2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之填空題：函數(shù)應(yīng)用（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：函數(shù)應(yīng)用（10題）

—.填空題（共10小題）

1.（2024?龍巖三模）已知函數(shù)f（x）=/-logbx（a>l,b>l）有且只有一個零點，則ab的取值范圍

為.

2.（2024?松江區(qū)校級模擬）已知函數(shù)/（x）=cosx,若對任意實數(shù)無i,xi,方程|/（尤）-/（xi）\+\f（x）

-f（X2）|=根（wGR）有解，方程|/（x）-f（xi）|-If（x）-f（X2）|="（71GR）也有解，則m+n的

值的集合為.

3.（2024?東湖區(qū)校級模擬）對于實數(shù)。和6,定義運算“*”：a*b=1十一"'0*2設(shè)/（無）=（2x

{,b2—ab,a>b

-1）*（x-1）,且關(guān)于％的方程為/（x）=m（meR）恰有三個互不相等的實數(shù)根xi,X2,%3,則實數(shù)

機的取值范圍是；X1+X2+X3的取值范圍是.

4.（2024?香坊區(qū)校級模擬）定義區(qū)表示不超過X的最大整數(shù)，{九}=兀-印.例如：［-3.2］=-4,{-3.2}

=0.8,則方程2x{x}-X-1=0的所有實根之和是.

5.（2024?海淀區(qū)校級三模）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)

G

點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為w=%。彳，其中w表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)

習(xí)率，師代表初始學(xué)習(xí)率，。表示系統(tǒng)衰減系數(shù)，G表示迭代輪數(shù)，Go代表衰減速度.已知某個指數(shù)

衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18,當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)也為18時，學(xué)習(xí)率為0.4,則學(xué)

習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：/g3?0.301）.

6.（2024?海淀區(qū)校級三模）設(shè)函數(shù)/（無）=［kl+a,久22（°>。且。=1）.給出下列四個結(jié)論：

%<2

①當(dāng)。=2時，存在3方程/（%）=/有唯一解；

②當(dāng)標(biāo)（0,1）時，存在3方程/（X）=/有三個解；

③對任意實數(shù)。（。>0且aWl）,f（x）的值域為［0,+8）；

④存在實數(shù)。，使得/（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

7.（2024?順德區(qū)模擬）函數(shù)無）定義域為。，若對任意xe［0,a］QD,均有/⑶2/冷）（keN*）成立，

且7（0）=0,則稱函數(shù)/（無）為區(qū)間［0,0上的左階無窮遞降函數(shù).根據(jù)上述定義，已知函數(shù)/（X）=

-cos3x+l,那么函數(shù)/（無）在［0,2用上（填“是”或“不是”）2階無窮遞降函數(shù)；若函數(shù)

fG）在［0,a］上是3階無窮遞降函數(shù)，則。的最大值為.

2%—Q,X<^1

,0,給出下列四個結(jié)論：

{x2-3ax+2a2,x>l

1

①當(dāng)。=1時，f(%)的最小值為一4

②存在a>0,使得/(X)只有一個零點

③存在a>0,使得/(x)有三個不同零點

@Vae(-8,o),f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

其中所有正確結(jié)論的序號是.

9.(2024?河西區(qū)校級模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=曰一°VI)若/(x)恰有2個零點，則實數(shù)

(2(%-a)(%-2a)(X>1)

a的取值范圍是.

x\x-11—1,%20,

10.(2024?河北區(qū)模擬)函數(shù)=11若函數(shù)g(x)=/(1-%)-辦+1(〃W0)恰

--7，XV0，

1

有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：函數(shù)應(yīng)用（10題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共10小題）

1.（2024?龍巖三模）己知函數(shù)/（%）=K-log/a（a>l,b>l）有且只有一個零點，則H的取值范圍為

1

軟，+8）.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)零點的判定定理.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象;

數(shù)學(xué)運算.

1

【答案】（西,+8）.

【分析】由題意可得g'（x）=〃（X）只有一個解，從而可得a=急,仍=忌，設(shè)Q（b）=島（lVbV

1

ee）,利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【解答】解：依題意得g（X）=/與/7（X）=10g處只有一個交點，即兩曲線相切,

則g'（x）=h'（無）只有一個解,

???Lt兒a—l-J17,

xlnb

即公嬴1

11

化簡得%=（薪）萬，將其代入/（X）,

11

得----+-loq[alnb)=0,

alnba%、)

1

---+logz?(alnb)=0,

Inb~

logbe+logb(abib)=0,

]

即eH腦=1,.■9=編.

