立體幾何中的軌跡問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展26立體幾何中的軌跡問題(精講+精練)

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、立體幾何中的軌跡問題

立體幾何軌跡問題是以空間圖形為素材，去探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,處于解析幾何和立體幾何的

交匯處.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和化歸能力，以及對(duì)解析幾何和立體幾何知識(shí)的全面掌握.

常見的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.

二、常用的解決策略

⑴定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.

(2)坐標(biāo)法:建立合適的坐標(biāo)系，用方程來表示所求點(diǎn)的軌跡,借助方程來判斷軌跡形狀.

(3)交軌法:運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)空間幾何體上，如平面與圓雉、圓柱、球相交，球與球相交，等等.

(4)平面化:把空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),進(jìn)而探究平面內(nèi)的軌跡問題，使問題更易解決.空間問題平面化

也是解決立體幾何題目的一般性思路.

三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析

令平面與軸線的夾角為9(。<0<90°),圓雉的母線與軸的夾角為a(0<a<90°),如圖②.

(1)當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；

(2)當(dāng)a=。時(shí),截口曲線為拋物線；

(3)當(dāng)a>0時(shí),截口曲線為雙曲線.

圖②

圖②我們?cè)購(gòu)膸缀谓嵌葋碜C明.

⑴如圖③，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使它們分別與截面切于點(diǎn)耳，鳥.在截口曲線上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P

作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)?由球的性質(zhì)可知|P。2|=|「耳|，|尸0|=伊巴卜于是

|正耳|+|尸閶=|尸0+|尸0|=@2|為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)。到兩個(gè)定點(diǎn)。1，。2的距離之和為

常數(shù)，由橢圓的定義知，截口曲線是橢圓.

Q)

圖③

(2)如圖④，在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切,兩個(gè)球分別與

截面切于點(diǎn)耳,B?在截口曲線上任取一點(diǎn)尸,過點(diǎn)尸作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)?由球的性質(zhì)可

知|尸0=1尸耳|,|PQ2H尸閭，于是I尸4T尸0—|尸。2]=|QQ|為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)

尸到兩個(gè)定點(diǎn)。1，。2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)，由雙曲線的定義知，截口曲線是雙曲線.

(3)如圖⑤，用平行于母線且垂直于軸截面OMN的平面用去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球，使它和圓雉的側(cè)

面與截面6相切，球與截面切于點(diǎn)F.設(shè)a為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面，記。c,=/.在截口

曲線上任取一點(diǎn)P，作直線與球相切于點(diǎn)T，連結(jié)PT，有陰=|PT卜在母線0M上取點(diǎn)A,B(B為0M與

球的切點(diǎn))，使得|=|尸刀.過點(diǎn)P作PQ//AB，有點(diǎn)Q在I±,B.\FQ\=\AB\=\PF\,另一方面，因?yàn)槠矫?/p>

OMN與a垂直，那么I±平面OMN，有/，A5,所以/，.于是截口曲線是以點(diǎn)F為焦點(diǎn),I為準(zhǔn)線的拋

物線.

圖⑤

二、題型精講精練

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

①平行有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；

2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.

②垂直有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡;

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.

【典例1］如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方體ABCD-A出Cid中，E、F、G、H、N分別是CG、CiDi>DDi.

CD、8c的中點(diǎn)，/在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若〃面則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.也aB.亞aC.型D.上

22

【答案】D

【分析】連接GH、HN,有GH〃A4i,HN//BD,證得面〃面GMV,由已知得點(diǎn)M須在線段GH

上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，由此可得選項(xiàng).

【詳解】解：連接GH、HN、GN,?.?在邊長(zhǎng)為a的正方體A5CZX4131clDi中，E、F、G、H分別是CG、

C1Z>1>DDLCZ>的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，

則68〃341,“可〃3。,又6”.面48。,341<=面418￡）,所以6"〃面413。，同理可證得NH〃面43。,

又GHcHN=H,.?.面41?！鍳77N,

又；點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，MN〃面418。，

則點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，GH=&,則點(diǎn)”軌跡的長(zhǎng)度是也a.

22

【典例2］在正方體ABCD-ABCA中，。是正方形與BCG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AQL8G，則。點(diǎn)的軌跡是（）

A.點(diǎn)與B.線段BCC.線段與GD.平面與BCC］

【答案】B

【分析】如圖，連接4C,證明2G1BQ,又BCi1BQ即得解.

