中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用

專題10二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、應(yīng)用

考點1:二次函數(shù)的圖象性質(zhì)

1.(2023?徐州?中考真題)在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=(x+l>+3的圖象向右平移2個單位

長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為()

A.y=(x+3)2+2B.y=(x—1)~+2C.y=(x—1)"+4D.y—(x+3)~+4

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移“左加右減，上加下減”可進行求解.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=(x+l)2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，

所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為>1）2+2；

故選B.

2.（2023?南通?中考真題）若實數(shù)x,了，加滿足x+1+"7=6,3x-y+m=4,貝lj代數(shù)式一2中+1的

值可以是（）

3

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】D

5-m

X=-------

【分析】聯(lián)立方程組，解得，設(shè)W=-2中+1,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

7-m

U2

[x+y+m=6

【詳解】解：依題意，?！?，

\3x-y+m=4

5-m

x=-------

7

解得：r

t-m

y=

[2

設(shè)iv=—2xy+1

._5-m7-m1m233

??w—2xx+1-------1-6m

2222

V--<0

2

4XHX"?]-363

???w有最大值，最大值為、—=y

4xl-d

故選：D.

3.（2023?揚州?中考真題）已知二次函數(shù)>-2x+g（a為常數(shù)，且。>0）,下列結(jié)論：

①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當x<0時，了隨x的

增大而減??；④當x>0時，y隨x的增大而增大.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐一分析即可.

【詳解】解：???拋物線對稱軸為-3=-二=工>0,。=《>0，

2a2aa2

???二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，

又?:A=Z72-4ac=4-2a,

a>0,

**.4—2Q<4,

當4-2a<0時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，

當0<4-2a<4時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

故①錯誤；②正確；

?.?拋物線對稱軸為-==-3=±>0,a>0,

2a2aa

拋物線開口向上，

.?.當時，y隨x的增大而減小，故③正確；

a

...當時，夕隨X的增大而增大，故④錯誤，

a

故選：B.

4.（2022?泰州?中考真題）已知點（-1,%）,（1,乃）在下列某一函數(shù)圖像上，且為<%<為那么

這個函數(shù)是（）

33

A.>=3xB.>=3%2C.y=-D.y=——

XX

【答案】D

【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出以、"、歹3的值，比較大小即可得出答案.

【詳解】解：A.把點(-3,%),(-1,歹2),(1,%)代入廠3%,解得刃=9,'2=3,冷=3,所以v勺2勺3，這

與已知條件外不符，故選項錯誤，不符合題意；

B.把點(-3,%),(-1/2),(1,%)代入產(chǎn)3/,解得刃=27,竺=3,n=3,所以"＞丁2=心，這與已知條件

乃＜弘＜%不符，故選項錯誤，不符合題意；

3

C.把點(-3,必),(-1/2),(1,%)代入丁=一，解得刃=1,,2=3,"=3,所以以勺1勺3，這與已知條件

X

乃＜%＜%不符，故選項錯誤，不符合題意；

3

D.把點(-3,%),(-1,%),(1,%)代入嚴一，解得〃=1,竺=3,g=3,所以％＜乂＜外，這與已知條

X

件力＜乂＜%相符，故選項正確，符合題意；

故選：D.

5.(2021?蘇州?中考真題)已知拋物線了=/+履一公的對稱軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平

移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則左的值是()

A.一5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可.

22

【詳解】解：函數(shù)y=x2+b-/向右平移3個單位，得：y=(x-^+k(x-3)-k;

再向上平移1個單位，得：j=(x-3)2+k{x-3)-k2+\,

???得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點

0=(0—3)~+左(0—3)—左2+1即左2+3左一10=0

解得：4=-5或左=2

,/拋物線y^x+kx-k1的對稱軸在〉軸右側(cè)

.k八

,,x=—＞0

2

：.k＜0

：.k=-5

故選：B.

6.（2022?無錫?中考真題）把二次函數(shù)尸2+4X+〃？的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單

位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么機應(yīng)滿足條件：.

【答案】m>3

【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為（2,加4）,再求得平移后的頂點坐標為（1,m3）,根據(jù)題意

得到不等式〃?3>0,據(jù)此即可求解.

【詳解】M：''y=x2+4x+m=（x+2）2+m4,

此時拋物線的頂點坐標為（2,加4）,

函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為（2+3,比4+1）,即（1,

m3）,

???平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，

解得：m>3,

故答案為：加>3.

7.（2022?常州?中考真題）已知二次函數(shù)xa/+加+3的自變量x的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值了如下表:

X-i0123

y430-5-12

⑴求二次函數(shù)y=ax2+6x+3的表達式；

（2）將二次函數(shù)y=ax?++3的圖像向右平移左（左>0）個單位，得到二次函數(shù)y=%/+“X+?的圖像,

使得當-!<x<3時，歹隨x增大而增大；當4<x<5時，>隨x增大而減小，請寫出一個符合條件的

二次函數(shù)>=加/+nx+q的表達式了=,實數(shù)上的取值范圍是；

（3）A、B、。是二次函數(shù)y=a/+6x+3的圖像上互不重合的三點.已知點A、B的橫坐標分別是加、

機+1,點。與點A關(guān)于該函數(shù)圖像的對稱軸對稱，求N/C3的度數(shù).

【答案】（l）y=-x?-2x+3

（2）y=-（x-3）2+4（答案不唯一），44后W5

⑶乙4c8=45°或135°

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）先求出平移后的二次函數(shù)對稱軸為直線x=左-1,然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出4W后45,

即可得到答案;

（3）先分別求出/、B、C三點的坐標，然后求出乙-%=2加+3,yB-yc=-2m-3,然后分四種

情況討論求解即可得到答案.

a-b+c=4

【詳解】（1）解：由題意得：a+b+c=O,

c=3

a=-1

解得

6=-2'

二次函數(shù)解析式為y=---2x+3；

（2）解：,原二次函數(shù)解析式為了=-x?-2x+3=-（尤+1）+4

由題意得平移后的二次函數(shù)解析式為了=-（x+l-笈y+4,

平移后的二次函數(shù)對稱軸為直線x=左-1,

?.?二次函數(shù)>=加/+力+4的圖像，使得當-1〈尤<3時，y隨X增大而增大；當4<x<5時，了隨X

增大而減小，且二次函數(shù)、=〃吠2+公:+0的開口向下,

二3V左一1V4,

：.4<k<5,

符合題意的二次函數(shù)解析式可以為y=-（x+l-4『+4=-@-3『+4；

故答案為：J^=-（X-3）2+4（答案不唯一），4<k<5；

（3）解：?.?二次函數(shù)解析式為y=-2X+3=-（X+1『+4,

.??二次函數(shù)y=---2x+3的對稱軸為直線x=-l,

：/、C關(guān)于對稱軸對稱，點/的橫坐標為

.?.C的橫坐標為-2-加，

點/的坐標為G",——2機+3),點C的坐標為(-2-m,—m2—2m+3)>

■:點B的橫坐標為m+1,

???點B的坐標為（冽+1,-m2-4m），

=

xB-xc=2m+3,yB~yc-2m~3,

如圖1所示，當/、8同時在對稱軸左側(cè)時，過點8作軸于￡,交/C于D,連接8C,

：/、C關(guān)于對稱軸對稱，

/C〃x軸，

J.BELAC,

=

*.*xB-xc=2m+3,yB~yc-2m-3,

：.CD=-2m-3=BD,

...△3OC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,

同理當48同時在對稱軸右側(cè)時，也可求得//。2=45。，

如圖2所示，當/在對稱軸左側(cè)，8在對稱軸右側(cè)時，

過點B作直線BD垂直于直線AC交直線AC于D,

同理可證為等腰直角三角形，

?./BCD=45°,

：.ZACB=135°,

同理當/在對稱軸右側(cè)，B在對稱軸左側(cè)也可求得//。2=135。,

綜上所述，N/CB=45?；?35°

8.（2021?蘇州?中考真題）如圖，線段48=10,點。、。在上，AC=BD=l.己知點P從點C出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著N5向點。移動，到達點。后停止移動，在點尸移動過程中作

如下操作：先以點P為圓心，PA、尸3的長為半徑分別作兩個圓心角均為60。的扇形，再將兩個扇形

分別圍成兩個圓錐的側(cè)面.設(shè)點尸的移動時間為（秒）.兩個圓錐的底面面積之和為S.則S關(guān)于f的

函數(shù)圖像大致是（）

【答案】D

【分析】由題意，先求出尸/=t+l,PB=9-t,然后利用再求出圓錐的底面積進行計算，即可求出

函數(shù)表達式，然后進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

：48=10,4C=BD=1,且已知點尸從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著48向點。移動,

到達點。后停止移動，則0V/V8,

：.PA=t+\,

：.PS=10-（Z+l）=9-Z,

由尸/的長為半徑的扇形的弧長為：

.??用P/的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為"

?,?其底面的面積為"（'+1）2

36

由尸B的長為半徑的扇形的弧長為：”『2=若。

，用總的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為多

6

.??其底面的面積為土匚

36

兩者的面積和S=""+1)2+萬(9—)、_L%仔一8+41)

363618’)

.??圖像為開后向上的拋物線，且當好4時有最小值；

故選：D.

9.(2021?連云港?中考真題)關(guān)于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一

個特征.

甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點(-L1)；

乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；

丙：當x>0時，夕隨x的增大而增大.

則這個函數(shù)表達式可能是()

A.y=-xB.y=-C.y=X2D.y=~—

xx

【答案】D

【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：4對于歹=T,當x=l時，y=l,故函數(shù)圖像經(jīng)過點(T1)；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限;

當x>0時，了隨x的增大而減小.故選項/不符合題意；

8.對于y=L當x=l時，y=l,故函數(shù)圖像不經(jīng)過點(TJ)；函數(shù)圖象分布在一、三象限；當x>0時,

X

y隨x的增大而減小.故選項3不符合題意；

C對于>=/,當產(chǎn)1時，7=1,故函數(shù)圖像經(jīng)過點(TD；函數(shù)圖象分布在一、二象限；當尤>0時,

y隨x的增大而增大.故選項C不符合題意；

。對于了=-』，當時，y=l,故函數(shù)圖像經(jīng)過點(TD；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當x>0時，

y隨x的增大而增大.故選項。符合題意；

故選：D

10.(2021?鎮(zhèn)江?中考真題)設(shè)圓錐的底面圓半徑為心圓錐的母線長為/,滿足2什/=6,這樣的圓錐

的側(cè)面積()

9999

A.有最大值二兀B.有最小值二兀C.有最大值X兀D.有最小值一兀

4422

【答案】C

【分析】由2*7=6,得出/=6-2升，代入圓錐的側(cè)面積公式：S嫁=?！?，利用配方法整理得出，SK

3Q

=-2?r(r--)2+j7t,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：2什/=6,

.,.1—6-2r,

、，3939

/.圓錐的側(cè)面積S屈=兀"=仃(6-2r)=-2兀(r2-3r)=-2兀一一1]=一2兀(”—)2+-?t,

39

.?.當r=]時，S前最大值彳萬.

故選：C.

11.(2021?宿遷?中考真題)已知二次函數(shù)y=“/+6x+c的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①40；

@b2-4ac>0；@4a+b—0；④不等式ax?+(6-1)x+c<0的解集為Igx<3,正確的結(jié)論個數(shù)是

()

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據(jù)函

數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【詳解】解：?.?拋物線的開口向上，

：.a>0,故①正確；

?.?拋物線與x軸沒有交點

/.b2-4ac<0,故②錯誤

?.?由拋物線可知圖象過(1,1),且過點(3,3)

[a+b+c=1

[9a+3b+c=3

8a+2b=2

A4a+b=\,故③錯誤；

由拋物線可知頂點坐標為(1,1),且過點(3,3)

則拋物線與直線y=x交于這兩點

:?蘇+(/?-l)x+c<0可化為+bx+c<xJ

根據(jù)圖象，解得：l〈xV3

故④錯誤.

故選4

12.(2023?無錫?中考真題)二次函數(shù)y=a(x-D(x-5)，>gj的圖像與x軸交于點A、B,與了軸交

于點C,過點初(3，1)的直線將“BC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝匹的

值為.

【答案】名或*且或

1052

【分析】先求得/4,0),8(5,0),C(0,5a),直線破解析式為>=-：X+:，直線的解析式為

>1)、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如

圖1,直線過中點，②如圖2,直線過NC中點，直線解析式為〉=-；苫+|",/C中

點坐標為(Uh待入直線求得③如圖3,直線CM過中點，N8中點坐標為(3,0),

直線MB與了軸平行，必不成立；2)當分成三角形和梯形時，過點M的直線必與“BC一邊平行，

所以必有“N”型相似，因為平分面積，所以相似比為1:8.④如圖4,直線瓦根據(jù)相似

4E1

三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5,直線ME//ZC,⑥如圖6,直線上化//BC,同理可得不=7，

ABV2

進而根據(jù)1211，〃￡’可=1211/。8。，即可求解.

【詳解】解：由y=a(x-l)(x-5),令X=O,解得：y=5a,令y=0,解得：X1=l,x2=5,

/Q,0),5(5,0),C(0,5a),

設(shè)直線8A/解析式為P=+b,

.15左+b=0

??13左+6=1

k=--

解得：

b=-

[2

直線解析式為〉=-；x+|"，當尤=0時，y=-|,則直線四與了軸交于卜g|,

???a>、一1,

2

5。>一,

2

???點M必在內(nèi)部.

1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點,平分面積，必為中線

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n

.肚+6=0

…[3k+b=1

,1

m=—

解得：2]

12

則直線的解析式為了=

①如圖1,直線過3c中點，，

8C中點坐標為佶,￡],代入直線求得a=H

不成立；

[22J102

AyAy

B/pl鏟

圖1圖2圖3

=4x+i中點坐標為《待入直

②如圖2,直線曲/過/C中點，直線覬f解析式為〉

0

線求得。=歷

③如圖3,直線CM過中點，48中點坐標為（3,0）,

.1直線MB與了軸平行，必不成立;

2）、當分成三角形和梯形時,過點M的直線必與-3C一邊平行，所以必有型相似，因為平分

面積，所以相似比為1:逝.

④如圖4,直線//AB,

ACENSACOA

CE_CN_1

co-c7-72?

5a-\_1

5aV2'

BE1

；?力='又/2=4,

?*.BE=2VI,

BN=5-3=2<2叵,

...不成立;

4E1

⑥如圖6,直線腔〃BC,同理可得益

AE=2V2，NE=2垃-2,tanZMEN=tanZCBO,

1V2+1

=-，解得a

2V2-22

綜上所述,

13.（2022?南京?中考真題）已知二次函數(shù)y-2ax+c（。、。為常數(shù)，。/0）的最大值為2,

寫出一組符合條件的。和c的值：

【答案】。=-2,c=0（答案不唯一）

【分析】根據(jù)最值公式得到4次一（一24=2,即可得到。-。=2,據(jù)此寫出一組符合條件的a和c

4a

的值即可.

【詳解】解：：二次函數(shù)>=亦2_2依+。的最大值為2,

.4QC一（一24）

4a-'

??c—a=2,

故。=-2時，c=0,

故答案為：a=-2,c=0（答案不唯一）.

14.（2022?鹽城?中考真題）若點尸（私〃）在二次函數(shù)y=/+2x+2的圖象上，且點P到V軸的距離小

于2,則”的取值范圍是.

【答案】l<n<10

【分析】先判斷-2〈加<2,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：〃=/+2機+2=（機+）+1,再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解〃的范圍即可.

【詳解】解：；點尸到夕軸的距離小于2,

/.-2<m<2,

?.?點尸（見"）在二次函數(shù)夕=尤2+2》+2的圖象上，

:.n=m2+2m+2++1,

.?.當/=-1時,〃有最小值為1.

當加=2時，〃=（2+iy+l=10,

，”的取值范圍為1W”<10.

故答案為：14“<10

15.（2021?泰州?中考真題）在函數(shù)y=（x-l）2中，當x>l時,y隨x的增大而—.（填“增大，或“減小”）

【答案】增大

【分析】根據(jù)其頂點式函數(shù)y=（x-可知，拋物線開口向上，對稱軸為尤=1,在對稱軸右側(cè)夕隨

X的增大而增大，可得到答案.

【詳解】由題意可知：函數(shù)>=(x-l)2,開口向上，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，又?.?對稱軸為

X--1,

.?.當x>l時，y隨的增大而增大,

故答案為：增大.

16.(2023?蘇州?中考真題)如圖，一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=￡k(x>0)的圖象交于點

X

4(4,").將點A沿x軸正方向平移機個單位長度得到點瓦。為x軸正半軸上的點，點8的橫坐標大

于點。的橫坐標，連接8。,8。的中點。在反比例函數(shù)〉=￡。>0)的圖象上.

X

(1)求”#的值;

(2)當〃?為何值時，ABOD的值最大?最大值是多少？

【答案】(1)"=8,左=32

(2)當,"=6時，48取得最大值，最大值為36

【分析】⑴把點/(4,")代入y=2x,得出〃=8,把點/(4,8)代入y.(x>0),即可求得上=32；

(2)過點。作x軸的垂線，分別交軸于點E,F,證明絲AFCD，得出BE=DF,CE=CF,

進而可得C(8,4),根據(jù)平移的性質(zhì)得出B(m+4,8),D(12-m,0),進而表示出/⑶。。，根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：把點代入y=2x,

”=2x4,

解得：〃=8；

把點4(4,8)代入丁=?、>0),解得左=32；

（2）I?點5橫坐標大于點Z）的橫坐標，

?,?點8在點。的右側(cè)，

如圖所示，過點。作％軸的垂線，分別交/叢、軸于點反尸,

???/B=ZCDF,

在△ECB和AFCD中,

/BCE=ZDCF

<BC=CD,

/B=/CDF

...△EC5g△/CO(ASA),

/.BE=DF,CE=CF,

?：EF=yA=8,

：.CE=CF=4,

：.C(8,4),

將點A沿x軸正方向平移m個單位長度得到點B,

B(m+4,8),

BE=DF=m—4,

Z>(12-m,0),

OD=12-m,

AB-OD=m(n-m)=-(m-6)2+36,

.?.當加=6時，取得最大值，最大值為36.

17.（2022?常州?中考真題）在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達式為卜=工；②函數(shù)

表達式為＞=/；③函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；④函數(shù)的圖像關(guān)于了軸對稱；⑤函數(shù)值了隨自變量x

增大而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤放在不

透明的盒子3中攪勻.

⑴從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是;

(2)先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對

函數(shù)的描述相符合的概率.

【答案】⑴，*

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫出樹狀圖，再由概率計算公式求解即可.

【詳解】(1)解：從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是g；

故答案為：y;

(2)解：畫出樹狀圖：

共有6種結(jié)果，抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3

種，

31

抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率為二=-.

62

18.(2022?泰州?中考真題)如圖，二次函數(shù)必=/+mx+l的圖像與V軸相交于點A,與反比例函數(shù)

%="(x>0)的圖像相交于點2(3,1).

X

(1)求這兩個函數(shù)的表達式；

(2)當必隨x的增大而增大且必勺2時，直接寫出x的取值范圍；

(3)平行于x軸的直線/與函數(shù)必的圖像相交于點C、。(點C在點。的左邊)，與函數(shù)%的圖像相交

于點E.若AACE與4BDE的面積相等，求點E的坐標.

3

【答案】（1）M=--3x+l；%=（（％〉0）

3

（2）》<3

⑶唱W

【分析】(1)用待定系數(shù)法求出解析式即可；

(2)由圖像直接得出結(jié)論即可；

(3)根據(jù)A點和3點的坐標得出兩三角形等高，再根據(jù)面積相等得出C￡=DE,進而確定E點是拋

物線對稱軸和反比例函數(shù)的交點，求出E點的坐標即可.

【詳解】(1)解：；二次函數(shù)%=—+機無+1的圖像與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)為=?x>o)的

圖像相交于點5(3,1),

k

329+3m+1=1>—=1,

3

解得m=—3,k=3,

???二次函數(shù)的解析式為乂=，—3x+l,反比例函數(shù)的解析式為為=((、>0)；

(2)解：???二次函數(shù)的解析式為弘=，—3x+l,

3

???對稱軸為直線x=7，

2

3

由圖像知，當必隨工的增大而增大且必<%時，-<x<3；

(3)解：由題意作圖如下:

???4(0,1),

???5(3,1),

AACE的C￡邊上的高與gDE的DE邊上的高相等，

VAJCE與ABDE的面積相等，

CE=DE,

即E點是二次函數(shù)的對稱軸與反比例函數(shù)的交點，

3

當x=2時，%=2,

19.(2021?鹽城?中考真題)已知拋物線y=a(x-l)2+〃經(jīng)過點(0,-3)和(3,0).

(1)求。、h的值；

(2)將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新

的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式.

【答案】(1)a=l,〃=-4；(2)丁=/一4x+2

【分析】(1)將點(0,-3)和(3,0),代入解析式求解即可；

(2)將y=(x-l>-4,按題目要求平移即可.

【詳解】(1)將點(0,-3)和(3,0)代入拋物線y=a(x-l)2+6得：

a(0-l)2+A--3

a(3-l)2+/!=0

4Z—1

解得:

〃=—4

a=},h——4

(2)?.,原函數(shù)的表達式為:y=(x-l)2-4,

向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得:

:?平移后的新函數(shù)表達式為:尸"--1)2—4+2=?—4x+2

BPv=x2-4x+2

20.(2021?揚州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=/+6x+c的圖像與x軸交于

點./(-1,0)、2(3,0"與夕軸交于點C.

⑴6=,c=；

(2)若點。在該二次函數(shù)的圖像上，且工^=21^c，求點。的坐標；

(3)若點尸是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點，且S.^C=S./PB，直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)2,3；(2)(1+V10,6)或(1-V10,6)；(3)(4,5)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出△A8C的面積，設(shè)點。(加，蘇-2加-3),再根據(jù)以即=2S"c，得到方程求出加值,

即可求出點。的坐標；

(3)分點尸在點/左側(cè)和點P在點/右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解.

【詳解】解：(1):點N和點3在二次函數(shù)^=/+/+<?圖像上,

O=\-b+cb=-2

,解得:

0=9+36+c

故答案為：2,3；

（2）連接3C,由題意可得:

A(1,0),B(3,0),C(0,3),y=x1-2x-3,

SAABC=-x4x3=6,

2

'：SAABD=2SAABC,設(shè)點D(〃?，m2-2m-3),

=2x6,ipx4x|m2-2w-3|=2x6,

解得：x=l+Vio^41-Vio,Ay=x2-2x-3,

可得：y值都為6,

：.D(1+V10-6)或(l-Vio,6)；

?.?點尸在拋物線位于X軸上方的部分，

?*.n<1或">3,

當點P在點/左側(cè)時，即〃<1,

可知點C到AP的距離小于點B到AP的距離，

??S^APC<S^APB,不成立；

當點尸在點3右側(cè)時，即〃>3,

?.?△/PC和都以AP為底，若要面積相等,

則點8和點C到4P的距離相等，即5C〃/P,

設(shè)直線BC的解析式為夕=入取，

0=3k+pk=\

則,，解得:

—3=pP=-3

則設(shè)直線4尸的解析式為產(chǎn)x+q,將點4（1,0）代入,

則l+q=0,解得：q=\,

則直線4尸的解析式為y=x+l,將尸（小川-2〃-3）代入,

BPn2—2〃—3=〃+1,

解得：〃=4或〃=1（舍）,

—2〃—3=5,

???點尸的坐標為（4,5）.

考點2:二次函數(shù)的應(yīng)用

21.（2022?南通?中考真題）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地

面成30。角的方向擊出，小球的飛行高度刀（單位：m）與飛行時間/（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是

h=-5/2+2OZ,當飛行時間t為s時，小球達到最高點.

【答案】2

【分析】將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，有6=-5〃+20/=-5（-2戶+20,

當”2時，力有最大值.

故答案為：2.

22.（2022?連云港?中考真題）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線＞=-0.2/+》+2.25運行,

然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離OH是.

m.

【答案】4

【分析】將y=3.05代入＞=一0.2/+X+2.25中可求出x,結(jié)合圖形可知戈=4,即可求出

【詳解】解：當>=3.05時，-0.2Y+X+2.25=3.05，解得：x=l或x=4,

結(jié)合圖形可知：OH=4m,

故答案為：4

23.（2021?連云港?中考真題）某快餐店銷售48兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣

出份數(shù)分別為40份、80份.該店為了增加利潤，準備降低每份/種快餐的利潤，同時提高每份2

種快餐的利潤.售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份/種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份8種快

餐利潤每提高1元就少賣2份.如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利

潤最多是元.

【答案】1264

【分析】根據(jù)題意，總利潤=人快餐的總利潤+8快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤x對應(yīng)

總數(shù)量，分別對兩份快餐前后利潤和數(shù)量分析，代入求解即可.

【詳解】解：設(shè)A種快餐的總利潤為不，3種快餐的總利潤為名，兩種快餐的總利潤為平，設(shè)A快

餐的份數(shù)為x份，則8種快餐的份數(shù)為(120-x)份.

據(jù)題意：%=112一三號XX=112-1+20)XX=-1￡+32%

80—(120—xy/17

x2

W2=8+——-------(120-x)=-^r+72X-2400,

：.W^WX+W1=*+104x-2400=_(x-52)2+1264,

V-l<0,

.?.當x=52的時候,少取到最大值1264,故最大利潤為1264元,

故答案為：1264.

24.(2023?無錫?中考真題)某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售

價格不低于22元/kg,不高于45元/奴，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量P(kg)與銷售價格x(元/奴)

之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式：

(2)當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？

【銷售利潤=(銷售價格一采購價格)x銷售量】

-x+70（22<x<30）

【答案】⑴尸

-2元+100（30〈尤W45）

(2)銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450

【分析】(1)分22VXV30時，當30<xV45時，分別待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)設(shè)利潤為w,根據(jù)題意當22Vx<30時，得出W=—(X-45)2+625,當30<x445時，

w=-2(X-35)2+450,

進而根據(jù)分224xW30時，當30<x445時，分別求得最大值，即可求解.

