對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習學案（新高考）

第04講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

（含對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）

（8類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2024年新II卷，第8題,5分由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)不等式恒成立問題

對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2021年新II卷，第7題,5分比較對數(shù)式的大小無

2020年新I卷，第12題,5分對數(shù)的運算隨機變量分布列的性質(zhì)

2020年新II卷，第7題,5分對數(shù)函數(shù)單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題?？純?nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5-6

分

【備考策略】1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，熟練指對互化，能用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或

常用對數(shù)

2.了解對數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

3.熟練掌握對數(shù)函數(shù)^=108“》伍〉0且。/1）與指數(shù)函數(shù)^=罐（。〉0且。01）的圖象關(guān)

系

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容通常會考查指對累的大小比較、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點備

考復習

知識點1對數(shù)的定義

知識點2對數(shù)的分類

知識點3對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

知識點4對數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

知識點5對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點1對數(shù)的運算

考點2對數(shù)函數(shù)的定義域

考點3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點4對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

核心考點考點5對數(shù)函數(shù)的值域與最值

考點6對數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

考點7對數(shù)函數(shù)值的大小比較(含構(gòu)造函數(shù)比較大小)

考點8對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

知識講解

1.對數(shù)的運算

(1)對數(shù)的定義

如果a*=N(a〉O且awl),那么把龍叫做以a為底，N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù)

(2)對數(shù)的分類

一般對數(shù)：底數(shù)為a>0,且。力1,記為log。N

常用對數(shù)：底數(shù)為10,記為IgN,gp：log10x=1gx

自然對數(shù)：底數(shù)為e(e^2.71828…)，記為InN,即：logex=Inx

(3)對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

①兩個基本對數(shù)：①log"1=0,②log“a=1

②對數(shù)恒等式：①a'。"=N，②log,/=N。

,,log"IgblnZ)

③換底公式：log?b=-----=--=-—；

logfaIgama

推廣1：對數(shù)的倒數(shù)式logflb=——nlogflb?logba=1

10gz.a

推廣2：logflblogfeclogca=l=>logflb10gziclogcd=logfld。

④積的對數(shù)：log“(〃N)=logaM+log°N；

⑤商的對數(shù)：log。W=log”M—log。N；

⑥幕的對數(shù)：?log“A"'=機log“b,?log?Z）=-logZ）,

ana

m—n

m

?log."b"'=—logflb,?log”b=log"b

na7

2.對數(shù)函數(shù)

（1）對數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

形如：y=logax（a〉0且awl,x〉0）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)

（2）對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<Q<1

yA1

圖

象二

O!(1,0)X

定義域：（0,+8）

值域：R

性當x=l時，了=0即過定點（1,0）

質(zhì)當0cx<1時，yG(-00,0)；當x>l時，ye(—oo,0)；

當x>l時，ye(0,+co)當0<x<l時，ye(0,+oo)

在（0,+co）上為增函數(shù)（5）在（0,+oo）上為減函數(shù)

3.對數(shù)型糖水不等式

⑴設(shè)n&N+,Kn>l,則有l(wèi)og?+1?<log?+2(?+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>Q,則有l(wèi)ogfl6<logfl+m(Z)+m)

⑶上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>T,m>0,則有l(wèi)ogfca>logA+m(a+m)

考點一、對數(shù)的運算

典例引領(lǐng)

1.(2024?重慶?三模)已知a=log25,8=5",則必=.

2.(2024?青海?模擬預測)若a=log35,5b=6,則M-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

”,t滿足5叫=7"=/且,+1=2,則，=

3.（2024?四川?模擬預測）若實數(shù)加，

mn

A.2GB.12C.MD.V35

即

2

1.（2024?河南鄭州?三模）己知log/+410g/=4,則￡_的值為_________

2b

115

2.（2024?全國?|Wj考真題）已知且■]；~7=—,貝U.

3.(2024?遼寧丹東?一模)若*3,N=5,5c=4,則log4abe=()

]/?

A.-2B.-C.—D.1

22

考點二、對數(shù)函數(shù)的定義域

典例引領(lǐng)

1.（2024?河南?三模）函數(shù)/（x）=Jln（l-x）的定義域為（）

A.（-oo,0]B.（-8,1）C.[0,1）D.[0,+oo）

即0唧（

1.（2023?廣東珠海?模擬預測）函數(shù)"x）=lg（2x-l）的定義域是（）

A.B.五]C.卜詞D-[r+0°

2.（2024?青海海南?二模）函數(shù)/3=坨（1°一.的定義域為（）

A.（-Vi（）,VTo）B.（-oo,-Vw）u（Vio,+oo）

c.[-Vio,Vio]D.（-Vio,o）u（o,Vio）

考點三、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)①y=logax；②y=logbx；③y=logcx；④y=logdx的大致圖象

