構(gòu)造函數(shù)及不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第12講構(gòu)造函數(shù)及不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

構(gòu)造函數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明比較指數(shù)幕的大小

2022年新I卷，第7題,5分

函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-12分

【備考策略】1會(huì)結(jié)合實(shí)際情況構(gòu)造函數(shù)

2能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

3能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

4能結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行函數(shù)值大小比較

【命題預(yù)測(cè)】比較大小的問(wèn)題，形式靈活、內(nèi)涵豐富，學(xué)生可以綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想

方法解決實(shí)際問(wèn)題，是考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的有效題型載體。近幾年，這類試題得

到了高考和各類大型考試命題老師的青睞和追捧。需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1構(gòu)造函數(shù)的重要依據(jù)

知識(shí)講解

1.構(gòu)造函數(shù)的重要依據(jù)

(1)[/(X)土g(x)]'=/'(x)土g'(x).(可推廣到多個(gè)函數(shù))

(2)[/(X)?g(x)]'=/'(x)g(x)+g'(x)/(x).(可推廣到多個(gè)函數(shù))

(3)[■--]=--------7--；-------

g(x)g-(x)

2.常見(jiàn)構(gòu)造類型

(1)若條件是/?應(yīng)0)+8口)/(%)30,可構(gòu)造尸(%)=，(》應(yīng)0),則/(X)單調(diào)遞增;

⑵若條件是/'(x)+/(x)NO,可構(gòu)造尸(x)=e"(x),則尸(x)單調(diào)遞增：

(3)若條件是礦(x)+件(x)NO,可構(gòu)造％x)=#(x),則〃(x)單調(diào)遞增：

(4)若條件是/'(X)—/(x)N0,可構(gòu)造"x)=￡甲，則尸(x)單調(diào)遞增；

e

(5)若條件是xf\x)+nf(x)>0,可構(gòu)造尸(x)=xnf(x),

則尸(乃=》2口6(x)+〃/、(x)]N0,若x，i>0,則尸(x)單調(diào)遞增；

(6)若條件是/'(x)g(x)-/(x)g'(x)20,則構(gòu)造尸(x)=[今f(xT)，

g(x)

則尸⑺J(x)g(x)7(x)g'(x)20,說(shuō)明爪X)單調(diào)遞增

g(x)

3.常見(jiàn)的指對(duì)放縮

]X

ex>x+1,ex>ex,1——<Inx<x-1,lnx<—

xe

4.常見(jiàn)的三角函數(shù)放縮

.(兀)

smx<x<tanx,xGI0,-1

5.其他放縮

Inx<-\[x—~r=(x>1)Inx〉-\[x--<=(0<x<1)

Inx<—(x--)(x>1)Inx>—(x--)(0<x<1)

2x,2x,

1313

lnx>—x9+2%—(x>1)Inx<—x9+2x—(0<x<l)

22,22

2(x—1),、2(x—1)

1Inx>----------(x>1)1Inx<----------(0<x<1)

x+1,x+1

放縮程度綜合

Inx<~~—<--x2+2x--<x-1(0<x<1)

x+122

1--<--x2+2x-<Inx<-\[x—~r=<—(x—)<x-1(1<x<2)

x22x+1?2x

3+2-<Inx<-\[x—y=<—(x—)<x—l(x>2)

22xx+1Vx2x

方法技巧

I構(gòu)造相同函數(shù),比較不同函數(shù)值

2構(gòu)造不同函數(shù),比較相同函數(shù)值

3.構(gòu)造不同函數(shù),比較不同函數(shù)值

這個(gè)時(shí)候，不等式放縮就是首選之道了!

4.先同構(gòu)，再構(gòu)造，再比較

當(dāng)題干呈現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的等式或者不等式關(guān)系，并沒(méi)有前幾類那么明顯的數(shù)字時(shí)，往往可能現(xiàn)需要同構(gòu)（變

形）出一個(gè)函數(shù)之后再來(lái)比較大小.

