人教版高中數(shù)學《概率》重難點歸納總結（解析版）

第10章概率重難點歸納總結

隨機事件

I------------------------------------------

考點一古典概型

【例1-1］（2023?陜西安康）某校動漫社團成員共6人，其中社長2人，現(xiàn)需要選派3人去參加動漫大賽，

則至少有1名社長人選的概率為（）

1134

A.—B.-C.-D.—

5355

【答案】D

【解析】記社長為N,B,其他成員為c,d,e,f,所以從6人中任選3人，

共有{4,8,c},{A,B,d},{A,B,e\,{A,B,f},{A,c,d},{A,c,e},{A,c,f},{A,d,e},{A,d,f},{A,e,f},

{B,c,d},{B,c,e},{B,c,f},{B,d,e},,{c,d,e\,{c,d,f},{c,e,f},{d,e,f}20

164

種，其中至少含一個社長的有16種，所以概率為茄=不，故選：D.

【例1-2］(2023秋?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點散發(fā)”的特點愈加

明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務，某地區(qū)為了更好的做

好此項工作，高質(zhì)量服務于百姓生活，對愛好線上采購生活必需品的人員進行了調(diào)查，隨機調(diào)查了100位

線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好

者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率.

【答案】(1)48歲

(2)0.89

(3)0.6

【解析】(1)該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡為

5x0.01+15x0.02+25x0.12+35x0.17+45x0.23+55x0.2+65x0.17+75x0.06+85x0.02=47.9?48(歲)

(2)這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間［20,70)的頻率為

(0.012+0.017+0.023+0.02+0.017)x10=0.89.

故估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率0.89.

(3)參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下的人數(shù)為0.03x100=3人，記為1,2,3；

80歲以上的人數(shù)為0.02x100=2人，記為

從這三名中抽取兩名進行電話訪問，所有情況如下：

{1,2},{1,3},{1,0},{1力},{2,3},{2,0},{2力},{3,0},{3力},{氏處,共10種.

其中被訪問者恰有一名是80歲以上的情況分別為{1,“},{1/},{2,“},{2,耳,{3川,{3力},共6種.

則被訪問者恰有一名是80歲以上的概率為搞=0.6

【一隅三反】

1.（2022秋?云南玉溪）歐幾里得大約生活在公元前330?前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐

曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（）

A.vB.-C.-D.-

2346

【答案】A

【解析】記4部書籍分別為a、b、c、d,則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為曲、叫、ad、be、

bd、〃共有6個，抽到《幾何原本》的基本事件為仍、訛、“d共有3個，所以抽到《幾何原本》的概率

31

為：尸.故選：A.

62

2.（2023春?河南）在1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，作為a,6的值，使方程a/+2版+1=0有2個不

相等的實數(shù)根的概率為（）

4552

A.-B.-C.—D.-

99123

【答案】D

【解析】6）取為（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）

共12種，其中使仆2+2笈+1=0有2個不等實根，即4/>4〃，的有8個，所以尸=m=§.故選：D.

3.（2023?全國?高一專題練習）某工廠為了檢驗某產(chǎn)品的質(zhì)量，隨機抽取100件產(chǎn)品，測量其某一質(zhì)量指數(shù),

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按[10,12）,[12,14）,[14,16）,[16,18）,[18,20]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)；

(2)若采用分層抽樣的方法從這一質(zhì)量指數(shù)在［16,18)和［18,20］內(nèi)的該產(chǎn)品中抽取6件，再從這6件產(chǎn)品中隨

機抽取2件，求這2件產(chǎn)品不是取自同一組的概率.

【答案】(1)15.

⑵色.

15

【解析】⑴因為(0.025+0.125)X2=0.3<0.5,0.3+0.200x2=0.7>0.5,

所以該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)在［14,16)內(nèi)，

設該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為機，則(切-14)x02+0.3=0.5,

解得m=15；

(2)由頻率分布直方圖可得100x0.100x2=20,100x0.050x2=1。，

即在［16,18)和［18,20］的產(chǎn)品分別由20,10件，

采用分層抽樣的方法抽取的6件產(chǎn)品中這一質(zhì)量指數(shù)在［16,18)內(nèi)的有4件，記為這一質(zhì)量指數(shù)在

［18,20］內(nèi)的有2件，記為ej,

從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ej,

共15種；其中符合條件的情況有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,共8種,

Q

故所求概率

4.(2023北京平谷)某高中高一500名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法

從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30),［30,40),…，卜0,90］,并整

理得到頻率分布直方圖如圖所示.

