中考數學專項復習：因式分解（解析版）

專題4.1因式分解

典例精析

【典例11【閱讀與思索】整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項式口/+法+。進行因

式分解呢？我們已經知道，(aix+ci)(a2X+ci)=aiai^-vaiC2X+a2Cix+ciC2=aia^+(aiC2+a-ici)x+aci.

2

反過來，就得到：ara2x+(aiC2+a2c1)x+crc2=(ciiX+c^{a2x+c2).

我們發(fā)覺，二次項的系數a分解成。遂2,常數項c分解成QC2,并且把a/,ci,C2如圖①所示擺放，

按對角線交叉相乘再相加，就得到的。2+a2c1，假如＜2遙2+a2cl的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b,

那么a/+6刀+c就可以分解為(a/x+c/)(a2X+C2)，其中al,cl位于圖的上一行，。2，。2位于下一行.

像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而關心我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，將式子/一久一6分解因式的詳細步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1x1,

把常數項一6也分解為兩個因數的積，即一6=2x(—3)；然后把1,1,2,—3按圖②所示的擺放，按對角線

交叉相乘再相加的方法，得到lx(—3)+lx2=-1,恰好等于一次項的系數一1,于是產一萬一6就可以分解

為(x+2)(x-3).

請同學們認真觀看和思索，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法"分解因式：x2-x-

6=.

【理解與應用】

請你認真體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：

⑴2x2+5%-7=；

⑵6x2—7xy+2y2=.

【探究與拓展】

對于形如a/++cy2++沖+/的關于％,y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法〃來分解.如

圖④，將〃分解成機〃乘積作為一列，c分解成pq乘積作為其次列，/分解成乘積作為第三列，假如+

np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2歹U、第2,3列和第1,3列都滿意十字相乘規(guī)那么，那么原

式=(蛆+py+j)(rvc+qy+%),請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)以下問題:

〔1〕分解因式3/+5xy—2y2+%+9y—4=；

(2〕假設關于x,y的二元二次式久2+7%y-18y2-5久+my-24可以分解成兩個一次因式的積，求相的

值；

(3〕x,y為整數，且滿意％2+34/+2y2+2%+3y=—L請寫出一組符合題意的x,y的值.

【思路點撥】

【閱讀與思索】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；

【理解與應用】〔1〕利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；

〔2〕利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；

【探究與拓展】〔1〕依據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；

〔2〕依據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；

〔3〕依據二元二次多項式的十字相乘法，對方程進行分解因式，化為二元一次方程，進而即可求解.

【解題過程】

解：【閱讀與思索】畫十字交叉圖:

.'.x2—x-6=(x3)(x+2).

故答案是：(x3)(尤+2)；

【理解與應用】［1)畫十字交叉圖:

27

2X2+5尤-7=(x-1)(2%+7),

故答案是：(x-l)(2x+7)；

⑵畫十字交叉圖：

2

3-2

6X2-7xy+ly2=(2x-y)(3x-2y),

故答案是：(2x-y)(3x-2y)；

【探究與拓展】11)畫十字交叉圖:

+5xy-2冉x+9y-4=(x+2y-l)(3x-y+4),

故答案是：(x+2y-1)(3%-j+4)；

⑵如圖,

,關于x,y的二元二次式一+7盯―18y2—5x+?ty—24可以分解成兩個一次因式的積，

,存在1x1=1,9x(-2)=—18,(-8)x3=-24,7=lx(-2)+lx9,-5=lx(-8)+lx3,

.'.771=9x3+(—2)x(—8)=43或OT=9X(—8)+(—2)x3=—78.

.??根的值為：43或一78；

[3)Vx2+3xy+2y2+2x+3y=-1,

.".%2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,

畫十字交叉圖：

(x+2y+1)(%+y+1)=0,

.".x+2y+1-0或x+y+1=0,

y為整數,

.".x=—l,y=0是一組符合題意的值.

學霸必刷

1.[2023春?江蘇?七班級專題練習）因式分解：15/+13孫-44）；2=

【思路點撥】

利用十字相乘法，分別對二次項系數，常數項進行因數分解，交叉乘加，檢驗是否得中項的系數，從而確

定適當的“十字〃進行因式分解.

【解題過程】

解：利用十字相乘法，如圖,

融常數項

3

11

3x11-4x5=13

將二次項系數、常數項分別分解，交叉乘加驗中項，得出答案,

15x2+13xy-44y2=(3x-4y)bx+lly).