11

a>\,---->1,1<b<ee,

elnb

則M=焉

b1

設(shè)Q(6)=麗(lVbVe?),

則Q'(b)="I<0,

e(lnby

1

：.Q(Z?)在(1,二)單調(diào)遞減,

11

；?Q(b)>Q(吟=ee,

1

ab>ee,

1

???"的取值范圍是(赤，+8).

1

故答案為：(亦，+8).

【點評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，屬于難題.

2.(2024?松江區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=cosx,若對任意實數(shù)xi,xi,方程|/(%)-/(xi)\+\f(x)

-f(%2)\=m(mGR)有解，方程(x)-f(xi)|-\f(x)-f(X2)\=n(nGR)也有解，則m+幾的

值的集合為{2}.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】{2}.

【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)cosxiWcosI2,分類討論當(dāng)cosx》cosx2,cosxWcosxi,COSX1<COSX<COSX2

三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出相和〃的值，即可得出小+〃的值的

集合.

【解答】解：由題可知/(%)=COSX,不妨設(shè)COSX1WCOSX2,

對于相，對任意實數(shù)xi,X2,方程1/(%)-/(xi)|+|f(x)-f(X2)\—m(mGR)有解，

當(dāng)COSX2cosX2時，方程可化為機=2cosx-(COSX1+COSX2)有解，

所以m^cosx2-cosxi恒成立，所以小22；

當(dāng)cosx^cosxi時，同上；

當(dāng)COSX1<COSX〈COSX2時，方程可化為m=COSX2-COSX1有解，所以m6[0,2],

綜上得：m=2；

對于〃，對任意實數(shù)xi,X2,方程，(x)-/(xi)|-\f(x)-f(X2)\=n(neR)也有解，

當(dāng)COSx2cOSX2時，方程可化為〃=COSX2-COSX1有解，所以及E[0,2];

當(dāng)cosx^cosxi時，同上；

當(dāng)COSX1<COSX〈COSX2時，方程可化為〃=2cosx-(COSX1+COSX2)有解，

所以COSX1-COSX2<n<COSX2-COSX1恒成立，所以〃=0,

所以m+〃的值的集合為{2}.

故答案為：{2}.

【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)COSX1WCOSX2,以及分

類討論COSX與COSX1,COS尤2的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分

類討論思想和邏輯分析能力.

3.（2024?東湖區(qū)校級模擬）對于實數(shù)a和6,定義運算“*"："匕二產(chǎn)一"，a<b^設(shè)了（無）=⑵

W2—ab,a>b

-1）*（x-1）,且關(guān)于％的方程為/（x）—m（meR）恰有三個互不相等的實數(shù)根X2,%3,則實數(shù)

m的取值范圍是（0,、；X1+X2+X3的取值范圍是（濘&1）.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】新定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知新定義，我們可以求出函數(shù)的解析式，進而分析出函數(shù)的兩個極值點，進而求出尤的方

程為/（無）=m（niGR）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，實數(shù)相的取值范圍，及三個實根之間的關(guān)系，

進而求出X1+X2+X3的取值范圍

【解答】解：-%a-b,

vbz—ab,a>b

(2x2—x,x<0

:?于(x)(2x-1)*(x-1)

(―%2+x,x>0

則當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極小值0,當(dāng)時，函數(shù)取得極大值工

z4

故關(guān)于％的方程為/（龍）—m（mGR）恰有三個互不相等的實數(shù)根xi,X2,13時,

實數(shù)機的取值范圍是（0,1）

令/（X）=］則X=］戶,或x=義

住4Z

不妨令XIVx2VX3時

1—V3

則-----<Xl<0,X2+X3=l

4

；.X1+無2+尤3的取值范圍是（殳言，1）

故答案為：（0,3，（二目，1）

【點評】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式,

并分析出函數(shù)圖象形狀及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

4.（2024?香坊區(qū)校級模擬）定義［%］表示不超過尤的最大整數(shù)，住}=尤-印.例如：［-3.2］=-4,{-3.2}

=0.8,則方程2x{x}-%-1=0的所有實根之和是-1.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】7.

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2{x}與y=l+1的圖象交點橫坐標(biāo)的和，作出兩函數(shù)的圖象，即可得答

案.