【詳解】

如圖，連接AC,

因?yàn)锽Cj42,BQ±,4。n44=4,AQ,4gU平面AtBtQ所以BCX1平面\BXQ，又用QU平面

4與2,

所以BCJ與。，又BCJBC.所以點(diǎn)。在線段與c上.故選：B

2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問題

①距離有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求

解軌跡；

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.

②角度有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.

【典例3】已知正方體A8CD-481C1D1的棱長(zhǎng)為1,尸為底面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，若尸到棱CD,A1Q1距離相

等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-邙，求出點(diǎn)尸的軌跡方程即可判斷.

【詳解】

如圖示，過尸作PELA3與E,過P作尸F(xiàn)LAO于歹，過歹作交Aid于G,連結(jié)PG,由題意

可知PE=PG

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-種，設(shè)尸（x,y,O）,由PE=PG得：

11TM2+肝,平方得：（彳一1）2一丁2=1即點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線故選：D.

【典例4】正方體ABCD-ABG2中，M,N分別為AB,A4的中點(diǎn)，P是邊GR上的一個(gè)點(diǎn)（包括

端點(diǎn)），。是平面尸色用上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線MN與直線⑷V夾角與直線與直線NQ的夾角相等，則點(diǎn)

。所在軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)分析可知：。點(diǎn)軌跡為以AN為母線，MN為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A耳

反向?qū)ΨQ的錐體與平面尸兒區(qū)的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷。所在軌

跡的形狀.

【詳解】由題設(shè)，。點(diǎn)軌跡為以⑷V為母線，MN為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A片反向?qū)ΨQ

的錐體與平面尸〃耳的交線，如下圖示：

當(dāng)尸是邊GR上移動(dòng)過程中，只與下方錐體有相交，。點(diǎn)軌跡為拋物線；

當(dāng)尸是邊G2上移動(dòng)過程中，與上方錐體也有相交，。點(diǎn)軌跡為雙曲線；

D

3.翻折有關(guān)的的軌跡問題

①翻折有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【典例5】1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家de/位利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，

可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生

活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓

錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使

得4A與小球相切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）

【答案】A

【分析】設(shè)為月=x,從而可得的=5,A4=X+2,A4,=X+3,利用勾股定理可得X=10,再由離心

率的定義即可求解.

【詳解】在R〃刈4中，設(shè)&不=了,=x

222

=5,A4=X+2,^2=x+395+(X+2)=(X+3),

c2

.\x=10,，長(zhǎng)軸長(zhǎng)A&=2。=12,a=6,c=6—2=4貝1|離心率e=—=—.故選：A

a3

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在表

面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PELAC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A.V6+V2B.V6-A/2C.4D.75+1

【答案】A

【分析】由題意，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為過E且垂直AC的平面與正四棱錐的交線，再根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)AC，配》交于。，連接SO,由正四棱錐的性質(zhì)可得，SO,平面ABCD,因?yàn)锳Cu平面A5CD,

故SOLAC.

又SOcBD=O,SO,BDu平面S皮），故AC_L平面SBZ）.

由題意，PE,AC則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為過E且垂直AC的平面與正四棱錐S-ABCD的交線，即如圖屏6,則

AC_L平面跖G.

由線面垂直的性質(zhì)可得平面S8D//平面段G,又由面面平行的性質(zhì)可得EG//S3,GF//SD,EF//BD,

又E是邊BC的中點(diǎn)，故EG,GF,EF分另I」為ASBCASOC,的中位線.

由題意BD=26,SB=SD==布,故EG+EF+GF+&+2%=病+質(zhì).

即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為V6+V2.

2.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱A8CD-A4G。中，AB=1,抽=4,E為

。2中點(diǎn)，P為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且￡尸!B,E,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)為（）

A.75+V2B.2V2+V2C.2A/5+V2D.而+四

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出過點(diǎn)C1垂直于用E的正四棱柱的截面即可計(jì)算

作答.

