2024年江西中考第一次模擬考試數(shù)學試卷（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試

數(shù)學?全解全析

第I卷

一、選擇題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑)

1.-g的倒數(shù)是()

A.-3B.-C.-D.3

33

【答案】A

【分析】本題考查倒數(shù)的定義，

乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：的倒數(shù)是-3,

故選：A.

2.下列計算正確的是()

A.m1-m3=m6B.-(m-n)^-m+n

C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2

【答案】B

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法，去括號法則，單項式乘多項式，完全平方公式對各選項依次判斷即可.

2356

【詳解】解：A、m-m=m^m,故此選項不符合題意；

B、-(m-n)^-m+n,故此選項符合題意；

C、m(m+n)=m2+mn^m2+n,故此選項不符合題意；

D、(m+n)2=m2+2mn+n2+n2,故此選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，涉及到同底數(shù)哥的乘法，去括號法則，單項式乘多項式的運算法則，

完全平方公式等知識.熟練掌握各運算法則和伍+6)2=/+2仍+從的應用是解題的關鍵.

3.第14屆中國(深圳)國際茶產(chǎn)業(yè)博覽會在深圳會展中心展出一只如圖所示的茶杯(茶口的直徑與托盤

的直徑相同)，則這只茶杯的俯視圖大致是()

【答案】B

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖象是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：?茶口的直徑與托盤的直徑相同，

，俯視圖如選項B所示，

故選：B.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看的到的視圖是俯視圖.

4.對于函數(shù)>=-4X+3,下列結論正確的是()

A.y隨x的增大而增大

B.它的圖象經(jīng)過第三象限

C.它的圖象與x軸的交點坐標為(0,3)

D.將該函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到函數(shù)y=-4x+l的圖象

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【詳解】解：A.?.?左=T<0,

??.V隨X的增大而減小，故A錯誤，不符合題意；

B.二?左=—4<0,Z)=3>0,

.??函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，故B錯誤，不符合題意；

C.當y=0時，-4x+3=0,解得x=\,它的圖象與X軸的交點坐標為故c錯誤，不符合題意;

D.將該函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度得到函數(shù)>=-4x+l的圖象，故D正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵.

5.如圖，。為等邊AASC的AB邊的中點，點尸是BC上的一個動點，連接DP,將ADB尸沿DP翻折，得到

△DEP,連接NE,若NA4E=40。，則ND尸3的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】根據(jù)中點性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到4D=DE,得到4/￡=乙1瓦）=40。，根據(jù)二角形外角性質(zhì)得到

NBDE=80°,根據(jù)翻折性質(zhì)得到ZBDP=40°,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到NABC=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理得到/DP8=80。.

【詳解】：D是N5中點，

AD=BD,

由翻折知，BD=DE,

：.AD=DE,

：.NBAE=ZAED=40°,

二ZBDE=ZBAE+ZAED=80°,

ZBDP=-ZBDE=40°,

2

;等邊“BC中，ZABC=60°,

△5DP中，ZDPB=80°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形，折疊，等腰三角形，三角形內(nèi)角和等.解決問題的關鍵是熟練掌握

等邊三角形性質(zhì)，折疊圖形全等的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì).

6.如圖，拋物線了=爾+隊+。與x軸交于點-1,0）,3（3,0）,交V軸的正半軸于點C,對稱軸交拋物線

于點。，交x軸于點￡,則下列結論：①6+2c>0,②a+bWam?+bm（機為任意實數(shù)）；③若點尸為對稱

軸上的動點，則|尸2-尸。有取大值，最大值為后高；④若加是方程於2+區(qū)+0=0的一個根，則一定有

Z>2-4ac=（24皿+b）2成立.其中正確的序號有（）.

C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線開口向下可得。<0,根據(jù)對稱性求出對稱軸為直線x=l,則6=-2°>0,再由拋物線交

y軸的正半軸，得到c>0,由此即可判斷①；根據(jù)x=l時，二次函數(shù)有最大值，最大值為a+6+c,則

a+b+c>an^+bm+c，即可判斷②；由對稱性可知尸4=尸3,則戶/-PC|VNC=JOA?+OC?=?+/,即

可判斷③；先求出"6+c=0,進而推出c=-3a,則62一4碇=16/，由m是方程辦?+6x+c=0的一個根,

得到以=T或機=3,然后分別計算出（2am+b）2的值即可判斷④.