【解答】解：顯然尤=0不是2r{x}-尤-1=0的解，

--1

所以2{尤}=1+婷

作出函數(shù)y=2{x}與y=l+1的圖象，如圖所示：

由此可得兩函數(shù)的交點除（-1,0）外，其余點關(guān)于點（0,1）對稱，從而和為0,

所以方程2x{尤}-X-1=0的所有實根之和為-1.

故答案為：-1.

【點評】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

5.（2024?海淀區(qū)校級三模）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)

G

點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為加=%。4,其中W表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)

習(xí)率，質(zhì)代表初始學(xué)習(xí)率，D表示系統(tǒng)衰減系數(shù)，G表示迭代輪數(shù)，Go代表衰減速度.已知某個指數(shù)

衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18,當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)也為18時，學(xué)習(xí)率為0.4,則學(xué)

習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74（參考數(shù)據(jù)：/g3?0.301）.

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】74.

G

【分析】由題意得出該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型w=0.5X0.8無，根據(jù)題意列出不等式，求解即可.

18

【解答】解：當(dāng)G=18時，W=0A,代入得，0.4=0.5?。正，解得￡>=0.8,

由學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）,

G

得0.5x0.818<0.2,

G

0.818<0.4,

G

—>log0A,

186n8Q

G>181ogo.s0.4,

因為Zog0.804=譬=傍需=群1x4.1,

所以G>73.8,故G取74.

故答案為：74.

【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

6.（2024?海淀區(qū)校級三模）設(shè)函數(shù)/（x）=［瘍2+以%-2（°>0且。=1）.給出下列四個結(jié)論:

［\ax-2\,x<2

①當(dāng)。=2時，存在方程/（X）=f有唯一解；

②當(dāng)（0,1）時，存在3方程/（%）=/有三個解；

③對任意實數(shù)a（。>0且aWl）,f（x）的值域為［0,+°°）；

④存在實數(shù)a，使得/（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增；

其中所有正確結(jié)論的序號是①②.

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】①②.

【分析】直接解方程可判定①；

分類討論解方程可判定②；

利用事函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷③;

利用分段函數(shù)的性質(zhì)可判定④.

'7x—2+2,x>2

(y/x—2+2,x>2

【解答】解：對于①，當(dāng)4=2時，

f(x)=l|2x-2|,x<2?2*-2,1<x<2，

、2—2工，x<l

易知函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增;

且當(dāng)XVI時，f(x)=2-2%V2,/(1)=0,

可知y=V%—2+?！?恒成立，

若aE(0,1),由上可知-2在(-8,2)上單調(diào)遞減,

且x=log〃2(log。2V0)時，y=ax-2=0,

止匕時y=|d-2|20；

若〃>1,易知y=〃-2在(-8,2)上單調(diào)遞增，

即y=aK-2<a2-2,

(z)當(dāng)證之時，y=ax-2<0,

則|/-2|>0；

(，，)當(dāng)。>魚時，在x=log〃2(log?2<2)時，

y=ax-2=0,

此時y=\ax-2|20；

則當(dāng)時，f(x)取不到最小值0,故錯誤；

對于④，由上可知〃E(0,1)和(魚，+8)時，

f(x)在(-8,iog42)上單調(diào)遞減；

當(dāng)證>a>l時，/(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，故④錯誤.

故答案為：①②.

【點評】本題考查了累函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

7.(2024?順德區(qū)模擬)函數(shù)/(x)定義域為。，若對任意xe［0,a］QD,均有f(x)2f(左)(keN*)成立，

且/(0)=0,則稱函數(shù)/(無)為區(qū)間［0,上的左階無窮遞降函數(shù).根據(jù)上述定義，已知函數(shù)/(x)=

-cos3x+l,那么函數(shù)/(無)在［0,2TT］±不是(填"是”或“不是”)2階無窮遞降函數(shù)；若函數(shù)/

7T

(x)在［0,4］上是3階無窮遞降函數(shù)，則a的最大值為~.

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；

數(shù)學(xué)運算.

71

【答案】不是；

Y

【分析】根據(jù)2階無窮遞降函數(shù)的定義，若/(x)在［0,2川上是2階無窮遞降函數(shù)，則/(x)之(5)

_-T7-X.