頻率1

組距

0.04.....................................................iH

0.02..............-.....................................................

0.01--------------------------I—I

02030405060708090分數(shù)

(1)從總體的500名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；

(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

(3)估計隨機抽取的100名學生分數(shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)；

(4)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生

和女生人數(shù)的比例.

【答案】(1)0.2

(2)25人

(3)眾數(shù)為75；測評成績的75%分位數(shù)為78.75

(4)3:2

【解析】(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于60的頻率為：(0.02+0.04+0.02)x10=0.8,

則分數(shù)小于60的頻率為：1-0.8=0.2,

故從總體的500名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為0.2；

(2)由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于50的頻率為：(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,

則分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為：100-100x0.9-5=5人，

則總體中分數(shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為：500x高=25人；

(3)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在區(qū)間［70,80)的頻率最高，

則隨機抽取的100名學生分數(shù)的眾數(shù)估計為75,

由頻率分布直方圖可得分數(shù)小于70的頻率為0.4,分數(shù)小于80的頻率為0.8,

則測評成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間［70,80)上，

035

則測評成績的75%分位數(shù)為70+10x——=78.75；

0.4

(4)由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02+0.04)x10x100=60人,

因為樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等

所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60X1=30人，

又因為樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,

所以樣本中的男生共有30義2=60人，

則樣本中的女生共有100-60=40人，

所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為60:40=3:2.

考點二事件的運算與關系

【例2-1］（2023?全國?高一專題練習）已知6件產(chǎn)品中有3件正品，其余為次品.現(xiàn)從6件產(chǎn)品中任取2件，

觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件互為對立事件的是（）

A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品

C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品

【答案】D

【解析】對于A項，恰好有1件次品和恰好有兩件次品互為互斥事件，但不是對立事件；

對于B項，至少有1件次品和全是次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；

對于C項，至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；

對于D項，至少有1件次品即存在次品，與全是正品互為對立事件.

故選：D.

【例2-2］（2023?全國?高一專題練習）甲、乙兩個元件構成一并聯(lián)電路，設￡="甲元件故障”，尸="乙元件故

障”，則表示電路故障的事件為（）

A.E\JFB.EC\FC.EC\FD.~EUF

【答案】B

【解析】因為甲、乙兩個元件構成一并聯(lián)電路，

所以只有當甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，所以表示電路故障的事件為￡口尸.故選：B

【一隅三反】

1.（2022秋?云南曲靖）（多選）現(xiàn)從3名男生和2名女生中選3名同學參加演講比賽，下列各對事件中為

互斥事件的是（）

A.事件AT選取的3人都是男生”，事件名女生都被選中”

B.事件AT選取的3人中至少有1名女生”，事件選取的3人中至少有1名男生”

C.事件AT選取的3人中恰有1名男生”，事件選取的3人中恰有1名女生”

D.事件選取的3人中至多有1名女生”，事件選取的3人中恰有1名男生”

【答案】ACD

【解析】對于A,“選取的3人都是男生”與“2名女生都被選中“不能同時發(fā)生，故",N為互斥事件，故A

正確.

對于B,“選取的3人中至少有1名女生”包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”，

“選取的3人中至少有1名男生”包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”，

故可同時發(fā)生，故",N不為互斥事件，故B錯誤.

對于C,“選取的3人中恰有1名男生”即為“選取的3人中1名男生，2名女生”，

“選取的3人中恰有1名女生”即為“選取的3人中1名女生，2名男生”，

不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故C正確.

對于D,“選取的3人中至多有1名女生”即為“選取的3人中均為男生或2名男生，1名女生”，

故“選取的3人中至多有1名女生”與“選取的3人中恰有1名男生”不能同時發(fā)生，

故為互斥事件，故D正確.

故選：ACD.

2.（2022?湖北）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”

與事件“至多有1名女生”（）

A.是對立事件B.都是必然事件

C.不是互斥事件D.是互斥事件但不是對立事件

【答案】C

【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機事件，故B錯誤.

事件，，至多有1名男生，，有兩種情況：2名學生都是女生或2名學生一男一女.

“至多有1名女生”有一種情況：2名學生一男一女.

故兩個事件不是對立事件、互斥事件，故AD錯誤，C正確，

故選：C.