【詳解】解：；拋物線開口向下,

a<0，

拋物線v=#++c與x軸交于點/（一1,0）,43,0）,

對稱軸為直線x==士^=1，

2a2

/.b=-2a>0,

???拋物線交y軸的正半軸，

:.c>0,

b+2c>0,故①正確；

???對稱軸為直線x=l,開口向下，

=1時，二次函數(shù)有最大值，最大值為Q+6+C,

a+b+c>am2+bm+c（m為任意實數(shù)）即a+b2a加之+6加，故②正確;

???對稱軸交y軸的正半軸于點C,

/.C（0,c）,

由對稱性可知尸力二尸5,

A\PB-PC\=\PA-PC\<AC=ylo^+OC2=yjl+c2,故③不正確;

拋物線V="2+fox+c與x軸交于點力（-1，0）,

a—b+c=0,

?/b=-2a,

c=-3a,

「?y=ax2+bx+c=ax2-lax-3a,

???〃一4。。=4。2+12。2=16。2,

m是方程a?+樂+°=o的一個根，

.?.冽=-1或冽=3,

當加=一1時，（2。加+6/=（一2〃-2〃）2=16〃，

當加=3時，（2〃加+6）2=（6Q-2a了=16〃2,

.?.若m是方程分+6x+c=o的一個根，則一定有〃-4ac=（2a冽+成立，故④正確；

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，解決本題關鍵是運用二次

函數(shù)圖像上點的坐標特征、拋物線與x軸交點進行計算.

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

7.因式分解8/-2/=

【答案】2（2x+y）（2x-y）

【分析】提公因式后運用平方差公式進行因式分解，即可求解.

【詳解】解：8x2-2y2

=2（4尤?-必）

=2（2x+y）（2x-y）.

故答案為：2（2x+y）（2x-y）.

【點睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

8.節(jié)儉辦賽是北京申奧的一大理念和目標.根據(jù)此次冬奧會財政預算，賽事編制預算約為15.6億美元，15.6

億可用科學記數(shù)法表示為

【答案】1.56X109

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14時＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，"是正整數(shù);

當原數(shù)的絕對值＜1時，"是負整數(shù).

【詳解】解:15.6億=1560000000=1.56x109.

故答案為：1.56x109.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，正確記憶科學記數(shù)法的表示形式和的值的取值要求是解題關

鍵.

9.已知菱形48co的對角線NC3。的長度是關于x的方程7-14x+48=0的兩個實數(shù)根，則此菱形的面積

是

【答案】24

【分析】本題考查根與系數(shù)的關系，以及菱形的性質(zhì).根據(jù)根與系數(shù)的關系得到3。=48,再根據(jù)菱形

的面積等于對角線乘積的一半，即可得出結果.掌握根與系數(shù)的關系，是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意，得：AC-BD=48,

/C,AD是菱形48co的對角線，

/.菱形ABCD的面積等于g/C?BD=24；

故答案為：24.

10.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的/BC）."偃

矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,。在同一水平線上，NA8C和//。尸

均為直角，/P與BC相交于點D.測得N3=40cm,5D=20cm,AQ=12m,則樹高產(chǎn)。=m.

【分析】根據(jù)題意可得尸，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：???/，5。和乙4。夕均為直角

：.BD//PQ,

:?"BDS^AQP,

?_B_D___A__B

"~PQ~^Q

*.*AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

.GAQXBD12X20U

AB40

故答案為：6.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

11.如圖所示，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

【答案】360

【分析】如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/1+/5=/7、Z4+Z5=Z8,進而得至IJ/2+N3+N7+N8,最

后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可解答.將所求角的和轉化為四邊形的內(nèi)角和是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得N1+N5=N7、Z4+Z5=Z8,貝ij

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=Z2+Z3+Z7+Z8=3600.

故答案為360.

12.如圖，正方形48co的邊長為12,E為48邊上一動點，在運動的過程中，始終保持跖工/C于尸,

EGLBD于.若尸G的長為整數(shù)，則尸G的長可以為

AD

F

BC

【答案】6或7或8

【分析】如圖，連接EO,由正方形性質(zhì)，得04=0B,AC,BD,可證四邊形EGO尸是矩形，得OE=FG,

進而可證點E位于的中點時，由等腰三角形三線合一及垂線段最短知此時OE取最小值；勾股定理求得

此時==6;圖中，04=08=6收，672=A/72,8=V64<V72<=9；于是8<CM<9,

2

得尸G=OE的整數(shù)值為6,7,8.

【詳解】解：如圖，連接E。，

正方形A8CD中，OA-OB,AC.LBD,EF1AC,EG1BD,

：.ZEFO=NEGO=ZFOG=90°

二四邊形EG。尸是矩形.

OE=FG.

當點E位于/B的中點時，

,?OA=OB

C.OEVAB,此時，取最小值；

RtZ\/08中，0A=0B=JAB=6也.

2

n△E/。中，0E=AE=*0A=6,即?！甑淖钚≈禐?.

2

如圖，OA=OB=6y[2,6亞=",8=洞<歷<M=9；

8<CM<9

：.6<OE<9

.?.FG=OE的整數(shù)值為6,7,8.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，垂線段最短；運用矩

形的性質(zhì)作線段的等量轉換是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共5個小題，每小題6分，共30分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

13.(1)計算:

3x-2>l

（2）解不等式組:

5—x>2

【答案】（1）3；（2）l<x<3.

【分析】（1）先根據(jù)零次暴、絕對值和負整數(shù)次嘉化簡，然后計算即可;

（2）先分別求出各不等式的解集，然后再求不等式組的解集.

-2

【詳解】解：（1）（1-V3）°-|-2|+|I

=1-2+4

3x-2>l?

5-x>2②

由①得：x>l

由②得：x<3

所以該不等式組的解集為：lSx<3.

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算和不等式組的解法，掌握實數(shù)的運算法則和解不等式的方法是解答本題的

關鍵.

14.如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為。，E.

A

（1）求證：AABE知ACD；

（2）若4E=6,CD=8,求AD的長.

【答案】（1）見解析

⑵BO=4

【分析】（1）利用“AAS”可證明A/BE咨A/CD；

（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到4D=/E=6,再利用勾股定理計算出/C,從而得到43的長，然后計

nAB-AD即可.

【詳解】（1）證明：?.?CD_L/8,BEYAC,

ZAEB=ZADC=90°,

在和A/CD中，

ZAEB=ZADC

<NBAE=ACAD,

AB=AC

:.AABE^ACD（AAS）；

（2）解：?:AABE知ACD,

AD=AE=6,

在RtA/CD中,AC=ylAD2+CD2=A/62+82=10，

???AB=AC^\Q,

:.BD=AB-AD=lQ-6=4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

15.OO為AABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1,圖2中畫出一條弦，使這

條弦將AABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

p

圖1

（1）如圖1,AC=BC；

（2）如圖2,直線1與00相切于點P,且1〃BC.

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.

【分析】（1）過點C作直徑CD,由于AC=BC,弧AC=^JRBC,根據(jù)垂徑定理的推理得CD垂直平分AB,

所以CD將4ABC分成面積相等的兩部分；

（2）連結PO并延長交BC于E,過點A、E作弦AD,由于直線1與。0相切于點P,根據(jù)切線的性質(zhì)得

0P±l,而1〃BC,則PELBC,根據(jù)垂徑定理得BE=CE,所以弦AE將aABC分成面積相等的兩部分.

【詳解】（1）如圖1,直徑CD為所求；

（2）如圖2,弦AD為所求.

16.甲骨文是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈，

小明在了解了甲骨文后，制作了如圖所示的四張卡片（這四張卡片分別用字母A,B,C,。表示，正面

文字依次是文、明、自、由，這四張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻

放好.

(1)小明從中隨機抽取一張卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率為.

(2)小明從中隨機抽取一張卡片不放回，小亮再從中隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法計算兩人

抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】此題考查了概率公式及列表法或畫樹狀圖的方法求概率，；

(1)直接利用概率公式計算即可；

(2)通過畫樹狀圖，可得共有12種等可能結果，其中，兩名同學抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的結果有

2種，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】(1)通過卡片上的字，可以看到是軸對稱圖形的為“文”，

???卡片上的字是軸對稱圖形的概率為!，

故答案為：—,

4

(2)畫樹狀圖如解圖，

開始

ABCD

BCDACDABDABC

由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的結果有2種，

則兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率為=2=1

126

17.如圖，直線P=3x+b與x軸交于點與反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象相交于點8(1,加).

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)C是反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象上的一點，連接NC,若/。0=45。，求直線3C的函數(shù)表達式.

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達式為了=9;

X

(2)直線BC的函數(shù)表達式為y=-3x+9.

【分析】(1)分別把/(TO)，/1,優(yōu))代入y=3x+6,求出6和加的值，因為反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖

象經(jīng)過點B,由此求出后值即可；

(2)過點C作CDLx軸于點。，由/C4O=45。，得CD=4D,設點C的坐標為則。+1=9，解方

VaJa

程求出。值即得點。的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】(1)把4(—L0)代入歹=3%+6得-3+6=0,

:.b=3,

把5(1,加)解得代入歹=3x+6得3+3=加，

:.m=6,

二?點8的坐標為(1,6).

??,反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過點5,

「"=1x6=6,

二反比例函數(shù)的表達式為了=9；

X

(2)

OA=1.

如圖，過點C作CD^x軸于點。,

/.CD=AD,

設點C的坐標為則。+1=9,解。=2或-3（負值舍去），

???點。的坐標為（2,3）.

設直線3c的函數(shù)表達式為了=/+q,

/、/、{p+q=6fp=-3

把81,6,C2,3代入了=1+4得，解得,，

[2p+q=3國=9

直線3C的函數(shù)表達式為y=-3x+9.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，涉及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，

反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握用待定系數(shù)法求函

數(shù)的解析式是解題的關鍵.

四、解答題（本大題共3個小題，每小題8分，共24分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.某區(qū)中小學舉行硬筆書法比賽，由學校初賽選拔人員參加全區(qū)比賽，為選拔人員參賽，A校經(jīng)過宣傳,

組織硬筆書法愛好者訓練后舉行校內(nèi)硬筆書法比賽，賽后評審中根據(jù)作品的質(zhì)量確定五種獲獎等級的人數(shù),

并對獲獎情況進行了統(tǒng)計，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中相關數(shù)據(jù)解答下列問題.

圖1圖2

（1）求參賽的總人數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補全;

（2）求在獲獎中人數(shù)的中位數(shù)和方差；

(3)為勉勵學生努力提升人文素養(yǎng)，培養(yǎng)書法人才，對各校初賽獲一等獎者頒發(fā)“小小書法家”證書，全區(qū)各

校統(tǒng)一制作證書，若各校初賽統(tǒng)一按總比例確定初賽人數(shù)和獲獎人數(shù)，若A校有1200名學生，該區(qū)共有

54000名中小學生，估計該區(qū)獲得“小小書法家”證書的總人數(shù).

【答案】(1)參賽的總人數(shù)40人，補全條形統(tǒng)計圖見解析

(2)獲獎人數(shù)的中位數(shù)為8,獲獎人數(shù)的方差為8

(3)可估計該區(qū)54000名中小學生中，獲得“小小書法家”證書的總人數(shù)為180人

【分析】(1)根據(jù)“參與獎”的獲獎人數(shù)為10人，且占比為25%解答即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義及方差的定義解答即可；

(3)根據(jù)抽樣中一等獎的占比估算該區(qū)的總人數(shù)即可解答.

【詳解】(1)解：???“參與獎”的獲獎人數(shù)為10人，且占比為25%,

.??參賽的總人數(shù)為10+25%=40(人).

.?.一等獎的人數(shù)為40—8—6—12—10=4(人)

補全條形統(tǒng)計圖如下：

一等獎二等獎三等獎鼓勵獎參與獎獎項

圖1

(2)解：,?獲獎人數(shù)為4,6,8,12,10,

.??獲獎人數(shù)的中位數(shù)為8,

?.?獲獎人數(shù)的平均數(shù)為子40=8,

獲獎人數(shù)的方差為S?=g[(4-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(12-8『+(10-8)2]=8；

(3)解：：A校有1200名學生中，有4人獲一等獎，

,可估計該區(qū)54000名中小學生中，獲得“小小書法家”證書的總人數(shù)為

4

——x54000=180人.

1200

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)的定義；方差的定義，樣本估算整體，讀懂條形統(tǒng)

計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)是解題的關鍵.