【詳解】在正四棱柱A4GA中，連接4A，AG，如圖，后已,平面人耳6。，

B

非

句6

因?yàn)?GU平面44GR,則ERJL4C，又BR,ERu平面EBR,

E"cBR=2,則AG,平面EBR,又BiEu平面EBR,則C￡1B1E,

取CG中點(diǎn)尸，連接EF.BZ，在平面8CC|耳內(nèi)過C|作GG，4尸，交B用于G,顯然EF//D&,

而。CJ平面BCC4,則￡F1平面BCG瓦，有C°1EF,

又B7,FEu平面B/E,FEcBF=F,于是CQ1.平面B/E,而用Eu平面片RE,因此CQ^^E,

因?yàn)椤闓，GAu平面GG4，￡Ac￡G=G，從而與E，平面C04，

連接AG,則點(diǎn)尸的軌跡為平面GG4,與四棱柱的交線，即

因?yàn)?月。|3+/36尸=/66尸+4876=9?！?即有/瓦C1G=/BFG，又4即=ZFC1B1,

于是AGB’GSAFC國(guó),有*=塾=2,B。二,

4GC]42

所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為AG+QG+AC"2J1+；+亞=石+也.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)

中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

3.（2023?江西贛州?統(tǒng)考二模）在棱長(zhǎng)為4的正方體488-4月6。中，點(diǎn)尸滿足和=4通，E,尸分別

為棱BC,。的中點(diǎn)，點(diǎn)。在正方體ABC。-A46。的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足A。//面￡FP,則點(diǎn)。的軌跡所

構(gòu)成的周長(zhǎng)為（）

A.也B.2屈C.旭D.晅

333

【答案】D

【分析】作出輔助線，找到點(diǎn)。的軌跡，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，得到周長(zhǎng).

【詳解】延長(zhǎng)相＞,交E尸的延長(zhǎng)線與",G,連接PG,P〃，分別交2片，。，于R,T

過點(diǎn)4作AK//PG交BBi于點(diǎn)K,過點(diǎn)4作ANIIPH交DR于點(diǎn)N,

因?yàn)锳Ka平面EFP,尸Gu平面EFP,所以AK〃平面EFP,

同理可得AN//平面由，

因?yàn)锳KnAN=a，所以平面EFP//平面AKN,

過點(diǎn)N作M1//AK交CG于點(diǎn)

連接MK,則MK〃4N

則平行四邊形AKMN（A點(diǎn)除外）為點(diǎn)。的軌跡所構(gòu)成的圖形，

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4,E,尸分別為棱BC,C。的中點(diǎn)，招=4通，

所以AP=1,以=DT=；,

12

因?yàn)?=KR=NT=3,所以4K=2N=4—3—：=（,

2

過點(diǎn)N作N/LCG于點(diǎn)J,則CJ=，N=],

2724

則由幾何關(guān)系可知JM=4K=§,所以GM=§+§=§,

由勾股定理得AXK=\N=MN=MK=+JM。=J16+g=口魯，

所以點(diǎn)。的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為史立.

3

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為AA，AB的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若CXPH平面CDXEF,則尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.72+75B.V2+2A/5C.2也+小D.2陵+2行

【答案】B

【分析】要滿足C/〃平面CREP,只需要尋找一個(gè)平面，使該平面經(jīng)過G，且與平面CRM平行即可，取

8月的中點(diǎn)G,A片的中點(diǎn)H,連結(jié)G/f，GG，G〃.證明出面G"G〃面C2M.得到尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)

動(dòng)所形成的軌跡為三角形G"G,求出周長(zhǎng)即可.

【詳解】取B片的中點(diǎn)G,A耳的中點(diǎn)H,連結(jié)GH,CGCH,ABEG,HF.

正方體ABCD-A4G2的棱長(zhǎng)為2.E,￡G,H為中點(diǎn)，所以E/〃AB，GH//,所以斯//GH且

EF=GH=&

因?yàn)闉榉謩e為AB,A耳的中點(diǎn)，所以FH//CQ,且FH=CG，所以四邊形制GC為平行四邊形，所以

HCJ/CF.

因?yàn)間<2面CD/,CFu面CREF,所以〃面CD,EF.

同理可證：HG〃面CREF.

又GHcHC、=H,HC1u面CCH,GHt面GG”,

所以面C/G//面CR所.

所以尸點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為三角形C.HG.

