專題五與零點相關(guān)的等式問題

專題五與零點相關(guān)的等式問題函數(shù)零點性質(zhì)問題主要分為兩類，第一類為與零點相關(guān)的等式問題(即求幾個零點的和或與零點相關(guān)的表達式的和)，第二類為與零點相關(guān)的不等式問題(即比較零點或與零點相關(guān)的表達式的大小和求零點或與零點相關(guān)的表達式的最值或范圍)，問題最終都是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點進行解決．【例題選講】[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三個不同的實根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝________．答案0解析易知y＝ex－e－x為奇函數(shù)，且其圖象向上平移4個單位，得y＝f(x)的圖象．所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(0，4)對稱，又y＝kx＋4過點(0，4)且關(guān)于(0，4)對稱．∴方程f(x)＝kx＋4的三個根中有一個為0，且另兩根之和為0．因此x1＋x2＋x3＝0．(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)－8cosπeq\f(1,2)－x，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的所有零點之和為()A．6B．7C．9D．12答案A解析h(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)＝x－eq\f(3,2)2＋1的圖象關(guān)于x＝eq\f(3,2)對稱，設(shè)函數(shù)g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x．由πeq\f(1,2)－x＝kπ，可得x＝eq\f(1,2)－k(k∈Z)，令k＝－1可得x＝eq\f(3,2)，所以函數(shù)g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x的圖象也關(guān)于x＝eq\f(3,2)對稱．當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，heq\f(1,2)＝2<geq\f(1,2)＝8，作出函數(shù)h(x)，g(x)的圖象．由圖可知函數(shù)h(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)＝x－eq\f(3,2)2＋1的圖象與函數(shù)g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x的圖象有四個交點，所以函數(shù)f(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)－8cosπeq\f(1,2)－x在(0，＋∞)上的零點個數(shù)為4，所有零點之和為4×eq\f(3,2)＝6，故選A．(3)已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R，都有f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)時，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3，5]內(nèi)的所有根的和為________．答案4解析∵函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(0，0)對稱，把函數(shù)f(x＋1)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)f(x)的圖象，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，則f(2－x)＝－f(x)．又∵f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，∴f(1－x)＝f(x)，從而f(2－x)＝－f(1－x)，∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱．畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．∴結(jié)合圖象可得方程f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3，5]內(nèi)有8個根，且所有根之和為eq\f(1,2)×2×4＝4．(4)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋20≤x<1,2－x2－1≤x<0))，且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝eq\f(2x＋5,x＋2)，則方程f(x)＝g(x)，在區(qū)間[－5，1]上的所有實根之和為()A．－5B．－6C．－7D．－8答案C解析先做圖觀察實根的特點，在[－1，1)中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)f(x)在(－1，1)關(guān)于(0，2)中心對稱，由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期(－3，－1)中，f(x)關(guān)于(－2，2)中心對稱，以此類推.從而做出f(x)的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看g(x)圖像，g(x)＝eq\f(2x＋5,x＋2)＝2＋eq\f(１,x＋2)，可視為將y＝eq\f(１,x)的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位，所以對稱中心移至(－2，2)，剛好與f(x)對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點x1<x2<x3，其中x2＝－3，x1與x3關(guān)于(－2，2)中心對稱，所以有x1＋x3＝－4．所以x1＋x2＋x3＝－7．(5)若函數(shù)f(x)＝ln(ex－1＋e1－x)－2與g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)))圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\i\su(i＝1,m,x)i＝()A．2B．4C．6D．8答案A解析設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x＋1)＝ln(ex＋e－x)－2，y＝h(x)的定義域為R，因為h(－x)＝ln(e－x＋ex)－2＝h(x)，所以y＝h(x)為偶函數(shù)，因為y′＝eq\f(ex＋e－x′,ex＋e－x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)＝1－eq\f(2,e2x＋1)是增函數(shù)，故當(dāng)x≥0時，y′≥e0－e0＝0，所以當(dāng)x≥0時，y＝h(x)為增函數(shù)，由奇偶性可知，當(dāng)x<0時，y＝h(x)為減函數(shù)，故函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱，當(dāng)x≥1時，y＝f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x<1時，y＝f(x)為減函數(shù)，函數(shù)y＝g(x)是關(guān)于x＝1對稱的，作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)的交點有兩個，設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由對稱性可得eq\f(x1＋x2,2)＝1，即x1＋x2＝2，故選A．(6)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝－2x＋1，設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)，則函數(shù)f(x)與g(x)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為()A．2B．4C．6D．8答案B解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)的周期為2．又f(x)為偶函數(shù)，∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．又g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，作出f(x)和g(x)的圖象如圖所示．由圖象可知兩函數(shù)圖象在[－1，3]上共有4個交點，分別記從左到右各交點的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，可知x＝x1與x＝x4，x＝x2與x＝x3分別關(guān)于x＝1對稱，∴所有交點的橫坐標(biāo)之和為x1＋x2＋x3＋x4＝1×2×2＝4，故選B．(7)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋1），x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零點之和為()A．2a－1B．2－a－1C．1－2－aD．1－2a答案D解析當(dāng)－1≤x＜0時?1≥－x＞0；x≤－1?－x≥1．