故答案為：［3x-4y)(5x+lly).

2.〔2023春?江蘇?七班級專題練習）分解因式：%6-28x3+27=.

【思路點撥】

利用整體思想及十字相乘法與立方差公式求解.

【解題過程】

解：原式=（久3）2一28/+27,

=(%3—l)(x3—27),

-(x—l)(x2+x+l)(x-3)(%2+3x+9).

故答案為：(*—l)(x2+x+l)(x—3)(/+3x+9).

3.〔2023春?七班級課時練習）分解因式：a4—4a3+4a2—9=

【思路點撥】

此題有。的四次項、。的三次項，a的二次項，有常數項，所以首要考慮的就是三一分組，前三項提取公因

式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項連續(xù)利用平方差公式分解因式.

【解題過程】

解：a，-+4a2—9

=(a4—4a3+4a2)—9

=a2(a-2)2-32

二(Q2—2a—3)(Q2—2a+3)

=(a—3)(a+l)(a2—2a+3)

故答案為：(a—3)(a+l)(cz2—2a+3).

4.(2023春?七班級課時練習)因式分解：x3-6^+11%-6=.

【思路點撥】

首先將1b拆項，進而利用提取公因式法以及公式法分解因式進而得出答案.

【解題過程】

I?：x3--6

-6/+9%+2%-6

=x(x2-6x+9)+2(x-3)

=x(x-3)2+2(x-3)

=(x-3)[x[%-3)+2]

=(x-3)(x2-3x+2)

—(x-3)(x~2](x-1).

故答案為：(x-2)(x-1).

5.(2023春?七班級課時練習〕因式分解：6x2-5xy+y2+17%-7y+12=.

【思路點撥】

將原式進行拆解變形為6/-5xy+y2+8%-4y+9%-3y+12后，先將前面幾項利用十字相乘法因式分

解，后面分組進行提公因式，然后進一步分解因式即可.

【解題過程】

解：6x2—5xy+V+17%—7y+12

=6x2—5xy+V+8%—4y+9%—3y+12

=(2x—y)(3x—y)+4(2%—y)+3(3x—y)+12

=(2%-y)(3x-y+4)+3(3x-y+4)

二(2%—y+3)(3%—y+4).

所以答案為(2%-y+3)(3%-y+4).

6.[2023春?七班級課時練習)分解因式：(X+y-2%y)(%+y-2)+(%y—1)2=.

【思路點撥】

先利用乘法公式綻開、合并得到原式=(%+y)2-2(%+y)-2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1,再進行分組得

到完全平方公式，所以原式=[(%+y)-(%y+l)]2,然后再把括號內分組分解即可.

【解題過程】

解：原式=(%+y)2—2(%+y)-2xy(x+y)+4xy+(xy)2—2xy+1

=(x+y)2—2(%+y)—2xy(x+y)+(xy)2+2xy+1

=(%+y)2-2(%+y)(xy4-1)+(xy+l)2

=[(x+y)—(xy+l)]2

=(%+y—xy—l)2

=[(x-l)(y-l)]2

=(%—1)2(y—I)2.

故答案為：(x-l)2(y-l)2.

7.[2023春?江蘇?七班級專題練習〕分解因式：

⑴%2-7%+10

⑵X2%2—9%+18

⑶%2%2—5x—6

⑷x2x2—9x—22

⑸X23X2+%—2

⑹X23X2+%—4

⑺%2-12%2+25%-12

⑻x2—3x2—%+10

⑼x2x2—y2—x—y

(10)X2X3++%+1

〔11)%2。2+4。—9b2+4

[12)x2a2—4b2—2a+4&

【思路點撥】

11）利用十字相乘法分解因式即可；

12）利用十字相乘法分解因式即可；

13）利用十字相乘法分解因式即可；

14）利用十字相乘法分解因式即可；

15）利用十字相乘法分解因式即可；

16）利用十字相乘法分解因式即可；

[7）利用十字相乘法分解因式即可；

18）利用十字相乘法分解因式即可；

19）利用分組分解法分解因式即可；

[10）利用分組分解法分解因式即可;

111）利用分組分解法分解因式即可;

（12）利用分組分解法分解因式即可.

