高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)

高考一輪復(fù)習(xí)專題一一三角函數(shù)

第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

基礎(chǔ)梳理

1.任意角

⑴角的概念的推廣

①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

⑵終邊相同的角

終邊與角a相同的角可寫成a+k?360°(keZ).

⑶弧度制

①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，

a1=,1是以角a作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為半徑.

③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制，比值與所取的r的大小無關(guān),

僅與角的大小有關(guān).

④弧度與角度的換算：360°=2n弧度；180。=口弧度.

⑤弧長公式：1=|a|r,

扇形面積公式：S扇形=lr=|ar2.

2.任意角的三角函數(shù)定義

設(shè)a是一個(gè)任意角，角a的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r(r>

0),那么角a的正弦、余弦、正切分別是：sina=,cosa=,tana=,

它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

3.三角函數(shù)線

設(shè)角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)

P,過P作PM垂直于x軸于M,則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影.由三角函數(shù)的

定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_a,sin_a),即P(cos_a,sin_a),其中cosa

=0M,sina=MP,單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,單位圓在A點(diǎn)的切線與a

的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T,則tana=AT.我們把有向線段0MMP、AT

叫做a的余弦線、正弦線、正切線.

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一條規(guī)律

⑵三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為'二全正「二歪弦「三正切「四余弦.—

終邊落在三軸上的角的集食｛且］且二且ZL望邊落在工軸上的角的集合」

終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合可以表示為一一，

兩個(gè)技巧

(1)一在利用三角函數(shù)定義時(shí)，…點(diǎn)上.可取終邊上任二點(diǎn)，一…如有亙能則取終邊與單位

圓的交點(diǎn),…』。E』三匚二定是正值「

(2)在解簡單的三角丕等式時(shí)」利用單位圓及三角函數(shù)線是二個(gè)小技巧「

三個(gè)注意

⑴注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類

角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角.

(2)角度制與弧度制可利用」8Q：…三』_二a_d_進(jìn)行互化」在同二個(gè)式子里」采用的

度量制度必須二致,…丕亙混用:…

(3)注意熟記&，片36。二間特殊角的弧度表示,…以方便解題一.…

雙基自測

1.(人教A版教材習(xí)題改編)下列與的終邊相同的角的表達(dá)式是().

A.2kn+45°(kGZ)B.k?360°+n(k?Z)

C.k?360°-315°(kez)D.kJI+(kez)

2.若a=k?180°+45°(kez),則。在().

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

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3.若sina<0且tana>0,則&是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

4.已知角a的終邊過點(diǎn)（一1,2）,則cosa的值為（）.

A.—B.C.—D.一

5.（2011?江西）已知角0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，若P（4,y）

是角9終邊上一點(diǎn)，且sin0=—,則y=.

考向一角的集合表示及象限角的判定

【例1】Ml）寫出終邊在直線_/=/、上的角的集合；

⑵若角。的終邊與角的終邊相同，求在［0,2n）內(nèi)終邊與角的終邊相同的角;

⑶已知角a是第二象限角，試確定2a、所在的象限.

【訓(xùn)練1】角a與角B的終邊互為反向延長線，則（）.

A.a=-B

B.a=180°+B

C.a=k?360°+B（k￡Z）

D.a=k?360°±180°+B（k?Z）

考向二三角函數(shù)的定義

【例2】*■已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（一,m）（mW0）且sin0=m,試判斷角。

所在的象限，并求cos0和tan0的值.

【訓(xùn)練2】（2011?課標(biāo)全國）已知角0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半

軸重合，.終邊在直線y=2x上，則cos2。=（）.

A.—B.—C.D.

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考向三弧度制的應(yīng)用

【例3】＞已知半徑為10的圓0中，弦AB的長為10.

⑴求弦N8所對(duì)的圓心角a的大小；

⑵求。所在的扇形的弧長/及弧所在的弓形的面積￡

【訓(xùn)練3】已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積

最大？

考向四三角函數(shù)線及其應(yīng)用

【例4]?在單位圓中畫出適合下列條件的角a的終邊的范圍.并由此寫出角a

的集合:

(2)cos。忘一；.

