山東省青島市平度市某中學2024-2025學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（含答案解析）

山東省青島市平度市杭州路中學2024-2025學年上學期九年級

10月月考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+1=0B.x2+y=lC.x2+2x+1=0D.x2+—=1

x

2.在四邊形4BC。中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形/BCD為矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.NA=/BD.ZA=ZD

3.用配方法解方程/-4x7=0時，配方后正確的是（）

A.（尤+2）2=3B.（x+2）2=17C.-2）2=5D.（x-2）2=17

4.如圖，在平行四邊形48co中，AB=4,BC=6,將線段48水平向右平移a個單位長

度得到線段環(huán)，若四邊形ECD廠為菱形時，則a的值為（）

5.在一個不透明的盒子中有20個除顏色外均相同的小球，每次摸球前先將盒中的球搖勻，

隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)

定于0.5,由此可估計袋中紅球的個數(shù)為（）

A.12個B.10個C.8個D.6個

6.若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程/-10x+機=0的兩個實數(shù)根,

且其面積為11,則該菱形的邊長為（）

A.y/3B.2A/3C.V14D.2ym

7.一個不透明的袋子里裝有質(zhì)地、大小都相同的3個紅球和1個綠球；隨機從中摸出一球,

不再放回，充分攪均后再隨機摸出一球.則兩次都摸到紅球的概率是（）

試卷第1頁，共4頁

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(9,0),點C的坐標為(0,3),以為邊

作矩形CM3C.動點E,歹分別從點O,2同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿048c

向終點N,C移動.當移動時間為4秒時，/CEF的值為()

二、填空題

9.方程N=4X的解

10.如圖，正方形/BCD的對角線/C,BD交于點、O,P為邊8C上一點，且3尸=03,則

ZCOP的度數(shù)為.

11.關(guān)于x的一元二次方程("-2)f+4x+2=0有兩個實數(shù)根,則m的取值范圍是.

12.一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次

降價的百分率為

13.如圖，矩形48C。的對角線/C、8。相交于點O,過點。作交/。于點￡

14.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知N/8C=60。，則陰影部分的面積

是.

試卷第2頁，共4頁

A,

B;V

15.為開展“喜迎二十大、永遠跟黨走、奮進新征程”主題教育宣講活動，某單位從甲、乙、

丙、丁四名宣講員中隨機選取兩名進行宣講，則恰好選中甲和丙的概率為.

16.在一個不透明盒子中放入四張卡片，四張卡片上分別寫有數(shù)字-2,-1,0,1,每張卡片除

數(shù)字不同外其他都相同從中隨機抽取兩張卡片，其數(shù)字之和為非負數(shù)的概率是.

三、解答題

17.解方程：

⑴x(x+2)=2+x；

(2)3X2-6X-1=0.

18.如圖，在平行四邊形4BCD中，E為線段CD的中點，連接ZC,AE,延長BC交

于點尸，連接。尸，ZACF=90°.

⑴求證：四邊形ZCED是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四邊形/3CE的面積.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程/-(加+2)x+〃?-l=0.

(1)求證：無論皿取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為%,且-網(wǎng)迎=9,求加的值.

20.九年級某班同學在畢業(yè)晚會中進行抽獎活動，在一個不透明的口袋中有三個完全相同的

小球，把它們分別標號為1,2,3.隨機摸出一個小球記下標號后放回攪勻，再從中隨機摸

出一個小球記下標號.規(guī)定當兩次摸出的小球標號相同時中獎，求中獎的概率，請用畫樹狀

圖或列表法的方法求中獎的概率.

試卷第3頁，共4頁

21.某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈

利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷

售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.

(1)若降價6元時，則平均每天銷售數(shù)量為多少件？

(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

22.如圖，平行四邊形N8CO中，AE、CF分別是N8N。、N3C。的平分線，且E、歹分別

在邊BC、4D上，AE=AF.