【解題過程】

（1）解：%2-7%+10

.'.x2—7%+10=(%—2)(x—5)；

(2)解：%2-9x+18

.'.x2—9%+18=(x—3)(%—6)

[3)解：%2-5x-6

1

x/-6

.'.x2—5%—6=(%+1)(%—6)；

(4)解：%2-9%-22

.'.x2—9x—22—(x+2)(x—11)；

(5)解：3/+》一2

3x2+x-2=(x+1)(3%—2)；

(6)解：3%2+X一4

3x2+%—4=(x-1)(3%+4)；

(7)解：-12x2+25x-12=-(12x2-25x+12)

原式=—(3x—4)(4%—3)；

(8)解：-3x2-x+10=-(3x2+%-10)

*,*原式=—(%+2)(3%—5)；

(9)解：x2—y2—x—y

=(%+y)(x—y)—(%+y)

=(x+y)(x-y-1)；

(10)解：%3+%2+%+1

=/(%+1)+(%+1)

=(%2+1)(%+1)；

(11)解：a?+4a-9b2+4

=a2+4a+4—9b2

=(a+2)2—9b2

=(a+2+3b)(a+2—3b)；

(12)解:a2—4b2—2a+46

=a2—4b2—(2a—4b)

=(a+2b)(a-2b)—2(a—2b)

=(a+2b—2)(a-2b).

8.(2022秋?全國?八班級專題練習〕因式分解:

⑴X2—2x3+16%2—24%；

(2)x2(a2+62—c2)2—4a2/)2；

(3[％2(%2_x_3)(%2_x_5)_3；

⑷%2(%+y)3—x3—y3；

⑸x2x3—9%+8.

【思路點撥】

“)先提公因式，再運用十字相乘法進行因式分解.

(2)運用公式法進行因式分解.

(3)先化簡，再運用十字相乘法進行因式分解.

(4)先化簡，再運用提公因式法進行因式分解.

(5)先分組，再提公因式進行因式分解.

【解題過程】

⑴解：⑴—2x3+16x2—24%

=-2x(x2—8%+12)

=—2x(x—2)(%—6).

⑵(a2+&2—c2)2—4a2b2

22222

=(Q2+h-c+2ab)(a+b-c-2ab)

=[(a+b)2一c2][(a-b}2-c2]

=(a+b+c)(a+b—c)(a—b+c)(a—b—c).

(3)(x2—x—3)(x2—%—5)—3

二(%2—%)2—8(x2—%)+15-3

=(x2—%)2—8(x2—x)+12

=(%2—%—2)(x2—x—6)

=(%+1)(%—2)(%+2)(%—3)

(4)(%+y)3—x3—y3

=(久+y)2(%+y)—%3—y3

=(%2+y2+2xy)(%+y)—%3—y3

=x3+x2y+xy2+y3+2%2y+2xy2—x3—y3

=3x2y+3xy2

=3xy(x+y).

⑸x3—9%+8

=x3—%—8%+8

=x(x2—1)—8(%—1)

=x(x+l)(x—1)—8(%—1)

=(%—l)(x2+%—8).

9.(2023春?七班級課時練習)因式分解：

⑴x2a2-4b2+12bc—9c2；

⑵x2x2—2x—15；

⑶x2x2—y2—4%+6y—5.

【思路點撥】

(1)利用分組法變形為-(4h2-12bc+9c2)后用完全平方公式和平方差公式進行分解因式即可.

12)利用十字相乘法:x3分解因式即可.

X—3

(3)變形為(%2一4%+4)-(y2-6y+9)后用完全平方公式和平方差公式進行分解因式即可.

【解題過程】

(1)解：原式=小—(助2—12bc+9c2)

=a2—(2b—3c7

=(a+2b-3c)(a—2b+3c)；

⑵解：原式=(%—5)(%+3)；

⑶解:原式=(x2—4%+4)—(y2—6y+9)

=(%—2)2—(y—3)2

=(%+y-5)(x-y+1).

10.(2022秋?江西景德鎮(zhèn)?七班級景德鎮(zhèn)一中?？计谀撤纸庖蚴?

⑴3a(/+9)2—108加；

(2)2b3—b2—6b+5a—10ab+3；

,+枳小枳收)

⑶計算:

[4[4%2—14xy+6y2—7x+y—2.

