內蒙古呼和浩特市2025屆高三年級上冊第一次質量監(jiān)測數(shù)學試卷（含答案解析）

內蒙古呼和浩特市2025屆高三上學期第一次質量監(jiān)測數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/卜2-：={x10<x叫，則/口2=（）

A.0,1B.[o,；C.（0,1]D.[0,1]

2.已知命題P：VxeR,|x+l|>l；命題qHxeN,&+1eN，則（）

A.2和9都是真命題B.和9都是真命題

C.2和都是真命題D.T7和「夕都是真命題

3.已知i為虛數(shù)單位，5為復數(shù)z的共輾復數(shù)，復數(shù)Z滿足i3z=l+i，則同=（）

A.1B.72C.2D.73

4.已知平面向量1=（1-蒼-尤-3）,B=（1+X,2）,@不=一4,則）+2役與B的夾角為（）

7171-2兀371

A.-B.-C.—D.—

3434

5.若tan(a+：；|=-；,&是第二象限角，

則sina=()

A.拽n275「4sD.工

L?------

5555

6.已知雙曲線的兩個焦點分別為（4,0）,（-4,0）,點（4,-6）在該雙曲線上，則該雙曲線的離

心率為（）

A.y/3B.3C.2D.41

曲線歹=與＞=兀'

7.當XC[0,2TI]時,COSX2sin]2x+1的交點個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

8.已知圓錐P0的頂點為P,其三條母線尸4尸叢尸。兩兩垂直，且母線長為由.則圓錐P0的

側面積為（）

A.ORB.2指兀C.近~冗D.

2

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.某物理量的測量結果服從正態(tài)分布下列選項中正確的是（）

A.。越大，該物理量在一次測量中在。0總11.2）的概率越小

B.該物理量在一次測量中小于11的概率小于0.5

C.該物理量在一次測量中小于10.98與大于11.02的概率不相等

D.該物理量在一次測量中落在（10.8,11.2）與落在（10.9,11.3）的概率不相等

10.設函數(shù)/（"=/-6/+9》一4,則（）

A./'（X）有三個零點

B.x=l是/⑺的極大值點

C.曲線＞=/（x）為軸對稱圖形

D.（2,-2）為曲線y=的對稱中心

11.如圖，曲線C:尤'+了3-3叼=0（。＞0）過原點，其漸近線方程為/：x+y+a=0,則（）

A.曲線C關于直線＞=x對稱

B.點（見。）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外

C.若（%,%）在曲線C上，貝1]-4＜/+乂）＜%

D.曲線C在第一象限內的點到兩坐標軸距離之積的最大值為竺

4

三、填空題

12.用0與1兩個數(shù)字隨機填入如圖所示的3個格子里，每個格子填一個數(shù)字.若從左到右

數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總是1的個數(shù)不少于0的個數(shù)，則這樣填法的概率為.

試卷第2頁，共4頁

13.記V4BC的內角48,C的對邊分別為a,6,c.已知回sinC=csin25，

siM+V§cos/=24ABe外接圓直徑為4,則邊c的長為.

14.若x=0是〃x)=(4-4x+6)e，-2x-3的極小值點，則實數(shù)。的取值范圍

是.

四、解答題

15.記S"是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前"項和，弓=1,且。2-1,%-1，%成等比數(shù)列.

⑴求巴和凡；

(2)若b?S?=1,求數(shù)列入｝的前20項和七.

16.某廠為了考察設備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質率，質檢部門根據(jù)有放回簡單隨機抽樣得到的樣本

測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：

產(chǎn)品優(yōu)質品非優(yōu)質品

更新前2416

更新后4812

(1)依據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，分析設備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質率？

(2)如果以這次測試中設備更新后的優(yōu)質品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質率.質檢部門再次從設

備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)

質品，則認為設備更新成功，提高了優(yōu)質率；否則認為設備更新失敗.

①求經(jīng)核查認定設備更新失敗的概率。；

②根據(jù)。的大小解釋核查方案是否合理.

附：尸=_______"(ad-bc?_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/工)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

試卷第3頁，共4頁

17.如圖1,在菱形A8CD中，ZABC=120°,AB=4,AE=AAD,AF=AAB(O<2<1),沿EF

將A/E尸向上折起得到棱錐P-3CDE/.如圖2所示，設二面角尸的平面角為6.

