2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之填空題：相等關(guān)系與不等關(guān)系（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：相等關(guān)系與不等關(guān)系

（10題）

一.填空題（共10小題）

1.（2024?運(yùn)城二模）已知集合力={x6<3^+1<27},B={x\^-3x+m=O],若1e4CB,則AUB的

子集的個(gè)數(shù)為.

2.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)/（x）=/+2x,若加>0,n>0,且/（2機(jī)）=/（0）,則

12

一+一的最小值是.

mn

21

3.（2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬）已知正實(shí)數(shù)%,y滿足4x+7y=4,則-----+--的最小值

x+3y2x+y

為.

4

4.（2024?宜賓三模）已知x>l,求尤+』的最小值是

X—1

41

5.（2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬）在△A3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,若Q+0+C=2,則--+一的

a+bc

最小值為.

11

6.（2024?河池模擬）若實(shí)數(shù)a>l>b>0,且/+25=62+2°,則——+工的最小值為

a-1b

7.（2024?保定三模）設(shè)a,b,c>0,則史史竺也叵的最大值為_(kāi)_____.

a+b+4c

8.（2024?浙江模擬）若〃>0,b>0,則m譏b,a+j）}=-

9.（2024?下陸區(qū)校級(jí)三模）設(shè)a,Z?GR+,若〃+4。=4,則但三!二的最小值為_(kāi)_________________，此

\ab

時(shí)a的值為.

1Q

10.（2024?平羅縣校級(jí)模擬）已知機(jī)，nE（0,+°°）,—+n=4,則小+7的最小值為_(kāi)______.

mn

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(填空題)：相等關(guān)系與不等關(guān)系

(10題)

參考答案與試題解析

一.填空題(共10小題)

1.(2024?運(yùn)城二模)己知集合4={KCN|g<3計(jì)1<27},2={工仔-3x+m=0},若leACB,則AU2的

子集的個(gè)數(shù)為8.

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】8.

【分析】先求出集合A,然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算及元素與集合關(guān)系先求出加，進(jìn)而可求8,結(jié)合集合

的并集及集合子集的個(gè)數(shù)規(guī)律即可求解.

【解答】解：因?yàn)?={久€7[<3'+1<27}={0,1},B={x|/-3x+m=0},

若ICAAB,則1CB,

所以1-3+機(jī)=0,即機(jī)=2,B={\,2},

AUB={0,1,2),子集個(gè)數(shù)為23=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集及并集運(yùn)算，還考查了集合子集個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模)已知函數(shù)/(x)=/+2無(wú)，若機(jī)>0,〃>0,且/(2加)4/(〃-1)=f(0),則

—+2的最小值是8.

mn

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】8.

【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可得加，〃的關(guān)系，然后利用乘1法，結(jié)

合基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)?(x)=X3+2X,

所以/(-x)=-x3-2尤=(尤)，即/(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)閥=%3與y=2x都為R上遞增的函數(shù)，

故/(%)在R上單調(diào)遞增，

若機(jī)>0,n>0,且/(2m)4/(幾-1)=f(0)=0,

則/(2加=-/(n-1)=f(1-n),

所以2m=1-小即2m+n=1,

122m+n4m+2n刀4m

一+—=------+-----------=4+-+—>4+2

mnmnTH幾

11

當(dāng)且僅當(dāng)九=2相，即m=彳，九=亍時(shí)取等號(hào).

4z

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬

于中檔題.

219

3.(2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬)已知正實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足4x+7y=4,則-----+------的最小值為一

x+3y2x+y-4-

【考點(diǎn)】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由4x+7y=2(l+3y)+(2x+y),結(jié)合基本不等式求解即可.

【解答】解：因?yàn)?x+7y=4,

―21121

所以-----+------=~[2(%4-3y)+(2%+y)](---------+--------),

x+3y2x+y4Lv-v”、+3y2x+yy

2112(x+3y)+2(2x+y)

所以?+=力4++1],

x+3y2x+y2x+yx+3y

因?yàn)閄一為正實(shí)數(shù),所2(%以+3/y)^,。，2(2^+y)

>0,

x+3y

2(%+3y)2(2x+y)

所以+--------------------------=4,

2x+yx+3y2x+yx+3y

當(dāng)且僅當(dāng)。!:^7-4+V時(shí)等號(hào)成立，即％=磊，y=2時(shí)等號(hào)成立，

yftX十/y=41313

2119QA

所以——+---->-(4+4+1)=-,當(dāng)且僅當(dāng)％=yr/y=同時(shí)等號(hào)成立,

x+3y2x+y441515

219

所以^+；一的最小值為了，

x+3y2x+y4

9

故答案為：--

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4

4.(2024?宜賓三模)已知x>l,求x+T的最小值是5

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用關(guān)系式的變換和基本不等式，求出最小值.