【思路點撥】

(1)綜合利用提公因式法和公式法進行因式分解即可得；

[2)利用分組分解法進行因式分解即可得；

13)先利用公式法分解和0+1)4+；,從而可得上空的值，再代入計算即可得;

444

x+4-

14)先利用十字相乘法分解4/—I4xy+6y2,再利用提公因式法進行因式分解即可得.

【解題過程】

解：(1)原式=3磯(。2+9)2-36匕2]

=3a(》2+9+6b)(b2+9—6b)

=3a(b+3)2(b—3)2；

(2)原式=(2匕3—廬)+(5a-lOci/?)—(6b—3)

=b2ab-1)-5a(2b-1)-3(26-1)

=(2b—1)(力2—5a―3)；

(3)v%44-i=(%2_|_0—X2=(汽2+汽+[2—X+0,

1rI]2

(x+I)4+-=1(%+I)2+-I—(x+I)2

=(x+I)2+(x+1)+赳(x4-1)2-(%+1)+|

=(%2+3%+§(%2+X+0,

(x+l)4+^(%2+3%+|)(%2+%+習X2+3X+|

x4+^(X2+x+1)(x2-x+1)x2-x+|'

,。4+抓44+抓64+》

(14+1)(34+1)(54+1)

l24-3x1+S32+3x3+?52+3x5+3

=----------X--------------x-----------

l2-l+i32-3+552_5+5

134185

=Z*ZxZ

-11341

=85；

(4)原式=(%—3y)(4x—2y)—7%+y—2

=(%—3y)(4x-2y)+(%—3y)—8x+4y—2

=(x-3y)(4x—2y+1)—2(4%—2y+1)

=(4%—2y+1)(%—3y—2).

11.12022秋?全國?八班級專題練習)把以下多項式分解因式:

⑴a2+4ab+4b2—ac—2bc

⑵ax2+bx2+b%+a%+ex2+ex

⑶a2—b2—x2+y2-2ay+2bx

⑷(1+y)2—2X2(1—y2)+x4(l—y)2

【思路點撥】

(1)[2)(3)利用分組分解法分解即可；

(4)利用完全平方公式分解即可.

【解題過程】

解：(1)a2+4ab+4Z?2—ac—2bc

=(a+2b尸—c(a+2b)

=(a+2b—c)(a+2b)；

(2)ax2+bx2+b%+a%+ex2+ex

=(ax2+bx2+ex2)+(ax+b%+ex)

=(a+b+c)x2+(a+b+c)x

=x(x+l)(a+b+c)；

⑶a2—b2—x2+y2-2ay+2bx

=a2—2ay+y2—(fo2+x2-2bx)

=(a—y)2—(6—%)2

二[(a—y)+(b—x)][(a-y)-(fo-%)]

=—(%—a—h+y)(%+a—b—y)；

⑷(1+y)2—2X2(1—y2)+x4(l—y)2

=(1+y)2—2x2(l+y)(l-y)+x4(l—y)2

=[(1+y)-x2(l-y)]2

=(x2y—%2+y+l)2.

12.(2023?全國?九班級專題練習)因式分解：

(1)2a(a—l)?—28a2(1—a)+18am—1)

⑵(%2+3%)2—8(%2+3x)—20

(3)4%3—2x2—9xy2—3xy

(4)y(y—4)—(m+2)(m—2)

【思路點撥】

(1〕利用提公因式法分解因式求解即可；

(2)利用換元法設/+3%=t,然后利用十字相乘法分解因式求解即可；

(3)首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最終再利用提公因式法分解因式即可求解;

(4)首先去括號，然后利用完全平方公式分解因式，最終利用平方差公式分解因式求解即可.

【解題過程】

(1)2a(a—l)?—28a2(1—+18a(a—1)

=2a(a—1)2+28a2(a—1)+18a(a—1)

—2a(a—l)(a-1+14a+9)

=2a(a—l)(15a+8)；

⑵設%24-3%=t,

.?.原式=t2-8t-20=(t+2)(t-10)

(%2+3x)2—8(%2+3%)—20

=(%2+3%+2)(%2+3%—10)

=(%+1)(%+2)(%—2)(%+5)；

⑶4x3-2x2—9xy2—3xy

=x(4x2—2x—9y2-3y)

=x[(4x2—9y2)—(2%+3y)]

=x[(2x+3y)(2x-3y)—(2x+3y)]

=x(2x+3y)(2x—3y—1)；

⑷y(y—4)—(m+2)(m—2)

=y2—4y—m24-4

=y2—4y+4—m2

=(y—2)2—m2

=(y—2+m)(y—2—m).

13.(2023春?全國?七班級專題練習〕因式分解：%2+%y—2y2—3xz—12yz—10z2

【思路點撥】

前三項利用十字相乘法分解，再設多項式分解因式為(孫+〃)(x+2y+b),綻開后利用等式的性質求得〃=5z,

b=2z9即可分解.

【解題過程】

解：x2+xy—2y2—3xz—12yz—10z2

=(%—y)(%+2y)-3xz—12yz—10z2,

設多項式分解因式為(孫+〃)(x+2y+A),

那么(xy+d)(x+2y+b)=x2+xy2y2+(a+b)x+(2ab)y+ab,

2

a+b=3zf2ab=12z,ab=10z,

解得：a=5z,b=2z,

.\x2+xy-2y2—2xz—12yz—10z2

=(x—y—5z)(%+2y+2z).

14.(2022秋?全國?八班級專題練習)因式分解：

⑴2(x2+6]+I)2+5(%2+l)(x2+6%+1)+2(%2+I)2

⑵x2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(x—y)3

【思路點撥】

(1)先將%2+6%+1和/+1分別看作一個整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解,

最終利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是關于x、y、z的輪換式，假設將原式視為關于x的多項式，那么當x二y時，原式=0,故原式含

有因子％-y,又由于原式是關于x,y,z的輪換對稱式，故原式還含因子y-z,z-x,又由于原式為x,y,

z的五次式，因此可以設%2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(x—y)3=(x—y)(y—z)(z—x)[A[x2+y2+z2)+

B(xy+yz+zx)],利用待定系數法即可求解.

【解題過程】

⑴解:2(x2+6%+I)2+5(x2+l)(x2+6%+1)+2(%2+l)2

=(2%2+12%+2+/+1)(%2+6%+1+2x2+2)

=9(x2+4%+1)(/+2%+1)

=9(x2+4%+1)(%+l)2

(2)解：當％=y時，原式等于0,故原式含有因子％-y,

又由于原式是關于x,y,z的輪換對稱式，故原式還含因子y-z,z-x,

又由于原式為X,y,Z的五次式,故可設％2(y—z)3+y2(z—%)3+z2(%一y)3=(x—y)(y—Z)(Z—

%)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)]

令％=-1,y=0,2=1得24-8=-1,

令久=0,y=Ifz=2得5/+2B=2,

解得Z=0,B=1,

所以/(y—z)34-y2(z—x)3+z2(x—y)3=(x—y)(y—z)(z—x)(%y+yz+zx).

2

15.〔2022秋?北京海淀?七班級清華附中?？计谀?當m為何值時，多項式6/+mXy—5y—15%+38y—21

可以分解為兩個關于％,y的一次三項式的乘積？

【思路點撥】

先將％項和常數項進行十字分解，設出兩個因式，兩式相乘與原式比擬，列出方程求解即可.

【解題過程】

解：利用“十字相乘法"分解二次三項式的學問，可以判定給出的二元二次六項式6/+6盯—5y2—15%+

38y-21中6/-15%-21三項應當分解為：(2x-7)(3%+3),

現在要考慮y,只須先改寫作(2x-7+ay)(3x+3+by),

然后依據-5V，38y這兩項，即可斷定是：%廣獲二,

解得：a=1,b=-5或a=弓，b=—

又m=2b+3a,

???當a=1,b=—5時，m=—7,

、憶35[3_L239

當。=—，b=——HQ于，m=——.

377

16.12022秋?全國?八班級專題練習)閱讀以下材料：

材料1：將一個形如x?+px+q的二次三項式因式分解時，假如能滿意q=7"〃且p=機+w那么可以把x2+px

+q因式分解成(x+m)(%+"),如：(1)/+4x+3=(尤+1)(x+3)；[2)x2-4x-12—(x-6)

[x+2).

材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1,解：將“x+y看成一個整體，令尤+y=A,那么原式=42+24

+1—(A+1)2,再將"A"復原得：原式=〔x+y+1)2

上述解題用到“整體思想〃整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答以下問題：

[1)依據材料1,把f+2x-24分解因式；

12)結合材料1和材料2,完成下面小題；

①分解因式：(x-y)2-81x-y)+16；

②分解因式：“z-2)(m2-2m-2)-3

【思路點撥】

〔1)將/+2x24寫成/+(64)x+6x(4),依據材料1的方法可得5+6)54)即可；

[2)①令孫=4原式可變?yōu)?84+16,再利用完全平方公式即可；

②令B=m[m2)=m22m,原式可變?yōu)锽[82)3,即利用十字相乘法可分解為(83)(B+1),再

代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可.

