61平面向量的概念(典例精講)-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)精講檢測(人教A版2019)(原卷版)

6.1平面向量的概念典例精講典例精講本節(jié)課知識點目錄：向量概念；向量的幾何表示。相等向量零向量和單位向量平行向量向量的模向量應(yīng)用題一、向量概念1.向量：有大小有方向。2.區(qū)分標量和矢量3.向量表示，可以用有向線段4.向量字母表示,注意的區(qū)別【典型例題】【例1】下列說法中正確的個數(shù)是①身高是一個向量；②的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量A．0 B．1 C．2 D．3【例2】給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.下列說法正確的是A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【例3】下列說法中，正確的個數(shù)是()①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④向量與b不共線，則與b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．4【例4】給出下列說法：①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③向量就是有向線段；④；⑤.其中正確說法的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【例5】下列各命題中假命題的個數(shù)為()①向量的長度與向量的長度相等．②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同．④兩個有共同終點的向量，一定是共線向量．⑤向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上．⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．A．2 B．3C．4 D．5【對點實戰(zhàn)】1.以下選項中，都是向量的是（）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度2.下列各說法:①有向線段就是向量,向量就是有向線段;②向量的大小與方向有關(guān);③任意兩個零向量方向相同;④模相等的兩個平行向量是相等向量.其中正確的有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3.向量的兩個要素為______和______.4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標量）？（1）密度（2）體積（3）電阻（4）推進力（5）長度（6）加速度向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫相應(yīng)編號）.5.下列說法正確的個數(shù)為（）①面積、壓強、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3二、向量的幾何表示1.有向線段2.線段可以自由平移（保持方向、長度不變）3.注意向量平移和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系?！镜湫屠}】【例1】某人向正東方向行進100米后，再向正南方向行進100米，則此人位移的方向是()A．南偏東60° B．南偏東45°C．南偏東30° D．南偏東15°【例2】分別以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的所有有向線段能表示的不同向量有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．12個【例3】設(shè)四邊形ABCD中，有，且，則這個四邊形是A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【例4】在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是（）A．單位圓 B．一段弧C．線段 D．直線【例5】在直角坐標系中畫出下列向量，使它們的起點都是原點，并求終點的坐標（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.【對點實戰(zhàn)】1.如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；2.在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；（2），使＝4，點B在點A正東；（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.3.某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．（1）作出向量，，；（2）求的模．4.如圖，某人上午從A到達了B，下午從B到達了C，請在圖上用有向線段表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天內(nèi)的位移.三、相等向量1.相等向量：長度相等方向相同2、因為向量可以自由平移，所以相等向量不受位置限制。【典型例題】【例1】兩個非零向量相等，則下列說法中不一定成立的是（）A．它們的方向相同 B．它們的大小相同 C．它們的起點和終點相同 D．它們的負向量相等【例2】命題“若，，則”的真假性為（________）【例3】如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分別為AB與CD的中點，則在以A，B，C，D，M，N為起點和終點的所有向量中，相等向量的對數(shù)為（）A．9 B．11C．18 D．24【例5】如圖，在中，點D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點，在以A?B?C?D?E?F為端點的向量中，與向量的模相等的向量的個數(shù)是___________.四、零向量和單位向量1.零向量的長度為0。2.零向量方向是任意的，因而可以與任何向量平行（共線），3.單位向量長度是一個單位。4.引入向量單位化計算公式：注意同向與方向【典型例題】【例1】已知向量，是單位向量，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【例2】設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則上述命題中，假命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【例3】若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【例4】下列命題中正確的個數(shù)是①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【例5】設(shè)是與向量同向的單位向量，是與向量反向的單位向量，則下列式子中不正確的是（）A． B． C． D．【例6】下列命題：①若是單位向量，也是單位向量，則與的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標平面上的定點為起點，所有單位向量的終點的集合是以為圓心的單位圓其中正確的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【對點實戰(zhàn)】1.下列說法中，正確的是（）①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線．A．①② B．②③ C．②④ D．①④2.下列說法錯誤的是（）A．若，則B．零向量是沒有方向的C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的3.下列說法錯誤的是（）A．長度為0的向量叫做零向量B．零向量與任意向量都不平行C．平行向量就是共線向量D．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量4.若向量和都是單位向量，并且夾角大小為，則以和為鄰邊的平行四邊形的較長的對角線的長度為____________.五、平行向量（共線向量）1.平行向量：方向相同或者相反2.平行向量長度之間沒有關(guān)系。3.因為向量可以自由平移，所以平行向量，也可以在一條直線上【典型例題】【例1】向量___________.【例2】如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與平行且模為的向量共有_____個.【例3】下列命題中，正確的是（）A．有相同起點的兩個非零向量不共線B．“”的充要條件是且C．若與共線，與共線，則與共線D．向量與不共線，則與都是非零向量【例4】下面命題說法正確的個數(shù)是（1）向量，共線，向量、共線，則與也共線；（2）任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點；（3）向量與不共線，則與都是非零向量；（4）有相同起點的兩個非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4【例5】為非零向量，“”為“共線”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【例6】設(shè)是任一向量，是單位向量，且，則下列表達式中正確的是（）A． B． C． D．【例7】下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號為A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【對點實戰(zhàn)】1.下列說法不正確的是（）A．平行向量也叫共線向量B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合C．若為非零向量，則是一個與同向的單位向量D．兩個有共同起點且模相等的向量，其終點必相同2.下列命題中，正確的是（）A．有相同起點的兩個非零向量不共線B．“”的充要條件是且C．若與共線，與共線，則與共線D．向量與不共線，則與都是非零向量3.給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中正確的命題有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4.下列說法中正確的是（）A．若，則A，B，C，D四點構(gòu)成一個平行四邊形B．零向量與單位向量的模相等C．若和都是單位向量，則或D．零向量與任何向量都共線5.如圖，在中，向量是（）A．有相同起點的向量 B．共線向量 C．模相等的向量 D．相等向量6.下列說法正確的是A．與向量共線的單位向量只有B．向量與平行，則與的方向相同或相反C．向量與向量是兩平行向量D．單位向量都相等向量的模1.模：向量的長度2.記作：3.向量的模是有向線段的長度。【例1】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，，分別是的邊，的中點，則（）A．且 B．且C．且 D．且【例2】下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線【例3】下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例4】下列說法錯誤的是A．向量與的長度相同 B．單位向量的長度都相等C．向量的模是一個非負實數(shù) D．零向量是沒有方向的向量【例5】將向量用具有同一起點M的有向線段表示，當與是平行向量，且時，________.【例6】若在一個邊長為5的正三角形中，一個向量所對應(yīng)的有向線段為（其中D在邊上運動），則向量的模的最小值為_________.七、向量應(yīng)用題 【例1】一位模型賽車的賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進1m，然后將行駛方向按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，繼續(xù)按直線方向前進1m，再將行駛方向按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后繼續(xù)按直線方向前進1m，…，按此方法繼續(xù)操作下去.（1）作圖說明當時，最少操作幾次可使賽車的位移為0？（2）按此方法操作，試寫出幾種賽車能回到出發(fā)點的操作.【例2】某人從A點出發(fā)向西走了20