圖1圖2

9

(1)當丸為何值時，三棱錐尸-55和四棱錐尸-5。砂的體積之比為不；

兀1

(2)當6=萬乂=5時，求平面PEF與平面PFB所成角(P的正弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=e，+x+a,g(x)=ln(x+l)+ln2.

⑴當。=0時，求f(x)在x=0處的切線方程；

(2)證明：當時，/(無)>g(x).

19.設點尸從格點/。,1)出發(fā)，沿格徑以最短的路線運動到點即每次運

動到另一格點時，橫坐標或縱坐標增加1.設點P經(jīng)過的所有格點中兩坐標乘積之和為S.

(1)當m=4/=3時，點A沿格徑以最短的路線運動到點B的方案有多少種？

(2)當加=4,〃=2時，求S的最大值;

⑶當點尸從格點/。,1)出發(fā)，沿格徑以最短的路線運動到點網(wǎng)加,")(以〃eN*)且求

S的最大值.(參考公式：="("+y+1))

1=16

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BBBBACCDADBD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】求出集合A,求出集合Zc5.

【詳解】因為4=｛x|-gwxw3，所以/口8=｛刈0<無V：｝.

故選：B.

2.B

【分析】分別判斷兩個命題的真假即可.

【詳解】當》=-1時，B+［=0<1,故命題0為假命題，命題力為真命題;

當x=0時，yjx2+1=1GN，故命題9為真命題，命題為假命題;

故~P和q都是真命題.

故選:B

3.B

【分析】利用復數(shù)的除法法則求出z,再求］的模.

【詳解】因為z=/=匕i=駕工=手=-1+1,

所以胃=_「i，貝1］閭=，(一1)2+(一1)2=血.

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標運算可得x=-l,再由平面向量的夾角公式代

入計算，即可得到結果.

［詳解］=-4n(l-x)(l+x)-21+3)=-4nx=-ln-=Q,-2),

b=(0,2)n著2/=(2,2),

cos(a+2b,b)=4+2))j0+4_V2

\a+2b\\b\272x2-2

Q(a+2b,b)e[0,7t],1+23=；

答案第1頁，共13頁

故選：B

5.A

【分析】運用兩角和的正切公式計算出tana=-2,再用三角函數(shù)定義求得sina.

【詳解】：￡tana+1

tan|a+得tan]a+：-j-,解得tana=-2.

31-tan

y225/5

。是第二象限角，a終邊取點（-1,2）,貝！Jsin1=二=忑=。

故選：A.

6.C

【分析】由焦點坐標可得焦距2c,結合雙曲線定義計算可得2a,即可得離心率.

【詳解】由題意，設耳（一4,0）、5（4,0）、尸（4,一6）,

則閨周=2c=8,閥|=,62+（4+41=10，|^|=^62+（4-4）2=6,

貝ij2a=|尸耳尸耳|=10-6=4,貝ije=1|=]=2.

故選：C.

7.C

【分析】作出兩函數(shù)在[0,2可上的圖象，結合圖象即可得答案.

【詳解】x=0時，y=2sin1-=73,

令2x+g=',得x=]，止匕時+

令2X+1=7T,x=-1-,止匕時y=2sin[2x]+三)=0,

八、兀3兀/口7兀_7TI7i]_

令2xH—=—,倚x=—,此時y—2sin2x1—=-2,

326I63J

令2x+g=2ji,得止匕時y=2sin12xg+m)=0,

x=2兀時，=2sin^2x27i+y^=2sin^=43,

函數(shù)y=2sin(2x+；j的周期7=1=兀，

結合周期，利用五點法作出圖象，

答案第2頁，共13頁

故選：c.

8.D

【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，然后由圓錐的側面積公式求

出結果即可.

【詳解】因為三條母線PB,PC兩兩垂直，且母線長為百，

所以VN8C為圓錐底面圓的內接正三角形，且邊長/2=3。=。4=6己=&，

由正弦定理可得底面圓的半徑R=工x=V2,

2sin60°

圓錐的側面積為拒*23百=&n；

2

故選：D

9.AD

【分析】接越大,正態(tài)密度曲線越“胖矮”可判斷A；根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷BCD.

【詳解】對于A,4為數(shù)據(jù)的方差，所以。越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，

所以測量結果落在(10.8,11.2)內的概率越小，故A正確；

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量小于11的概率為0.5,

故B錯誤；

對于C,因為11-10.8=11.2-11,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，

答案第3頁，共13頁

該物理量一次測量中小于10.98與大于11.02的概率概率相等，故C錯誤;

對于D,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，

該物理量在一次測量中落在(10總11.2)與落在(10.9,11.3)的概率不相等，

故D正確.

故選：AD.

10.BD

【分析】利用導數(shù)判斷出/'(x)的單調性，求出極值可得了("的大致圖象可判斷ABC；求

出〃2-x)+〃2+x)可判斷D.

【詳解】對于A,令/'(x)=3/一12X+9=0,解得X=1或X=3,

當x>3時，小)>0,/(x)單調遞增，

當x<l時，r(x)>0,/(無)單調遞增，

當l<x<3時，r(x)<0,/(x)單調遞減，

所以/'(無)在x=l處有極大值，為〃1)=1-6+9-4=0,

/()在尤=3處有極小值,為〃3)=33-6x3Z+27-4=T<0,

Xf(4)=43-6X42+36-4=0,

/(x)的大致圖象如下

所以/"(X)有兩個零點，故A錯誤；

對于B,由A選項可知x=l是/'(x)的極大值點，故B正確；

對于C,由A選項可知，當x>4時，/(x)>0,當x<l時，/(x)<0,

答案第4頁，共13頁

所以曲線y=/（x）不是軸對稱圖形，故c錯誤；

對于D,/（2-X）+/（2+X）=（2-X）3-6X（^-Xj+9xQ-x）-4+

（2+x）3-6x（2+x）2+9x（2+x）-4=-4,

所以（2,-2）為曲線y=的對稱中心，故D正確.

故選：BD.

11.ACD

【分析】根據(jù)對換陽y判斷A,點代入曲線判斷B,應用基本不等式判斷C,D.

【詳解】若把C的解析式Y+K-3叼=0中的X/互換，則方程不變，

故C的圖象關于直線>=尤對稱，A正確；

點（。,。）在第一象限，且/+/_3/=-/<o,故點（a,q）位于曲線c圍成的封閉區(qū)域（陰

影部分）內，B錯誤；

曲線在漸近線x+N+a=0的上方，故為>-尤o-a,BPJo+Xo>~a,

又當（%,%）在第一象限內時，

22

由由+4-3ax0%=0,得+%3=（%+y0）（x0-xoyo+y0）=3ax0%

3a%為3a

X。+Vn=52不2—5^363Q

故九x0-x0y0+y0故+%21,當且僅當％=%=”時，等號成立，

故-a<Xo+M）<%,C正確；

因為曲線。在第一象限內的點滿足％3+艮一3礙y=0,故3。中=1+艮N2yJX3y3,

即犯《丫，當且僅當x=y=m時，等號成立，

O/y2

故曲線C在第一象限內的點到兩坐標軸距離之積的最大值為絲，D正確.

4

故選：ACD.

3

12.-/0.375

O

【分析】根據(jù)列舉法應用古典概型計算即可.

【詳解】列出樹狀圖

答案第5頁，共13頁

101。

k

°i

1101。

基本事件的總數(shù)為8個，滿足條件的基本事件為(W),(1,0,1),(1,1,0)共3種,

3

所以概率為尸=廠

O

故答案為：f3.

O

13.2百

【分析】由正弦定理得求出8,由siiU+?cos/=2利用兩角和的正弦展開式求出A,從而

求出C,再利用正弦定理可得答案.

【詳解】V3^sinC=csin2S,由正弦定理得由sinBsinC=2sinCsinBcos5，

因為0＜。,5＜兀，所以sin。w0,sin5。0,

所以cos8=—，由0＜8＜兀得5

26

因為siM+V^cosZ=2JsirU+^^cos/=2sin]/+=2,

所以sin(4+?1=l,因為0＜4〈兀，所以Z+￡=可得力=9,

VJJ326

_271

所以。=兀一4—B=,

因為VABC外接圓直徑為4,

—^—=---=4

所以由正弦定理得sinC,2兀,

sin——

3

則邊C的長為C=4sing=26.

故答案為：2也.

14.[1,+(?)

【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負，對極值點條件轉化，判斷極值點，即可求解.