【解題過程】

解：11)X2+2X24=X2+〔64)x+6x〔4)=〔尤+6)1x4)；

[2)①令孫=4,那么原式可變?yōu)锳28A+16,

A28A+16=(A4)2=(xy4)2,

所以(孫)28(孫)+16=(孫4)2；

②設B=m22m,那么原式可變?yōu)?182)3,

BPB22B3=(33)〔3+1)

=(m22m3][m22m+1)

=(m3)(m+1)(ml)2,

所以根(m2)(m22m2)3=(m3)(m+1)(ml)2.

17.(2022秋.全國.八班級專題練習〕將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式連續(xù)分解的方法是因式

分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2〃分法、“3+1〃分法、“3+2〃分法及“3+

3〃分法等.

如“2+2〃分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(%+y)+b(x+y)=(%+y)(a+b)

請你仿照以上方法，探究并解決以下問題：

[1)分解因式：x2-y2-x-y；

(2)分解因式：9m2—4x2+4xy—y2；

(3)分解因式：4a2+4a—4a2b2—b2—4ab2+1.

【思路點撥】

(1)先運用平方差公式，再提取公因式即可；

(2)先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最終提取公因式即可；

(3)先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可.

【解題過程】

(1〕解：x2-y2-x-y

=(%—y)(x+y)—(%+y)

=+y)(x-y-1)；

(2)解：9m2-4x2+4xy—y2

=97n2-(4%2—4xy+y2)

=9m2—(2%—y)2

=(3m+2%—y)(3m—2%+y)；

(3)解：4a24-4a—4a2/72—b2—4ab24-1

=(4a2—4a2b2)+_4ab2)+(i—fo2)

=4a2(1—b2)+4a(1—fo2)+(1—b2)

=(4a2+4a+1)(1—fe2)

=(4a2+4a+1)(1—h2)

=(2a+1)2(1+6)(1—b).

18.12022秋?全國?八班級期末)因式分解與整式乘法互為逆運算.如對多項式，-7%+12進行因式分解：

首先，假如一個多項式能進行因式分解，那么這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的.故可

寫成/-7%+12=〔x+加(九+Z?),即x2-7%+12=f+[〃+/?)x+ab(對任意實數x成立〕，由此得〃+/?=-

7,ab=12.易得一組解：a=-3,b=-4,所以f-7x+12=[％-3)5-4).像這種能把一個多項式進

行因式分解的方法，稱為待定系數法.

[1)因式分解：x2-15x-34=.

⑵因式分解：x3-3X2+4=(x+a)(f+bx+c),請寫出一組滿意要求的a,b,c的值：.

⑶請你運用待定系數法，把多項式3汴+5加〃-2/+m+9〃-4進行因式分解.

【思路點撥】

11〕用十字相乘法分解.

(2)依據因式分解的結果進行計算，比擬系數即可求解；

(3)先分組，再用待定系數法分解.

【解題過程】

(1)解：X2-15X-34

=/+(-17+2)x+(-17x2)

=(x-17)5+2).

故答案為：(x-17)5+2).

(2)(x+a)(f+Ox+c)=/+(ab+c)x+ac.

Ax5-3/+4=/+(〃+。)x2+(〃0+c)x+ac.

??。+。=-3,〃Z?+c=O,ac=4.

解得：a--2,b—-1,c=-2或q=l,b—-4,c=4.

應選填一組即可.

故答案為：a=_2,b--1,c--2.

(3)原式=3療+(5〃+1)m-]2/-9幾+4)

=(3x1)m2+[3mx[In-1)-mtn-4)]-[2n-1)[n-4)

=(3m-n+4)[m+2n-1).

19.12023秋?湖北襄陽?八班級期末)常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上

述方法無法分解，例如％2—4y2_2%+4y,我們細心觀看就會發(fā)覺，前兩項可以分解，后兩項也可以分解,

分別分解后會產生公因式就可以完整的分解了，詳細分解過程如下：

x2—4y2—