2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測（基礎(chǔ)卷）含解析

4第一章空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測（新高考版基礎(chǔ)卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.）

1.（2022?全國?高二課時練習(xí)）如圖,在空間四邊形ABCD中,E、尸分別是BC、C￡>的中點，則荏前+!麗

22

等于（）

A.EFB.FAC.AFD.FE

【答案】C

【詳解】因為E、尸分別是BC、CQ的中點，

—1—---1—

所以BE=—BC,EF=—BD,

22

AB+-BC+-BD=AB+BE+EF=AF.

22

故選：C

2.（2022?湖北?丹江口市二中高二期末）已知方=（2,3,-1）,S=（2,0,4）,c=（^1,-6,2）,則下列結(jié)論正確

的是（）.

A.a//c,b//c^>-a//b>a±c

C.a//c,a±bD.以上都不對

【答案】C

【詳解】因為。?方=2x2+0-1x4=0，所以商，5;

因為^=一27，所以1〃不，

故選：C.

3.（2022?江蘇?鹽城中學(xué)高二期中）3知向量￡=（1,0,-1）,b=（k,Q,2k-2）,若￡與B互相垂直，則一的值

為（）

A.-IB.2C.-D.1

3

【答案】B

【詳解】解：因為々與各互相垂直，

所以<?.石=0，

即"（2Z—2）=0,解得％=2.

故選：B.

4.（2022?湖北?高二階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系。-型中，經(jīng)過點尸且法向量為荷=（A3,C）的

平面方程為A（x-%）+B（y_%）+C（z_Zo）=O,經(jīng)過點尸（Xo，%,zo）且一個方向向量為3=3丫,0）（〃幅中0）

的直線/的方程為二^=匕也==根據(jù)上面的材料解決下面的問題：現(xiàn)給出平面a的方程為

NVCO

x-y+V2z-7=0,經(jīng)過點(0,0,0)的直線/的方程為己=]=唬，則直線/與平面a所成角為()

A.60°B.120℃,30°D.150°

【答案】C

【詳解】由題知：平面。的法向量正=(1,T0),直線力的方向向量亢=卜3,5,后)，

?1-3-5+211

所以sina=/IJ=-,

J1+1+2-J9+25+22

因為ae[0,90]，所以0=30。.

故選：C

5.(2022?湖南?高三開學(xué)考試)兩條異面直線a,b所成的角為60。，在直線上分別取點AE和點反F,

使AB_La,且AB_LA.已知AE=6,B尸=8,E■尸=2面則線段45的長為()

A.8B.46c.473D.86

【答案】B

【詳解】由題意知：EF=EA+AB+BF，所以而?=麗?+謖?+赤2+？麗.通十？順.喬十？麗.麗，

又異面直線為方所成的角為60。，貝1142=62+Xg2+82+0+0±2><6x8cos60。

所以網(wǎng)=1148-6」-8?！?8,貝U網(wǎng)=4而或網(wǎng)=0(舍去)

故選：B.

6.(2022?江蘇淮安?高二期末)如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面ABC。為正方形,PAL平面ABCZ),PA=AB,

M為PC上一動點，PM=tPC,若N8ATO為鈍角，則實數(shù)f可能為()

1111

A.—B.—C.-D.-

5432

【答案】D

【詳解】分別以48、AD.AP為x軸，，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)叢=]M(x,y,z),故尸(0,0,1),C(l,l,0),麗=(x,y,z-1),PC=(1,1,-1),

x=t

由兩=r前可知，-y=f,即）,

z-l=-t

又因為NBMD為鈍角，所以荻.麗<0，

由3(1,0,0),。(0,1,0),可知標(biāo)=(1--),碗=

MB-W=-r(l-r)-f(l-f)+(f-l)2<0,整理得3/一書+1<0,

解得;</<1,

故選：D.