考點(diǎn)一、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)iSa=O.leol^=1,c=-ln0.9,則()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。,6,C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?■'(>)=；1------1=---，

l+x1+X

當(dāng)、￡(一1,0)時(shí)，f\x)>0,當(dāng)%￡(0,+8)時(shí)/(%)<0,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+X)-X在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以/(》</(0)=0,所以111；一<<0,故!>ln￥=-ln0.9,即b>c,

99999

所以1所以lnQ[+717<。，故Q又<--。，所以上1厘—。<上1，

10101010109

故。<b,

(2—11ex+1

設(shè)gOO=尤ex+ln(l-x)(0<x<1),貝Ug(x)=(x+1)e"+—1-="x-------——,

令h(x)=ex(x2-1)+1,h\x)=e"(x2+2x-1),

當(dāng)0<x<也-1時(shí)，h'(x)<0,函數(shù)〃(x)=e%x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)血-1<X<1時(shí)，函數(shù)3)=4/一1)+1單調(diào)遞增，

又“(0)=0,

所以當(dāng)0cx<血-1時(shí),3)<0,

所以當(dāng)O<x<0-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)8(%)=工^+111(1-工)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0/e°』>-ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O,le01,b=，c=-ln(l-0.1),

1—0.1

(J)Intz—lnZ?=0.1+ln(l—0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

故/(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-\nb<0,所以a<b；

(2)t7-c=O.leol+ln(l-O.l),

x

令g'W=xe+ln(l—x),xG(0,0.1],

則g'(x)=xe，+ex--匚=(l+x)(j)e，_l,

s'，1-x1-x

令A(yù)r(x)=(l+x)(l-x)ex-l,所以k'(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得所)>*(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a=21nl.01,/)=lnl.O2,C=VH)4-1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于。與c,b與c的大小關(guān)系,

將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)/口)=2111(1+才)-7^+1田(m=111(1+2耳-疝彳+1,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0

的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合式0尸0,g(0)=0即可得出。與c,6與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一I：

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>In1.02=b,

所以；

下面比較。與的大小關(guān)系.

/\\I-------/\922(Jl+4x-1-x)

iB/(x)=21n(l+x)-VlZ4^+l,貝|〃0)=0,f'(x)=———T—=-^----T=1'

1+xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X-X2=x(2-x)

所以當(dāng)0〈x<2時(shí)，l+4x-(l+x『>o,gpVl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(%)在［0,2］上單調(diào)遞增,

所以〃0.01)>/⑼=0,BP21111,01><04-1,即〃>c；

，(x)=^______22(VT747-1-2X)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,貝iJg(O)=O,

匕l(fā)+2xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+2無(wú))~=-4/,在x>0時(shí)，l+4x-(l+2x)~<0,

所以g［x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<VH值一1，即興盤

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

4/(x)=ln^—----x-l(x>l)

/(x)=-￡D-<0,即函數(shù)在(1,+oo)上單調(diào)遞減

')x2+l

/(Vl+0.04)</(l)=0,.-.Z)<c

令g(x)=21n---j-x+l(l<x<3)

即函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞增

g(Jl+0.04)(g(l)=0,;.a)c

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問(wèn)題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無(wú)法解決的.

即0唧(

2

1.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知a=e°」-11=5,c=lnl.l,則()

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.

【詳解】設(shè)/(x)=e，-x-l,r(x)=ex-l,

xe(-oo,0)時(shí)，f\x)<0,/⑺為減函數(shù)，

xe(O,+8)時(shí)，r(x)>0,/(x)為增函數(shù)，所以/(x)N〃0)=0,

/(0.1)>0,即

11—V

設(shè)g(x)=lnx-x+l,g'(x)=——1=---,

XX

xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

xe(l,+co)時(shí)，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以g(x)(g⑴=0,g(l.l)<0,即Inl.lcO.l,所以a>c.

r\]4/2

設(shè)〃(x)=ln(x+l).......-,“(無(wú))=-----------^-=7------77------^->0,

、'7x+2x+1(尤+2)(x+l)(x+2)

2

/x)為增函數(shù)，所以//(0.1)>力(0)=0,所以lnl」>三，即c>6.