在［0,2冗］上恒成立，而時，f(x)2/(3)不成立，因此可得/(%)=-cos3x+l在［0,2n］上不是

x

2階無窮遞降函數(shù)；若/(X)=-cos3尤+1在［0,a］上是3階無窮遞降函數(shù)，則/(x)(-)在［0,a］

上恒成立，利用三角恒等變換公式將不等式化簡為4cosx(1-cos2x)三0,在［0,a］上恒成立，結(jié)合1

-cos2xN0推導(dǎo)出cosxNO在［0,a］上恒成立，進而求出實數(shù)a的取值范圍，可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(x)=-cos3尤+1在［0,2n］上是2階無窮遞降函數(shù)，

x

則，(x)(-)在［0,2川上恒成立，

而當(dāng)X=2時，f(x)=-COS—+1=1,f(-)=-COS—+1=1+芋，此時/(x)<f(-).

x

因此，f(x)討(-)在［0,2川上不能恒成立，

故函數(shù)f(x)=-cos3x+l在［0,2n］上不是2階無窮遞降函數(shù)；

x

若/(x)=-cos3x+l在［0,例上是3階無窮遞降函數(shù)，則/(%)(-)在［0,例上恒成立，

即-cos3x+12-cosx+1,即cos%-cos3x20在(0,a)上恒成立，

因為cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-l)*cosx-2sin2xcosx

=2COS3X-cosx-2cosx(1-cos2x)=4cos3x-3cos］,

所以不等式cos%-cos3x20可化為cosx-(4cos\-3cosx)20,

即4cosx-4cos320,即4cosx(1-cos2x)20在［0,上恒成立,

因為1-cos2x^0在R上恒成立，所以4cosx^0在［0,上恒成立，

7TTC

即cos尤20在［0,4］上恒成立，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知即。的最大值為了

TI

故答案為：不是；

2

【點評】本題主要考查三角恒等變換公式、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用等知識，屬

于中檔題.

12”—Q,X*^1

8.(2024?門頭溝區(qū)一模)設(shè)a€R,函數(shù)f(x)=，給出下列四個結(jié)論：

lx2-3ax+2a2,x>1

①當(dāng)。=1時，/(無)的最小值為一

②存在。>0,使得/(x)只有一個零點

③存在。>0,使得/(%)有三個不同零點

@Vae(-8,o),f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

其中所有正確結(jié)論的序號是②③.

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】②③.

【分析】分析函數(shù)在(-8,1)上的取值范圍即可判斷①；

對零點在(-8,1)、［1,+OO)討論，即可判斷②，③；

使得函數(shù)在各段單調(diào)性，且在斷點左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點右側(cè)函數(shù)值，即可判斷④.

2%_ay

{xz—3ax+2a一x>1

當(dāng)x<l時，f（x）=2X-a,則函數(shù)在（-8,i）上單調(diào)遞增，

又函數(shù)y=J?-3QX+2〃2的對稱軸為久=當(dāng)，

”」（2%—1,%<1

對于①：當(dāng)”=1時，/（%）=］0，

{,X2—3%+2，x>1

當(dāng)xVl時，0<2%<2,所以即<1,故①錯誤；

對于②：當(dāng)零點位于（-8,1）時，貝J2a>°,解得0V〃V2,

U>o

此時0V當(dāng)<3,

若0V當(dāng)W1,即OVaJ時，f（x）在［1,+8）上單調(diào)遞增，

此時只需/⑴=l-3a+2a2>0,解得。>1或aV、所以O(shè)VaV稱,

3Qo

若一>1,即a>5■時,此時△=9〃2-8〃2=〃2>0,

23

則/（X）在［1,+8）上至少還有1個零點，故不符合題意；

-1

所以0<aV］；

當(dāng)零點位于［1,+8）,此時了（%）在（-8,1）上無零點，則2-〃WO,解得心2,

,,,「3。

此時A〉。且一〉1,

2

1

要使函數(shù)/（x）只有一個零點，則只需/（I）=1-3〃+2〃2〈①解得avqvi,

又〃>2,顯然〃無解，所以此種情況不符合題意；

綜上可得當(dāng)OVavg時/（X）只有一個零點，故②正確；

對于③：使得了（%）有三個不同零點，則必然是在（-8,1）上有一個零點，在口，+8）上有兩個零

點，

'21-a>0

,a>0

則，解得lWa<2,

詈>1

</（1）=1-3a+2a2>0

所以當(dāng)lWa<2時/(x)有三個不同零點，故③正確；

對于④：若/(%)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則,解得。工與3,

IT-1

所以當(dāng)a<上滬時，/(%)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故④錯誤.