7.(2022?吉林長春?模擬預(yù)測(理))在矩形A8C。中，。為2。中點且位>=2AB,將平面沿對角線

2。翻折至二面角A-3D-C為90。，則直線AO與。所成角余弦值為()

A.—B.正

54

「3非門4后

2525

【答案】C

【詳解】在平面板>中過A作AE_LBD,垂足為E；

在平面CBO中過C作C戶_LBD,垂足為

由于平面平面BCD,且交線為5D，

所以AE_L平面BCD,CF_L平面ABD,

T^AB=1,AD=2,

~XBDXAE=-XABXAD^AE=^=,0E=\I0A2-AE2=^T=,

22e275

23

同理可得c/=存,。尸=5^,

以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

______—0

10’2忖'

7

設(shè)A。與8所成角為6,

____1A

0ACD|203A/5

則cos3=

珂.西一~25~

22

故選：C

8.(2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(理))在四棱錐尸-ABCD中，已知底面ABCD為矩形，底

面ABC￡),PA=6,4?=1,AD=6.若E,尸分別為AB,即的中點，經(jīng)過C,E1三點的平面與側(cè)棱9相交于

點G.若四棱錐G-ABCD的頂點均在球。的表面上，則球。的半徑為()

A.-B.拒C.—D.2

42

【答案】B

【詳解】解：根據(jù)題意，以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系,

所以E[,O,O],C（1,6O）,F0,與3,

設(shè)G（O,Oj）,貝1]函=卜1,_君,，，屋二卜1,-V3,oj,CF=-1,-

2'1'

因為經(jīng)過C,E,F三點的平面與側(cè)棱PA相交于點G,

所以C,瓦￡G四點共面，

所以存在實數(shù)尢〃使得西=ACE+pCF,即卜1,-"，=_\九一出一6九一^~N，3/J,

（22）

1,,

----A—〃=—1

2

所以一布入-,解得=pi=—,t=2,

t=3〃

所以G（0,0,2）,即G為棱上4的三等分點靠近A點，

四棱錐G-ABCD的頂點均在球。的半徑與邊長為1,6,2的長方體的外接球半徑相同，

因為邊長為1,瓜2的長方體的外接球半徑為“+3+4=0,

2

所以四棱錐G-ABCD的外接球。的半徑為0

故選：B

二.多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

9.（2022?全國?高二課時練習(xí)）下面四個結(jié)論正確的是（）

A.空間向量,若Z_L石，則7B=0

B.若對空間中任意一點。，^OP=yOA+^-OB+^-OC,則P,AB,C四點共面

632

c.已知舊石,2｝是空間的一組基底，若正=￡+入貝小，而｝也是空間的一組基底

D.任意向量滿足（〃?楊?c=〃?（坂?c）

【答案】ABC

【詳解】對于A：空間向量，若￡_1方，則￡/=0，故A正確；

―.1-.1―?1—,111

對于B：若對空間中任意一點。，有OP=:。4+^05+]。。，由于++=1,則尸，AB,C四點共面，

故B正確;

對于C：已知｛￡,反斗是空間的一組基底，若浣=￡+",貝1|｛癡,2+2｝兩向量之間不共線，故也是空間的一組

基底，故c正確；

對于D：任意向量a,B,c滿足（aJ）7=a.（="）,由于2%是一個數(shù)值，""也是一個數(shù)值，則說明"和Z存

在倍數(shù)關(guān)系，由于Z,及2是任意向量，不一定存在倍數(shù)關(guān)系，故D錯誤.

故選:ABC.

10.（2022?山東德州?高一期末）如圖，菱形ABC。邊長為2,ZBAD=60°,E為邊AB的中點，將AADE沿

折起，使A到4,連接A'B,A'C,且A'DLOC,平面A'BE與平面A,CD的交線為/,則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.平面AZ>E_L平面A'BEB.CD//1

C.2C與平面A為E所成角的余弦值為:D.二面角石―A3-。的余弦值為立

27

【答案】ABD

【詳解】在菱形ABC。中，E為邊的中點，所以因為CD〃鹿，

所以EOJ_￡）C,因為4￡>J_DC,A'DcDE=D,所以CD_L平面ADE,

因為CD//BE,所以平面ADE,因為BEu平面ABE,

所以平面A'DEL平面48E,故A正確；

因為CD//3E,CDZ平面48E，BEu平面,所以CD〃平面ABE,又平面48E與平面AC￡）

的交線為I,所以811/,故B正確；

由A知，BE1平面ADE,則M14E,又菱形ABC。邊長為2,ZBAD=60°,E為邊AB的中點，所以

A'E,又BECDE=E,所以平面BED，以E為原點，分別以EB,ED,EA為x,y,z軸，建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系：

則8（1,0,0）,左（0,0,1）,。（2,右,0）,。倒,相,0）,

所以炭=（1,百,0）,函=（0,0,1）,赤=（0,后-1）,亞=。,0,-1）,

由上可知：CD_L平面ADE,

設(shè)平面屋DE的一個法向量為：CD=（-2,0,0）,

或旬-2

貝ijcos〈5C,C?！?

|明.同「#+（道八22

所以有sin〈前，麗〉=Jl-cos?〈就，①〉=乎,因此選項C不正確;

顯然平面AZE的一個法向量為：n=ED=（0,73,0）,

設(shè)平面A皮）的一個法向量為：m=（x,j/,z）

ArBm=0[310,所以碗=(國，@

則有則＜一,,即

ArD?沅=0

m-n=日,所以選項D正確,

所以C0S(7",〃6

|m|-|?|J3+1+3x5/3

故選：ABD

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知。為正方體ABC。-AgCQ底面ABCD的中心，E為棱耳￡上動點,

扉=4甌,Xe(O,l),b為BE的中點，則()

A.平面OEF_L平面ACC、

B.過民區(qū)。三點的正方體的截面一定為等腰梯形

C.OE與。尸為異面直線

D.OE與。尸垂直

連接。8,易知OB_L平面4CGA.又QBu平面03E,所以平面03E_L平面4CGA,即平面OEF_L平面

ACQA,所以A選項正確；

因為庭=2朝,/Le(O,l),連接3Q,過點￡作e11〃4。交CQ于點M,連接MROD.

因為耳RIIBD,

所以EM//BD.又EM豐BD,

且根據(jù)圖形對稱性得DM=BE,

所以截面￡2口汨必為等腰梯形，所以B選項正確；

因為OEu平面EMDB,。尸u平面EMDB,

所以O(shè)E與。尸共面，所以C選項錯誤；

以次，比，函的正方向分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的邊長為1,則率=4而=(-40,0),

由題設(shè)點E（x,l,l）,則庭=（x—1,0，o）.又麻=（一40,0）,

所以x-l=—2,則E（1-41,1）,又og［，0］，

所以歷=1）,

因為歹為BE的中點，5（1,1,0）,￡（1-2,1,1）,

所以7詞,

（1A2—Z11

若麗?前=0,則|1下+彳+弓=0，整理得2%_5/1+6=0.

因為0<4<1,4"/（^）-2/12-5/1+6,A<0,無角軋

故OE與￡）/不垂直，所以D選項錯誤，

故選：AB.

12.（2022?全國?高二單元測試）如圖，在邊長為0的正方體ABC。-44G2中，點M在底面正方形ABCD

內(nèi)運動，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點M使得4加，平面。80

B.若4加=2,則動點M的軌跡長度為叵

2

C.若AM〃平面D4C,則動點M的軌跡長度為0

D.若A"u平面則三棱錐與-M2c的體積為定值

【答案】BD

【詳解】以點。為坐標(biāo)原點，DA.DC、。，所在直線分別為x、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則C（o,0,o）、4（拒,0,行）、2僅,o,行）、4（^,0,72）,

設(shè)點M(x,y0),其中0(無(血，0<y<V2,

設(shè)平面。由C的法向量為根=（玉,y）,CD1=（0,-虛,后）,二（行,0,四）,

mCD]=-y/2yl+y/2z1=0

取4=-1,則拓=。,一1,一1）,

inCB[=0玉+y/2zl=0

審=（%—0,y-收），若AM_L平面。乃0,則麗〃說，

則x-0=-y=應(yīng)，解得x=20，y=-yf2,不合乎題意，A錯；

對于B選項，若|&w|=尤-可+/+2=2,可得卜一0『+/=2,

則點加在平面ABC。內(nèi)的軌跡是以點A為圓心，半徑為0的圓的;，

所以，動點M的軌跡長度為叵，B對；

2

對于C選項，若〃平面。耳(7,則A"，"?，

貝[J-m=x—\[2—y+yj2—x—y—0,

所以，點"在底面ABC。的軌跡為線段3D,故點”的軌跡長度為BD=2,C錯;

對于D選項，因為平面AB￡)c平面ABCD=&),

若AMu平面A3。，則點M的軌跡為線段8。，

因為8月〃OR且24=?？?，所以，四邊形BBQD為平行四邊形，

所以，BD//B}Dt,--M&BD,則點M到平面2即的距離為定值，

又因為△￡>14c的面積為定值，貝11VB=%一。閩c為定值，D對.

故選：BD.

三.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.)

13.(2022?全國?高二課時練習(xí))已知向量2=(-2,-1,2),g=(-1,1,2),"=(尤,2,2).當(dāng)口=2應(yīng)時，若向

量晶+B與之垂直，則實數(shù)上的值為.

【答案】-3

【詳解】因為卜|=2及，所以Jd+22+22=20nx=0,

ka+Z?—(—2k—1,—k+T,2k+2),

因為歷+B與2垂直，

所以伏Z+1)1=0n()?(—21-1)+2(—:+1)+2(22+2)=0=左=-3.

故答案為：-3

14.(2022?全國?高二課時練習(xí))在四面體。48(7中，點加力分別為。4、8(7的中點,若礪=；西+工礪+丫詼,

且G、M,N三點共線，則x+y=.

【答案】|

若G、M、N三點共線，則存在實數(shù)4,使得3G=23而+（1-#而，又點M,N分別為。4、BC的中點,

2_￡

5一3

則麗=」函，ON=-OB+-OC,則而=2厲麗玄，貝卜二^=x,解得尤=y=),

22222226

1-A

貝口+y號

故答案為：—.

15.（2022?全國?高二課時練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA,=2，E,尸分別是BC、AG

的中點.設(shè)。是線段4a上的（包括兩個端點）動點，當(dāng)直線3。與跳'所成角的余弦值為典，則線段3。的

.4

長為.

【答案】272

【詳解】解：如圖以E為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系：

（/71、

則E（0,0,0）,B^-,-,2,2（0,-1,0）,設(shè)￡＞（OJ,2）（-1W1）,

、

-^-,—,2,BD=(0,/+1,2),

則訪=設(shè)直線3。與跖所成角為e

7

t+1

——+4A

巫，即

所以cos0=EFBD223—+14/-37=0,

\EF\\BD\~45-^t+I)2+4~4

解得f=l或f=g（舍去），所以師卜嬌萬萬=20,

故答案為：2枝.

16.（2022?黑龍江齊齊哈爾?二模（理））矩形A8CO中，AB=指,BC=1,現(xiàn)將八48沿對角線AC折起,

得到四面體D-ABC,若異面直線BC與AD所成角為則忸D|=；若二面角D-AC-3的大小為三,

則即=.

【答案】6或1##1或g立

2

【詳解】如圖所示

在矩形ABCD中，AB=K,BC=1,所以AC=2,ZBC4=/C4O=g,

在四面體。-ASC中，

=』+4+1-2-2-2網(wǎng)|阿儂6=’2-2儂6,其中6為國與而的夾角；

JTTT27r

若異面直線BC與AD所成角為（，則6=（或。=行，

所以聞=1或&；

經(jīng)檢驗8。=道或1均滿足題意，故道或1;

在矩形ABC。中，作8ELAC交4C于點E,J_AC交AC于點尸，

在四面體O—ABC中，作EGLAC交C。于點G,則EG〃。尸，所以二面角O-AC-B的平面角為/3EG.

設(shè)NBEG=a,

因為BE==BC?cos30。=立，所以跖=AC-2CE=AC—25。sin300=l,

2

又四面體?！狝BC可知，BELEF,DFLEF,則屁.麗=0,而.甌=0,

而麗=屜+訪+麗='碼2+EF2+FD2+2SE-EF+2EF-FD+2BE-FD

153

^+1+-^--2|￡B|-|FD|-cos?=^±_2x旦旦。sa=1'------cosa，

=\1222V22

若二面角。-Aj的大小為,則&后，所以阿卜*即加=*

故答案為：6或1；旦.

2

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.）

17.（2022?重慶南開中學(xué)高二期末）四棱錐P-ABCD,底面為矩形，尸ZU面A3CD,且A3=4,BC=ED=2,

。點在線段A3上，且AC上面PQD

⑴求線段A。的長；

（2）對于（1）中的Q,求直線P8與面P。。所成角的正弦值.

【答案】⑴1

⑵畫

10

⑴???AC_L面PQD,：.AC.LQD,

「?在矩形ABC。中，易得：

…ADAQsAD2BC24

△A。。~AZDCA-AQ--------------———11；

DCDADCAB4

⑵如四建立空間直角坐標(biāo)系：

則。（0,0,0）,尸（0,0,2）,3（2,4,0）,42,0,0）,C（0,4,0）,

.?.麗=（2,4,-2）,

由題意可知：衣為平面P。。的一個法向量,

AC=(-2,4,0),

麗?/_-4+16_12__3__>/|0

cos(PB,AC)=

網(wǎng)國一同?扃一2岳2#一聞一10

直線網(wǎng)與面PD。所成角的正弦值為我.

10

18.（2022?河北邯鄲?高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為梯形，

AB=2AD=2DC,AB//DC,ABLAD,平面PC3，平面ABCD.

⑴證明：PBLAC；

⑵若APCB為正三角形，求二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2百

（1）證明：由題意，^AB=2AD=2DC=2,又AB〃DC,AB_LA。，

得AC=BC=A/L又AB=2,

所以4。2+8。2=4笈，所以AC_LBC,

又平面PCB八平面ABCD=CB,且平面PCB，平面ABCD,ACI平面ABCD,

所以AC_L平面PC3,

又尸Bu平面尸CB,所以ACLPB；

（2）解：方法一（向量法）：取BC的中點。為坐標(biāo)原點，以O(shè)P的方向為z軸正方向，過點。分別作A3和

AD的平行線，分別為無軸和＞軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由APCB為正三角形，BC=6,得PO=Y5,