【解答】解：由于x>l,所以X-1>O,

所以％+=(%一1_)+々+1Z2(x—1),丫，1+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)冗=3時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題.

41

5.(2024?歷城區(qū)校級(jí)模擬)在△A3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,若〃+。+°=2,則一+一的

a+bc

9

最小值為--

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

9

【答案】--

【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：因?yàn)閍+6+c=2,

41

所以-z+一

a+bc

141

=5(----+-)(〃+/?+c)

乙a+bc

(5+4^+—)

2a+bc

、1“J4ca+b、

)

>2□(5+2\a—+nb:---c--

9

=2)

4ca+b

當(dāng)且僅當(dāng)----=----，即q+b=2c時(shí)等號(hào)成立，

a+bc

419

故+一的最小值為

a+bc2

9

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

11

6.(2024?河池模擬)若實(shí)數(shù)〃>1>/?>0,且〃2+28=房+2〃，則---+;■的最小值為4

a-1b

【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】4.

11

【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)已知等式，可得〃-1=1-。，從而將——+工化簡(jiǎn)為關(guān)于b的式子，利用基本不

a-1b

11

等式求出「+工的最小值，可得答案.

a-1b

【解答】解：由。2+20=房+2〃，得（4-1）2=（6-1）2,結(jié)合〃>1>人>0,可得〃-1=1-/?,

1111b+1-b11

所以言+3==+3=^^=^^2^^=4,

k27

當(dāng)且僅當(dāng)Z?=l-A,即時(shí)，+T■的最小值為4.

乙a-1b

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2024?保定三模）設(shè)a,b,c>0,則竺空字空叵的最大值為2.

a+b+4c

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】2.

【分析】根據(jù)a、b、c均為正數(shù)，證出2碗登+26,4V赤矍+8c,由此代入題中式子，得到

a+2y[ab+4Vaca+2VaF+4Vac

<2,利用基本不等式取等號(hào)的條件求出的最大值.

a+b+4ca+b+4c

【解答】解：因?yàn)??！?,b>0,所以2而4+24當(dāng)且僅當(dāng)］=26時(shí)，即〃=4。時(shí)，等號(hào)成立.

又因?yàn)椤?gt;0,c>0,所以4VHE<?+8C,當(dāng)且僅當(dāng)]=8c時(shí)，即〃=16c時(shí)，等號(hào)成立.

,a+2Vab+4y[ac。+(§+26)+(號(hào)+8，)2a+2b+8c

因此，-------------<--~~---——=—;------=2,

a+b+4ca+b+4ca+b+4c

a+2ylab+4\[ac

當(dāng)正數(shù)a、b、c滿足出b：c=16：4：1時(shí)，---------上一的最大值為2.

a+b+4c

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題.

8.（2024?浙江模擬）若a>0,b>0,則7ni7i{nia久（a,b,++》）}=_V2.

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

112

【分析】不妨設(shè)a^b>0.分以下三種情況討論：①Q(mào)>b>遮時(shí)，由=-<—<b,可得max{a,

azbzbz

1ii1

b,—+—}=a>V2；②a之冠之b時(shí)，可得加b,—+—}=a>V2；

③好>a>b時(shí)，可得max{a,4/+靠}='+/2V2,綜上即可得出zn譏{?na%（a,b,今+表）}：

V2.

【解答】解：不妨設(shè)〃20>0.

11211

①aNb之迎時(shí)，V—+—<—<6,b,—+—}=a>V2；

azb,匕zazb乙

「X3L,2112223廠2113廠

②a2/2時(shí)’+正工商/三樂(lè)=返三法根”'b,-+-}=?>V2；

Z-x3/—11223r~11113f—

③迎NaNb時(shí)，*.,—+—>—>YP=v2,max{a,b,—+—}=-7+-7>v2.

a2i?2a2V4a2b2次『

綜上可知：則久（a,b,+-^）}=V2.