因?yàn)檎襟wABCD-AgGO的棱長(zhǎng)為2,所以〃￡=GG=H+12=V5,

所以三角形G"G的周長(zhǎng)為G”+"G+GC[=^+方+君=0+2方.

故選：B

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AgCQ中，M,N分別為BD—4G的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足〃平面CNQ,則下列說法正確的是（）

B.線段MP的最大值為走

2

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+6

【答案】B

【分析】如圖，取棱BC的中點(diǎn)E,連接DE,B]E,ME,進(jìn)而證明平面4￡加//平面CNQ,再結(jié)合題意可知

直線用M必過￡＞點(diǎn)，進(jìn)而取4A中點(diǎn)尸，連接BRFD,DE,證明產(chǎn)e平面片EM即可得四邊形耳ED尸為點(diǎn)

P的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：如圖，取棱8C的中點(diǎn)E,連接DE,B,E,ME,

因?yàn)榉謩e為SR,8。的中點(diǎn)，

所以，在ABC，中，ME//CD,,由于ME.平面CAR,C2u平面CN。1,

所以ME7/平面CND、,

因?yàn)锽\NIICE,B、N=CE,所以，四邊形CNB|E為平行四邊形，

所以CN//與E,因?yàn)镃Nu平面CAR,平面CNR,

所以，84〃平面CNR,

因?yàn)槎?片瓦加片匚平面瓦后加，

所以，平面平面CNQ,

由于M為體對(duì)角線8,的中點(diǎn)，

所以，連接與M并延長(zhǎng)，直線與M必過。點(diǎn),

故取AA中點(diǎn)尸，連接瓦

所以，由正方體的性質(zhì)易知EDJ/CE,ED|=CE,

所以，四邊形COLE是平行四邊形，EF//CDt,EF=CD.,

因?yàn)?，MEZ/CD^ME=gcD],

所以，E,尸,M共線，即尸e平面瓦EM,

所以，四邊形用E。尸為點(diǎn)尸的軌跡，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由正方體的棱長(zhǎng)為1,所以，四邊形瓦血尸的棱長(zhǎng)均為手，且對(duì)角線為砂=0，4。=百’,

所以，四邊形片旦不為菱形，周長(zhǎng)為2石，故CD選項(xiàng)錯(cuò)誤，

由菱形的性質(zhì)知，線段M尸的最大值為[用。=立，故B選項(xiàng)正確.

212

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于取棱BC的中點(diǎn)E,進(jìn)而證明平面與EM〃平面CN2,再根據(jù)

面面平行的性質(zhì)求解點(diǎn)P軌跡即可求解.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABGA，/是臺(tái)片的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在正方

體內(nèi)部或表面上，且〃平面則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）

A.巫B.&C.1D.2

2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)M做平面的平行截面，再求四邊形面積即可.

如圖所示E、F、G、M分別是A4、A.、Bg、B耳的中點(diǎn)，

則所〃AR,EM//AB,所以。〃平面ABR,EM//平面ABR,且EFCEM=E,

所以平面A8D1//平面￡FGM,故點(diǎn)P的軌跡為矩形KFGM.

MBx=Bfi=\,所以MG=變，所以SEFGM=1X皂=皂?

2222

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，以及正方體的截面問題，屬綜合中檔題.

二、填空題

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱下底面圓。的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，己知

TT

ZAOC=-,OA=2,圓柱的高為5.若點(diǎn)。在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足3CL4）,則點(diǎn)。的軌跡所圍成圖

形的面積為.

4g:笛一刁8

C

【答案】10

【分析】先推出3C」平面AC。，設(shè)過A的母線與上底面的交點(diǎn)為E,過C的母線與上底面的交點(diǎn)為廠，

連斯,CRAC,推出3c/平面ACE,從而可得點(diǎn)。的軌跡是矩形AEFC,計(jì)算這個(gè)矩形的面積即可得解.

