2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語

考試要求：1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.

2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

-------------必備知識(shí)落實(shí)“四基”------------

自查自測

知識(shí)點(diǎn)一充分條件、必要條件與充要條件

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“義”.

(1)若p：x>l,q：尤21,則p是q的充分不必要條件.(J)

(2)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.(J)

(3)若a,bGR,則“層+接#0”是“a,。不全為0”的充要條件.(V)

2.(教材改編題)設(shè)x>0,y>0,則“/>/'是“x>y”的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知A=(—8,a],8=(—8,3),且“xGA”是“xG8”的充分不必要條件，則a的

取值范圍為(一8,3).

核心回扣

1.充分條件、必要條件與充要條件

⑴如果pnq,則p是q的充分條件；

(2)如果咤0則p是q的必要條件；

(3)如果既有p=q,又有q=p,記作p0q,則p是q的充要條件.

2.充分條件、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={加2。)},2={x|虱無)},

(1)若A&B,則。是a的充分條件,“是P的必要條件.

(2)若AB,則。是q的充分不必要條件,4是。的必要不充分條件.

(3)若A=B,則。是q的充要條件.

自查自測

知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞

1.(多選題)(教材改編題)已知命題p：VxGR,x+2W0,貝i](CD)

A.p是真命題B.rp：Vx6R,x+2>0

C.是真命題D.rp：R,x+2>0

2.下列命題中的假命題是()

A.AGR,lgx=lB.3x^R,sinx=0

C.VxdR,%3>0D.VxER,2T>0

C解析：當(dāng)尤=10時(shí)，1g尤=1,故A是真命題；當(dāng)x=0時(shí)，sinx=0,故B是真命題；當(dāng)

尤=—1時(shí)，x3<0,故C是假命題；由指數(shù)函數(shù)的值域知D是真命題.

3.若命題“VxGR,記+1>相”是真命題，則實(shí)數(shù)"Z的取值范圍是(一8,1).

核心回扣

1.全稱量詞與存在量詞

名稱常見量詞符號(hào)表示

全稱量詞所有的、一切、任意一個(gè)、每一個(gè)、任給等V

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、對某些等3

2.全稱(存在)量詞命題及含一個(gè)量詞的命題的否定

名稱語言表示符號(hào)表示命題的否定

全稱量詞命題對M中任意一個(gè)x,p(%)成立p(x)

存在量詞命題存在M中的元素x,p(無)成立p(x)

注意點(diǎn)：

不能將“若P，則q"與"pnq”混為一談,只有“若P，則4”為真命題時(shí)，才有“pnq”，

即“p=q”="若p,貝i]q”為真命題.

【常用結(jié)論】

1.命題p和Y的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真

假.

2.p是q的充分不必要條件等價(jià)于F是rp的充分不必要條件.

應(yīng)用1命題“mxGR,x2+2x+l=0"的否定是命題.(填“真”或"假”)

假解析：因?yàn)楫?dāng)x=—I時(shí)，(一1)2+2X(—1)+1=0,所以命題FXGR,尤2+2犬+1=0”

為真命題，所以命題的否定“VxeR,尤2+2x+iW0”是假命題.

應(yīng)用2已知命題p：|x|Wl,q：x<a,若p是p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

(1,+°°)解析：由得一1W尤W1.由題意知p是q的充分不必要條件，所以

—核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一充分條件、必要條件的判斷

1.(2024.煙臺(tái)模擬)“x—3=0”是"(x—3)(x—4)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A解析：(x—3)(x—4)=0=x=3或x=4.因?yàn)橛?30(x—3)(x—4)=0,反之不成立，故"x

-3=0"是"(x—3)(尤-4)=0”的充分不必要條件.故選A.

2.(2024?黃岡模擬)已知函數(shù)/(功在[0,+8)上單調(diào)遞增，則對實(shí)數(shù)0>0,b>0,是

“/(a)加3)”的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.使“a>b”成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.-<{B.人宜

ab

C.tz2>/?2D.ad>bd

D解析：只有當(dāng)a,/?同號(hào)時(shí)才有故A錯(cuò)誤；/>吩0(x>b,故B錯(cuò)誤；層,〃推

不出故C錯(cuò)誤；ac2>bc2=>a>b,而反之不成立，故。滿足題意.故選D.

4.已知p：(；)<1,q：log2%<0,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B解析：由(9<1,得無>0,所以P對應(yīng)的集合為(0,+°°).由log2X<0,得04<1,所以

q對應(yīng)的集合為(0,1).顯然(0,1)(0,+8),故p是q的必要不充分條件.

?■反思感悟

充分條件、必要條件的判斷方法

(1)定義法：直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假.在判斷時(shí)，確定條件是什么、

結(jié)論是什么.