答案第6頁，共13頁

【詳解】x=0是〃x)=("2-4x+6)e，-2x-3的極小值點，

求導得尸(x)=e[ax2-4x+6+2ax-4)-2=e[ax2+(2a-4)x+2]-2.

/,(0)=e°[ax0+(2a-4)x0+2]-2=2-2=0,

因為0是極小值點，所以。e0,0)J'(x)<0J(x)單調遞減,3xe(0芳)J'(x)>0J(x)單

調遞增，

設g(x)=/[ox?+(2q-4)x+2]-2,g'(x)=eA^ax2+(4a-4)x+2a-2^|

當a21時，g[x)2,g(x)在R上單調遞增,g(0)=0,滿足xc(ro,0)/(x)=g(x)<0J(x)

在(-s,0)上單調遞減，

xe(0,+s)J'(x)=g(x)>0J(x)在(0,+⑹上單調遞增，符合題意；

當aV0時,g'(x)<0,g(x)在R上單調遞減,g(0)=0,xe(-oo,0)/(x)=g(x)>0J(x)在

(3,0)上單調遞增，

xe(O,+s)J'(x)=g(x)>OJ(x)單調遞減，0是極大值點，不合題意；

當0<a<1時，g，(x)=e[ax2+(4a-4)x+2"2]=0,

2

ax+(4a-4)x+2a-2=0有兩個卞艮X],Z設再<%,尤]x?=——-<0,<0<x2,

-a

工?再/2)，8，(%)<0苗(力在(西,苞)上單調遞減,8(。)=0,%€(芯,0),/'(力=8卜)>0,/卜)

在a，0)上單調遞增，

xe(O,X2)J'(x)=g(x)>OJ(x)在(0,%)上單調遞減，0是極大值點，不合題意;

故a>1.

故答案為：[1,+8).

72(72+1)

15.⑴⑸=〃，SL;；

40

(2)—

」21

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項的性質可求出d,再根據(jù)等差數(shù)列的通項

答案第7頁，共13頁

公式和前〃項和公式即可求解；

(2)結合題意，由(1)的結論可得”=不^百，利用裂項相消法即可求解.

磯〃+1J

【詳解】(1)設已知數(shù)列的公差為d,則-1”，

由(%-1)2=%(%T)，得(2療="(1+3〃)，即/-d=0,

所以d=l或d=0,顯然d不為0,所以d=l,

LLt、l〃伉+4”)〃(〃+1)

所以4=〃，s〃=~一J

22

⑵由⑴知"用，又2=1,

=2"A

16.(1)可以認為設備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質率

(2)①0.05792；②合理

【分析】(1)先計算出/的值，根據(jù)獨立性檢驗的思想對照臨界值得結論；

(2)根據(jù)二項分布的有關計算公式，求出對應的概率，并根據(jù)對應概率的大小，作出正確

的判斷.

【詳解】(1)零假設為%：設備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質率獨立，即設備更新前與更新后的產(chǎn)品

優(yōu)質率沒有差異.

由列聯(lián)表可計算/=100x(24x12-48x16)^4^2>3841；

40x60x72x28

依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，

我們可以推斷〃。不成立，因此可以認為設備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質率.

(2)根據(jù)題意，設備更新后的優(yōu)質率為0.8.可以認為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質

是相互獨立的.

①設X表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質品的件數(shù)，則丫~3(5,0.8),可得

答案第8頁，共13頁

p=P(XV2)=C;X0.25+C：X0.8X0.24+C；x0.8?x0.23=0.05792.

②實際上設備更新后提高了優(yōu)質率.

當這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質品件數(shù)不超過2件時，認為更新失敗，此時作出了錯誤的判斷,

由于作出錯誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.

2

17.⑴人h

⑵乎

ys9S9

【分析】(I)由題意，結合圖形，得產(chǎn)m='，即—=7,再由相似三角

P-BDEF,四邊形助物‘'AAEF4

形的性質即得；

(2)由條件推得NPOC為直二面角尸-吹-8的平面角，利用其建系，寫出相關點的坐標,

分別求出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得.

