三角函數(shù)的伸縮平移變換-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第04講三角函數(shù)的伸縮平移變換

（5類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

2023年全國(guó)甲卷理數(shù)，第10題,5分無(wú)

求圖象變化前（后）的解析式

由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

2022年全國(guó)甲卷文數(shù)，第5題,5分無(wú)

求圖象變化前（后）的解析式

2022年浙江卷，第6題,5分描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過(guò)程無(wú)

2021年全國(guó)乙卷理數(shù)，第7題,5分求圖象變化前（后）的解析式無(wú)

求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心

2020年江蘇卷，第10題,5分無(wú)

求圖象變化前（后）的解析式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分

【備考策略】I理解并掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2會(huì)先平移后伸縮或先伸縮后平移來(lái)綜合解決三角函數(shù)的伸縮平移變換

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，一般會(huì)結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合考查三角函數(shù)的伸

縮平移變換，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的伸縮平移變換

核心知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2常用結(jié)論

考點(diǎn)1三角函數(shù)直接伸縮平移變換

考點(diǎn)2同名三角函數(shù)伸縮平移變換

4、生上考點(diǎn)3異名三角函數(shù)伸縮平移變換

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)4三角函數(shù)伸縮平移變換求參數(shù)值

考點(diǎn)5三角函數(shù)伸縮平移變換的綜合應(yīng)用

知識(shí)講解

1.三角函數(shù)的伸縮平移變換

(1)伸縮變換(Z,0是伸縮量)

y-Asin(w+0)+/z

z振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)椋?4Z］；

若//,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)；若縱坐標(biāo)縮短；...N與縱坐標(biāo)的伸縮變換成正比

E2萬(wàn)

0決定函數(shù)的周期，T=T~\

若。/,T\,橫坐標(biāo)縮短；若。T/,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)；0與橫坐標(biāo)的伸縮變換成反比

(2)平移變換(。，，是平移量)

平移法則：左+右-，上+下-

(3)三角函數(shù)圖象的變換

(1)先平移后伸縮

畫(huà)出丁二皿的圖象

步驟15Xn

向左(右)平移HI個(gè)單位長(zhǎng)度

步驟2得到產(chǎn)sin(x+)的圖象

n1

橫垂標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的不倍

口

步驟3得到產(chǎn)sin(①x+<p)的圖象

n

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

得到y(tǒng)=Asin(cox+)的圖象<?-?

步驟4

(2)先伸縮后平移

倍

2.常用結(jié)論

(1)對(duì)稱與周期的關(guān)系

正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心、相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與

對(duì)稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期；正切曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.

(2)與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

71

若歹=/sin(s+e)為偶函數(shù)，則有9=E+y《Z)；若為奇函數(shù)，則有9=析(占Z).

71

若歹=4COS(GX+9)為偶函數(shù)，則有夕=左兀(左￡Z)；若為奇函數(shù)，則有(p=kR~\~不

若y=4tan@x+9)為奇函數(shù)，則有"=左兀(左WZ).

考點(diǎn)一、三角函數(shù)直接伸縮平移變換

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣東揭陽(yáng)?二模)把函數(shù)/(x)=3sin3x的圖象向左平移;個(gè)最小正周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

()

A.y=3sinbx+jB.y=3sin13x-

C.y=3cos3xD.y=-3cos3x

【答案】c

【分析】先根據(jù)正弦型函數(shù)的周期計(jì)算公式得最小正周期r='27r=427r；利用函數(shù)平移的規(guī)律及誘導(dǎo)公式即得.

G)3

,

【詳解】由題意得“X)的最小正周期為7=莖7r，

則所求函數(shù)為了=3sin31x+gx；j=3sin^3x+^=3cos3x.

故選：C

2.(2024?河北保定三模)將函數(shù)〃x)=sin(2x-1的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

則g(x)=()

A.sin2xB.-sin2xC.sin(2x+；jD.cos^2x+^

【答案】C

【分析】由正弦型函數(shù)的圖象變換直接求得答案.

【詳解】將函數(shù)〃x)=sin]2x-1的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)g(x)=/]x+|■[sin]2x+2).

故選：C.

3.(2024?天津?二模)將函數(shù)〃x)=cos2尤-siiucosx-1的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象,

2o

下列結(jié)論正確的是().