【詳解】因?yàn)锳3是圓柱下底面圓。的直徑，所以BC±AC,

XBC±AD,ACQAD=A,AC,ADu平面ACD,所以8cl平面ACD,

設(shè)過A的母線與上底面的交點(diǎn)為E,過C的母線與上底面的交點(diǎn)為產(chǎn)，連E￡b,AC,

,D

C

因?yàn)锳E_L平面ABC,3Cu平面ABC,所以AEJ_BC,

因?yàn)锳EP|AC=A,AE,ACu平面ACE,所以_BC_Z,平面ACE,

所以點(diǎn)。在平面ACE內(nèi)，又點(diǎn)。在圓柱的表面，所以點(diǎn)。的軌跡是矩形AEFC,

JT

依題意得AE=5,Q4=OC=2,ZAOC=-,所以AC=2,

所以矩形AEPC的面積為5x2=10.

故點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為10.

故答案為：10.

8.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知正方體ABCD-ABCR的棱長(zhǎng)為石，動(dòng)點(diǎn)尸在VAB。內(nèi)，滿足

RP=石，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

【答案】|

【分析】確定正方體4BCD-A4GA對(duì)角線22與VABQ的交點(diǎn)E,求出EP確定軌跡形狀，再求出軌跡

長(zhǎng)度作答.

【詳解】在正方體ABC。-44GA中，如圖，

DD,l^ABCD,ACu平面ABC。，則。Q，AC,而3D_LAC,

DDQBD=D,DDl,BDu平面BDD1,于是AC，平面BDDt,又BD、u平面BDDl,

則ACL8。，同理A瓦，B2,而4Cn44=A,AC,A耳u平面陰C,因此血口平面陰C,

令股交平面照C于點(diǎn)E,由"c=匕…,得;S,A31c.BE=；S^C-BBI,

即￥（何2）2.附=94，解得取=才2=1,而=于是*=2,

因?yàn)辄c(diǎn)p在vAqc內(nèi)，滿足〃尸=行，則EP=/DF-DE=1,

因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，1為半徑的圓在VAB。內(nèi)的圓弧，

而VABC為正三角形，則三棱錐AB。必為正三棱錐，E為正VA耳C的中心，

于是正VA耳C的內(nèi)切圓半徑即=Mx且xL石x0x且x2=交，

123232

貝（lcosN/ffi/=走，即=NFEG=3,

242

所以圓在VABQ內(nèi)的圓弧為圓周長(zhǎng)的：，即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為。2兀.1=].故答案為：g

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面

平行、垂直等性質(zhì)，確定動(dòng)點(diǎn)與所在平面內(nèi)的定點(diǎn)或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.

9.（2023春?四川綿陽(yáng)?高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）若點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3亞的正方體

ABCD-A.B^D,的內(nèi)切球。的球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為棱與G上的一點(diǎn)，且2NB、=NC[,，&V,則動(dòng)M

點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.

【分析】由題意畫出圖形，8片上取點(diǎn)P,使得2BP=P用，連接CROP,BN,由線面垂直的判定定理和性

質(zhì)，可得5NL平面DCP,所以M點(diǎn)的軌跡為平面。CP與球。的截面圓周，求出截面圓的半徑即可得出答

案.

如圖所示，在B片上取點(diǎn)P,使得2BP=PB-連接CP,DP,BN

QNC、=2NB\,..CP±BN

又￡>C_L平面BCC]B],:.DCLBN

XQDC?CPC,OCu平面。CP,CPu平面DCP,平面。CP

.?.BN_L平面DCP

又點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3板的正方體AB。。-446。的內(nèi)切球。的球面上的動(dòng)點(diǎn)且，3N,可得M點(diǎn)的軌跡

為平面DCP與球。的截面圓周.

連接OD,OP,OC,則七-DPC=%-DPO

又CP=^BC~+BP2=?3亞j+（可=275

SRlvnPr=-DC7PC-^^22乒3回

22

又O,D,P在平面DBBR,則C到平面OD尸的距離：h=:AC=^AD2+DC2=梟（3⑻+（3夜j=3

又S\JDOP~SVD%P_SyOB'P~gBF?BD^B}P^BDl3A/2

設(shè)。到平面小的距離為則產(chǎn)…仆*。峭解得d考

又正方體ABC。-AAGR的內(nèi)切球。得半徑7?=-?30還

22

3底

則截面圓的半徑廠=

10

因此可得動(dòng)M點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為2n零二半小

故答案為：亭

【點(diǎn)睛】本題是一道空間線面位置關(guān)系及多面體與球的內(nèi)切等位置關(guān)系與距離、體積的計(jì)算等能力的綜合

運(yùn)用.解答時(shí)先將問題轉(zhuǎn)化和化歸為平面。CP與球。的截面圓周的周長(zhǎng)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為。到平面DPC的

距離為d,運(yùn)用等體積法求出“，借助截面圓的半徑與球的半徑，球心距之間的關(guān)系廠=斤牙求出截面

圓周的半徑，最后求出截面圓的周長(zhǎng)也即為動(dòng)M點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.

