61平面向量的概念(典例精講)-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)精講檢測(cè)(人教A版2019)(原卷版)

6.1平面向量的概念典例精講典例精講本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)目錄：向量概念；向量的幾何表示。相等向量零向量和單位向量平行向量向量的模向量應(yīng)用題一、向量概念1.向量：有大小有方向。2.區(qū)分標(biāo)量和矢量3.向量表示，可以用有向線段4.向量字母表示,注意的區(qū)別【典型例題】【例1】下列說法中正確的個(gè)數(shù)是①身高是一個(gè)向量；②的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量A．0 B．1 C．2 D．3【例2】給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說法正確的是A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【例3】下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是()①時(shí)間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與b不共線，則與b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．4【例4】給出下列說法：①和的模相等；②方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量就是有向線段；④；⑤.其中正確說法的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【例5】下列各命題中假命題的個(gè)數(shù)為()①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等．②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同．④兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上．⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．A．2 B．3C．4 D．5【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.以下選項(xiàng)中，都是向量的是（）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度2.下列各說法:①有向線段就是向量,向量就是有向線段;②向量的大小與方向有關(guān);③任意兩個(gè)零向量方向相同;④模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量.其中正確的有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3.向量的兩個(gè)要素為______和______.4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標(biāo)量）？（1）密度（2）體積（3）電阻（4）推進(jìn)力（5）長(zhǎng)度（6）加速度向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫相應(yīng)編號(hào)）.5.下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3二、向量的幾何表示1.有向線段2.線段可以自由平移（保持方向、長(zhǎng)度不變）3.注意向量平移和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系。【典型例題】【例1】某人向正東方向行進(jìn)100米后，再向正南方向行進(jìn)100米，則此人位移的方向是()A．南偏東60° B．南偏東45°C．南偏東30° D．南偏東15°【例2】分別以正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)【例3】設(shè)四邊形ABCD中，有，且，則這個(gè)四邊形是A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【例4】在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是（）A．單位圓 B．一段弧C．線段 D．直線【例5】在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；2.在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.3.某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．（1）作出向量，，；（2）求的模．4.如圖，某人上午從A到達(dá)了B，下午從B到達(dá)了C，請(qǐng)?jiān)趫D上用有向線段表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天內(nèi)的位移.三、相等向量1.相等向量：長(zhǎng)度相等方向相同2、因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲韵嗟认蛄坎皇芪恢孟拗??！镜湫屠}】【例1】?jī)蓚€(gè)非零向量相等，則下列說法中不一定成立的是（）A．它們的方向相同 B．它們的大小相同 C．它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同 D．它們的負(fù)向量相等【例2】命題“若，，則”的真假性為（________）【例3】如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點(diǎn)，則在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對(duì)數(shù)為（）A．9 B．11C．18 D．24【例5】如圖，在中，點(diǎn)D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點(diǎn)，在以A?B?C?D?E?F為端點(diǎn)的向量中，與向量的模相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.四、零向量和單位向量1.零向量的長(zhǎng)度為0。2.零向量方向是任意的，因而可以與任何向量平行（共線），3.單位向量長(zhǎng)度是一個(gè)單位。4.引入向量單位化計(jì)算公式：注意同向與方向【典型例題】【例1】已知向量，是單位向量，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【例2】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【例3】若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【例4】下列命題中正確的個(gè)數(shù)是①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【例5】設(shè)是與向量同向的單位向量，是與向量反向的單位向量，則下列式子中不正確的是（）A． B． C． D．【例6】下列命題：①若是單位向量，也是單位向量，則與的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)為起點(diǎn)，所有單位向量的終點(diǎn)的集合是以為圓心的單位圓其中正確的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.下列說法中，正確的是（）①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線．A．①② B．②③ C．②④ D．①④2.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．零向量是沒有方向的C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量B．零向量與任意向量都不平行C．平行向量就是共線向量D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量4.若向量和都是單位向量，并且夾角大小為，則以和為鄰邊的平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度為____________.五、平行向量（共線向量）1.平行向量：方向相同或者相反2.平行向量長(zhǎng)度之間沒有關(guān)系。3.因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭疲云叫邢蛄?，也可以在一條直線上【典型例題】【例1】向量___________.【例2】如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有_____個(gè).【例3】下列命題中，正確的是（）A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線B．“”的充要條件是且C．若與共線，與共線，則與共線D．向量與不共線，則與都是非零向量【例4】下面命題說法正確的個(gè)數(shù)是（1）向量，共線，向量、共線，則與也共線；（2）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；（3）向量與不共線，則與都是非零向量；（4）有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4【例5】為非零向量，“”為“共線”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【例6】設(shè)是任一向量，是單位向量，且，則下列表達(dá)式中正確的是（）A． B． C． D．【例7】下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號(hào)為A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.下列說法不正確的是（）A．平行向量也叫共線向量B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合C．若為非零向量，則是一個(gè)與同向的單位向量D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且模相等的向量，其終點(diǎn)必相同2.下列命題中，正確的是（）A．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不共線B．“”的充要條件是且C．若與共線，與共線，則與共線D．向量與不共線，則與都是非零向量3.給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的命題有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4.下列說法中正確的是（）A．若，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形B．零向量與單位向量的模相等C．若和都是單位向量，則或D．零向量與任何向量都共線5.如圖，在中，向量是（）A．有相同起點(diǎn)的向量 B．共線向量 C．模相等的向量 D．相等向量6.下列說法正確的是A．與向量共線的單位向量只有B．向量與平行，則與的方向相同或相反C．向量與向量是兩平行向量D．單位向量都相等向量的模1.模：向量的長(zhǎng)度2.記作：3.向量的模是有向線段的長(zhǎng)度?！纠?】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，，分別是的邊，的中點(diǎn)，則（）A．且 B．且C．且 D．且【例2】下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線【例3】下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例4】下列說法錯(cuò)誤的是A．向量與的長(zhǎng)度相同 B．單位向量的長(zhǎng)度都相等C．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) D．零向量是沒有方向的向量【例5】將向量用具有同一起點(diǎn)M的有向線段表示，當(dāng)與是平行向量，且時(shí)，________.【例6】若在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正三角形中，一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線段為（其中D在邊上運(yùn)動(dòng)），則向量的模的最小值為_________.七、向量應(yīng)用題 【例1】一位模型賽車的賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進(jìn)1m，然后將行駛方向按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，繼續(xù)按直線方向前進(jìn)1m，再將行駛方向按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后繼續(xù)按直線方向前進(jìn)1m，…，按此方法繼續(xù)操作下去.（1）作圖說明當(dāng)時(shí)，最少操作幾次可使賽車的位移為0？（2）按此方法操作，試寫出幾種賽車能回到出發(fā)點(diǎn)的操作.【例2】某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了20