故答案為：②③.

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想及函數(shù)的零點，屬于中檔題.

9.(2024?河西區(qū)校級模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=13：-以；<1)若/(無)恰有2個零點，則實數(shù)

12(x—a)(x—2a)(x>1)

a的取值范圍是g,l)u［3,+8).

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)解析式分析了(x)的性質(zhì)，討論aWO、3>a>0、。三3,結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)

判斷了(%)恰有2個零點情況下a的取值范圍.

【解答】解：由題意可得知，y=f3在(-8,1)上單調(diào)遞增，

所以/(x)e(-a,3-a)；

在［1,+8)上，f(x)的對稱軸為x=學(xué)且開口向上，

所以當(dāng)-。20,即aWO時，%=^<0<1,

則/(%)在［1,+8)上遞增，f(1)=2(1-a)(1-2a)>0,此時/(x)無零點；

當(dāng)0VaV3時;在(-8,1)上/(無)存在一個零點，

要使/G)恰有2個零點，

則在口，+8)上也只有一個零點，

.3a93ctQ2

而x=-5-6(0,一)且/(—)=—-<0,

2222

3a7

所以當(dāng)三41,即0<公呈

17

只需/⑴=2(1-4)(1-2a)W0,可得3<a<j；

,3a-7

當(dāng)一>1,即a>5,

23

2

只需/(l)=2(1-a)(1-2a)<0,可得3<h<l；

1

所以此時，時，/(x)恰有2個零點；

當(dāng)a23時，在(-8,1)上/(無)無零點，

要使了(無)恰有2個零點，

則在[1,+8)上有兩個零點即可，

而x=%g,+8)且/(y)=一。<0,/(1)=2(1-a)(1-2a)>0,

所以/(x)在口，+8)上恒有兩個零點.

1

綜上，〃的取值范圍為5，1)U[3,+8).

1

故答案為：[3,1)U[3,+°°).

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

x\x-11-L%20,

10.(2024?河北區(qū)模擬)函數(shù)/(%)=1若函數(shù)g(%)=/(1-x)-ax+1(〃W0)恰

--r，xV0，

vx—1

1

有兩個不同的零點，則實數(shù)4的取值范圍為(二，1)U(-8,-1).

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

1

【答案】(一，1)U(-8,-1)

4

【分析】畫出g(x)=/(l-x)+1,y=ax的圖象，數(shù)形結(jié)合后可求參數(shù)的取值范圍.

(x\x-1|-1/%>0

【解答】解：因為/(%)=1

(—,%V。

I%—1

(1-x)\x\,X<1

所以/(1-x)+1=1

一一+L%>1

X

則函數(shù)g(X)=/(1-x)-ax+1恰有2個零點等價于7(1-％)+l=ax有兩個不同的解,

故y=/(l-x)+1,y=ax的圖象有兩個不同的交點，

(1—x)x,0<%<1

一支(1一%),x<0

--F1/%>1

{x

又y=g(%)，的圖象如圖所示，

由圖象可得兩個函數(shù)的圖象均過原點,

當(dāng)時，

考慮直線〉=以與g(x)(OWxWl)的圖象相切，

則由ax=x-/可得△=(〃-1)2-0=0,即a=l,

考慮直線與g(x)=—]+1(x21)的圖象相切，

由ax=一；+1可得這2~%+1=0，貝I△=1-4〃=0,即a=

考慮直線〉=以與g(x)=?-x(%W0)的圖象相切，

由ax=j?-%可得x2-(〃+1)%=0,貝!jA=(q+l)2-0=0,即a=-1,

1

結(jié)合圖象可得當(dāng);VzVl或〃V-1時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的父點,

4

1

綜上，一<a<l或〃V-1.

4

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

考點卡片

1.函數(shù)零點的判定定理

【知識點的認(rèn)識】

1、函數(shù)零點存在性定理：

一般地，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間伍，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)f(b)<0,那么

函數(shù)(%)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在ce(A,b),使得/(c)=0,這個c也就是/(x)=0

的根.

特別提醒：

(1)根據(jù)該定理，能確定了(無)在(a,b)內(nèi)有零點，但零點不一定唯一.