2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問題

一、單選題

1.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體A8CD-4月的外接球的表面積為5兀，A4）=2,點(diǎn)

尸在四邊形內(nèi)，且直線BP與平面AACG所成角為;，則長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為

4

（）

A.兀B.叵C.-D.叵

224

【答案】C

【分析】首先由題意得到長(zhǎng)方體體積最大時(shí)，得到幾何體的棱長(zhǎng)，設(shè)AC,3D相交于點(diǎn)。，由801平面

AACG，確定線面角，從而確定點(diǎn)尸的軌跡，從而得解.

【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABC。-AB?。的外接球的表面積為5兀，設(shè)外接球的半徑為R,

所以471a=5兀，解得R=乎或心-]（舍去），即外接球的直徑為正，

設(shè)=BC=b,則J/+/+22=后,可得/+〃=1,

所以1=2必當(dāng)且僅當(dāng)a=b=Yl時(shí)，等號(hào)成立.

2

如圖，設(shè)AC,5。相交于點(diǎn)。，

因?yàn)?O_LAC,BO_L明，ACPIAAj=A,AC,A41c:平面4ACQ，

所以3。1平面AACG，直線BP與平面AACC1所成角為

4

TT11

所以4BPO=Z，故OP=],則點(diǎn)P的軌跡是以。為圓心，半徑r=5的半圓弧，

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為〃.

故選：c

2.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐

_______,jr

為正四棱錐）尸一A3co的底面正方形邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切球O的表面積為I,動(dòng)點(diǎn)。在正方形A3CQ內(nèi)運(yùn)動(dòng),

且滿足則動(dòng)點(diǎn)。形成軌跡的周長(zhǎng)為（）

人2兀-3兀-4兀-5兀

A.—B.——C.——D.—

11111111

【答案】C

【分析】利用等體積法及幾何關(guān)系求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)Q的等式關(guān)系，根據(jù)相關(guān)幾何意義即可求出動(dòng)點(diǎn)Q形成

軌跡的周長(zhǎng).

【詳解】設(shè)內(nèi)切球O的半徑為R,貝!）4兀叱=?,:.R=@.

36

根據(jù)等體積法得g（S.8+4S△皿）R=；XAB"F,

-I4+4x-x2xPExPF,整理得1+PE=2后/，又PE?-PF?=1，

2

解得PE=*,PF=^-.：.OF=—,。尸。。=。尸=12^1.

111166666

在Rf"Q中，-［笆［-圖=.

...點(diǎn)Q在以點(diǎn)F為圓心，52為半徑的圓上，其周長(zhǎng)為2兀2=R4兀.

故選：C.

3.（2023?山東淄博?統(tǒng)考三模）設(shè)A,B是半徑為3的球體。表面上兩定點(diǎn)，且￡403=60。，球體。表面

上動(dòng)點(diǎn)P滿足|網(wǎng)=2|尸固，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

12713

A.W4幅

B.----------71c.工D.------------71

1157

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)|PA|=2|P卻確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心

距|CO卜而，對(duì)應(yīng)圓的半徑為《=強(qiáng)=唔，再計(jì)算周長(zhǎng)得到答案.

【詳解】以A03所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為x軸，A3的垂直平分線為＞軸，

卜（，0），設(shè)尸（2），附=2|冏，

|AB|=3,貝!|A

則（x+￡|+y2=4（x-￡|+4y2,整理得到上一+y2=4,

故P軌跡是以。6,。）為圓心，半徑r=2的圓，

轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)P繞AB為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，歸山，|尸耳不變，依然滿足1PAl=2|「用

故空間中尸的軌跡為以C為球心，半徑為r=2的球,

同時(shí)尸在球。上，故P在兩球的交線上，為圓.

球心距為|。。仁^|OB|2+|BC|2-2\OB\-\OC\cos120°=屈=722+32,

△OCT為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為?;=篇65

13

671312713

周長(zhǎng)為2跖=271X----------=-------------71.