A.g(x)是最小正周期為71的偶函數(shù)B.點(diǎn)是g(x)的對(duì)稱中心

C.g(x)在區(qū)間后彳上的最大值為gD.g(x)在區(qū)間/高上單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】先由二倍角余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)再平移得到g(x)=-gsin2x,由正弦函數(shù)的奇偶性得到A

錯(cuò)誤；代入x=:得到B錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)性得到C錯(cuò)誤，D正確.

2cos+

【詳解】/(x)=cosx-sinxcosx--=*_sjn2JC--=COS[2x+囚],

v722222(4)

向左平移搟個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x),則g⑺=孚cos12(尤+sin2x,

32IXJ42

對(duì)于A：由以上解析可得g(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)天=:時(shí)，g(x)=-5sin[2x：[=-5,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的遞增區(qū)間為2防1+5?2無(wú)V2加+^兀,左eZ,即配+：VxW配+jjr#eZ,

同理得函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為桁-+；,ksZ

所以-力，0是g(x)的一個(gè)遞減區(qū)間，

又當(dāng)xe0,y時(shí)，g(x)<0,

所以gGZax=g]一]|]=-y-Sin[-^=￥，故C錯(cuò)誤；

TTTT

D：由C的解析可知，所以減區(qū)間為hi--,hr+-,keZ,

L44j

所以當(dāng)先=0時(shí)可得，g(x)在區(qū)間也,：)上單調(diào)遞減，故D正確;

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?廣西?二模)把函數(shù)/(x)=cos5x的圖象向左平移(個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()

A.尸cos(5x+l)B.>=cos［5x+1

C一=3(51)D.”儂9一(

【答案】A

【分析】由圖象平移變換寫(xiě)出解析式后判斷.

［詳解】由題意新函數(shù)解析式為y=cos5(x+1)=cos(5x+1).

故選：A.

2.(2024?福建廈門(mén)?三模)將函數(shù)“X)=sin2x+6cos2x的圖象向右平移三個(gè)單位后得到>=g(x)的圖象,

6

則()

A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sinI2x4--^-

C.g(x)=2sinf2x+yD.g(x)=2sinf2x+

【答案】A

【分析】先將/(x)化為正弦型，然后由平移規(guī)律可得答案.

【詳解】因?yàn)?(%)=sin2%+百cos2x=2sinf2x+yj,

所以g(x)=2sin2卜-2+—=2sin2x.

3

故選：A

3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=2sin2x+g,把/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度得到函

數(shù)g(x)的圖象，則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.g(x)的圖象關(guān)于直線工=-；對(duì)稱

C.g(x)的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱D.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(：,()］中心對(duì)稱

【答案】B

【分析】A選項(xiàng)，由函數(shù)的平移變換得到的解析式，可判斷出奇偶性；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)求出的解析式求解

對(duì)稱軸可判斷，同時(shí)可判斷C選項(xiàng)；D選項(xiàng)，代入法可判斷對(duì)稱中心.

【詳解】A選項(xiàng)，g(%)=2sinf2x+^+yj=2sin(2x+TT)=-2sin2%,

由于g(x)的定義域?yàn)镽,且g(-x)=-2sin(-2x)=sin2x=-g(x),

故g(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知錯(cuò)誤g(x)=-2sin2x,

故g(x)的圖象的對(duì)稱軸為2x=5+配億eZ),=：+

令左=-1可得x=-；,即g("的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；

C選項(xiàng)，由由選項(xiàng)B可知不存在人eZ,使得對(duì)稱軸為x=],故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知g[]J=-2sin2xa=-2,

故點(diǎn)不是g(x)圖象的中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：B

考點(diǎn)二、同名三角函數(shù)伸縮平移變換

典例引領(lǐng)

L(2022?浙江?高考真題)為了得到函數(shù)＞=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)＞=2sin,+3圖象上所有的點(diǎn)

()

A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移《個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出.

【詳解】因?yàn)椋?2sin3x=2sin3卜-2[+],所以把函數(shù)k2"3x+1)圖象上的所有點(diǎn)向右平移]

個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)V=2sin3x的圖象.

故選：D.