故選：D

2022I

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知痂，6=ln2024-ln2023,c=sin——,貝|()

”e2023

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(x)=e*-x-l及函數(shù)g(x)=x-sinx,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較。與c,構(gòu)造函數(shù)

/z(x)=sinx-ln(x+l),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較b與c,即可得解.

【詳解】令/'(x)=e[x-l,x<0,

■「(X)=丁-1<0在(-8,0)上恒成立，故〃尤)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

故〃x)>〃O)=l-0-1=0,故/「煞20222022

_e_2023-1>0,

2023

一些202211

即e2023>l-^±±=—即a〉

202320232023

令g(x)=%-sinx,則g〈x)=l-cosxNO,故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

^g||=———sin^—>g(0)=0-0=0,^a>c.

(2023)20232023v7

☆〃(x)=sinx—ln(x+l),0<x<l,

1G?2%、1O

則”(x)=cosx-----1---=1-2sin---------1-->l-2x

x+121+x

(

_111x2+x)(l-x)

>0在(0,1)上恒成立,

21+x2(l+x)

故MH在(o,i)上單調(diào)遞增，

又/z(O)=sinO-lnl=O,故彳意)>〃(0)=0,

,.1,r2024)I

故+sm------>ln-------,即Hcn>b,

2023{2023)

故有a>c>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)幫助比較大小，對(duì)。與。，可通過(guò)構(gòu)造/(x)=e，-x-l,

從而比較°與盛的大小關(guān)系’構(gòu)造g(x)=x-"nx’從而比較。與毒的大小關(guān)系，可得.與0的大小關(guān)

系，通過(guò)構(gòu)造〃(無(wú))=sinx-ln(x+l)可比較b與c的大小關(guān)系.

(1012^2023(1013Y°25

3.(2024?山西?二模)設(shè),b=儂，則下列關(guān)系正確的是()

U011JU012J

A.e2<a<bB.e2<b<aC.a<b<e2D.b<a<e2

【答案】B

L1由題意可得Ina=20231nj(=(2x1011++"、「)、InZ?=2025In——=(2x1012+1)ln(l+-—),構(gòu)造函數(shù)

12x

/(%)=(2x+1)ln(l+-)=(2x+l)[ln(x+l)-lnx](x>1)、h(x)=ln(x+1)---------(x>0),利用導(dǎo)數(shù)討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性

%x+2

可得。>6、b*,即可求解.

【詳解】In?=2023In=(2x101l+l)ln(l+^yj),

ln6=20251n竺竺二(2xl012+l)ln(l+二一),

10121012

設(shè)函數(shù)/(x)=(2x+1)ln(l+—)=(2x+l)[ln(x+1)-Inx](x>1),

x

貝ljr(x)=21na+l)-21nx+(2x+l)(±-》=21n(l+}-金.(：+!)

X

、Y24-9V則"—<。,

設(shè)g(%)=21n(l+x)-----------(0<x<1),

1+x

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，且g(x)<g(0)=0,即/'(x)<0,

所以/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則/(1011)>/(1012),即lna>ln6,所以a>b.

2

2x貝"(x)=±一4x

設(shè)〃(x)=ln(x+1)---------(x>0)2>0,

x+2(x+2)(x+l)(x+2/

所以〃(X)在(0,+co)上單調(diào)遞增，且〃(1)>〃(0)=0,

X

21

1—12(2x+l)ln(l+-)-2/?/

即ln(l+l)--^=ln(l+l)——=----------------—=ZWZ￡>0,

x1x2x+l2x+l2X+1

---rZ0

X

得了(x)>2,所以/(1012)>2,gp]nb>2,解得b〉。？.

綜上，e2<b<a-

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.

4.(2024?安徽?三模)已知a=e"，6=ln(e7t-2e),c=7i-2,則()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ei-x,利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得。、。之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得6、。之間大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】由a=eM3,6=in(e7i_2e),

即a=e("-=ln(e7i-2e)=ln(7t-2)+l,

令=ex-1-x(x>1),

則/'⑺=尸-1>0在(1,+8)上恒成立，

故在(1,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

則有/(n_2)=6(7尸_(兀_2)>/(1)=0,即a>c,

令g(x)=lnx-x+l(x>1),

11_

貝Ug'(x)JT=—r<0在(1，+⑹上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞減，

貝U有g(shù)(7t-2)=ln(rt-2)+l-(7i-2)<g(l)=0,即b<c,

故bv°va.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造出函數(shù)/(x)=ei-x、g(x)=lnx-x+1,以比較。、c與b、c

之間大小關(guān)系.

11111

5.(2024?安徽蕪湖?三模)—,6=ln—,c=—.e11,則()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先構(gòu)造函數(shù)〃x)=e;x-l,利用導(dǎo)數(shù)證明e">L+i,則

11、

1>±xl1l1010XX

—e,ii+x+1,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)+1xe(0,1)),利用

111111x+llx+1

—+1—+1

10<107

導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較瓦C,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=/-xe，(O<x<l),利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即

1—X

可比較a，c,即可得解.

【詳解】令/(x)=e，一x-l,貝i]/'(x)=e，T,

令尸(x)>0,貝廉>0,

所以函數(shù)〃無(wú))在(0,+/)上單調(diào)遞增，

所以出/\11

>/(0)=0,即e"〉R+l,

1'1、

1-1記”手-+1

所以。=仃心|>lxl+l

Li

1111—+1

10<107

而X*=ln』1+l,

10

令g(x)=M(x+l)-

2

1Xx-x

則一—+1

(X+IfX+1(x+l)3(X+1)3'

當(dāng)0vxvl時(shí)，gr(x)<0,

所以函數(shù)g(“在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以g1<g(O)=O,

即_^Q_X-1^-+1>1O所以c〉b,

—+1—+1W)

io<io)

1

11

令/z(x)=------xex(0<x<1),

1-x

11-：3-x2-xje

貝11"(x)=^7^_(X+1)d=——

(if

令0(x)=x3-x2-x(0<x<l),貝ij0'(x)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),

當(dāng)0vxvl時(shí)，°'(x)<0,

所以函數(shù)0(x)在(o,l)上單調(diào)遞減，

所以0(x)<°(0)=0,

1-(x3-x2-x)ex

即當(dāng)Ovxvl時(shí)，"'(x)=------1—>0,

(1)

所以函數(shù)〃(無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以彳A

>〃(0)=0,

1

即」VJe

11,所以a〉。，

1-111

11

綜上所述，b<c<a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造g(x)=ln(x+l)-G(0,1))和/z(x)=/匚一xe"(0<x<l)兩個(gè)函數(shù),

x+i1x+lj1—X

是解決本題的關(guān)鍵.

-,&=21n[sin—Icos±L|ln|,則a,6,c的大小關(guān)系是()

6(2024?湖北武漢?二模)設(shè)。=+

5I1010J

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(x)=x-sinx、g(x)=x-ln(x+l)和/!(x)=x-gln(x+l),其中xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)得到它

們的單調(diào)性即可比較出三者大小關(guān)系.