(1)求證：四邊形/ECF是菱形；

⑵若N4BC=60。，的面積等于4月，求平行線4&與DC間的距離.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678

答案CCCBBCCA

1.C

【分析】一元二次方程的概念：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元

二次方程，據(jù)此逐項判斷即可.

【詳解】解：A中方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，故不是一元二次方程，不符合題意；

B中方程含有兩個未知數(shù)，故不是一元二次方程，不符合題意；

C中方程是一元二次方程，符合題意；

D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關(guān)鍵.

2.C

【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.

【詳解】A：VAB//CD,AD//BC,AB=CD

/8C。為平行四邊形而非矩形

故A不符合題意

B：AD=BC,AD//BC,AB=CD

???/BCD為平行四邊形而非矩形

故B不符合題意

C：VAD//BC

:.ZA+ZB=180°

NA=ZB

ZA=ZB=90°

vAB=CD

：.AB//CD

，四邊形N5C。為矩形

故C符合題意

D：AD//BC

答案第1頁，共14頁

:.ZA+ZB=180°

NA=ND

:.ND+NB=180P

/BCD不是平行四邊形也不是矩形

故D不符合題意

故選：C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練

掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上4,即可求解.

【詳解】解：x2-4x-1=0

移項得，x2-4x=1

兩邊同時加上4,即f-4x+4=5

A(X-2)2=5,

故選：C.

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CZ)=/B=4,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到

EC=CD=4,然后求解即可.

【詳解】：四邊形"CD是平行四邊形，

CD=AB=4,

?.?四邊形ECDP為菱形，

EC=CD=4,

'：BC=6,

：.BE=BC-CE=2,

a—2.

故選：B.

【點睛】此題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

以上知識點.

答案第2頁，共14頁

5.B

【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以

從比例關(guān)系入手，列出方程求解.

【詳解】解：設(shè)盒子中有紅球x個，

由題意可得：^=0.5,

解得：x=10,

故選：B.

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是利用了用大量試驗得到的頻率

可以估計事件的概率，根據(jù)紅球的頻率得到相應的等量關(guān)系.

6.C

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到。+6=10,根據(jù)菱形的面積得到仍=22,

利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案.

【詳解】解：設(shè)方程/-10x+根=0的兩根分別為a,b,

,?。+6=10,

???。，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11,

—ab=11,BPab=22,

2

???菱形對角線垂直且互相平分，

???該菱形的邊長為=3d小+方=g個(a+b)2-2ab

=-A/102-2X22=V14,故C正確.

2

故選：C.

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系

得出“+6=10是解題的關(guān)鍵.

7.C

【詳解】解：列表得：

答案第3頁，共14頁

（紅,綠）（紅,綠）（紅，綠）

（紅，紅）（紅，紅）（綠，紅）

（紅,紅）（紅,紅）（綠，紅）

（紅，紅）（紅，紅）（綠，紅）

..，一共有12種情況，兩次都摸到紅球的6種，...兩次都摸到紅球的概率是9=0.5.故選C.

12

點睛：本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意

此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

8.A

【分析】根據(jù)題意，得出￡（4,0）,尸（5,3）,勾股定理求得￡/=而，AC=3y/lQ，即可求

解.

本題考查了坐標與圖形，勾股定理求兩點坐標距離，矩形的性質(zhì)，求得瓦尸的坐標是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接NC、EF,

>

X

:點N的坐標為（9,0）,點C的坐標為（0,3）,以O(shè)4OC為邊作矩形CM3C.

OA=BC=9,OC=AB=3,

???8（9,3）,/C=奴+鄉(xiāng)?=3標，

依題意，OE=4xl=4,族=4x1=4,

/.AE=9-4=5,則￡（4,0）,

:.CF=BC-BF=9—4=5,

,尸（5,3）,

EF=J（5-4）2+（3-0）2=屈,

答案第4頁，共14頁

AC-EF=3710x710=30.

故選：A.

9.x=0或x=4

【分析】先移項，使方程右邊為0,再提公因式x,然后根據(jù)“兩式相乘值為0,這兩式中至

少有一式值為0.”進行求解.