故答案為近.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握不等式的性質(zhì)和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?下陸區(qū)校級(jí)三模）設(shè)a,66R+,若a+4b=4,則迎生的最小值為2&，此時(shí)a的值為2

7ab------------

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】2五,2.

【分析】先利用基本不等式求出油的范圍，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)閍,6CR+,

1

所以4=a+4b>2V4a4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=2,即〃=2,b=鄂寸取等號(hào),

所以0<abWl,

1111

所以一+2+-^>2,

ab7ab7aby/ab

Va+2Vd2a+4b+4VHs4+4而F/11

貝1J（F-）'=一施—==4（石+漏）2，

故絆誓的最小值為2企.

\ab

故答案為：2VL2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

1Q

10.(2024?平羅縣校級(jí)模擬)已知加，幾6(0,+8),—+n=4,則租+-的最小值為4

m九-----

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】4.

【分析】由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解.

1

【解答】解：因?yàn)閙,nE(0,+8),—+n=4,

m

gi91igiIQ~

貝！Jzn+-=7(m+-)(-+n)=y(10+mn-l---)>彳(10+2\mnx——)=4,

n4nm4mn4\mn

當(dāng)且僅當(dāng)H2〃=3時(shí)取等號(hào).

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.并集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUB.

符號(hào)語(yǔ)言：或無(wú)62}.

AU3實(shí)際理解為：①％僅是A中元素；②％僅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

運(yùn)算性質(zhì)：

?AUB=BUA.?AU0=A.?AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,兩個(gè)

集合都是空集.⑦AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問(wèn)題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)

的定義域，值域聯(lián)合命題.

2.交集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合2的元素組成的集合叫做A與2的交集，記作ACR

符號(hào)語(yǔ)言：AHB={X\XGA,且XCB}.

ACS實(shí)際理解為：尤是A且是8中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集.

運(yùn)算性質(zhì)：

?AHB=BnA.②AC0=0.?AAA=A.@AHBQA,ADBQB.@AHB=A^AQB.@AAj?=0,兩個(gè)

集合沒(méi)有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

3.不等關(guān)系與不等式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

48

不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來(lái)說(shuō)的，比如二與一就是相等關(guān)系.而

不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說(shuō)〃>兒a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①對(duì)任意的b,有a>b0a-b>0；a=b=>a-b=0；a<b<^a-b<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果。>b,那么匕<〃；如果那么

③如果a>b,且b>c,那么〃>c；如果a>b,那么a+c>b+c,

推論：如果〃>b,且。>d,那么〃+c>Z?+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

【命題方向】

例1：解不等式：siiuN*.

解：*.*sinx>-2,

?'.2匕r+/二-（左CZ）,

oo

?，.不等式siiix>*的解集為{x|2E+看WxW2E+得，％EZ}.

這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這

個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：當(dāng)次?>0時(shí)，〃>/?0一<一.

ab

1

證明：由次?>0,知一7〉0.

ab

1I11

又???46,?而〉力語(yǔ)即尸了

“11?,11

右一貝！|一?ab<—■ab

abab

'.a>b.

這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可，

這種技巧在選擇題上用的最廣.

4.基本不等式及其應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：—^―>y[ab(a20,6N0),變形為(―^―)2或者a+b^l4ab.常

常用于求最值和值域.

實(shí)例解析

例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是.

2abX2+242

Atciib均為負(fù)數(shù)，則+22.B：i---->2.C：sinxH—：—>4.D：ci&R+>(3—a)(l)<0.

b2aVx2+1sinxa

解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均滿足條件.

對(duì)于C選項(xiàng)中sintW±2,

不滿足“相等”的條件，

再者sinx?可以取到負(fù)值.

故選：C.

A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；8分子其實(shí)可以寫(xiě)成

?+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=占的最值？當(dāng)0〈尤<1時(shí)，如何求y=黑的最大值.

解：當(dāng)％=0時(shí)，y=0,

當(dāng)時(shí)’丫=熹=5|'

用基本不等式

若x>0時(shí)，OVyW?，

若x〈0時(shí)，一?WyVO,

綜上得，可以得出—?Wy〈孝，

?'-y=的最值是一字與今

這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于o,沒(méi)有明確表示的話就需要討

論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；

最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果.

【解題方法點(diǎn)撥】

基本不等式的應(yīng)用

1、求最值

例1：求下列函數(shù)的值域.

（1））=3x2+*（2）尸X+]

解：（1））=3x2+專22y3x2.圭=*二值域?yàn)樗?，y）

⑵當(dāng)x>0時(shí)，y=x+；>2\/X4=2；

當(dāng)x<0時(shí)，尸x+：=-（-x-：）W-2,/x±=-2

...值域?yàn)椋?8,-2iur2,WO）

2、利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、ceR+,且a+b+c=l。求證：；1-1；；1-1^I-?[>8

分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又

工_1=匕￡="￡4返，可由此變形入手。

aaaa

初??入u.L,1.1.1-4b+c、2庭閂工田1.2-Jac1

解：?a、b、ceR>a+b+c=lo..——1==---2-----。I口」理一一1之----->——1士-----。

aaaabbcc

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

[1-1^1-1手.手.乎=8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c寸寸取等號(hào)。

3、基本不等式與恒成立問(wèn)題

1Q

例3：已知x>0/>0且一+―=1,求使不等式x+y之初恒成立的實(shí)數(shù)加的取值范圍。

xy

知人.19.x+y9x4-9y_IOy9x.

解：x4~v=fc.x>0A.v>0A.—+—=l,..----+------=1l./.—+—+—=I

xykxkykkxky

ina

>2-o.\jt>16,we(-oo,16]

kk

4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用

例4:若a>b>LP=Jlga-lg=；Qga+lg6),&=lg(^^),則PQ,&的大小關(guān)系是

分析：,/a>b>1.0.1ga>OJg6>0

Q=\(lga+lgb)>Jiga/gb=p

R=lg(土，^)>lg-fab=；lgab=Q

.\R>Q>Po

【命題方向】

技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知x<2,求函數(shù)丫=4式-2+---的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以首先要，調(diào)整節(jié)號(hào)，又(4X-2A—!-不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，

4x-5

??。<￡二5-4%>0，/.j=4x-2+——=一；’5—4'——-—：+34-2+3=1

4,4x-5I5-4xJ

當(dāng)且僅當(dāng)5-4X=K。，即x=l時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=l時(shí)，％,=1。

點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值.

技巧二：湊系數(shù)

例2：當(dāng)0<x<4時(shí)，求y=;c(8-2x)的最大值.

解析：由0<x<4知，8-2尤>0,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可.

112x+8—2x0

y=x(8-2x)=丸2x?(8-2x)]<1(-------------)2=8

當(dāng)2x=8-2x,即x=2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x=2時(shí)，y—x(8-%2)的最大值為8.

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分離

例3：求y=/普(x>-1)的值域.

解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)，再將其分離.

x+7x+10(x+1)+5Q+l)+4z[、14

尸％+1=-------申-------=(x+1)+申+5c，

當(dāng)x>-1,即x+l>0時(shí)，y22J(%+1)xJj+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取號(hào))

技巧四：換元

對(duì)于上面例3,可先換元，令t=x+l,化簡(jiǎn)原式在分離求最值.

技巧五：結(jié)合函數(shù)/(x)=x+￡的單調(diào)性.

例4:求函數(shù)y=二的值域。

解：令々+4=/?之2),則［一￡-5

y/x：-4JW+4t

因=但/=：解得，=±1不在區(qū)間［2+8),故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)?,=/+1在區(qū)間［L+o。)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間［2+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，故)后：.

t2

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

技巧六：整體代換

10

例5：已知x>0,y>0,且一+一=1,求x+j的最小值。

xy

錯(cuò)解-'''x>0,y>0,且—?—=1?--x+y=1—+-j(i+j)>2/—2-fig^=12故(x+y).=12°

XyVxy)［xyv?

錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在X+P22歷等號(hào)成立條件是X=p,在1+222區(qū)等號(hào)成立條

XVV號(hào)

19

件是±=二即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等

xy

號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢蛤轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

1Q(19、19x

正解：,.,x>0j>0n—+—=1>二x+>=(x+y—+—=--+—+1026+10=16

xy\xy)xy

vtQy19

當(dāng)且僅當(dāng)上=三時(shí)，上式等號(hào)成立，又一+—=1,可得X=4)=12時(shí)，(x+y)10m=16。

xyxy

點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，