǎn)，利用等腰梯形的性質(zhì)可判斷PO垂直平分AD、BC，從而得到直線OP滿足條件；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到M點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，連接CM、BN，它們相交于Q，則Q點(diǎn)為三角形△ABC的重心，延長(zhǎng)AQ交BC于D，則AD為BC邊上的中線．【解答】解：（1）如圖1，直線PO為所作；（2）如圖2，AD為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)開(kāi)始的．也考查了等腰梯形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．17．如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分線．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）30°；（2）14．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝70°，∠ABD＝40°，進(jìn)而可得∠DBC；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝DE，所以BD+DC＝AC，可得△BDC的周長(zhǎng)＝AC+BC．【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；----------------------------3分（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周長(zhǎng)＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周長(zhǎng)是14．-------------------------------6分【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練的掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．四、（本大題共3個(gè)小題，每小題8分，共24分）18．四個(gè)全等的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)a，寬b，且a＞b）既可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形（如圖1），也可以拼成一個(gè)正方形（如圖2），通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2．（1）繼續(xù)觀察，請(qǐng)你直接寫(xiě)出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的數(shù)量關(guān)系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問(wèn)題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得，可得空白部分的面積等于邊長(zhǎng)為（a+b）的正方向面積減去長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；-------------------------------3分（2）根據(jù)題意可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4，-------------------------------5分∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．-------------------------------8分（少一個(gè)答案扣2分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．19．如圖，A、B兩點(diǎn)分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BE＝3，根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；-------------------------------4分（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．-------------------------------8分【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解此題的關(guān)鍵．20.已知：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，則6﹣2t＝3t，②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，則1.5t＝2（6﹣2t），分別求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，則BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，當(dāng)△PBQ為等邊三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得，即當(dāng)t＝時(shí)，△PBQ為等邊三角形；-------------------------------3分（2）當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得；-------------------------------6分當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得，綜上可知當(dāng)t為或時(shí)，△PBQ為直角三角形．-------------------------------8分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)，利用t表示出BP和BQ，化“動(dòng)”為“靜”，是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2個(gè)小題，每小題9分，共18分）21．我們定義：如圖1，在四邊形ABCD中，如果∠A＝α，∠C＝180°﹣α，對(duì)角線BD平分∠ABC，我們稱(chēng)這種四邊形為“分角對(duì)補(bǔ)四邊形”．（1）特例感知：如圖1，在“分角對(duì)補(bǔ)四邊形”ABCD中，當(dāng)α＝90°時(shí)，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝DC，這個(gè)性質(zhì)是③；（填序號(hào)）①垂線段最短；②垂直平分線的性質(zhì)；③角平分線的性質(zhì)；④三角形內(nèi)角和定理．（2）猜想論證：如圖2，當(dāng)α為任意角時(shí)，猜想DA與DC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）探究應(yīng)用：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作DE⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，證明△DEA≌△DFC即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，在BC時(shí)截取BG＝BD，連接DG，根據(jù)（2）的結(jié)論得到AD＝DG，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到GD＝GC，結(jié)合圖形證明即可．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知AD＝CD，故答案為：③；-------------------------------2分（2）解：DA＝DC，理由如下：如圖2中，作DE⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；-------------------------------5分（3）證明：如圖3，在BC上截取BG＝BD，連接DG，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBG＝∠ABC＝20°，∵BD＝BG，∴∠BGD＝∠BDG＝80°，即∠A+∠BGD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DG，∵∠BGD＝∠C+∠GDC，∴∠GDC＝∠C＝40°，∴DG＝CG，∴AD＝DG＝CG，∴BD+AD＝BG+CG＝BC．-------------------------------9分【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．22.閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它們相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根據(jù)a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根據(jù)三角形的三條邊的長(zhǎng)度的關(guān)系，求出△ABC的最大邊c的值是多少即可；（3）首先根據(jù)a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a(bǔ)、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．-------------------------------2分（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10．-------------------------------5分（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