2

則嗚。0）,1

B--

242。嗚總。，尸。，。，

3_j_

貝I］麗=(-2,0,0),麗=-

2，-2,

n-AB=0

設(shè)3=（%,%，4）為平面ABP的法向量，則有，

n-AP=O,

—2%=0

即,31n，可取〃=卜,后1),,

一］玉一］%=0

設(shè)加=（%，為，22）為平面ACP的法向量,

同理機=1,-1,返

V7

-6+f

/-----An-m一也

所以COS(4切=可=［

-7，

M\m\"x8

設(shè)二面角8-%-C的平面角為a,

則sina=l-(cos(n,m))2=

故二面角B-PA-C的正弦值為

方法二（幾何法）：如圖，取上4的中點M,連接CM,在平面上48中作MN，PA,連接CN,

由（1）知AC=8C=JL又APCB為正三角形，

所以PC=BC=PB=6，所以尸C=AC,

所以CMJ_P4,又MN上PA,

所以NQVW為二面角3-R4-C的平面角，

因為AC_L平面尸CB,PCu平面尸CB,所以AC_LPC,

所以尸A=JPC2+AC2=2,CM=AM=1，

在△ABP中，PB=6,AB=PA=2,

尸4+4笈一PB?4+4-23

所以cos/&!P=

2PAAB8-4

所以sin^BAP=—,tanZBAP=-,MN=AM-tan^BAP=叵,AN=———4

433cosZBAP3

在及⑺中，NCAN=45°,

所以CN=VAC2+AN2-2AC-AN-cosZCAN=-

3

3

在AMNC中，cosNCMN=MN-CM--CN-=[jJLJ=叵,

2MN-CM入布i7

2x----x1

3

即二面角B-PA-C的正弦值為畫.

7

19.(2022?全國?高二單元測試)如圖，在直三棱柱ABC-AB?中，底面ABC為等腰直角三角形，ABLAC,

AB=AC=2,M=4,M是側(cè)棱cq上一點，設(shè)MC=〃.

⑴若h=1,求證：BM±A,C；

(2)若力=2,求直線8A與平面所成角的正弦值；

(3)若/?=3,求點M到平面ABC的距離.

【答案】⑴證明見解析

(2)萼

(3)1

(1)由題意可得AB,AC,AA］兩兩垂直，以A為原點，AB,AC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

當(dāng)〃=1時，5(2,0,0),M(0,2,1),A(0,0,4),C(0,2,0)

則加=(-2,2,1),而=(O,2,T)

加乖=(-2)x0+2x2-1x4=0

BM.

(2)當(dāng)2=2時,3(2,0,0),〃(0,2,2),司(0,0,4),A(0,0,0),

%=(-2,0,4),AB=(2,0,0),40=(0,2,2),設(shè)平面48M的法向量〃=(無,y,z)

而,AR—2尤~O

(萬福二:2z-o'取'=1'得河=(°，LT)是平面ASM的一個法向量

設(shè)直線BA與平面所成角為

???直線B4與平面ABM所成角的正弦值為萼.

(3)

當(dāng)〃=3時,3(2,0,0),M(0,2,3),A(0,0,4),C(0,2,0),

BM=(-2,2,3),甌=(-2,0,4),BC=(-2,2,0),

設(shè)平面ABC的法向量用=(a,6,c),則,唱=，

取“=2,得血=(2,2,1)是平面ABC的一個法向量

.?.點M到平面\BC的距離==1.

d網(wǎng)

20.(2022?海南?瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期末)如圖，三棱柱4BC-AB?中，BC=BB,,3￡口用。=。,

40，平面8片6。.

⑴求證：AB1B.C.

(2)若/瓦BC=60。，直線AB與平面所成的角為30。，求二面角A-4G-A的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)7

⑴：AO_L平面881clC,BCu平面BB￡C

AO1B,C,

BC=BBlt四邊形BgCC是平行四邊形，

四邊形BBC。是菱形.

BC,1BtC,

-：AOr>BCt=O,AOu平面ABG，BJu平面ABG

用C-L平面ABC一

---ABI平面ABC1

⑵；AB與平面BBC。所成角為30。，40,平面2&GC,

ZABO=30°,

若N"BC=60。,則△BC用是正三角形.

令BC=2,則瓦C=2,2。=代，OA=1,

以。為原點，分別以。8,OBX,Q4所在直線為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),B(^,o,o),4(0,1,0),A(0,0,l),c"_后0,0),

設(shè)平面ABC的一個法向量為I=(x,y,z),

鬲=（0,1,-1）,￡耳=（若,1,0）,

4-

ABX=y—z=0令無=1,解得小二(1,一0,一代)，

n1GBi=V3x+y=0

設(shè)平面4GA的一個法向量為%=(x,y,z),

=0-z=0

n2-AB1,令光=1,解得幾2=(1，—

n2-CXBX=0+y=0

設(shè)二面角A-51G-A的大小為e,由圖知。非鈍角，

/.cos0=\cosn^,n^=^

1?同?同7

???二面角A-