如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）

A.a+cVb+aB.〃+dV6+c

C.b+cVa+dD.b-\~d<a+c

2.（2024?廣東深圳二模）已知。>0,且則函數(shù)y=log，x+j1的圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

3.2024?陜西渭南?二模）已知直線2機x+即一4=。（m>0,〃>0）過函數(shù)歹=log。（％—1）+2（〃〉0,且awl）

的定點T,則2+9的最小值為.

mn

即時削

L（2。24高三?全國?專題練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)尸?，尸噫（x+1）（4。，且"）

2.（2024?全國?模擬預測）若函數(shù)y=log.（x-2）+l（a>0,且aH1）的圖象所過定點恰好在橢圓

—+—=1(機>0,〃>0)上，則〃7+"的最小值為.

mn

考點四、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（遼寧?高考真題）函數(shù)y=l°g2（/-5x+6）的單調(diào)減區(qū)間為（）

2

A.l展+力B.（3,+oo）C.（一00'，］D.（—oo,2）

2.（2024?江蘇南通?模擬預測）已知函數(shù)/5）=111（辦+2）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.a<0B.—l〈a<0C.—1<a<0D.1

—X2—2ax—ax<0

XI,八'八在R上單調(diào)遞增，則Q的取值范圍是（）

1ex+ln（x+l）,x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

4.（2024?北京?高考真題）已知（國,必），（%,%）是函數(shù)了=2,的圖象上兩個不同的點，貝IJ（）

西+x

A.B.2

2

C.log%<玉+、21Pi+%

2D.log2>x[+x2

1.（23-24高三下?青海西寧?開學考試）已知函數(shù)/（x）=lg（/+"+l）在區(qū)間（-*-2）上單調(diào)遞減，貝Ijq的

取值范圍為.

2.（2022高三?全國?專題練習）函數(shù)〃x）=l°gj-2/+3X+2）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

5

3.（23-24高三上?甘肅白銀,階段練習）已知/（力=4"一1）二2。,龍,1是區(qū)上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)。的

〔log“x,x>l

取值范圍為.

考點五、對數(shù)函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

L（山東?高考真題）函數(shù)〃幻=1幅（3、+1）的值域為（）

A.（0,+co）B.[0,+co）C.（1,+s）D.[l,+00）

2.（22-23高三上?河北?階段練習）已知函數(shù)/（x）=lg（辦2-6x+5）的值域為R,那么。的取值范圍

是.

3.（23-24高一下?上海閔行?階段練習）函數(shù)了=bg/x+2）-x2,xe[2,6]的最大值為.

2

即時性測

1.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（切=的工+工廣€[1,6]的值域為.

2.（2023高一?全國?課后作業(yè)）函數(shù)＞=108//一6》+17）的值域是.

2

3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=log2X（lW無＜4）,則函數(shù)g（x）=口+了⑺1+/1）的值域

為.

考點六、對數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

L（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=logz（值二-x）是奇函數(shù)，則。=.

2.（23-24高一上?安徽阜陽?期末）若函數(shù)"xhMe'-eTH'lnk+GTIj+l（加，"為常數(shù)）在[1,3]上

有最大值7,則函數(shù)“X）在卜3,-1[上（）

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

3.（2024?江蘇泰州?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=log2，-3]+b,若函數(shù)的圖象關(guān)于點（1,0）對稱，

則log/=（）

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

即時性測

1.（22-23高二下?江西上饒?階段練習）已知函數(shù)/'（司=丁_111（7?71-@+3,xe[-2023,2023]的最大值為

M,最小值為加，則河+加=.

2.（2024?寧夏銀川?二模）若/'（x）=lna+J-+6是奇函數(shù)，貝昉=_____.

I-X

考點七、對數(shù)函數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大小）

典例引領(lǐng)

0,3

1.（2024?天津?IWJ考真題）若。=4.2一°3,b=4.2,c=log420.2,則〃，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

0.7,1

2.（2022?天津?高考真題）已知Q=2°,，bc=log-)則（)

I2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.（2022,全國,jWj考真題）設(shè)a=0.1e"」,6=§,c=-ln0.9,貝!!()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.（2021,全國,|Wj考真題）設(shè)Q=21nl.01,Z>=lnl.O2,c=VfO4-l.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

即時檢測

1.（2021?天津考真題）設(shè)a=log"3,b=k>gi0.4,c=0.4。二則公》c的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

已知。=logs2,6=log3,c=g,則下列判斷正確的是（）

2.（2021?全國伺考真題）8

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

若a=片

3.（2024?全國?模擬預測）b=log147,c=log126,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

51

4.（23-24高三上?河北保定?階段練習）設(shè)a=log34,b=log080.7,c=1.02,則a,6,c的大小關(guān)系為

)

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

1012202310132025

5.（2024?山西?二模）設(shè)°=I,b=I,則下列關(guān)系正確的是（）

ion1012

A.e2<a<bB.e2<b<aC.a<b<e2D.b<a<e2

考點八、對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知夕"=10,a=l（T-ll,6=&"-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

1.比較大?。簂og74與log96?