3.（2022?高一課時練習）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：4="向上的點數(shù)為i”，其中

/=1,2,3,4,5,6,8="向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）

A.B.4+8=0C.4與3互斥D.4與否對立

【答案】c

【解析】對于A,4={2,3,4,5,6},8={2,4,6},，，1臺，故A錯誤；

對于B,4+8={2}。{2,4,6}={2,4,6}片。，故B錯誤；

對于C,4與B不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；

對于D,4={4},5={1,3,5）,4與豆是互斥但不對立事件，故D錯誤；

故選：C

4.（2022?上海?高二專題練習）已知事件N、B、C滿足NUB,BUC,則下列說法不正確的是（）

A.事件/發(fā)生一定導致事件C發(fā)生

B.事件8發(fā)生一定導致事件C發(fā)生

C.事件7發(fā)生不一定導致事件乙發(fā)生

D.事件6發(fā)生不一定導致事件》發(fā)生

【答案】D

【解析】由已知可得/UC,又因為NU5,BGC,如圖事件/,B,C用集合表示：

則選項A,B正確，

事件乙￡%,則C正確，D錯誤

5（2023上海徐匯）已知45是兩個隨機事件，且/=則下列選項中一定成立的是（）.

A.尸（/UB）=尸（/）+尸（8）B.P（4cB）=P（4>P（B）

c.尸（7U司=1-2⑶D.P（AuB）=l-P（B）

【答案】C

【解析】因為/=所以==所以尸8）=尸（⑼，故A錯誤；

尸（408）=尸（⑷，故B錯誤；尸（入B）=P伍）=1一尸（8）,故C正確;

P（彳①耳）=1-尸（4cB）=l-P⑷,故D錯誤.故選:C.

考點三事件的相互獨立性

【例3-1］（2023春?江蘇南京）（多選）甲乙兩人準備買一部手機，購買國產(chǎn)手機的概率分別為0.6,0.5,

購買白色手機的概率分別為0.4,0.6,若甲乙兩人購買哪款手機互相獨立，則（）

A.恰有一人購買國產(chǎn)手機的概率為0.5

B.兩人都沒購買白色手機的概率為0.52

C.甲購買國產(chǎn)白色手機的概率為0.48

D.甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機的概率為0.468

【答案】AD

【解析】由已知，甲乙兩人購買哪款手機互相獨立，

“甲購買國產(chǎn)手機”記為事件A,尸（工）=0.6；“乙購買國產(chǎn)手機”記為事件3,尸（3）=0.5；

“甲購買白色手機''記為事件C,尸（。）=04；"乙購買白色手機”記為事件。，P（D）=0.6,

對于選項A,恰有一人購買國產(chǎn)手機的概率為

尸（4月口18）=尸月）+尸（2B）=0.6x（l_0.5）+（l-0.6）x0.5=0.5,

故選項A正確；

對于選項B,兩人都沒購買白色手機的概率為P（團）=（1-04）x0-0.6）=024,故選項B錯誤；

對于選項C,“甲購買國產(chǎn)白色手機”記為事件￡,其概率為尸（E）=P（NC）=0.6x0.4=0.24,故選項C錯誤;

對于選項D,“乙購買國產(chǎn)白色手機”記為事件廠，其概率為尸（尸）=P（BO）=0.5x0.6=0.3,

結合選項C的判斷，甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機的概率為

PuEFo￡F）=0.24x0.3+0.24x（1-0.3）+（1-0.24）x0.3=0,468,

（也可以用1-尸（麗）=l-（l-0.24）x（l-0.3）=0.468進行計算），故選項D正確.

故選：AD.

【例3-2］（2023?全國?高一專題練習）（多選）從甲袋中摸出一個紅球的概率是:，從乙袋中摸出一?個紅球

的概率是方，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為:

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為：

D.2個球中恰有1個紅球的概率為g

【答案】ACD

【解析】設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件4，

則尸（4）=；，P（4）=；，

對于A選項，2個球都是紅球為44,其概率為=故A選項正確，

對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為1-）=3,故B選項錯誤，

對于C選項，2個球至少有一個紅球的概率為1-尸（4）p1）=l-gx；=j故C選項正確，

對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為+故D選項正確.

32322

故選：ACD.

【一隅三反】

1.（2022廣西）某俱樂部通過抽獎活動回饋球迷，獎品為第22屆世界杯足球賽吉祥物“拉伊卜”.已知中獎的

概率為:，則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為（）

11-11

A.—B.—C.一D.-

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