(1)sina

【訓(xùn)練4】求下列函數(shù)的定義域：

(l)y=;(2)y=lg(3—4sin2x).

解(1)*.*2cosx—lNO,cosxN.

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重點(diǎn)突破一一如何利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值

【問題研究】三角函數(shù)的定義:設(shè)a是任意角，其終邊上任一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重

合)的坐標(biāo)為(x,y),它到原點(diǎn)的距離是r(r=>0),則sina=、cosa=

、tana=分別是a的正弦、余弦、正切，它們都是以角為自變量，以比值

為函數(shù)值的函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù)，這里x,y的符號(hào)由a終邊所在象

限確定，r的符號(hào)始終為正，應(yīng)用定義法解題時(shí)，要注意符號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤.

三角函數(shù)的定義在解決問題中應(yīng)用廣泛，并且有時(shí)可以簡化解題過程.

【解決方案】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求

得x,y,r的值；然后對(duì)于含參數(shù)問題要注意分類討論.

【示例】>(本題滿分12分)(2011?龍巖月考)已知角a終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,-)(x

W0),且cosa=x,求sina、tana的值.

【試一試】已知角a的終邊在直線3x+4y=0上，求sina+cosa+tana.

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第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

基礎(chǔ)梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=1；

(2)商數(shù)關(guān)系：=tana.

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(a+2kJi)=sina,cos(a+2kn)=cosa,其中kGZ.

公式二：sin("+a)=-sina,cos(Ji+a)=—cosa,

tan(JI+tz)=tana.

公式三：sin(-a)=~sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(JI—a)=sina,cos(Ji—a)=-cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa,cos=_sina.

誘導(dǎo)公式可概括為k?土a的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶規(guī)律是：奇變偶

不變，符號(hào)看象限.其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)

名稱的變化.若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函

數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限是指把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào).

一個(gè)口訣

誘導(dǎo)公式的記憶口訣為一:…奇變偶丕變，…符號(hào)看象限一

三種方法

在求值與化簡時(shí)，…賞用方法有一：…

(1)弦切互化法一:-主要利用公式上an__g_三—化成正「余弦」

(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin9±cos9)2=l±2sin9cos。的關(guān)系進(jìn)行變形、

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轉(zhuǎn)化:…

(3)巧用"1"的變換：l=sin2。+cos2。=cos2。(l+tan2。)=tan=….

三個(gè)防范

⑴利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角

函數(shù)，其步驟：去負(fù)一脫周一化銳.

特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定:…

(2)在利用同角三角函數(shù)的生方關(guān)系時(shí)「若開方」要特別注意判斷符號(hào)

(3)注意求值與化值后的結(jié)果二般要盡亙能有理化,整式化「

雙基自測

1.(人教A版教材習(xí)題改編)已知sin(n+a)=,則cosa的值為().

A.±B.C.D.±

2.(2012?杭州調(diào)研)點(diǎn)A(sin2011°cos2011°)在直角坐標(biāo)平面上位于().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知cosa=,ae(0,n),則tana的值等于().

A.B.C.±D.±

4.cos—sin的值是().

A.B.—C.0D.

5.已知a是第二象限角，tana=—,則cosa=.

考向一利用誘導(dǎo)公式化簡、求值

［例1］七知，求

cos(^+?)sin(-^--cr)

【訓(xùn)練1】已知角a終邊上一點(diǎn)P(—4,3),則的值

1\jr

cos^——cr)sin(^-+cif)

為.

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考向二同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

【例2]＞（2011?長沙調(diào)研）已知tana=2.

求：⑴;

⑵4sin'a—3sinacosa—5cos2a.

,sina+3cosa

【訓(xùn)練2】已知3cosa_sin0=5.則sirTa—sinacosa=

考向三三角形中的誘導(dǎo)公式

【例3]?1在aABC中，sinA+cosA=,cosA=—cos(n—B),求AABC的

三個(gè)內(nèi)角.