(2)并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在(a,

b)上沒有零點，例如，函數(shù)/(x)=/-3x+2有/(0A/(3)>0,但函數(shù)/(無)在區(qū)間(0,3)上有兩

個零點.

(3)若f(x)在［a,可上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f(a).于(b)<0,則/(尤)在(a,6)

上有唯一的零點.

【解題方法點撥】

函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：

(1)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性

質(zhì)找出零點.

特別提醒：

①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程/-2x+l=0在［0,2］上有

兩個等根，而函數(shù)無)=/-2%+1在［0,2］上只有一個零點；

②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點.

(2)代數(shù)法：求方程/(無)=0的實數(shù)根.

2.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【知識點的認(rèn)識】

函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的.但是，他

們的解法其實質(zhì)是一樣的.

【解題方法點撥】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了.我們重

點來探討一下函數(shù)零點的求法(配方法).

例題：求函數(shù)f(尤)=X4+5X3-27/-101x-70的零點.

解:,:于(尤)=￥+5x3-277-101x-70

=(x-5)*(x+7)e(x+2)>(x+l)

，函數(shù)/(X)=￥+5/-277-101X-70的零點是:5、-7、-2、-1.

通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次

函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可.

【命題方向】

直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

3.函數(shù)與方程的綜合運用

【知識點的認(rèn)識】

函數(shù)與方程的綜合運用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問題.

【解題方法點撥】

-函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì).

-方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根.

-綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實際問題.

【命題方向】

常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

4.分段函數(shù)的應(yīng)用

【知識點的認(rèn)識】

分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的.這個在

現(xiàn)實當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里

面都涉及到分段函數(shù).

【解題方法點撥】

正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn).下

面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法.

例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅.某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，

年銷售量為11.8萬件.第二年，當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%(0<p<100,即銷售100元要征收

P元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件赤石元，預(yù)計年銷售量將減少P萬件.

（I）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

（II）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？

（III）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？

解：（I）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，

年銷售收入為翅絲（n.8-p）萬元，

100-p

政府對該商品征收的稅收y=票與（11.8-y?）p%（萬元）

故所求函數(shù)為y=蓋刁（11.8-p）p

由11.8-p>0及p>0得定義域為0<p<11,8…（4分）

80

（〃）由后16得市二「（11.8-p）pN16

化簡得p2-12p+20W0,即（p-2）（p-10）WO,解得2WpW10.

故當(dāng)稅率在［0.02,0.1］內(nèi)時，稅收不少于16萬元.…（9分）

（HI）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬元時，

廠家的銷售收入為g（p）=翟與（1L8”）（2WpW10）

??,g（P）=翟與（1L8-P）=800（10+忐看）在［2,10］是減函數(shù)

'-g（p）max—g（2）—800（萬兀）

故當(dāng)稅率為2%時，廠家銷售金額最大.

這個典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分

段其實無關(guān).我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方.第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達(dá)式；

第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅

某段函數(shù)的討論.

【命題方向】

修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答.

5.根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

【知識點的認(rèn)識】

1.實際問題的函數(shù)刻畫

在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫.用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)

習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.

2.用函數(shù)模型解決實際問題

（1）數(shù)據(jù)擬合：

通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征,看

它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具

體的函數(shù)表達(dá)式,再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法

稱為數(shù)據(jù)擬合.

（2）常用到的五種函數(shù)模型：

①直線模型：一次函數(shù)模型y=kx+b（kWO）,圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)

k>0）,通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y=kx（k>0）.

②反比例函數(shù)模型：y=5（左>0）型，增長特點是y隨尤的增大而減小.

③指數(shù)函數(shù)模型：y=a,bx+c（b>0,且bTM,aWO）,其增長特點是隨

著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b>1,。>0）,常形象地稱為指數(shù)爆炸.

④對數(shù)函數(shù)模型，即y=mlogax+n（a>0,a#1,mWO）型，增長特點是隨

著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a>1,m>0）.

⑤幕函數(shù)模型，即j=a?x"+b（a力0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y=

ax-+bx+c（a#0）,其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a>0）.

在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范

圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等.

3.函數(shù)建模

（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、左法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模.

（2）過程：如下圖所示.

（實氣情埴）

（提M問題）

不（函數(shù)國

合

乎

實［數(shù)學(xué)結(jié)果）

際

何用結(jié)果）

【解題方法點撥】

用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：

(1)解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題

①確定函數(shù)關(guān)系式