2.(2021?全國(guó)?高考真題)把函數(shù)y=〃x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再把所

得曲線向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)了=$也卜-的圖像，則〃x)=()

D.sinI2xH---

I12

【答案】B

【分析】解法一：從函數(shù)y=〃x)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到了=/

，再利用換元思想求得v=/(x)的解析表達(dá)式；

出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到J=/(X)的解析表達(dá)

式.

【詳解】解法一：函數(shù)y=圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的*倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=/(2x)的

圖象，再把所得曲線向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/2^-|j的圖象,

根據(jù)已知得到了函數(shù)V=sin的圖象，所以/

令”21一口則x=；+；,x盤(pán)

t=-711--

212

所以70=sin：+*,所以〃x)=sin仁+*；

解法二：由己知的函數(shù)〉=5畝1-?)逆向變換，

第一步：向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到"sin"?-Jsin(x+3的圖象，

第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到ksing+3的圖象,

即為y=〃x)的圖象，所以〃x)=sin、+j1

故選：B.

1.(2024?江蘇南京二模)為了得到函數(shù)y=sin12x+gj的圖象，只要把函數(shù)＞=sin2x圖象上所有的點(diǎn)

()

A.向左平移三個(gè)單位B.向左平移三個(gè)單位

c.向右平移J個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

63

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.

【詳解】y=sin(2x+/]=sin2^x4-^,

jr

則把函數(shù)了=sin2x圖象上所有的點(diǎn)向左平移自個(gè)單位即可，

6

故選：A.

2.(2024?陜西漢中?二模)函數(shù)/(x)=2sin(s+e)[0>O,O<e<^[的圖象如圖所示，為圖象上兩點(diǎn),

對(duì)于向量己=(1,0)4?而=:,為了得到g(x)=2sin4x的圖象，需要將了⑴圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)()

TT

A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移了個(gè)單位

4

71

B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位

716T

C.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1;(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移二TT個(gè)單位

24

D.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J1(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移7JT個(gè)單位

216

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象及題設(shè)條件，求出④。，從而得到/'(x)=2sin(2x+1TT),再利用圖象的平移變換，即可求

出結(jié)果.

JTTTT-----?T

【詳解】設(shè)“X)的最小正周期為T(mén),如圖，易知尸(7,2),2(-+-,0),所以尸。=(二,一2),

8844

----->71T712,71

又Z=(l,0)石孑0=:，所以丁=:，得到7=兀，所以一=兀，即0=2,

444①

(711元冗7T

又由圖象知，/(%)過(guò)點(diǎn)三,2,所以2x—+0=—+2歷I,左wZ,即0=:+2左兀,左wZ,

又0＜夕低,所以。=%得到/（x）=2sin（2x+a，

為了得到g（x）=2sin4x的圖象，需要將/⑴圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g（縱坐標(biāo)不變），再

向右平移白個(gè)單位，

16

故選：D.

考點(diǎn)三、異名三角函數(shù)伸縮平移變換

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下,陜西安康,階段練習(xí)）為了得到函數(shù)＞=cos（x+。TT的圖象，只需將函數(shù)〉=sin（x+：TT）的圖

66

象（）

A.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移T個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式把函數(shù)化為同名函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象變化規(guī)則即可求解.

JI

【詳解】因?yàn)椤?sina+》）=cos--（x+-）

6|_26

=cosf-x+—^=COSf,

I3；I3；

則向左平移5個(gè)單位后得＞=cos（X-g+=cos（x+力，

故選：B.

2.（23-24高三下?上海黃浦?階段練習(xí)）要得到函數(shù)y=2cos[x-]J的圖象，只需將函數(shù)y=2sin：的圖象

上所有的點(diǎn)（）

1TT

A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的:倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度

7T

B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)五個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的§1倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)5骨71個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】c

【分析】利用三角函數(shù)伸縮平移的性質(zhì)即可得解.

【詳解】要得到函數(shù)＞=的圖象，

需先將函數(shù)y=2sin§Y的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的31倍（縱坐標(biāo)不變）,

從而得到V=2sinx,從而排除BD；

TT

對(duì)于A,再向右平行移動(dòng)立個(gè)單位長(zhǎng)度，

得y=2sin[x-]）,顯然不滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于C,再向左平行移動(dòng)5卷兀個(gè)單位長(zhǎng)度，

故c正確.