【詳解】解：原方程變?yōu)?/p>

x2-4x=0

x(x-4)=0

解得x/=0,x?=4,

故答案為：x=0或x=4.

【點睛】本題考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解題的關(guān)鍵.

10.22.50/22.5度

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)四邊形/BCD是正方形，可得/3OC=90。，

ZOBC=45°,再根據(jù)AP=OB,即可求出/COP的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形是正方形，

NBOC=90°,ZOBC=45°,

???BP=OB,

ZBOP=ABPO,

ZBOP=ZBPO=(18CP-45°>2=67.5°,

ZCOP=909-67.5°=22.5°.

故答案為：22.5°.

11.W4且加R2

【分析】本題考查了一元二次方程*2+瓜+°=0(awO,a,b,c為常數(shù))的定義以及根

的判別式A=〃-4“c,理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當A>0時，方

程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<0時，方程沒有實

數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義列出不等式，解不等式求解即可.

【詳解】解：二?關(guān)于x的一元二次方程(加-2)f+4x+2=0有實數(shù)根

/.A=/,2-4ac=42-4x(m-2)x2>0J=Lm-2^0,

答案第5頁，共14頁

解得"z44且機H2,

故答案為：

12.25%

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，設(shè)每次降價的百分率為無，根據(jù)原價每盒48

元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，列出方程進行求解即可.

【詳解】解：設(shè)每次降價的百分率為x,

由題意,得：48(1-x)2=27,

17

解得：須=7=25%,x=-(舍去)；

424

故答案為：25%.

13.T

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等知識點，數(shù)形結(jié)合、

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.連接CE,由矩形的性質(zhì)可得/CDE=90。，

AD=BC=8,AB=DC=6,AO=OC,由OE_L/C,AO=OC,可知垂直平分/C,

則可得/E=CE；設(shè)DE=x,則/E=CE=8-x,在中，由勾股定理得關(guān)于x的

方程，求解即可.

【詳解】解：連接CE,如圖：

在矩形/5CZ）中，AB=6,BC=8,

\fiCDE=90°,AD=BC—8,AB=DC=6,AO=OC,

■：OELAC,

AE=CE,

設(shè)Z）E=X,則4E=CE=8-x,

在Rt^CDE中，由勾股定理得：DE1+DC1=CE~,

x2+62=（8-x）2,

解得：

4

答案第6頁，共14頁

故答案為：--.

4

14.673

【分析】首先過點3作BE，ND于點￡,BFLCD于點、F,由題意可得四邊形4BC。是平

行四邊形，繼而求得/6=8C的長，判定四邊形N3CD是菱形，則可求得答案.

【詳解】過點B作BE工AD于點E,BFLCD于點F,

根據(jù)題意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

??ZABC=ZADC=60°,

ZABE=ZCBF=30°,

:.AB=2AE,BC=2CF,

AB2=AE2+BE2>BE=3,

,AB=2日

同理：BC=2C,

：.AB=BC,

四邊形是菱形，

AD=2也,

S菱%BC3=4DxBE=64i.

故答案為：6A/3.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30。角的

直角三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線.

1

15.一

6

【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，可得一共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選中甲和丙的有

2種，再根據(jù)概率公式計算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如下：

答案第7頁，共14頁

開始

一共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選中甲和丙的有2種，

21

所以恰好選中甲和丙的概率為R=Z.

126

故答案為：~~

6

【點睛】利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵.

16-i

【分析】根據(jù)題意,列出樹狀圖表示出所有可能，再求出兩張卡片上數(shù)字之和為非負數(shù)的結(jié)果

數(shù)即可解題.

【詳解】解：畫樹狀圖如解圖：

開始

______-

第一次-2-10I

/Tx/Tx/Tx/Tx

第二次_]01-201-2-11-2-10

和-3-2-1-3-10-2-11-101

由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上數(shù)字之和為非負數(shù)的結(jié)果有

4種,

41

:.P（兩數(shù)之和為非負數(shù)）

123

故答案是：—.