1313

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在正方體ABCD-AACIA中，E為片鼻的中點(diǎn)，尸為底面ABC。上一動(dòng)點(diǎn),

且跖與底面ABC。所成的角為60。.若該正方體外接球的表面積為12兀，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）.

A4GR上273N4A/3

r\..----------7CJJ.71Cr?-----------兀J_z.----------兀

9333

【答案】A

【分析】取AD的中點(diǎn)H,連接EH,判斷出㈤E為EF與底面ABCD所成的角，即/硒/=60。.設(shè)正

差為半徑的圓在正方形

方體的棱長(zhǎng)為a,利用外接球的表面積求出a=2.判斷出F的軌跡為以H為圓心,

ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，利用弧長(zhǎng)公式求出動(dòng)點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度.

【詳解】

如圖1,取AD的中點(diǎn)H,連接EH,則EH/MA.

在正方體中，刈，底面ABCD,所以，底面ABCD.

所以/跳H為EF與底面ABCD所成的角，貝!JN瓦H=60。.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,因?yàn)樵撜襟w外接球的表面積為12兀,

所以4兀x=3兀/=12兀,解得a=2,

所以EH=e=〃=2,從而HF二卡,

2

所以的軌跡為以為圓心,為半徑的圓在正方形區(qū)域內(nèi)的部分，如圖

FH6ABCD2.

在圖2中，HG=HM=^=

所以cos/AaG=^=走，則NA"G=2,

HG26

TTTT917

根據(jù)對(duì)稱性可知/乙，所以/M〃G=7i-2x烏二」,

663

故動(dòng)點(diǎn)F的軌跡周長(zhǎng)為?x2=迪兀.

369

故選：A

5.（2023?云南曲靖?曲靖一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐尸-ABC的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)

尸到底面ABC的距離為4,體積為T，若該三棱錐的外接球。的半徑為耳，則滿足上述條件的頂點(diǎn)尸的

軌跡長(zhǎng)度為（）

A.6萬B.124C.2石/D.4辰

【答案】D

【分析】利用三棱錐尸-ABC的體積，求解底邊邊長(zhǎng)，求出的外接圓半徑，以及球心。到底面ABC的

距離，判斷頂點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周，進(jìn)而求解周長(zhǎng)即可.

【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形AASC的直角邊長(zhǎng)為x（x>0）,

.??三棱錐的體積V=?尤2.4=g

解得：x=2^2

：.^ABC的外接圓半徑為7；=1-A/2-2A/2=2

球心0到底面ABC的距離為

4=-片=J13-4=3,

又；頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為4,

頂點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周

當(dāng)球心在底面ABC和截面圓之間時(shí)，

球心。到該截面圓的距離為a=4-3=1,

???截面圓的半徑為4=打_0=^/i3^T=273,

二頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2環(huán)=46萬；

當(dāng)球心在底面ABC和截面圓同一側(cè)時(shí)，

球心。到該截面圓的距離為4=3+4=7>H=JF,故不成立.

綜上所述，頂點(diǎn)P的軌跡的總長(zhǎng)度為萬.

故選：D.

6.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥校┰谡拿骟wA-3CD中，點(diǎn)P為AfiCD所在平面上的動(dòng)

點(diǎn)，若小與A3所成角為定值則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】B

【分析】把條件轉(zhuǎn)化為A8與圓錐的軸重合，面BCD與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)尸的軌跡后即可求解.

【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓

錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與42所成角為定值，所以面38與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)P的軌

跡.根據(jù)題意，AB不可能垂直于平面BCD即軌跡不可能為圓.面BCD不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可

能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面BCD所成角為附ba”正，即6="°370時(shí)，軌跡為拋物線，

"arctan夜時(shí)，軌跡為橢圓，?.?。《。彳），所以軌跡為橢圓.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.