故選：C.

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)〃x）=sin12x+V的圖象向左平移加（加＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象與函

數(shù)g（x）=cos2x的圖象重合，則加的值可以為（）

5兀27r兀7C

A.—B.—C.-D.一

6336

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換，代入計(jì)算即可.

【詳解】由題可得〃x+m）=sin卜x+2m+9的圖象與函數(shù)g（x）=cos2x的圖象重合,

則f（加）=sinI2m+=g（0）=1,即2〃?+5=三+2左兀，斤eZ,

62

TTJT

解得m=m+E,后ez,故加的值可以為

66

故選：D.

即時(shí)

1.（23-24高三上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）為了得到y(tǒng)=3sin（2x+詈）的圖象，只要把y=3cos（：-2x）的圖象

向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換結(jié)合誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若把尸3cos（：-2力的圖象向左平移展個(gè)單位長(zhǎng)度,

可得＞=3cos--2|x+—

不合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若把y=3cos］:-2d的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,

符合題意，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若把＞=3cos-2”的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,

可得y=3cos;一+g

不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若把y=3cos［；-2x］的圖象向左平移V個(gè)單位長(zhǎng)度，

_._71_?7兀

可"京T歹=3cos2,XH-----

416

不合題意，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

2.（2024?山東青島?三模）為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=V^cos2x的圖象上所有的點(diǎn)

（）

A.向右平行移動(dòng)?個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平行移動(dòng)弓個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

TTTT

C.向右平行移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平行移動(dòng)y個(gè)單位長(zhǎng)度

44

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)歹=然由（妙+。）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】歹二sin2x+cos2x=V^sin（2x+；］,

由誘導(dǎo)公式可知：y=V2cos2x=V2sinf2x+1-j=V2sin2卜+

又y=V2sin[2x+：）=V2sin2卜+/

則g—2=2,即只需把圖象向右平移《個(gè)單位.

4888

故選：A

3.(23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/a)=cos(s+0)3＞0,0vo〈7i),將函數(shù)/(力的圖象先向右平

移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得的圖象與＞=sinx圖象重合，則()

c兀c兀

A.0=2,(p=—B.(o=2,(p=—

63

17115K

C.co=—,(p——D.co——，(p——

262,6

【答案】A

1TT

【分析】利用逆向變換，將函數(shù)》=sinx的圖象先橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移g個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到/(x),即可求解.

【詳解】可以先將函數(shù)＞=sinx的圖象先橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，函數(shù)解析式變?yōu)?/p>

y=sin2x,

再向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(2x+g)的圖象，

D.(c2兀1.，兀。兀)兀、byC兀

又sinI2x+—^―I=sinI—+2x+—I=cosI2x+—I,所以0=2,CD=—,

故選：A.

考點(diǎn)四、三角函數(shù)伸縮平移變換求參數(shù)值

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣東梅州?二模)若把函數(shù)〃x)=sinx+acosx的圖象向左平移三個(gè)單位后得到的是一個(gè)偶函數(shù)，

則。=()

A.V3B.-V3C.—D.--

33

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得平移后的解析式8(乃=而(1+?+即0/+9,根據(jù)8(-幻=8(外，即可由和差角

公式化簡(jiǎn)求解.

TT7r7T

【詳解】把函數(shù)f(x)=sinx+acos%的圖象向左平移—個(gè)單位后得到g(x)=sin(x+§)+acos(x+-),

g(-x)=g(x),

貝°sin(-x+/)+acos(-x+y)=sin(x+g)+acos(x+y),

Linx+且cosx+adcosx-立

cosx--sinx+tz(-cosx+—sinx)=sinx),

2222222

即（日a-g）sinx=（；-^Q）sinx,該方程對(duì)任意XeR恒成立,

a,解得”立

則

22223

故選：c.

2.（2024,湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（x）=sin（2x+e）（0＜9＜兀）向左正移。個(gè)單位后在區(qū)間。仁上單

調(diào)遞增，則。=（)

7171兀2兀

A.-B.一C.一D.——

3263

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律、函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】函數(shù)/（x）=sin（2x+°）向左平移夕個(gè)單位后為/（x+夕）=sin（2x+3夕）,

當(dāng)％￡0,^時(shí)，2x+30￡[3°,71+3°],

/（x+9）=sin（2x+3夕）單調(diào)遞增,

兀兀2kji

--+2fai<3(p——+---<cp

63

所以(左eZ)，即(后eZ),

JI712版

7i+3^?<2foi+—(p<-------1--------

63

爭(zhēng)左wZ）,

可得0=+

6

71

又0＜。＜兀，cp=—

2

故選：B.