=log2（）24（）

2.（2024?重慶?模擬預測）設(shè)a2023,b=log20232022,c=log020240.2023,貝?。?/p>

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

『I好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?河北衡水三模）已知集合/={123,4,5},S=|x|-1<Ig（x-l）<||,則（）

A.B.{2,3,4}C.{2,3}D.卜

2.（2024?貴州貴陽?三模）已知。=4°3,6=（1084。）4,。=1。84（1084。），貝！I（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

1

3.（2024?天津濱海新?三模）已知〃=2臉。％6=log042,c=-———,則（）

l°go.3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

4.（2024?江蘇宿遷?三模）己知函數(shù)〃x）為R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/?=jlog2x-l,貝lj/（-孤）

（）

5.2024?河北滄州?模擬預測)直線x=4與函數(shù)〃x)=logax(?>1),g(x)=log.x分別交于43兩點，且|明=3,

2

則函數(shù)〃(月=〃幻+8@)的解析式為()

A./z(x)=-log2xB.A(x)=-log4x

C.A(x)=log2xD./7(x)=log4x

6.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)函數(shù)N=cosx與^二炮國的圖象的交點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

7.(2024?四川成都?模擬預測)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足〃x+3)=/(x-l),且當xe(-2,0)時，

/(x)=log2(x+3),則/(2021)-/(2024)=()

—

A.1B.—1C.1lo§2D.—1—log23

二、填空題

8.(2024?湖北?模擬預測)若函數(shù)〃x)=ln(e2，-q)-x(xeR)為偶函數(shù)，貝巾=.

9.(2024?吉林,模擬預測)若函數(shù)/(x)=ln(ox+l)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍

為.

2X—Ax

ee

10.(2024?四川成都?三模)函數(shù)/(x)=ln3的圖象過原點，Mg(x)=-+f(x)+m,若g(a)=6,

則g(-a)=.

能力提?

一、單選題

1.(2024?黑龍江?模擬預測)設(shè)函數(shù)/(工)=111|'-4|在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，貝匹的取值范圍是()

A.(—8,3]B.(—8,2]C.[2,+co)D.[3,+oo)

2.(2024?山東荷澤?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ln言等1一2(加>0)是定義在區(qū)間(。,6)上的奇函數(shù)，則

實數(shù)6的取值范圍是()

A.(0,9]B.(0,3]C.[o]D.

3.(2024?河北?三模)已知6,ce(l,+s),黑，卜怨,~=~，則下列大小關(guān)系正確的是()

aInlObml1clnl2

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

4.(2024,廣西貴港?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=log4(4"+l)-gx,若/'(a-1)V/(2a+1)成立，則實數(shù)。的取

值范圍為（）

44

A.（—8,—2]B.（―8,—2][0,+8）C.[—2,—]D.（—oo,-2]U,+°o）

722

5.（2024?湖北黃岡?模擬預測）已知〃=ln《，6=cos-,。=丁則。也。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

'_<3

,、4-4J4

6.（2024?陜西安康?模擬預測）已知函數(shù)/（x）="XX"43是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍

loga（4x）-l,x>-

是（）

A.（0,1）B.（1,V3]C.（1,V3）D.（1,3）

7.（2024?河北衡水?模擬預測）設(shè)。>0,若函數(shù)（值71-x）是偶函數(shù)，則。=

（）

3

A.yB.-C.2D.3

2

173

8.（2024.湖北黃岡?二模）已知a,b,c,d分別滿足下列關(guān)系：16-=15,i=log16,logc=-,J=tan-,則

17而15162

a,b,c,d的大小關(guān)系為（)

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

二、多選題

(、f0,0<x<1

9.(2024?山東荷澤?模擬預測)已知函數(shù)/x=?、，，若a>8>0,且就21,則下列關(guān)系式一定成

[Inx,尤>1

立的為()

A.f[ab^=bf(a)B.f(ab)=f(a)+f(b)

C.f^\>f(a)-f(b)D.f(a+b)<f(a)+f(b)+\n2

三、填空題

10.（2024?陜西西安?模擬預測）函數(shù)y=log.x+a“T+2（a>0且"1）的圖象恒過定點化與，若

m+n=b-kS.m>0H>0,貝|—+—的最小值為.

fmn

真題感赳

115

1.（2024?全國?|Wi考真題）已知〃〉1且^；7=一不，則。=_____

log8?log.42

2.（2024?全國高考真題）設(shè)函數(shù)/（工）=（工+〃）山（工+6）,若八?20,則/+〃的最小值為（）

￡1

A.B.一D.1