【點睛】本題考查了用列樹狀圖的方法求概率，屬于簡單題，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵，主要

失分原因：①畫樹狀圖或列表發(fā)生錯誤；②對非負數(shù)的概念理解有誤.

—

17.(1)再=2,x2—1

(2)X]=1+-^―,x2=1—

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

答案第8頁，共14頁

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可;

(2)利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)x(x+2)=2+x

x(x+2)-(x+2)=0

(x+2)(x-l)=0

x+2=0或x-1=0

?,X]=-2,%2=1；

(2)3X2-6X-1=0

a=3,b=—6,c——1

A=Z>2-4ac=(-6)2-4x3x(-l)=48>0

._6土匹_6±46_3±2或

,,x---------------------------------

2x363

,12百2^/3

??X.—1H-------,—11--------?

1323

18.(1)證明，見解析

(2)45

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得4D〃8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得皿F=NAFC,

ZADC=ZDCF；再根據(jù)￡為線段。的中點，全等三角形的判定，則=,根

據(jù)矩形的判定，即可；

（2）過點￡作￡6，/<:于點6,根據(jù)勾股定理，求出。尸的長，再根據(jù)四邊形N3CE的面

積等于S.ABCSAAEC，即可.

【詳解】（1）,??四邊形/BC。是平行四邊形，

AD//BC,

：.ZDAF=ZAFC,N4DC=ZDCF,

為線段C。的中點，

DE=CE,

AADE=AFCE,

AE=EF,

答案第9頁，共14頁

，四邊形ACFD是平行四邊形，

??ZACF=90°,

平行四邊形ZCED是矩形.

(2)過點E作EGL/C于點G,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=BC,

..?四邊形/。即是矩形，

/.AD=CF,

：.AD=BC=CF=5,

?：CD=13,

DF=V132-52=12，

，四邊形ABCE的面積等于S.ABC+S.AEC，

???S"c=gxNCx8C=gxl2x5=30,S”=gx/CxGE,

:點E是對角線的中心，

GE=—AD=—,

22

S,=-xyiCxG￡,=-xl2x-=15,

aACrEF222

，四邊形43CE的面積為：30+15=45.

【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是矩形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

19.(1)證明見解析;

(2)叼=1或加2=-2.

答案第10頁，共14頁

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌

握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)根的判別式證明A>0恒成立即可；

(2)由題意可得，xl+x2=m+2,Xj-x2=m-\,進行變形后代入即可求解.

【詳解】(1)證明：A=[-(m+2)]2-4xlxm2+S,

:無論加取何值，加2+8>o,恒成立，

...無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：丫和巧是方程*加+2h+加-1=0的兩個實數(shù)根,

xt+x2=7M+2,xi-x1-m—\,

-2

x；+xf-X[X2=+x2)-3X[X2=(m+2)-3(m-l)=9,

解得：/=1或嗎=-2.

1

20.

3

【分析】】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小

球標號相同時的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

123123123

則共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球標號相同時的情況有3種，

所以中獎的概率=1=；.

【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

21.(1)平均每天銷售數(shù)量為32件

(2)當每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元

【分析】(1)根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價每降低1元，平均每

天可多售出2件“，列出平均每天銷售的數(shù)量即可，

答案第11頁，共14頁

（2）設(shè)每件商品降價x元，根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價每降低

1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出關(guān)于尤的一元二次方程，解之，

根據(jù)實際情況，找出盈利不少于25元的答案即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：

若降價6元，則多售出12件，

平均每天銷售數(shù)量為：12+20=32（件），

答：平均每天銷售數(shù)量為32件；

（2）解：設(shè)每件商品降價x元，

根據(jù)題意得：

（40-x）（20+2x）=1200,

解得：士=10,x2=20,

40-10=30>25,（符合題意），

40-20=20<25,（舍去），

答：當每件商品降價10元時，該商店每