(2)集合法：利用集合中的包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，

即可解決充分性、必要性的問題.

考點(diǎn)二充分條件、必要條件的應(yīng)用

【例1】(1)已知命題p：f+x—6=0,q：QX—l=0(〃W0).若p是q的必要不充分條件，則

實(shí)數(shù)〃的值為()

D解析：命題p:f+x—6=0,即I=2或x=-3.命題/因?yàn)椤╓0,所以因?yàn)閜是

q的必要不充分條件，所以1=2或1=一3,解得或〃=一：.故選D.

aa23

(2)已知“x>k”是“二<1”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為()

x+1

A.(—8,-1]B.[1,+8)

C.[2,+°°)D.(2,+8)

C解析：由—<1,得—>0,即（x+l）（%—2）>0,解得l<—1或%>2.由題意可得{鄧>%}{x\x<

%+1x+l

-1,或第>2},所以左22,因此，實(shí)數(shù)上的取值范圍是[2,+°°）.

A反思感悟

由充分條件、必要條件求參數(shù)范圍的策略

⑴巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含或相等關(guān)系，然后根

據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解，注意條件的等價(jià)變形.

⑵端點(diǎn)值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍.

多維訓(xùn)練--------------------■

1.若集合x—2<0},B^{x\~2<x<a],則的一個(gè)充要條件是（）

A.a>—2B.”2—2

C.a>~\D.a>l

C解析：由x2—x—2<0,解得一即A={x|-14<2}.又3={刃一2<%<〃},故

的等價(jià)條件為a>—\,即AC3W。的一個(gè)充要條件是d>—\.

2.（2024.濰坊模擬）已知命題p：|x+l|>2,命題0x>a,且「夕是~?q的充分不必要條件，則

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[1,+°0）B.（—8,1]

C.[-3,+8）D.（一8,-3]

A解析：-p:|x+l|W2,解得一3WxWl,「q:xW〃.因?yàn)?>夕是的充分不必要條件，所以

[-3,1]（—8,a\,即.故選A.

考點(diǎn)三全稱量詞與存在量詞

考向1含量詞命題的否定

【例2】（1）命題p：3HEN,層22",則命題p的否定為（）

A.VnEN,層W2〃B.SneN,

C.VneN,nz<2nD.3n^N,n2<2n

C解析：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題p的否定應(yīng)該為

層<2"”.故選C.

（2）（2024?棗莊模擬）已知命題p：Vx20,或sinx<l,貝!J為（）

A.3x<0,e*vl且sinX21B.3x^0,e*vl且sinx21

C.3x^0,e'vl或sinx21D.3x<0,e'21或sinxWl

B解析：該命題是全稱量詞命題，因?yàn)槊}p:Vx^O,或sinx<l,所以-?〃：3x^0,

e%vl且sinGl.故選B.

A反思感悟

對全稱（存在）量詞命題進(jìn)行否定的方法

(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞.

(2)對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

考向2含量詞命題的真假判斷——

【例3】(多選題)下列命題中的真命題是()

A.VxeR,2廠1>0B.VxE(O,+8),(無一1)2>0

C.lgx<lD.tanx=2

ACD解析：令f=x—1,y=2,，因?yàn)閤GR,所以y=2,>0,故A正確；當(dāng)x=l時(shí)，(x—

=0,故B錯(cuò)誤；當(dāng)無=1時(shí)，1g1=0<1,所以存在xGR,lgx<l,故C正確；因?yàn)閥=tanx

的值域?yàn)镽,所以存在尤GR,使得tanx=2,故D正確.

A反思感悟

判斷含量詞命題真假的方法

(1)要判斷全稱量詞命題“V尤GM,p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個(gè)元素X,證明

p(x)成立.

(2)要判斷存在量詞命題“AGM,p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x,使p(x)

成立即可.

考向3由含量詞命題的真假求參數(shù)范圍

【例4】若"icGR,x2—2x—a=0”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

(―8,—I)解析：由題意知2x一是真命題，所以△=(—2)2—4X1X(一

a)—4+4<7<0,解得a<—1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-00,-1).

A反思感悟

根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路

與全稱(存在)量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決

此類問題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，

再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.

多維訓(xùn)練.

1.命題“對于任意正數(shù)x,都有x+l>0”的否定是()

A.對于任意正數(shù)無，都有x+l<0

B.對于任意正數(shù)x,都有尤+1W0

C.存在正數(shù)無，使得尤+1W0

D.存在非正數(shù)無，使得尤+1W0

C解析：因?yàn)槊}”對于任意正數(shù)x,都有x+l>0”是全稱量詞命題，所以其否定為“存

在正數(shù)x,使得x+IWO”.故選C.