■、江總刀1/1、r+t后!/rn"P-BCD_WBCD_ABD_9..ABD9

【詳解】⑴由圖知，v_s一「從而，c—~7

VP-BDEF'四邊形5DE尸也邊形°、AAEF4

__._____.__.AV[X7

@AE=AAD,AF=AAB,故造//5。,貝ij△/跖?AADB,于是，2=—=J-=y；

(2)因為菱形45C。的對角線互相垂直，

設/C與防的交點為O,由2=!可知。點為線段昉的中點，

在翻折的過程中，始終有尸EROCLEF,

IT

所以二面角尸-斯-8的平面角為/尸oc=e=x，

2

以。為坐標原點，OROC,。尸分別為x軸、y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

答案第9頁，共13頁

nPF=x-V3z=0

設平面PFB的法向量為五=(%,y,z),貝！|，

n-FB=x+=0

令x=#),則y=T,z=l,可取元=(6,一1,1)

因。C_L平面「￡尸,故平面PEF的法向量可取為所=(0,1,0),

由題意可得|cos@|=|co麗，司===[■,因

故sin0=

18.(l)2x-y+l=0

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導數(shù)得出切線斜率，再寫出切線方程；

(2)分別構造函數(shù)再求導函數(shù)得出函數(shù)單調性，最后結合中介函數(shù)>=2x+l得出函數(shù)的不

等關系.

【詳解】⑴當。=0時,/(x)=e'+x,/(O)=l,且洋(x)=e，+lJ'(O)=2,

所以切線方程為了-1=2(尤-0),即2x-y+l=0.

(2)由題意知x>-l,

設%(x)=f(x)-(2x+l)—ex—x—\+a,則=e*—1,

令h'(x)>0得x>0,令h'(x)<0得一1<x<0,

故/i(x)在(T，°)單調遞減，在(0,+8)單調遞增，/z(x)>//(O)=(z>O,

所以;■(x"2x+l,當且僅當x=0=。時，等號成立.

設9(尤)=(2x+l)-g(無)=2x-ln(x+l)+l-ln2,貝！J(p'(x)=2—=之無十1,

'x+lX+1

令(p’(x)>0得%>--，令，(%)V0得<%<--，

故s(x)在-;[單調遞減，在[;,+81單調遞增，0(x)N0[-g]=-l-ln；+l-ln2=0,

所以2x+12g(x),當且僅當彳=-；時，等號成立，

綜上可得，/(x)>2x+l>g(x),等號不能同時成立，

答案第10頁，共13頁

所以，y（x）>g（x）.

19.⑴C；=10

（2）21

⑶Smax=1?（3w2+M2+3m-l）.

6

【分析】（1）分析從點/（1,1）到點8（4,3）的過程，只需確定橫格或確定縱格即可確定路線,

由此即可求出方案數(shù)；

（2）結合圖形，考慮不同的路線方案，計算S的值，取其最大者即得；

m+n—\

（3）依題，要使S=X%冊最大，應使4片盡可能接近.先證明猜想：如果

1=1

（陽,必）,區(qū)使s最大，則對任何七<：%%<〃，有卜「其區(qū)1成立，接著

分加="和/>〃兩種情況列出黑緘的表達式，利用參考公式與等差數(shù)列求和公式求和即得.

【詳解】（1）因從點/（U）到點以4,3）的路線，至少經(jīng)過三個橫格與兩個縱格，

只需確定了橫格或縱格，方案即確定，故方案種數(shù)為c；=io；

（2）方案一*

/（l,l）->￡（2,l）->A（3,l）f與（4,1）->月（4,2）,

5=1x1+2x1+3x1+4x1+4x2=18；

方案二：-￡（2,1）.P3（2,2）.乙（3,2）TP5（4,2）,

5=1x1+2x1+2x2+3x2+4x2=21；

方案三：/（案）-案（2,1）-R（3,1）f案（3,2）-J（4,2）,

5=1x1+2x1+2x2+3x1+4x2=18；

方案四：4（1,1）-"（1,2）TP3（2,2）一匕（3,2）TP5（4,2）,

5=1x1+1x2+2x2+3x2+4x2=21.

所以，S的最大值為21.

（3）設尸經(jīng)過的點依次為q=/（1,1）線,…，2…=8（辦〃）/的坐標為（4％）,

答案第11頁，共13頁

m+n-1

則5=X斗瑪，要使S最大，應使4％盡可能接近.

1=1

于是猜想：如果（占,%）,的力），…，'+“_”幾+“_1）使5最大，則對任何為<九%<〃，有