7.（2022秋.河南.高三期末）棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-A4G。中，點(diǎn)E是側(cè)面CGB/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包

含邊界），則下面結(jié)論正確的有（）

①若點(diǎn)E滿足則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是線段；

②若點(diǎn)E滿足NE4C=30。，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是橢圓的一部分；

③在線段BC上存在點(diǎn)￡,使直線與8.所成的角為30。；

④當(dāng)E在棱2月上移動(dòng)時(shí)，EC+EQ的最小值是

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】對(duì)于①，證明80，平面A5G即可解決；對(duì)于②，若NEAC=30。，則E在以為軸，母線所在

直線為A也的圓錐曲線的側(cè)面上，即可解決；對(duì)于③，當(dāng)E為8G中點(diǎn)時(shí)，瓦此時(shí)tanN馬4最小,

計(jì)算得tanNEAB1=%=g§,即可解決;對(duì)于④,平面BG旋轉(zhuǎn)到與平面DBBR重合,連接RC交BB,

23

于E,即可解決.

【詳解】連接4C],BG.

所以瓦CL8G，

又正方體ABCD-A4GA中，AB工平面BG，

因?yàn)锳B上平面BG，

所以ABL瓦C,

又43ABCX=B,AB,BC[u平面ABC,,

所以B,C，平面ABG，

所以只要E在線段上，就有4BL3G,

所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是線段BG；故①正確;

若NEAC=30°,

則E在以AC為軸，母線所在直線為AE的圓錐曲線的側(cè)面上，

平面BG與圓錐的軸AC斜交，截圓錐的側(cè)面所得的截線是橢圓，故②正確;

因?yàn)锳4//C2

所以AE與8所成的角等于4E與A4所成的角NEA片,

當(dāng)E為BG中點(diǎn)時(shí)，BRBCi，

此時(shí)tan/珞用最小，

在RtaA用E中，tan/34="2="＞且,

4423

所以ZEA,B,不可能為30。.故③錯(cuò)誤;

如圖，將平面BG旋轉(zhuǎn)到與平面DBBR重合，

連接2c交B4于E,

此時(shí)EC+ED,的最小值為DXC=JF+(C+1)2=/4+2(,故④錯(cuò)誤;

故選：B.

二、填空題

8.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-ABIGR中，P為棱人片上一點(diǎn),

且=1,則正方體表面到尸點(diǎn)距離為右的點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為.

【答案】2卜

【分析】根據(jù)以P為球心，如為半徑的球與正方體表面的交線長(zhǎng)度來求得軌跡總長(zhǎng)度.

【詳解】以尸為球心，石為半徑的球與正方體表面的交線長(zhǎng)度即為所求，

在平面A3與4和平面AD2A上軌跡是以尸為圓心，y[5為半徑，

圓心角為g的兩段弧，弧長(zhǎng)為如，

22

在平面A4GA上的軌跡是以4為圓心，1為半徑，圓心角為3的弧，弧長(zhǎng)為

在平面A5CD上的軌跡是以A為圓心，2為半徑，圓心角為5的弧，弧長(zhǎng)為兀，

因此，軌跡的總長(zhǎng)度為［土+占+.

故答案為：］|+百〉

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知三棱錐尸-ABC的外接球。的半徑為耳，AASC為等腰直角三角形，

若頂點(diǎn)尸到底面A3C的距離為4,且三棱錐P-ABC的體積為g,則滿足上述條件的頂點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度

是.

【答案】兀

【分析】設(shè)AABC直角邊的邊長(zhǎng)為無，根據(jù)三棱錐尸-ABC的體積為當(dāng)，求得尤=20,進(jìn)而求得外接圓半

徑為八=2,得出球心0到底面A3C的距離4=3,得出球心。到該截面圓的距離《=1，進(jìn)而求得截面圓

的半徑2,即可求得點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】設(shè)底面等腰直角三角形ABC的直角邊的邊長(zhǎng)為Mx>0）,

/.頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為4且三棱錐P-ABC的體積為y,

A|x|vx4=y,解得X=2

二”LBC的外接圓半徑為4=gx&x2夜=2,

二球心。到底面ABC的距離為&=JR-=V13-22=3,

又,?'頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為4,

二頂點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周（球心在底面ABC和截面圓之間）且球心。到該截面圓的距離為d2=l,

截面圓的半徑4=一成=后T=2』，

二頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是2s2=2%X26=4圓,

故答案是：4A岳T.

【點(diǎn)睛】解題方法點(diǎn)撥：

1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問題；

2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

10.（2023?全國(guó)?唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知N為正方體ABCD-AgGA的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn),