輔助圓定點(diǎn)定長（知識(shí)解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題01輔助圓定點(diǎn)定長（知識(shí)解讀）

【專莖餞明】

最值問題的必要條件是至少有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)問題，所以才

會(huì)有最值。初中階段動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡主要是“一條直線"或"圓"。在這類題目中，

題目很少直接告訴我們動(dòng)點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，也很少把這個(gè)圓畫出來，因此，結(jié)合

題目給的條件，分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題。

【方放技巧】

模型一：定點(diǎn)定長作圓廠7、

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定，；”!

\/

則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓

模型一：點(diǎn)圓最值

已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O,點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間距離

為d,0半徑為r.

位置關(guān)系點(diǎn)。在。內(nèi)點(diǎn)。在。上點(diǎn)。在。外

圖示0

龍的最大值d+r2rd+r

連接〃。并延長交。于點(diǎn)￡

此時(shí)點(diǎn)￡的位置

加1的最小值1d0d-r

連接勿并延長交

此時(shí)點(diǎn)E的位置點(diǎn)￡與點(diǎn)〃重合連接勿交。于點(diǎn)人

。于點(diǎn)E

【典例令析】

【典例1］如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=105°,則NB￡)C=

【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，90°<ZBAD<1SO°,AB=AC=AD,

請(qǐng)畫出滿足條件時(shí)點(diǎn)C的軌跡.

【典例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的任意一

點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)。重合），沿DE翻折△￡）色使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，請(qǐng)畫出點(diǎn)

R的軌跡.

B：、C

D

【變式2】如圖，在[3ABCD中，AELBC于點(diǎn)E,將AAEB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

使AB與邊BC重合，得到△MNB,請(qǐng)畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線

面BC邊上的動(dòng)點(diǎn),將AEBF沿EF所在的直線折疊得到AEBF,連接8D,求

的最小值。

【變式3-1]（2019?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,M是AD

邊的中點(diǎn),N是A3邊上的動(dòng)點(diǎn),將aAMN沿MN所在直線折疊,得到以'MN,

連接A'C,貝UA'C的最小值是.

B

【變式3-2］如圖，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直線A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

AE=2,△APE沿PE翻折形成△RPE,連接PF、EF,貝I］FC的最小值

是，點(diǎn)R到線段的最短距離是

【典例4】（2021秋葉B江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A

（1,0）,B（3,0）,C為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足NAC3=90°,。為直線

y=x上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD長的最小值為（）

A.1B.2C.V2-1D.V2+1

【變式4-1］（2021秋?武江區(qū)校級(jí)期末）如圖，O”的半徑為4,圓心M的坐

標(biāo)為（5,12），點(diǎn)尸是OM上的任意一點(diǎn)，PA±PB,且必、P3與x軸分別

交于A、3兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則A3的最小值為.

【變式4-2］（2021秋?薩爾圖區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為A（4,

0）,B（0,4）,C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，3C=2,點(diǎn)航為線段AC的中點(diǎn),

連接OM,OM的最大值為.

專題01輔助圓定點(diǎn)定長（知識(shí)解讀）

【專驗(yàn)餞明】

最值問題的必要條件是至少有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)問題，所以才

會(huì)有最值。初中階段動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡主要是“一條直線"或"圓"。在這類題目中，

題目很少直接告訴我們動(dòng)點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，也很少把這個(gè)圓畫出來，因此，結(jié)合

題目給的條件，分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題。

【方注技巧】

模型一：定點(diǎn)定長作圓廠

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定，；"!

\/

則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓

模型一：點(diǎn)圓最值

已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O,點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。與點(diǎn)D之間距離

為d,0半徑為r.

位置關(guān)系點(diǎn)。在。內(nèi)點(diǎn)。在。上點(diǎn)。在。外

圖示0

施的最大值d+r2rd+r

連接〃。并延長交。于點(diǎn)后

此時(shí)點(diǎn)￡的位置

班'的最小值r-d0d-r

連接如并延長交

此時(shí)點(diǎn)￡的位置點(diǎn)￡與點(diǎn)，重合連接勿交。于點(diǎn)￡

。于點(diǎn)E

【典例合新】

【典例1］如圖，在四邊形A3CD中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=105°,則N3DC=.

