2022-2023學(xué)年江蘇八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期壓軸題精練專(zhuān)題04-線段、角的軸對(duì)稱(chēng)性(含詳解)

2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)題精選匯編專(zhuān)題04線段、角的軸對(duì)稱(chēng)性考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·南京期末）如圖，點(diǎn)P在銳角的內(nèi)部，連接，，點(diǎn)P關(guān)于、所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是、，則、兩點(diǎn)之間的距離可能是（）A．8 B．7 C．6 D．52．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，則的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2分）（2021八上·海曙期末）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝8，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．124．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，中，，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與，分別交于點(diǎn)D，G，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺規(guī)作圖：①作一個(gè)角的角平分線；②作一個(gè)角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線，其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2分）（2021八上·如皋期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④7．（2分）（2021八上·如皋月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′恰好落在CD上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．（2分）（2021八上·鹽湖期中）有一題目：“如圖，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，求∠DFB的度數(shù)．”小賢的解答：以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交AB于點(diǎn)F，連接DF，則DE=DF，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得∠DFB=∠DEB．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DFB=140°．而小軍說(shuō)：“小賢考慮的不周全，∠DFB還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是（）A．小軍說(shuō)的對(duì)，且∠DFB的另一個(gè)值是40°B．小軍說(shuō)的不對(duì)，∠DFB只有140°一個(gè)值C．小賢求的結(jié)果不對(duì)，∠DFB應(yīng)該是20°D．兩人都不對(duì)，∠DFB應(yīng)有3個(gè)不同值9．（2分）（2021八上·長(zhǎng)沙月考）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正確的有（）A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④10．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過(guò)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4評(píng)卷人得分二．填空題（共10小題，滿分10分，每小題1分）11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為.12．（1分）（2021八上·淳安期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，E是AB上的一點(diǎn)，P是AD上一點(diǎn)，連接EP、BP，AC=10，BC=12，則EP+BP的最小值是.13．（1分）（2021八上·徐匯期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝．14．（1分）（2021八上·槐蔭期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝7，DE＝3，則BD的長(zhǎng)為．15．（1分）（2021八上·交城期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作直線lAB，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．16．（1分）（2021八上·建華期末）小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿直線EF折疊后與點(diǎn)O重合，你能得出那些結(jié)論？”時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面三個(gè)結(jié)論：①；②圖中沒(méi)有60°的角；③D、O、C三點(diǎn)共線．請(qǐng)你直接寫(xiě)出其中正確的結(jié)論序號(hào)：17．（1分）（2021八上·如皋月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長(zhǎng)為.18．（1分）（2021八上·廣州期中）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是．19．（1分）（2021八上·余杭月考）如圖，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.20．（1分）（2020八上·懷寧期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝124°，分別作AC，AB兩邊的垂直平分線PM，PN，垂足分別是點(diǎn)M，N．以下說(shuō)法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④點(diǎn)P到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等．正確的是（填序號(hào)）．評(píng)卷人得分三．解答題（共9小題，滿分70分）21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．22．（5分）（2021八上·房山期末）如圖，中，CD平分，且E為AB的中點(diǎn)，于M，于N，請(qǐng)你判斷線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．23．（8分）（2021八上·松桃期末）如圖，在中，，AB邊的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)D在EF上，且，G是AC的中點(diǎn)，連接DG.（1）（4分）求證：；（2）（4分）判斷是否是等邊三角形，并說(shuō)明理由.24．（10分）（2021八上·延慶期末）如圖，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)D是射線OB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作OD的垂線，交射線OA于點(diǎn)E，交射線OC于點(diǎn)F，連接ED，交OC于點(diǎn)G．（1）（3分）依題意補(bǔ)全圖形；（2）（3分）猜想EF和EG的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）（4分）求證：ED＋EF＝2EM．25．（7分）（2020八上·東海期末）問(wèn)題情境：七下教材第149頁(yè)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？（1）（3分）七年級(jí)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，我們還無(wú)法對(duì)這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論加以證明，八下教材第59頁(yè)第11題不僅對(duì)這一問(wèn)題給出了答案：“通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到PE＝PF”，還要求“現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論”，請(qǐng)你給出證明：（2）（4分）變式拓展：

如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試解決下列問(wèn)題：①PE與PF還相等嗎？為什么？②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.26．（10分）（2021八上·松江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）（3分）如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，求證：EF=AB；（2）（3分）如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）（4分）當(dāng)BE=BF時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)．27．（7分）（2021八上·淮濱月考）（1）（1分）如圖1所示，在中，，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，，的周長(zhǎng)=.（2）（1分）如圖2所示，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，，垂足為E，那么.（3）（5分）如圖3所示，在等邊△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，且AE=DC，AD，BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于點(diǎn)Q，若BP=2，求PQ的長(zhǎng).28．（8分）（2021八上·崇陽(yáng)期中）（1）（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°?α，BD平分∠ABC.①如圖1，若α=90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD與CD之間的數(shù)量關(guān)系__；②在圖2中，①中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）（4分）根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD=BC.29．（10分）（2021八上·余杭月考）在中，.（1）（3分）如圖1、求證：：（2）（3分）如圖2，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，E為CD中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)E，連接，求證：；（3）（4分）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接AF，若AF∥BC，F(xiàn)H=4，CH=20，BD=10，求的面積

2022-2023學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)題精選匯編專(zhuān)題04線段、角的軸對(duì)稱(chēng)性考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·南京期末）如圖，點(diǎn)P在銳角的內(nèi)部，連接，，點(diǎn)P關(guān)于、所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是、，則、兩點(diǎn)之間的距離可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【完整解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，∴OP1=OP=3，OP=OP2=3，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜6，所以A，B，C不符合題意，D符合題意；故答案為：D.【思路引導(dǎo)】連接OP1，OP2，P1P2，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，可證得OP1=OP=3，OP=OP2=3，再利用三角形三邊關(guān)系定理，可求出0＜P1P2＜6，由此可得答案.2．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，則的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【完整解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，，AD是△ABC的角平分線，，，即解得故答案為：C.【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可求出DF的長(zhǎng)，再利用可求出AC的長(zhǎng).3．（2分）（2021八上·海曙期末）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝8，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，

∴CD⊥AB，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面積＝×BC×EF＝×8×2=8.

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質(zhì)可證得CD⊥AB，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可求出EF的長(zhǎng)；再利用三角形的面積公式可求出△BCE的面積.4．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，中，，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與，分別交于點(diǎn)D，G，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【完整解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EB=EA，F(xiàn)A=FC，∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，∵△ABC中，∠BAC=130°，∴∠B+∠C=50°，∴∠BAE+∠FAC=50°，∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.故答案為：A.【思路引導(dǎo)】利用垂直平分線的性質(zhì)可知EA=EB，F(xiàn)A=FC，利用等邊對(duì)等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠B+∠C的度數(shù)；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）計(jì)算可求解.5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺規(guī)作圖：①作一個(gè)角的角平分線；②作一個(gè)角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線，其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【完整解答】解：由作圖可知：作圖正確的是①②.

故答案為：A.

【思路引導(dǎo)】利用作一個(gè)角等于已知角的方法，作線段垂直平分線的方法，可得答案.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【完整解答】解：如圖，連接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂線，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正確；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長(zhǎng)至，使則點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，連接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等邊三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四邊形AECP，∴S四邊形AECP＝S△ABC.故④正確.所以其中正確的結(jié)論是①②④.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】連接BP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，進(jìn)而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根據(jù)角的和差關(guān)系可判斷①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，據(jù)此判斷②；延長(zhǎng)PD至P′，使PD=P′D，則點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，連接P′A，由等邊三角形的性質(zhì)可得AE＝AP，則AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，證明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，據(jù)此判斷③；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，則△CPG是等邊三角形，則∠CGP＝∠PCG＝60°，證明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AF＝AB＝AD，據(jù)此不難判斷④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′恰好落在CD上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：如圖，連接AB′，BB′，過(guò)A作AE⊥CD于E，∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠B′AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB′，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四邊形AOB′E中，∠EB′O＝180°?α，∴∠ACB′＝∠EB′O?∠COB′＝180°?α?90°＝90°?α，∴∠ACB＝∠ACB′＝90°?α，故答案為：D.【思路引導(dǎo)】連接AB′，BB′，過(guò)A作AE⊥CD于E，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可證得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分線的性質(zhì)可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性質(zhì)可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根據(jù)∠ACB′＝∠EB′O?∠COB′，代入計(jì)算可表示出∠ACB的度數(shù).8．（2分）（2021八上·鹽湖期中）有一題目：“如圖，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，求∠DFB的度數(shù)．”小賢的解答：以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交AB于點(diǎn)F，連接DF，則DE=DF，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得∠DFB=∠DEB．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DFB=140°．而小軍說(shuō)：“小賢考慮的不周全，∠DFB還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是（）A．小軍說(shuō)的對(duì)，且∠DFB的另一個(gè)值是40°B．小軍說(shuō)的不對(duì)，∠DFB只有140°一個(gè)值C．小賢求的結(jié)果不對(duì)，∠DFB應(yīng)該是20°D．兩人都不對(duì)，∠DFB應(yīng)有3個(gè)不同值【答案】A【完整解答】解：如圖，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交于點(diǎn)F，，連接，，則，，平分，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知：，，，，，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)處時(shí)，，．故答案為：A．【思路引導(dǎo)】以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交于點(diǎn)F，，連接，，則，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，結(jié)合平行線的性質(zhì)求∠DFB=140°，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)處時(shí)，由DF=DF'可求出∠DF'B的度數(shù).9．（2分）（2021八上·長(zhǎng)沙月考）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正確的有（）A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【完整解答】解：設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：，∴，故①正確；延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)P，∵DE⊥CF，∴∠CDG＝∠CDP＝90°，∵CF平分∠GCP，∴∠GCD＝∠PCD，在△GCD和△PCD中，，∴△GCD≌△PCD（ASA），∴CG＝CP，∵∠ADC＝45°，∴∠ADP＝∠ADF，在△AFD和△APD中，，∴△AFD≌△APD（ASA），∴AF＝AP，∴AF﹣CG＝CA，故②正確；同理△ACD≌△AED（ASA），∴CD＝DE，故③正確；在DF上截取DM＝CD，則DE是CM的垂直平分線，∴CE＝EM，∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，∴∠ECG＝∠FEM，∵EF＝CP，CP＝CG，∴EF＝CG，在△EMF和△CEG中，，∴（SAS），∴FM＝GE，∴CF＝2CD+EG，故④正確；故答案為：C.【思路引導(dǎo)】設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ADC=45°，據(jù)此判斷①；延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)P，根據(jù)角平分線的概念可得∠GCD＝∠PCD，證明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，進(jìn)而證明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，據(jù)此判斷②；同理△ACD≌△AED，據(jù)此判斷③；在DF上截取DM=CD，則DE是CM的垂直平分線，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，證明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，據(jù)此判斷④.10．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過(guò)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【完整解答】解：∵AD平分，DE⊥AC，DF⊥AB，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，又∵，∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；∵AD平分，∴，∵，∴，∵，，∠BDC＝∠BAC，∴，∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④；故答案為：D.【思路引導(dǎo)】由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)HL證明，可得CE=AF，，根據(jù)HL證明，可得，從而得出，據(jù)此判斷①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，據(jù)此判斷③；利用三角形的內(nèi)角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB

，從而得出∠DAF＝∠CBD，據(jù)此判斷④.二．填空題（共10小題，滿分10分，每小題1分）11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為.【答案】6【完整解答】解：如圖，先標(biāo)注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABE和△ACE中，

AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴S△ABE＝S△ACE，

在△BDF和△CDF中，

BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，

∴△BDF≌△CDF（SAS），

∴S△BDF＝S△CDF，

∴S△BEF＝S△CEF，

∵S△ABC＝BC?AD＝×4×6＝12，

∴S陰影＝S△ABC＝6．故答案為：6.【思路引導(dǎo)】由AD⊥BC于D點(diǎn)，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易證△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，繼而可得S陰影＝S△ABC，則可求得答案．12．（1分）（2021八上·淳安期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，E是AB上的一點(diǎn)，P是AD上一點(diǎn)，連接EP、BP，AC=10，BC=12，則EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：連接PC，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴AD垂直平分BC，BD=BC=6

∴BP=CP，

∴EP+BP=EP+CP

要使EP+BP的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，且CE⊥AB時(shí)，EP+BP的值最小，最小值為EC的長(zhǎng)；

∵，

∴10CE=12×8

解之：CE=9.6.

故答案為：9.6.

【思路引導(dǎo)】連接PC，利用已知易證△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出BD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，利用垂直平分線的性質(zhì)可證得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，且CE⊥AB時(shí)，EP+BP的值最小，最小值為EC的長(zhǎng)；然后三角形的面積公式可求出CE的長(zhǎng).13．（1分）（2021八上·徐匯期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝．【答案】4【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如圖所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案為：4．【思路引導(dǎo)】作EG⊥OA于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性質(zhì)可得EF＝2EG＝4．14．（1分）（2021八上·槐蔭期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝7，DE＝3，則BD的長(zhǎng)為．【答案】4【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝3，∴CD＝3，∴BD＝BC?CD＝7?3＝4．故答案為：4．【思路引導(dǎo)】由角平分線的性質(zhì)可得CD＝DE=3，利用BD＝BC?CD即可求解.15．（1分）（2021八上·交城期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作直線lAB，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．【答案】4【完整解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面積為16，BC＝8，∴，即，作DE⊥AB，∵BD為△ABC的角平分線，∴，∵直線lAB，∴AP最小值與DE相等為4，故答案為：4．【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的面積公式求出CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)垂線段最短解答即可。16．（1分）（2021八上·建華期末）小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿直線EF折疊后與點(diǎn)O重合，你能得出那些結(jié)論？”時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面三個(gè)結(jié)論：①；②圖中沒(méi)有60°的角；③D、O、C三點(diǎn)共線．請(qǐng)你直接寫(xiě)出其中正確的結(jié)論序號(hào)：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，∴直線AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①符合題意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°，②不符合題意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分線，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三點(diǎn)不共線，③不符合題意.故答案為：①．【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，垂直平分線的定義對(duì)每個(gè)結(jié)論一一判斷即可。17．（1分）（2021八上·如皋月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長(zhǎng)為.【答案】4【完整解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ.∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四邊形PMCN是矩形，∴四邊形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，∵S△ABC＝?BC?AC＝（AC+BC+AB）?PM，∴PM＝2，∴△ECF的周長(zhǎng)為4，故答案為：4.【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ，利用角平分線的性質(zhì)可證得PM=PN，∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，可推出四邊形PMCN是正方形，利用正方形的性質(zhì)可得到CM=PM；再利用SAS證明△PMJ≌△PNF，利用全等三角形的性質(zhì)可證得∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF；再利用SAS證明△PEF≌△PEJ，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可證得EF=EJ，由此可推出EF＝EM+FN；然后可證得△CEF的周長(zhǎng)=2PM；然后證明△ABC的面積=（AC+BC+AB）?PM，可求出PM的長(zhǎng)，即可得到△CEF的周長(zhǎng).18．（1分）（2021八上·廣州期中）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是．【答案】①②【完整解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①符合題意；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合題意；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，③不符合題意．故答案為：①②．【思路引導(dǎo)】由角平分線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再證得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，進(jìn)而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③。19．（1分）（2021八上·余杭月考）如圖，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.【答案】①②③④【完整解答】解：①過(guò)點(diǎn)作于，平分，，，，∵平分，，，∴，，又∵，，CP平分∠ACF，故①正確；②∵，，∴，在和中，，，，同理：，，，，，，，，②正確；③∵，，∴，，平分，平分，，，，即，③正確；④由②可知，，，，，故④正確.故答案為：①②③④.【思路引導(dǎo)】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上判斷出CP平分∠ACF，據(jù)此判斷①；證△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四邊形內(nèi)角和為360°求出∠ABC+∠MPN的度數(shù)，據(jù)此判斷②；由三角形的任意一個(gè)外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分線的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，據(jù)此判斷③；由全等三角形的面積相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，據(jù)此判斷④.20．（1分）（2020八上·懷寧期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝124°，分別作AC，AB兩邊的垂直平分線PM，PN，垂足分別是點(diǎn)M，N．以下說(shuō)法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④點(diǎn)P到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等．正確的是（填序號(hào)）．【答案】①②④【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①說(shuō)法符合題意；∵∠BAC＝124°，∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，F(xiàn)B＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②說(shuō)法符合題意；△ABC不一定是等腰三角形，∴BF不一定等于CE，∴無(wú)法判定PE與PF是否相等，③說(shuō)法不符合題意；連接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即點(diǎn)P到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等，④說(shuō)法符合題意，故答案為：①②④．【思路引導(dǎo)】根據(jù)垂直的定義，四邊形內(nèi)角和等于360度計(jì)算，判斷①，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC＝EA，F(xiàn)B＝FA，進(jìn)而得出∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，判斷②，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，判斷③，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷④。三．解答題（共9小題，滿分70分）21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】證明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可。22．（5分）（2021八上·房山期末）如圖，中，CD平分，且E為AB的中點(diǎn)，于M，于N，請(qǐng)你判斷線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】解：，理由：如圖，連接DA，DB，∵CD平分，于M，于N，∴，∵且E為AB的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴（HL），∴．【思路引導(dǎo)】先求出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可。23．（8分）（2021八上·松桃期末）如圖，在中，，AB邊的垂直平分線分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)D在EF上，且，G是AC的中點(diǎn)，連接DG.（1）（4分）求證：；（2）（4分）判斷是否是等邊三角形，并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明：連接AD，∵EF是AB的垂直平分線，點(diǎn)D在EF上，∴.又∵，∴，∴是等腰三角形.∵G是AC的中點(diǎn)，∴.（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等邊三角形.【思路引導(dǎo)】（1）連接AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可求解；