【訓(xùn)練3】若將例3的已知條件“sinA+cosA="改為'sin(2n—A)=-sin(n

—B)”其余條件不變，求4ABC的三個(gè)內(nèi)角.

重點(diǎn)突破一一忽視題設(shè)的隱含條件致誤

【問題診斷】涉及到角的終邊、函數(shù)符號(hào)和同角函數(shù)關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)深挖隱含

條件，處理好開方、平方關(guān)系，避免出現(xiàn)增解與漏解的錯(cuò)誤.，

【防范措施】一要考慮題設(shè)中的角的范圍；二要考慮題設(shè)中的隱含條件

【示例】＞若$行。，coso是關(guān)于X的方程5x2—x+a=0(a是常數(shù))的兩根，

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Be(0,n),求cos2。的值.

【試一試】已知sin9+cos0=,。e(0,兀)，求tan0.

第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

基礎(chǔ)梳理

1.“五點(diǎn)法”描圖

(l)y=sinx的圖象在［0,2n］上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為

(0,0),,(L0),,(2口，0).

(2)y=cosx的圖象在［0,2n］上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為

(0,1),,(?一1),,(2JI,1).

2.三角函數(shù)的圖

象和性質(zhì)

y=sinxy=cosxy=tanx

函數(shù)

性質(zhì)

{xxWk兀+,kEZ}

定義域RR

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圖象?I\TT-T2兀

產(chǎn)VX-l；zpK\lx

值域[—1,1]R

對(duì)稱軸：X=kJT+(k無對(duì)稱軸

對(duì)稱軸：x=kn(k

CZ)對(duì)稱中心：(kez)

ez)

對(duì)稱性對(duì)稱中心：

對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：(―,0)(k

(kn,0)(kez)2

錯(cuò)誤！

(Nn,0)(NGZ)eZ)

周期2兀2兀JI

單調(diào)增區(qū)間

單調(diào)增區(qū)間［2kn

2k/r--,2k/v+—1k

L22_一幾，2k幾］(k￡單調(diào)增區(qū)間

eZ)；Z)；單調(diào)減區(qū)間［2k

單調(diào)性(kn--,k7v+—)(NG

單調(diào)減區(qū)間n,2kn+JI］(k22

冗3eZ)Z)

2k?i—,2ATTH—TC(

_22_

NeZ)

奇偶性偶W

兩條性質(zhì)

(D周期性

函數(shù)y=Asin(3x+4)和丫=4(205(3*+力)的最小正周期為,y=tan(ax+。)

的最小正周期為」

(2)奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin3*或丫=人士211ax,而偶函數(shù)一般可化

為y=Acossx+b的形式.

三種方法

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求三角函數(shù)值域(最值)的方法.:…

(1)利用sinx、cosx的有界性；

一⑵一形式復(fù)雜的一函數(shù)應(yīng)化為…工三AcLn(9工一±-Q)-士k一的形式逐步分析3工士速一的一蔻

圍」根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫一出函數(shù)的值域;…

(3)換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最

值)問題一.-

雙基自測

1.(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)y=cosxGR().

A,是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

2.函數(shù)y=tan的定義域?yàn)?).

71

A.<jax^k7i-—,keZ>B.<xx^2k7i--,keZ

II4J4

C.卜H+(,左eZ>JI

D.《xxH2k兀d——,keZ

4

3.(2011?全國新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+巾)+cos(3x+巾)()的最

小正周期為n,且f(—x)=f(x),則().

A.f(x)在單調(diào)遞減

B.f(x)在單調(diào)遞減

C.f(x)在單調(diào)遞增

D.f(x)在單調(diào)遞增

4.y=sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是().

A.(一兀,0)B.

C.(y,o)D.(-,0)

5.(2011?合肥三模)函數(shù)f(x)=cos的最小正周期為.

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考向一三角函數(shù)的定義域與值域

(2)【例1】》(1)求函數(shù)y=lgsin2x+的定義域.