2

【詳解】由已知可得b=21n(sin'+cos，=MsJ+cJ

I1010(1010

設(shè)/(x)=x-sinx,XG(0,1),貝/'(x)=l_cos%〉0,

所以/(%)=%-sinx在(0,1)上單調(diào)遞增,

I>/(0)=0,Ep1|>sin1|,所以b=ln[l+sing)<ln(l+g1),

所以/

555

,1y

設(shè)g(x)=x-ln(x+l),xe(0,l),貝i]g'(x)=l-----=——>0,

x+1x+\

所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以gg]>g(0)=0，即!>山(1+口>11111+5也!],

綜上a>6,

設(shè)7z(x)=x—￡ln(x+l),xe(0,l),則〃(x)=l--J='二1,

55x+5x+1

當(dāng)xe]o,(卜寸，h\x)<0,當(dāng)時(shí)，”(x)>0,

所以〃(x)=x-gln(x+l)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以〃&]<貼)=0,Bpl<|ln^l+^=|ln|,所以a<c,

所以Z?<Q<C

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先對(duì)b進(jìn)行合理變形得6=ln(l+sin$,再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)

/(x)=x-sinx、g(x)=x-ln(x+l)和A(x)=x--|ln(x+l),利用它們的單調(diào)性即可比較三者大小關(guān)系.

考點(diǎn)二、不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

放縮法

因?yàn)閤+l<e'<L(x<l),

1-X

所以<0.1x-^=』=b,即a<b

1-0.11-0.19

因?yàn)镮nx<L(x-工)(x>1),

2x

所以c=—ln0.9=ln”<L(W—2)=12_<O,11<。，即c<。

92910180

綜上所述：c<a<b,故選：C

3111

2.(2022,全國(guó),統(tǒng)考jWj考真題)已知a=二,6=cos：,c=4sin：,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由石c=4tan^結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b;構(gòu)造函數(shù)/(XHCOSX+D——1,%￡(0,+力),利用導(dǎo)數(shù)可

得A>a,即可得解.

【詳解】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)工tanx

c1c

故廠故g"所以c*

設(shè)/(x)=cosx+^-x2-1,XG(0,+oo),

/'(x)=-sinX+X＞。所以f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

故小口＞/(0尸o,所以cos9-2＞0,

⑷432

所以b＞。，所以。＞6＞Q,故選/

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)工￡［0，Dsinx＜x,

取1」得：cos—=l-2sin2—>l-2f—=—,故…

848⑻32

4sin；+cos；=VF7sin［；+o］,其中夕，且sinO=^y，cos0=^y

當(dāng)4sin；+cos；=VT7時(shí)，；+0=T

止匕時(shí)sin—=cos0=—；=,cos—=sin0=—；=

4V174V17

.114.1.1

^cos-=-=<-==sm-<44sm-,故b<。

47r17Vr1744

所以b＞。，所以。＞6＞Q,故選4

［方法三］:泰勒展開(kāi)

,幾向3110.252,110.2520.254

ixx—0.25,貝Ici———1---------,b—cos—~1-----------1--------，

322424!

.\_

Sln24

A.17?0.250.25、|田,曰7,小斗

c=4sm-=-^—^l-+~>計(jì)算得c>b〉Q,故選A.

4

［方法四卜構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)椤?4tan,，因?yàn)楫?dāng)x￡(0,=］,sinx<x<tanx,所以tan，〉,，即,所以c>b；設(shè)

b4<2J446

/(x)=cosx+^-x2-1,xG(0,+oo),/'(x)=—sinx+x〉0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則/(；［〉/(0)=0,所

131

以COS-------->0,所以%>、所以C>b>Q,

432

故選：A.

［方法五卜【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椤?4tan^,因?yàn)楫?dāng)xe(0,=],sinx<x<tanx,所以tan」>工,即￡>1,所以c>6；因?yàn)楫?dāng)

b4V2)44b

xe(0，M，sinx<x,^x=^#cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故人。，所以c>6>a.

I2j848(8)32

故選：A.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見(jiàn)思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,])sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

即0唧(

1.(2024?甘肅隴南?一模)若=貝|()

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用e>2.7,結(jié)合募函數(shù)的單調(diào)性判斷得c>6,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=e=x-l,推得丁L>e，(O<x<l),

從而推得a>c,由此得解.