（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB，從而得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠DBC+∠DCB=

120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法即證.24．（10分）（2021八上·延慶期末）如圖，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)D是射線OB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作OD的垂線，交射線OA于點(diǎn)E，交射線OC于點(diǎn)F，連接ED，交OC于點(diǎn)G．（1）（3分）依題意補(bǔ)全圖形；（2）（3分）猜想EF和EG的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）（4分）求證：ED＋EF＝2EM．【答案】（1）解：根據(jù)題意，如圖：（2）解：EF=EG；理由如下：如圖，∵點(diǎn)M為線段OD的中點(diǎn)，EM⊥OD，∴線段EM是△OED的高，也是中線，∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，∴OE=DE，∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC，∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG；（3）解：在射線EA上，截取EH=EG，連接GH，如圖：則EH=EF，∵OE=DE，∴ED＋EF=OE+EH=OH，∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，∴OD=2EM；∠EHG=45°，∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，∴△ODG≌△OHG（AAS），∴OD=OH，∴ED＋EF＝2EM．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；

（2）結(jié)論：EF=EG，欲證明EF=EG，只要證明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；

（3）過(guò)點(diǎn)G作OD的垂線，垂足為N，證明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得結(jié)論。25．（7分）（2020八上·東海期末）問(wèn)題情境：七下教材第149頁(yè)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？（1）（3分）七年級(jí)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，我們還無(wú)法對(duì)這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論加以證明，八下教材第59頁(yè)第11題不僅對(duì)這一問(wèn)題給出了答案：“通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到PE＝PF”，還要求“現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論”，請(qǐng)你給出證明：（2）（4分）變式拓展：

如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試解決下列問(wèn)題：①PE與PF還相等嗎？為什么？②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE.（2）解：①解：結(jié)論：PE＝PF.理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE.②解：結(jié)論：OE﹣OF＝OP.理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝∠AOB＝60°，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP.【思路引導(dǎo)】（1）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分線的性質(zhì)可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根據(jù)ASA證明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；

（2）①PE＝PF；理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，同（1）證法相同；

②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS證明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，從而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，求出∠OPM＝30°，可得OP＝2OM，即得OE﹣OF＝OP.26．（10分）（2021八上·松江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．（1）（3分）如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，求證：EF=AB；（2）（3分）如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）（4分）當(dāng)BE=BF時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分線，是等邊三角形，而（2）解：如圖，當(dāng)過(guò)A點(diǎn)，是的垂直平分線，則如圖，當(dāng)過(guò)點(diǎn)C，則所以分別在AB、BC上時(shí)，則如圖，過(guò)F作于N，同理：整理得：（3）解：當(dāng)同理可得：設(shè)則【思路引導(dǎo)】（1）由直角三角形的性質(zhì)求出證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出即可得出結(jié)論；

（2）當(dāng)過(guò)A點(diǎn)，是的垂直平分線，則過(guò)F作于N，有直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）證明由全等三角形的性質(zhì)得出則設(shè)則求出n的值即可得出答案。

27．（7分）（2021八上·淮濱月考）（1）（1分）如圖1所示，在中，，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，，的周長(zhǎng)=.（2）（1分）如圖2所示，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，，垂足為E，那么.（3）（5分）如圖3所示，在等邊△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，且AE=DC，AD，BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于點(diǎn)Q，若BP=2，求PQ的長(zhǎng).【答案】（1）15cm（2）3：1（3）解：∵△ABC為等邊三角形.∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BPQ為△ABP外角，∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD.∴∠BPQ＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝2，∴PQ＝1.【完整解答】解：（1）∵DE是線段BC的垂直平分線，∴CD＝BD=5cm，

∴∠DCB=∠B＝30°∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°∴△ACD是等邊三角形∴△ACD的周長(zhǎng)＝3CD＝15cm.故答案為：15cm；（2）連接AD，如圖所示.∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝60°，∠B=30°，又∵DE⊥AB，∴∠B＝∠ADE＝30°，∴AB=2AD，AE＝AD，∴BE＝AB-AE=2AD-AD=AD，∴BE：AE＝AD：AD=3：1.故答案為：3：1.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD＝BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等邊三角形，進(jìn)而可得周長(zhǎng)；（2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD＝60°，根據(jù)同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2AD，AE＝AD，則BE＝AD，據(jù)此解答；

（3）由等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，證△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，則∠BPQ＝60°，∠P