求函數(shù)y=cos2x+sinx()的最大值與最小值.

【訓(xùn)練1】⑴求函數(shù)丫=的定義域.

⑵已知函數(shù)f(x)=cos+2sin,sin,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與

最小值.

考向二三角函數(shù)的奇偶性與周期性

A.【例2]>(2011?大同模擬)函數(shù)y=2cos2—1是().

最小正周期為"的奇函數(shù)B.最小正周期為n的偶函數(shù)

C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)

【訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)=(sinx—cosx)sinx,x《R,則f(x)的最小正周期

是.

考向三三角函數(shù)的單調(diào)性

【例3】>■已知f(x)=sinx+sin,x￡[0,n],求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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【訓(xùn)練3】函數(shù)f(x)=sin的單調(diào)減區(qū)間為.

考向四三角函數(shù)的對(duì)稱性

【例4]>(1)函數(shù)y=cos圖象的對(duì)稱軸方程可能是().

A.x=—B.x=—C.x=D.x=

【訓(xùn)練4]⑴函數(shù)y=2sin(3x+<t>)()的一條對(duì)稱軸為x=,則6=

(2)函數(shù)y=cos(3x+巾)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.則6=.

重點(diǎn)突破一一利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)問題

含有參數(shù)的三角函數(shù)問題，一般屬于逆向型思維問題，難度相對(duì)較大一些.正

確利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答此類問題，是以熟練掌握三角函數(shù)的各條性質(zhì)為前

提的，解答時(shí)通常將方程的思想與待定系數(shù)法相結(jié)合.下面就利用三角函數(shù)性

質(zhì)求解參數(shù)問題進(jìn)行策略性的分類解析.

一、根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)

【示例】-(2011?鎮(zhèn)江三校模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(3>0)的單調(diào)遞增區(qū)間

為(kGZ),單調(diào)遞減區(qū)間為(kGZ),則3的值為.

二、根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)

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【示例】*■（2011?泉州模擬）已知f（x）=cos（x+6）—sin（x+6）為偶函數(shù),

則?？梢匀〉囊粋€(gè)值為（）.

A.B.C.—D.一

▲根據(jù)三角函數(shù)的周期性求解參數(shù)

【示例】>（2011?合肥模擬）若函數(shù)y=sin3x?sin（3>0）的最小正周期為

,則3=.

▲根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)

【示例】》（2011?洛陽模擬）若函數(shù)f（x）=asinx—bcosx在x=處有最小值一

2,則常數(shù)a、b的值是（）.

A.a=-1,b=B.a=l,b=—

C.a=,b=-1D.a=-,b=l

第4講正弦型函數(shù)y=/sin（3萬+0）的圖象及應(yīng)用

基礎(chǔ)梳理

1.用五點(diǎn)法畫y=Asin（3x+4））一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)

如下表所示

JI3兀

o-0----0JI—0———02兀一0

X22

G)G)G)

33

JI3兀

(ox+00JI2n

y=Asin(GX+

0A0~A0

0)

2.函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（3x+4））的圖象的步驟

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步

驟

1

步

驟

2

步

驟

3

步

驟

4

稱性

象的對(duì)

3.圖

具

形，

稱圖

心對(duì)

是中

稱也

軸對(duì)

象是

）的圖

3>0

>0,

“）（A

ax+

sin（

y=A

函數(shù)

下：

體如

,k

JI+

<t>=k

xk+

中w

k（其

x=x

直線

象關(guān)于

）的圖

x+0

n（3

Asi

數(shù)y=

（1）函

形.

稱圖

軸對(duì)

GZ）成

GZ）成

,k

=kn

k+巾

中3x

0）（其

（xk,

于點(diǎn)

象關(guān)

）的圖

x+巾

n（a

Asi

數(shù)y=

⑵函

.

圖形

對(duì)稱

中心

法

一種方

,3

k=

人=,

叫則

值為

最小

為M,

大值

若最

式時(shí)，

數(shù)解析

三角函

圖象求

在由

.

確定