【詳解】因?yàn)閑2>2/2>7,所以。=6°2=[2)">7°」=6；

令g(x)=e*-x-l,則g，(x)=e"-l,

當(dāng)x>0時(shí)，g，(x)>0,則g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時(shí)，g，(x)<0,則g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

所以g(x)2g(O)=O,故e>2x+l,

則『--x+l,即4Nl-x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

e

當(dāng)+BP0<x<1,有>ex,

1-x

從而有C=e0'2<]:2=：=Q；

綜上，a>c>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見(jiàn)的重要不等式：

(1)lnx<x-l；(2)ex>x+1.

71_2

2.(2024?遼寧?一模)設(shè)。=—,6=2—”，。=1一?'貝|()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式e、2x+l,可得6<a,c<。；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得，則c<b,即

可求解.

【詳解】對(duì)于函數(shù)“x)=e，-x-1,/'(x)=e，一1,

令f\x)<0=>x<0,/X%)>0=>x>0,

所以函數(shù)f(x)在(-叫0)上單調(diào)遞減，在(0,+?)上單調(diào)遞增，

所以〃x)mm=/(0)=0,則/(x)20,即e-x+l.

112222

以6=2-<2—(―+1)=y,c=1—e弓<1—(—―+1)=—.

12--1l~T~2-

由e?<8,得晟<8、2,所以2<彳，則1+―=1+不>2==下>叫

-e3e3Ve3e3

所以即c<6.

所以c<b<a,

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：

(1)利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，

(2)利用中間值"1"或"0"進(jìn)行比較，

(3)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

3.(2024?山東威海,二模)設(shè)a=，/>=In1,21,c=10sin,貝。()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

【答案】B

【分析】令g(x)=x-sinx,求導(dǎo)可證明x>sinx,進(jìn)而可得lOsin看<10x焉=(,可判斷a>c,令

/(x)=x-ln(l+x)2=x-2ln(l+x),求導(dǎo)可證無(wú)<21n(l+x)=InQ+x)?,令無(wú)可判得a<6.

【詳解】令g(x)=x-sinx,可得g'(x)=l-cosx20,所以g(x)=x-sinx在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0),所以x>sinx,

所以10sin---<10x---=—,所以a>c,

10010010

2Y-1

令/(x)=x-ln(l+x)2=x-2ln(l+x),求導(dǎo)可得/r(x)=1-----=----,

x+1x+1

當(dāng)o<xvi,r(x)<of所以/(%)單調(diào)遞減，所以/a)v〃o),

即x-2ln(l+x)<0-2In1=0,所以x<2ln(l+x)=ln(l+x)2,

令X=',可得$<ln(l+0.1)2=lnl.21,即a<6,

所以cvqvb.

故選：B.

4.(2024?貴州遵義?三模)設(shè)°=12110.01,6=lnl.01,。=擊，則下列關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-士,利用導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，即可比較6,構(gòu)造函數(shù)

g(x)=ln(l+x)-x,xefo,^1,力(x)=x-tanx,xe[0,1J,即可比較a,6,即可得解.

110.01

【詳解】6=lnl.01=ln(l+0.01),,一而-100+1-1+0.01

令/('=如(1+尤)-X

1+X

則小卜士一號(hào)=忘>。,

所以函數(shù)/（X）在（0,3上單調(diào)遞增,

所以〃0.01)>〃0)=0,即In(1+0.01)所以6>c,

☆g(x)=ln(l+x)-x,xe(0,1J,

1y

貝Ug'(x)=;-----1=--一<0,

1+X1+X

所以g（x）在臼上單調(diào)遞減,

所以g(0.01)<g(o)=0,即111(1+0.01)<0.01,

令/z(x)=x-tanx,無(wú),則l(x)=]_cosx'sin苫=』春<0,

I2)cosx

所以函數(shù)“X)在(0,號(hào)上單調(diào)遞減，

所以〃(0.01)〈〃⑼=0,即0.01<tan0.01,

所以ln(l+0.01)<tan0.01,即b<a,

綜上所述，c<b<a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)〃無(wú))=ln(l+x)-g(x)=ln(l+x)-,