2.若定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，則下列命題中一定為真命題的是()

A.VxeR,/（—

B.VxER,/（—x）=一/（x）

C.3xeR,/（—

D.3xeR,/（—%）=—/a）

C解析：由題意知“Vx￡R,/（—x）=/。）”是假命題，則其否定為真命題，即'勺x￡R,f

（一x）W/（x）”是真命題.

3.已知命題“Vx￡R,加一辦+1>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

［0,4）解析：由題意得不等式加一以+1>0對x￡R恒成立.當(dāng)〃=0時(shí)，不等式1>0在R

上恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，若不等式ax2—ax-\-1>0對x￡R恒成立，則［'

（△=儲(chǔ)一4。<0,

解得0<。<4.綜上可得，0W〃v4.所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為［0,4）.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（二）

?？键c(diǎn)鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.3A-ER,1+sinx<0

B.每個(gè)等腰三角形都有內(nèi)切圓

C.VxCR,/+2尤》一1

D.存在一個(gè)正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)

D解析：B與C均為全稱量詞命題，A與D均為存在量詞命題，故B,C錯(cuò)誤；因?yàn)閂x

ER,1+sinxNO,則“IfGR,l+sinx<0”是假命題，故A錯(cuò)誤；正整數(shù)2既是偶數(shù)又是

質(zhì)數(shù)，則“存在一個(gè)正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)”是真命題，故D正確.故選D.

2.若命題°：3.r￡R,總>。，則Y表述準(zhǔn)確的是（）

A.a%eR,—^0B.VxeR,—^0

x+2x+2

C.——20或%=—2D.——WO或1=一2

x+2x+2

D解析：全稱量詞和存在量詞命題的否定，分兩步走，換符號(hào)、否結(jié)論.存在量詞命題的

否定為全稱量詞命題，故排除AC選項(xiàng).其中二->0可解得尤>—2,因?yàn)閤>—2的否定應(yīng)是尤W

x+2

-2,故D項(xiàng)正確.故選D.

3.（2024?武漢模擬）“aWg”是“方程V+3x+a=0（xeR）有正實(shí)數(shù)根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B解析：由方程r+3無+。=0有正實(shí)數(shù)根，則等價(jià)于函數(shù)/（x）=f+3尤+。有正零點(diǎn).又

因?yàn)槎魏瘮?shù)/（%）的對稱軸為直線x=一：<0,則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則

!A-94a>()，解得a<0.又(一8,0)c(-oo,2),故“aW?”是“方程f+3x+a=0(xGR)

上(0)<0,I474

有正實(shí)數(shù)根”的必要不充分條件.故選B.

4.（多選題）（2024?深圳模擬）使“22i成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）

X

A.0<x<lB.0<x<2

C.x<2D.0<%W2

AB解析：由2三1,得曰20,解不等式得0<xW2,結(jié)合選項(xiàng)知使成立”的一個(gè)充

XXX

分不必要條件是或.故選AB.

5.（新情境）荀子曰：“故不積度步，無以至千里；不積小流，無以成江?！?，此名言中的

“積度步”一定是“至千里”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

B解析：荀子的名言表明積蹉步未必能至千里，但要至千里必須積蹉步，故“積珪步”是

“至千里”的必要不充分條件.

6.（2024?荷澤模擬）已知空間向量”=（九1,-2）,》=（九1,1）,貝U以=1”是的

條件.

充分不必要解析：當(dāng)A=1時(shí)，”=（1,1,-2）,&=（1,1,1）,“0=1+1—2=0,可得小仇

即充分性成立；若。，瓦則a0=/+1—2=0,解得％=±1,據(jù)此可得必要性不成立.綜

上可知，%=1是a_LZ>的充分不必要條件.

7.能夠說明“存在兩個(gè)不相等的正數(shù)a,b,使得a—6=ab是真命題”的一組有序數(shù)對（a,

b）為.

C，y（答案不唯一）解析：答案不唯一，如（;，;），Q,（）,都符合題意.

。高考培優(yōu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

8.“不等式辦2+2以一1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.l1W4VoB.

C.—1<〃WOD.—l<tz<0

D解析：當(dāng)〃=0時(shí)，一1<0恒成立；當(dāng)時(shí)，則［解得一1<〃<0.綜上所述，

（4儲(chǔ)+4a<0,

不等式—1<0恒成立時(shí)，一l<aW0.所以選項(xiàng)中“不等式〃/+2依一1<0恒成立”的

一個(gè)充分不必要條件是“一1<。<0”.故選D.

9（2023?全國甲卷）設(shè)甲:si/a+sin2s=1,乙：sinct+cos^=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

B解析