浙江省紹興市2025屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

2024年11月紹興市選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題本科試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，全卷共6頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)，非選擇題部分3至6頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即得答案.【詳解】解不等式，得，即，又，故，故選：A2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：B.3.已知，，則（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，然后兩式相減、兩式相加各得一個(gè)等式，再讓這兩個(gè)等式相除并化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】,,兩式相減得,兩式相加得,所以,即,故選：B.4.已知向量，，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念即可求得.【詳解】因?yàn)?，則，，則在方向上的投影向量為：.故選：C.5.如圖，圓柱的底面直徑為3，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，，分別為該圓柱的上、下底面的直徑，且，則三棱錐的體積是（）A.24 B.18 C.12 D.6【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，證得平面，利用三棱錐的體積計(jì)算即可.【詳解】如圖：過(guò)上底面中心，作與下底面直徑平行的直線(xiàn)，連接，，則且，因?yàn)?，所以，根?jù)圓柱的性質(zhì)可知，平面，則有，則，，又，，平面，所以平面，所以．故選：D．6.已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，由題意可知,進(jìn)而可得，進(jìn)而可知直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，得到韋達(dá)定理，由得，代入求解即可.【詳解】設(shè),依題意：,所以直線(xiàn)AB的方程為：,即,聯(lián)立,得所以,因?yàn)?所以,即,解得故選：C.7.已知函數(shù)，且是的極小值點(diǎn)，則可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)依次判斷是不是的極小值點(diǎn)即可.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以不是的極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以不是的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂(lè)設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為110m，均勻設(shè)置有48個(gè)座艙（按順時(shí)針依次編號(hào)為1至48號(hào)），開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30min.甲、乙兩戶(hù)家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號(hào)座艙，乙家庭坐上了號(hào)座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)，10min內(nèi)（含10min）出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高度一樣的情況，則的最小值是（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高度一樣，借助對(duì)稱(chēng)性求出，再結(jié)合兩個(gè)相鄰座艙對(duì)應(yīng)弧所對(duì)圓心角即可得解.【詳解】設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高度一樣，，只需考查旋轉(zhuǎn)的第一周內(nèi)即可，而摩天輪的座艙每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)，則乙家庭的座艙轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，摩天輪的兩個(gè)相鄰座艙中點(diǎn)間的圓弧所對(duì)圓心角為，甲家庭的座艙轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，依題意，甲乙兩戶(hù)家庭的座艙關(guān)于摩天輪垂直于地面的軸對(duì)稱(chēng)，則，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是17.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨著農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的持續(xù)推進(jìn)，中國(guó)農(nóng)業(yè)連年豐收，農(nóng)民收入持續(xù)增加，農(nóng)村活力不斷增強(qiáng)，鄉(xiāng)村全面振興的美好藍(lán)圖變成現(xiàn)實(shí).某地農(nóng)科院為研究新品種大豆，在面積相等的塊試驗(yàn)田上種植一種新品種大豆，得到各塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：），并整理得下表：畝產(chǎn)量頻數(shù)則塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)中（）A.中位數(shù)低于 B.極差不高于C.不低于的比例超過(guò) D.第百分位數(shù)介于至之間【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差和百分位數(shù)的定義直接判斷即可.【詳解】由題知，共塊，所以其中位數(shù)為第和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表格知，這兩個(gè)數(shù)據(jù)均在內(nèi)，故A錯(cuò)；由表格知，極差最大為，故B正確；由表格知，不低于的比例為，C正確；因?yàn)?，所以第百分位?shù)為排序后第個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表格知，這兩個(gè)數(shù)據(jù)均在內(nèi)，所以第百分位數(shù)介于至之間，D錯(cuò).故選：BC10.下列各組函數(shù)的圖象，通過(guò)平移后能重合的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】ACD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可判斷A；根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不同可判斷B；利用指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算法則可判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，故A正確；對(duì)于B，易知在上單調(diào)遞增；對(duì)于，，令，得，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以不能通過(guò)平移由得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將的圖象向上平移個(gè)單位后得到的圖象，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱錐中，，，是底面內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)到該三棱錐三個(gè)側(cè)面的距離之和為定值B.頂點(diǎn)，，到直線(xiàn)的距離的平方和為定值C.直線(xiàn)與該三棱錐三個(gè)側(cè)面所成角的正弦值的和有最大值D.