71

3.（2024?陜西榆林?三模）將函數(shù)〃x）=cos（ox+；［0＞O）的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖

4

象關(guān)于％對(duì)稱,則實(shí)數(shù)。的最小值為（）

34912

A.-B.一C.—D.——

5555

【答案】C

【分析】先根據(jù)平移變換的原則求出變化后的函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可得解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=cos(0x+；｝0：>O),

將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，

6

得到函數(shù)g(x)=cos[《x+胃+￡=cos]ox+詈,

又由g(x)圖象關(guān)于x=；對(duì)稱，

所以。工+也+工=碗,4eZ,解得0=9一3,左eZ,

46455

9

因?yàn)?〉0,所以當(dāng)左=1時(shí)，。取得最小值，最小值為不

故選：C.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))將函數(shù)/(x)=sin3x+cos3x的圖象向右平移0(夕〉0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

g(x)=-VIcos3x的圖象，則。的最小值為()

兀兀7171

A.—B.-C.-D.~

2468

【答案】B

【分析】先將函數(shù)/(x),g(x)的解析式變形為同名三角函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則求解.

【詳解】依題意，函數(shù)〃X)=8COS(3X-；),把/(x)的圖象向右平移夕個(gè)單位長(zhǎng)度，

4

得g(x)=后cos[3(x一。)-：]=亞cos[3x一(3°+；)]的圖象，而g(x)=拒cos(3x-兀),

ITZ.KTT7T

于是3(p+—=2kn+兀，而0>0,貝U左$N,(p——F—,

71

所以。的最小值為

4

故選：B

5.(2024?四川南充二模)將函數(shù)/(x)=2cos(2x-^|的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖

象，則曲線V=g(x)與直線y=G的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為()

兀兀71

A.-B.-C.-D.兀

632

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得g(x)=2cos(2x-[),再解方程求解可得答案.

6

【詳解】函數(shù)〃x)=2cos(2x-；的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,

6

得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)=2cos(2x+g-；)=2cos(2x-今，

326

令2cos(2%-y)=V3,cos(2x--)=—,

662

JTJT_JTJT

貝lj2x—=24兀+—,左］￡Z,或2x—=2左2?！?，左2￡Z,

6666

即%=左］兀+烏，左1￡Z,或％=左2兀，左2WZ,

6

一,口兀7兀13兀

可得x=：，—，—

000

x=0,兀,2TI,…,

相鄰交點(diǎn)距離的最小值為

6

故選：A.

6.Q024?山西晉城?二模)將函數(shù)〃x)=2sin(3x+；J的圖象向右平移夕(。＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)

的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,9)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則夕的取值范圍是()

5兀3兀)「3兀13兀、(5K3K1(3兀13K

A.—,—B.—,----C.—,—D.—,---

L124)L412J1124」I412」

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得g(x)=2sin(3x+：-3°),由g(x)在(0,夕)上有2個(gè)零點(diǎn)得

-2￡：-30＜-兀，解之即可求解.

JT

【詳解】將函數(shù)/(%)=2sin(3x+丁)的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度,

4

得ga)=2sin(3%+：-3夕)的圖象，由0＜%＜夕，得?一3夕＜3x+:-3。＜￡,

4444

又g(%)在(0,9)上有2個(gè)零點(diǎn)，所以-2?！都?3。＜-兀，

解得*夕中，即實(shí)數(shù)夕的取值范圍為錯(cuò)，學(xué).

故選：c

即時(shí)便測(cè)I

1.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))將函數(shù)/(x)=4sinx+3cosx的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

g(x)=5sinx的圖象,則sino=()

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)平移的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】因?yàn)?(x)=4sinx+3cosx=5sin(x+a),其中sina=1,

因?yàn)?(x)=4sinx+3cos尤的圖象向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=5sinx,

3

所以夕=",所以sin。、.