19.如圖1,是一輛小汽車與墻平行停放的實物圖片，圖2是它的俯視圖，汽車靠墻一側與墻平行

且距離為0.8米，已知小汽車車門寬2。為1.2米

(參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.6428,cos400-0.7660,sin41°?0.6561,cos41°?0.7541,sin42°?0.6667,

cos420-0.7431)

圖1圖2備用圖

(1)當車門打開角度為40。時，車門是否會碰到墻？請說明理由

(2)若車停在原地不動，靠墻一側的車門能打開的最大角度約為多少？

【答案】(1)車門不會碰到墻，理由見解析

(2)42°

【分析】(1)如圖：過點A作/CL03,垂足為點G.解三角形求出AC的長度，然后比較即可;

(2)如圖：過點A作4D_L08,垂足為D,40=0.8,求出sin/XOZ)即可.

【詳解】(1)解：車門不會碰到墻，理由如下：

如圖：過點A作/C,03,垂足為點C.

M

力I

N

在RtA/CO中，ZAOC^40°,40=1.2,

/C=sin/0a0.6428x1.2=0.7714,

0.7714<0.8,

二車門不會碰到墻.

(2)解：過點A作垂足為D,

M

電

N

在RtZk/DO中，

VAD=0.S,4。=1.2,

sinZAOD=-=—=0.6667.

OA1.23

sin42°~0.6667,

又??,正弦值隨著角度的增大而增大，

二靠墻一側車門能打開的最大角度為42。.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確構建直角三角形并靈活解直角三角形是解答本題的關鍵.

20.杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，9月份“江南憶”的銷售量為256件，

11月份的銷售量為400件.已知每件“江南憶”的進價為35元，售價為58元.

(1)求該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長率；

(2)經(jīng)市場預測，12月份該款吉祥物的銷售量將與9月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式.調(diào)

查發(fā)現(xiàn)，該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該款吉祥物每件的售價為多少元時，月銷售

利潤能達到8400元？

【答案】(1)該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長率為25%

(2)該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用：

(1)設該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長率為x,可列出關于x的一元二次方程，解之取其

符合題意的值，即可得出結論；

(2)設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為(y-35)元，利用月銷售利潤=每件的銷售利潤x月銷售

量，可列出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.

【詳解】(1)設該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長率為x,

根據(jù)題意得：256（1+"=400,

解得：占=0.25=25%,乙=一2.25（不符合題意，舍去）.

答：該款吉祥物9月份到11月份銷售量的月平均增長率為25%；

（2）設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為。-35）元，月銷售量為400+20（58-y）=（1560-20了）件,

根據(jù)題意得：（了-35）（1560-20了）=8400,

整理得：「一ii3y+3150=0,

解得:必=50,%=63

因為商場為了減少庫存，故%=63不符合題意，舍去.

答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元.

五、解答題（本大題共2個小題，每小題9分，共18分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21.在中，N4CB=9。。，/O平分NC/3交8C于點。，以OC為半徑作OO.

（1）求證：直線是。。的切線.

（2）若N8=5,tanNCUC=；,求的半徑.

【答案】（1）見解析

（2）1

【分析】（1）過。作于得至IJ/8HO=/BCO=90°,根據(jù)角平分線的定義得到NC8。=/9。,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OH=OC,于是得到AB與OO相切；

（2）設OC=OH=r,則BC=3〃=3%根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結論.

【詳解】（1）證明：過。作于

A

ZBHO=ZBCA=90°,

???40平分NC4B,

/.NCAO=NBAO,

AO=AO,

:.ACAO^HAO(AAS),

/.OC=OH,

/.45與。。相切；

OC1

(2)解：tanZ-OAC==—，

AC2

:.設OC=OH=〃

則==2J

vZBHO=ZC=90°f/B=/B,

:ABHOS^BCA,

BHBOHO

:.BH=-BC=r,BO=-AB=-,

222

:.BC=BO+CO=-+r,

2

在Rd/BC中，AC2+BC2=AB2,

即：(2r)2+[r+g)=52,

解得r3或""5(舍去)，

22

。。的半徑為三3.

2

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

22.如圖①,已知拋物線夕=62+區(qū)+3(。70)與x軸交于4-1,0),8(3,0)兩點，與一軸交于點C.

(1)求該拋物線的表達式；

⑵若點。是拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點，連接。。產(chǎn)28。,4.當△3。的面積等于“OC面積的2倍

時，求點。的坐標；

(3)拋物線上是否存在點P,使得/。8尸+/4<:。=/43。？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】⑴y=-/+2x+3；

(2)。,4)或(2,3)；

211

⑶片(一§，-)，舄(2,3).

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

113

⑵由辦。的面積=%EC+%EB=/XBO=5X3X"+2%+3+%-3)=2X5,即可求解；

(3)分點尸在8c左側和點P在8c由此兩種情況，利用正方形得判定及性質(zhì)以及二次函數(shù)得圖像及性質(zhì),

進而求解.

【詳解】(1)解:把/(-1,0),8(3,0)代入y=加+bx+3(aW0)中，得：

。一6+3=0a=-1

9a+36+3=0,解得:

b=2

二拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：過點。作了軸平行線交x軸于E,交BC于點尸，作CGLDE于點G,

把x=0代入y=-，+2x+3中，得：y=3,

.??C點坐標是(O,3),

設直線BC：y=丘+q,

把8(3,0),。(0,3)代入/=履+?,得

J。=3左+q

(3=q

\k=-\

解得2,

[4=3

直線BC的解析式為y=-x+3

設。(小,-〃/+2根+3),則尸(加,-加+3),

DF=(—m2+2m+3)—(—m+3)=-m2+3m

由%CD=2S“小得：gDFxOB=2xgo4xOC,

-(-m2+3m)x3=2x—xlx3

22

整理得：nr-3m+2=0

解得：叫=1,啊=2

,?0<m<3,

...冽的值為1或2,

當〃2=1時，-〃/+2加+3=-12+2+3=4,

當切=2時，-加2+2〃?+3=-4+4+3=3,

...點。的坐標為(1,4)或(2,3)；

(3)解：存在.

由C(0,3),8(3,0)得OB=OC,

Z.ZOBC=45°,

①當點尸在3C左側時.

在y軸上取點M(o,1),延長8M交拋物線于點P.

在A/OC和ABOM中

OA=OM

<ZAOC=/BOM,

OC=OB

：.AAOC^BOM,

???NACO=NABM,

：.ZCBP+ZACO=NCBM+ZOBM=NABC,

設直線BM的解析式為y=kx+b,

將5（3,0）,M（0,l）代入，得

j3k+b=0

[=1

\k=~-

解得<3,

b=\

???設直線BM的解析式為y=-^x+l,

②當點尸在5C右側時，

作△8。。關于3C的對稱△CBN,C7V交二次函數(shù)歹=f2+2x+3于點則/CBN=/C5O=45。，

NN=NBOC=90。,NBCO=NBCN=45。,

：.NOCN=ZN=NOBN=90°,

???OC=OB,

???四邊形OQVB是正方形，

:,BN=3,

令>=r2+2%+3中，V=3,貝Ij一代+2%+o,

解得x=0或x=2，

：.P2（2,3）,P2N=3-2=1=OM,

?：OB=NB,/BOM=ABNP2=90。,

/.ABOM義ABNP?,

ZOBM=ZNBP2,

：./CBP?+ZACO=ZCBP2+/BOM=/CBP?+ANBP2=45°=ZABC

???在點呂拋物線上，即點P2滿足條件NCBP+ZACO=NABC.

故存在滿足條件的點P有兩個，分別是耳（-：2，?11），￡（2,3）.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合應用，考查待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，全等三角形的判定和

性質(zhì)等，正方形的判定及性質(zhì)，軸對稱給的性質(zhì)，掌握這些知識是解題關鍵.

六、解答題（本大題共12分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

23.某托管服務數(shù)學興趣小組針對如下問題進行探究，在等邊“3C中，/8=2,點。在射線BC上運動,

連接以/。為一邊在/。右側作等邊VNZJE.

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1）,當點。在線段8C上運動時（不與點3重合），連接CE.則線段3。與CE的數(shù)量關

系是;直線也與CE的位置關系是；

（2）【拓展延伸】如圖（2）,當點。在線段8c的延長線上運動時，直線AD,CE相交于點請?zhí)骄?/p>

的面積與△MDC的面