【解答】解：以A為圓心，A3為半徑畫圓,

：./CAD=2/CBD,ZBAC=2ZBDC,

"：ZCAD=2ZBAC,

：.ZCBD=2ZBDC,

,：ZCBD+ZBDC+ZBCD=1SQ°,

A3ZCBD+105°=180°,

：.ZCBD=25°.

故答案為：25°.

【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，90°<ZBAD<180°,AB=AC=AD,

請(qǐng)畫出滿足條件時(shí)點(diǎn)C的軌跡.

【解答】，：AB=AC=AD,

.?.點(diǎn)C在以A為圓心，A3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

:四邊形A3CD中，900<ZBAD<180°,

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為面（不與3、。重合）.

【典例2］如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的任意一

點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），沿DE翻折△DCE使點(diǎn)C落在點(diǎn)R處，請(qǐng)畫出點(diǎn)

口的軌跡.

【解答】M：'：DF=DC,

：.則點(diǎn)/在以點(diǎn)。為圓心DC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，與O。交于。，

則而即為點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.

ZFDE=ZCDE=ZCDA,則軌跡為優(yōu)弧MQC,滿足NMDA=NCZM,

此時(shí)點(diǎn)F的軌跡為質(zhì).

【變式2】如圖，在團(tuán)A3CD中，AE,3c于點(diǎn)E,將AAEB繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

使A3與邊3c重合，得到△MN3,請(qǐng)畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【解答】解：如圖，弧AM即為所求.

D

>N

A

【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線

面BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將AE5/沿EF所在的直線折疊得到AEB尸，連接求3D

的最小值。

解：如圖，點(diǎn)E為圓心，￡6為半徑作圓，

當(dāng)點(diǎn)E,B',D三點(diǎn)共線時(shí)8。的值最小。

vZA=90°,AE=-AB=2,AD=6

2

DE=^+62=2410,

B'D=DE-EB'^2yflO-2

【變式3-1]（2019?錦州）如圖，在矩形A3CD中，AB=3,BC=2,〃是AD

邊的中點(diǎn),N是A3邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊,得到W'MN,

連接A'C,則A'C的最小值是.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)

【解答】解：?.?四邊形A5CD是矩形

：.AB=CD=3,BC=AD=2,

是邊的中點(diǎn)，

：.AM=MD^=1

,：將△AMN沿MN所在直線折疊，

：.AM=A'M=1

.?.點(diǎn)4在以點(diǎn)“為圓心，AM為半徑的圓上，

如圖，當(dāng)點(diǎn)4在線段上時(shí)，AC有最小值，

MC=VMD2<D2=

：.A'C的最小值=〃。-MA'=V10-1

故答案為：Vio-1

【變式3-2］如圖，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直線A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AE=2,AAPE沿PE翻折形成△RPE,連接PF、EF,貝UFC的最小值

是，點(diǎn)R到線段3C的最短距離是.

【解答】解：連接CE,作EGLBC于G,

,:AE=EF=2,

.?.點(diǎn)/在以E為圓心，AE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

在Rt^CDE中，由勾股定理得，

CE=VDE2CD2=VB2+42=,

：.FC的最小值為CE-2=2^13-2,

ZDAB=ZABC=ZBGE=9Q°,

???四邊形A3GE是矩形，

：.EG=AB=4,

點(diǎn)F到線段BC的最短距離是2,

故答案為：2Vl§-2,2.

【典例4】（2021秋葉B江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°y中，已知點(diǎn)A

（1,0）,B（3,0）,C為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足NAC3=90°,。為直線

y=x上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD長的最小值為（）

c.V2-1D.V2+1

【解答】解：?.?NACB=90°,

...點(diǎn)C在以為直徑的圓上，

為直徑的圓的圓心為E點(diǎn)，如圖,

連接DE交OE于U,

VA（1,0）,B（3,0）,

.,.AB=2,AE=1,

.?.DCWDE-CE（當(dāng)且僅當(dāng)。、C、E共線時(shí)取等號(hào)）

即DCWDE-1,

?.?DE,直線y=x時(shí)，DE最短,DE的最小值為退_OE=&,

2

線段8長的最小值為&-1.

故選：C.

【變式4-1］（2021秋?武江區(qū)校級(jí)期末）如圖，O”的半徑為4,圓心M的坐

標(biāo)為（5,12），點(diǎn)P是OM上的任意一點(diǎn)，PA±PB,且必、P3與x軸分別

交于A、3兩點(diǎn)，若點(diǎn)A