故選：A.

2.(23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))將函數(shù)〃x)=cos(ox+￡|(o>0)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后得

到的函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

9531

A.—B.-C.—D.一

4444

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象變換，求得g(x)=cos(ox+g+；),再由g(x)為奇函數(shù)，求得

3

①=3k+—,keZ,進(jìn)而得到。取得最小值.

4

【詳解】由函數(shù)/(x)=cos(0x+：[(0>O),將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得到函數(shù)g(X)=cos[(y(x+])+?=COS(0X+m+：)，

又由g(x)為奇函數(shù)，所以岸+：=]+E,/reZ,解得0=3左+｝左eZ,

3

因?yàn)椤?gt;0,所以當(dāng)人=0時(shí)，⑦取得最小值，最小值為了.

4

故選：C.

3.(2024?四川成都?三模)將函數(shù)/(x)=sin(?x+^)(?>0)的圖象向左平移個(gè)單位后，與函數(shù)

g(x)=cos(0x+e)的圖象重合，則(O的最小值為()

A.9B.6C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)圖象變換可得7=sin(0x+e+r],根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得字=[+2配,％eZ,運(yùn)算求

16J62

解即可得結(jié)果.

【詳解】將/(司=411(。工+夕)的圖象向左平移三個(gè)單位，得到

6

受sin[d+/.(TIG)y

=sinlcox+(p+—^~\=COS(GX+O)

77/71TT

則—=—F2/CTI,kEZ所以0=3+12左，左eZ,又G〉0,

62F

所以。的最小值為3.

故選：C.

4.(2024?貴州黔東南?二模)將函數(shù)〃月=454-3%+看卜2的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的

6

圖象，若g(x)在區(qū)間-1”上的最大值為0,則。=()

71717171

A.-B.一C.一D.—

36912

【答案】C

兀

【分析】通過(guò)平移變換求出g(x)的解析式,由xe~,6求出弘-￡的范圍，找出3工一2=36-￡=￡時(shí)，

12126666

g(x)最大，進(jìn)而求解.

71

【詳解】由題意得g(x)=4sin-3+—-2=4sinf3x-^-j-2.

6

TTrr5冗71即：1所以兀71

因?yàn)?所以3工一E-百,3。二.因?yàn)間(x)=0,sin3x-^=

6126max\oy2z66

故選：C.

71

5.(2024?浙江麗水?二模)將函數(shù)/(%)=cos2x的圖象向右平移。0<(p<2個(gè)單位后得到函數(shù)g卜)的圖象,

7T

若對(duì)滿足|/(國(guó))-8(%2)|=2的三/2，有|西-即：

Imin則9=()

7171715兀

A.一B.一C.一D.

64312

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得g(x)=cos(2x-2°),利用三角函數(shù)的最值，求出自變量不，4的值，然

后判斷選項(xiàng)即可,

【詳解】因函數(shù)/(x)=cos2x的最小正周期為兀,

將/(x)的圖象向右平移夕個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=cos(2x-2。)的圖象,

若對(duì)滿足"(占)-8(苫2)|=2的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2,有上一々1山=?

3

不妨石=0,貝|JX2=±1，即g(x)在九2=±三取得最小值，

JTJT

當(dāng)％2=§時(shí)，cos(2x§-2。)二-1,

止匕時(shí)§一20=兀+2E,(p=-y-kTi,左eZ,不合題意0<°<￡,

362

、[/兀r_2兀_

C0Sx

當(dāng)工2=_工時(shí)，(一_—-2^)=-1,

此時(shí)~—2夕=兀+2而，(p=——ku,keZ,當(dāng)左=0,(p——滿足題意,

366

故選：A,

考點(diǎn)五、三角函數(shù)伸縮平移變換的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.Q024?天津河西三模)已知函數(shù)〃x)=2sin(ox+9+j(其中o>0,),當(dāng)/'(占)=/'(%)=0

時(shí)，卜-x?|的最小值為=將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移B個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖

216)6

象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),則g(x)=()

A.2cos2xB.2sin2xC.2sin(2x—%]D.2sin(4x—

【答案】B

71

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/'(x)的最小正周期為兀，即可求得。，再由條件可得直線x=1=2L是函

~2-12

數(shù)/'(x)的一