=x-tanx,xe[0,5),是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2023?河南?模擬預(yù)測(cè))實(shí)數(shù)x,y,z分別滿足無(wú)2。22=e,2022〉=2023,2022z=2023,則x,y,z的大

小關(guān)系為()

A.%>>>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

【答案】B

【分析】根據(jù)已知即Le七，>=1。82。222023,z=構(gòu)選函數(shù)/(*)=叱確定其在(e,+8)上單調(diào)

人一G2022x

遞減，可得z>兒又設(shè)〃(x)=e=x-l,其在xe(o,+s)上單調(diào)遞增，所以得x=e全>黑=2.

【詳解】解：由已知得圭，7=log2o222023,z=

設(shè)/(x)=—,/(乃=匕■照，當(dāng)xe(e,+s)時(shí)，f'(x)<0,

XX

所以/(x)=也在(e,+8)上單調(diào)遞減，因此/(2023)</(2022),

X

In2023In20222023In2023=l°g022

即------<-------所以22023,z>y;

202320222022In2022

f%

又設(shè)=-x—1,/z(x)=e-1,當(dāng)XE(0,+8)時(shí)，力'(%)>0,

所以〃(x)=e"-x-1在x￡(0,+8)上單調(diào)遞增，

因止匕4(—1—]=e圭一一!——1>"0)=0,所以e^>—+1=-,則x>z；

U022J2022I720222022

綜上得x>z>九

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：

1.通過(guò)找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒(méi)有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可以通過(guò)引入一

個(gè)常數(shù)作為過(guò)渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系.

2.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函數(shù),

然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過(guò)自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造

的函數(shù)還需要通過(guò)放縮法進(jìn)一步縮小范圍.

考點(diǎn)三、構(gòu)造函數(shù)解決其他綜合問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))已知/(x)為函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有“X)-礦(x)>0

恒成立，則下列不等式一定成立的是()

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=￡?,x>0,求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立尸的不等關(guān)系,

以及尸(gj,尸(1)的不等關(guān)系，整理化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】令尸(司=產(chǎn)戶>0,則尸

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有/(x)-號(hào)'(x)>0恒成立，

所以當(dāng)x>o時(shí)，尸，⑴「⑴,⑺<0,

即尸(x)在(0,+功上單調(diào)遞減，

所以尸即，)<4),即A錯(cuò)誤，B正確，

24

/］，>尸(1),即半，即CD錯(cuò)誤.

2

故選：B.

ba

2.(23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí))已知。，b為正數(shù)，且2〃<b,a=b,則()

A.a2>bB.b2<a

C.a+b>6D.a+b<6

【答案】c

Iny

【分析】由/=/,構(gòu)造函數(shù)/(x)=T，求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，根據(jù)已知條件2a<6,判斷選項(xiàng).

?、4e、-h-ln〃\nb、"、Inxe八〃、1-lnx

【詳斛】由/=6",可知---=——，設(shè)n/(》)=，則/(%)=2-'

abxx

令/'(x)=。，則x=e

當(dāng)0<x<e時(shí)，/\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X〉e時(shí)，r(x)<0,“X)單調(diào)遞減，且/(2)=/(4),

故當(dāng)2a<b時(shí)，貝!J1VQ<2,b>4,

故/<6,b2>a且當(dāng)Q-1時(shí)，bf+oo,故。+6〉6,只有C滿足要求.

故選：C

3.(2024廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ae'+ln」-2,若〃x)>0恒成立，則正實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【答案】C

【分析】不等式整理為(x+lnaHeX'+Alnq+ZHem(哂