【詳解】(1)當22W30時，設(shè)了關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=h+b,將點(22,48),(30,40)代入得,

.J221+6=48

""130^+6=40

=-1

解得:

=70

.?.y=_x+70(22<X<30),

當30<xW45時，設(shè)V關(guān)于％的函數(shù)表達式為歹=幻+乙，將點(30,40),(45,10)代入得,

卜5/+4=10

130匕+4=40

[k]=—2

解得:U=ioo

y=-2x+100(30<x<45),

_f-x+70(22<x<30)

J-1-2x+100(30<jc<45)

(2)設(shè)利潤為w

當22VxV30時，w=(x-20)(—x+70)=-x2+90x-l400=-(x-45)2+625

?.,在22VxV30范圍內(nèi)，w隨著x的增大而增大，

.?.當x=30時，w取得最大值為400；

當30cxV45時，w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450

.?.當x=35時，1V取得最大值為450

450>400,

當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450.

25.(2023?宿遷?中考真題)某商場銷售48兩種商品，每件進價均為20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A

種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元.

(1)求42兩種商品的銷售單價.

(2)經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B

種商品的售價不變，A種商品售價不低于8種商品售價.設(shè)A種商品降價〃2元，如果42兩種商品

銷售量相同，求機取何值時，商場銷售48兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)A的銷售單價為30元、8的銷售單價為24元

(2)當小=5時，商場銷售48兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.

【分析】(1)設(shè)A的銷售單價為x元、B的銷售單價為V元，根據(jù)題中售出A種20件，B種10件,

銷售總額為840元；售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案;

（2）設(shè)利潤為w,根據(jù)題意，得到鼓=-10（機-5）2+810,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及題中限制條件分析

求解即可得到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)A的銷售單價為x元、8的銷售單價為V元，則

j20x+10^=840,卜=30

|10x+15y=660）解付jy=24，

答：A的銷售單價為30元、8的銷售單價為24元；

（2）解：A種商品售價不低于8種商品售價，

30-m>24,解得冽46,BP0<m<6,

設(shè)利潤為w,則

w=（40+10m）x［（30-m-20）+（24-20）］

=-10m2+100m+560

=-10（m-5）2+810,

w在機=5時能取到最大值，最大值為810,

當機=5時，商場銷售43兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.

26.（2022?無錫?中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場

一面靠墻（墻的長度為10m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形,

已知柵欄的總長度為24m,設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）.

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m°,求此時x的值；

（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

【答案】（1、的值為2m；

（2）當》=5時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為飛-m2

【分析】（1）由3C=x,求得8D=3x,AB=?）x,利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m?,列一元二次方程,

解方程即可求解；

（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：YBOx,矩形CDM的面積是矩形BQ弘面積的2倍，

CD=2x,

：.BD=3x,AB=CF=DE=；Q4BD）=8x,

依題意得：3x（8x）=36,

解得：xi=2,x2=6（不合題意，舍去），

此時x的值為2m；

（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,

由（1）得：5=3x（8x）=3（x4）2+48,

???墻的長度為10,

/.0<3x<10,

V3<0,

???x<4時，S隨著x的增大而增大，

...當x=g時，S有最大值，最大值為-3x（g-4）2+48=岑,

即當x=W時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為9m2.

33

27.（2022?淮安?中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、3兩種品牌的粽子，兩次進

貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，總費用為7000

元；第二次購進A品牌粽子180袋和8品牌粽子120袋，總費用為8100元.

（1）求A、3兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

（2）當8品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進

行降價銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當5品牌粽

子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）A種品牌粽子每袋的進價是25元，3種品牌粽子每袋的進價是30元

（2）當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是

980元

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；

（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低。元，利潤為w元，列出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的

最值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進價是x元，8種品牌粽子每袋的進價是y元，

100x+150j；=7000

根據(jù)題意得,

180x+120y=8100,

故A種品牌粽子每袋的進價是25元，3種品牌粽子每袋的進價是30元；

（2）解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低。元，利潤為w元，

根據(jù)題意得，

w=（54-fl-30）（20+5?）=-5?2+100a+480=-5（A-10）2+980,

?：-5<0,

當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出5品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980

元.

28.（2021?淮安?中考真題）某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元.經(jīng)市場調(diào)研，當該商品每件的