直線(xiàn)與該三棱錐四個(gè)面所成角的正弦值的平方和有最大值【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后分別計(jì)算每一個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，設(shè)，平面的一個(gè)法向量，顯然，所以有，令，得，所以，所以有，顯然所以，點(diǎn)到面的距離為；點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為因，故選項(xiàng)A正確；由題可知，易知點(diǎn)A到的距離，同理，，，所以，故選項(xiàng)B正確；到平面的夾角的正弦值為；到平面的夾角的正弦值為；到平面的夾角的正弦值為顯然三個(gè)線(xiàn)面角的正弦值的平方和等于，可以垂直平面,所以與三棱錐的四個(gè)面的線(xiàn)面角的平方和最大值為2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；與三個(gè)側(cè)面的線(xiàn)面角之和為，因?yàn)?，所以有，其中表?為到平面的距離，所以，所以的最大值為，故選項(xiàng)C正確；故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，我們需要利用平面的法向量找到點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后計(jì)算即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】60【解析】【分析】先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,再令的指數(shù)為0,解出,進(jìn)而可求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式：.令-6=0，解得r=4．∴的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為:=60．故答案為60．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題.13.若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與圓相切，則________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，再利用圓的性質(zhì)求出值.【詳解】由，求導(dǎo)得，則，因此曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，即，由直線(xiàn)與圓相切，得，所以.故答案為：14.已知數(shù)列中，等可能取，0或1，數(shù)列滿(mǎn)足，，則的概率是________.【答案】【解析】【分析】由，得到，再結(jié)合古典概率模型即可求解.【詳解】由題意可得：，，，，若，則，各隨機(jī)從，0或1選一個(gè)，共有種情況；若，可分：都取0，一種情況；，兩個(gè)取0，一個(gè)取1，一個(gè)取，共有,，兩個(gè)取1，兩個(gè)取，共有,共計(jì)19種情況，所以的概率是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）設(shè)是的中線(xiàn)，若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形角度關(guān)系與三角恒等變換轉(zhuǎn)化即可得角的大?。唬?）在中由余弦定理得邊的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦定理求邊即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)椋?，整理得，又因?yàn)?，所以，所以，?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理，可得，解得或（舍），即在中，由余弦定理可知，解得.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的值域；（2）若存在，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，即可得到函數(shù)相應(yīng)區(qū)間的值域；（2）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性，即可得到符合條件的參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增.因?yàn)?，，，且，所以的值域?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?①若，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以，不符合題意.②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，要存在，當(dāng)，，則只需，所以.17.在四棱錐中，底面為菱形，，，，.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，則易知是正三角形，通過(guò)勾股定理證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證明.（2）根據(jù)題意，是二面角的平面角，再以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量與空間角的關(guān)系列式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋允钦切?，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，又，平面所以?所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】解法1：因?yàn)椋允嵌娼堑钠矫娼?，?在中，，解得.如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.所以，所以，所以直線(xiàn)BC與平面PAB所成角的正弦值為.解法2：因?yàn)?，所以是二面角的平面角，?在中，，解得.所以，所以，且，取PB中點(diǎn)F，連接,在等腰直角三角形中，，同理，所以，所以，又，所以平面，所以即為直線(xiàn)AD與平面所成角，又，而，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)間的距離為.（1）求的方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上.（i）若的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；（ii）若的重心在軸上，求的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到和求解即可；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元，得到，利用韋達(dá)定理得到，，小問(wèn)（i）根據(jù)重心為原點(diǎn)得到點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出的值，進(jìn)而得到直線(xiàn)的方程；小問(wèn)（ii）設(shè)，方法同（i），得到點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到，利用求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，即，又，解得，，，所以的方程；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)Ax1,y1，Bx2因?yàn)榈闹匦臑樵c(diǎn)，所以，所以，又，代入，可得，解得，所以直線(xiàn)方程是.（ii）設(shè)，由（i）可知，，代入，可得，解得，所以.所以，且，所以.19.維向量是平面向量和空間向量的推廣，對(duì)維向量，記，設(shè)集合.（1）求，；（2）（i）求中元素的個(gè)數(shù)；（ii）記，求使得成立的最大正整數(shù).【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）列舉出所有可能的情況，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）（i）設(shè)中元素的個(gè)數(shù)為，根據(jù)定義可得遞推關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可推導(dǎo)求得；（ii）首先確定的必要條件為當(dāng)時(shí)，，由此可得；驗(yàn)證當(dāng)時(shí)充分性成立，從而得