又f(x)為奇函數(shù)，∴x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log\s\do9(\f(1,2))（－x＋1），x∈（－1，0），,－1＋|x＋3|，x∈（－∞，－1]，))畫出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的圖象，如圖，共有5個交點，設(shè)其橫坐標(biāo)從左到右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則eq\f(x1＋x2,2)＝－3，eq\f(x4＋x5,2)＝3，而－logeq\s\do9(\f(1,2))(－x3＋1)＝a?log2(1－x3)＝a?x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故選D．(8)定義函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－8|x－eq\f(3,2)|1≤x≤2，,eq\f(1,2)eq\f(1,2)f(eq\f(x,2))x＞2，))則函數(shù)g(x)＝xf(x)－6在區(qū)間[1，2n](n∈N*)內(nèi)的所有零點的和為()A．nB．2nC．eq\f(3,4)(2n－1)D．eq\f(3,2)(2n－1)答案D解析從f(x)＝eq\f(1,2)f(eq\f(x,2))可得，函數(shù)f(x)是以(2n－1，2n)區(qū)間為一段，其圖像為將前一段圖像在水平方向上拉伸為原來的2倍，同時豎直方向上縮為原來的eq\f(1,2)，從而先作出x∈[1，2]時的圖像，再依以上規(guī)律作出[2，4]，[4，8]，﹍﹍，[2n－1，2n]，的圖像，g(x)的零點無法直接求出，所以將g(x)＝0轉(zhuǎn)化為f(x)＝eq\f(6,x)，即y＝f(x)與h(x)＝eq\f(6,x)的交點．通過作圖可得，其交點剛好位于每一段中的極大值點位置，可歸納出(2n－1，2n)中極大值點為xn＝eq\f(2n－1＋2n,2)＝eq\f(3,4)·2n，所以所有零點之和為S＝eq\f(3,4)·eq\f(2(2n－1),2－1)＝eq\f(3,2)(2n－1)．注：本題考查了合理將x軸劃分成一個個區(qū)間，其入手點在于f(eq\f(x,2))的出現(xiàn)，體現(xiàn)了橫坐標(biāo)之間2倍的關(guān)系，從而所劃分的區(qū)間長度成等比數(shù)列．本題有一個易錯點，即在作圖的過程中，沒有發(fā)現(xiàn)h(x)＝eq\f(6,x)恰好與f(x)相交在極大值點處，這一點需要通過計算得到：當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，f(eq\f(3,2))＝4＝h(eq\f(3,2))，f(3)＝2＝h(3)，從而歸納出規(guī)律．所以處理圖像交點問題時，如果在某些細節(jié)很難通過作圖直接確定，要通過函數(shù)值的計算來確定兩圖像的位置．(9)已知函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)與函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖象共有k(k∈N*)個公共點：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，則eq\i\su(i＝1,k,)(xi＋yi)＝________．答案2解析函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋1)滿足f(x)＋f(－x)＝2，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱，且f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)∈(0，2)．又函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖象也關(guān)于點(0，1)對稱，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上單調(diào)遞減，畫出兩函數(shù)的大致圖象如圖所示，所以兩個函數(shù)的圖象共有2個公共點，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且這兩個交點關(guān)于點(0，1)對稱，則eq\i\su(i＝1,2,)(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2．[題后悟通]與零點相關(guān)的等式問題：可將零點問題轉(zhuǎn)化成方程問題，進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像．觀察交點的特點(比如對稱性等)并選擇合適的方法處理表達式的值．即利用對稱性解決對稱點求和：如果x1，x2關(guān)于x＝a軸對稱，則x1＋x2＝2a；如果x1，x2關(guān)于(a，0)中心對稱，則也有x1＋x2＝2a．將對稱的點歸為一組，從而解決問題．【對點訓(xùn)練】1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)＋2cosπx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________．1．答案10解析可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)與y＝－2cosπx在[－4，6]上的交點的橫坐標(biāo)的和，因為兩個函數(shù)均關(guān)于x＝1對稱，所以兩個函數(shù)在x＝1兩側(cè)的交點對稱，則每對對稱點的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖象易知兩個函數(shù)在x＝1兩側(cè)分別有5個交點，所以5×2＝10．2．已知M是函數(shù)f(x)＝ex2－3x＋eq\f(13,4)－8coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))))在x∈(0，＋∞)上的所有零點之和，則M的值為()A．3B．6C．9D．122．答案B解析函數(shù)f(x)＝ex2－3x＋eq\f(13,4)－8coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))))在x∈(0，＋∞)上的所有零點之和，即ex2－3x＋eq\f(13,4)＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有實數(shù)根之和，即eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有實數(shù)根之和．令g(x)＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1，h(x)＝8sinπx，易知函數(shù)g(x)＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(3,2)對稱，函數(shù)h(x)＝8sinπx的圖象也關(guān)于直線x＝eq\f(3,2)對稱，作出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示．由圖象知，兩個函數(shù)的圖象有4個交點，且4個交點的橫坐標(biāo)之和為6，故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0，2π]，則f(x)的所有零點之和等于()A．5πB．6πC．7πD．8π3．答案C解析f(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0,可得cos2x＝0或sinx＝0，因為x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，所以x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因為eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零點之和等于7π，故選C．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x－2)與g(x)＝1－sinπx，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－2，6]上所有零點的和為()A．4B．8C．12D．164．答案D解析令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x－2)與g(x)＝1－sinπx的圖象，如圖所示，又f(x)，g(x)的圖象都關(guān)于點(2，1)對稱，結(jié)合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在[－2，6]上共有8個交點，交點的橫坐標(biāo)即F(x)＝f(x)－g(x)的零點，且這些交點關(guān)于直線x＝2成對出現(xiàn)，由對稱性可得所有零點之和為4×2×2＝16，故選D.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝x，記函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g(x)，f(x)≤g(x)，,f(x)，f(x)>g(x)，))則函數(shù)F(x)＝h(x)＋x－5的所有零點的和為________．5．答案5解析由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝5－x圖象交點橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖象交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因為兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線y＝x對稱，所以eq\f(x1＋x2,2)＝5－eq\f(x1＋x2,2)，所以x1＋x2＝5．6．函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿足f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三個實根，則這三個實根的和為________．6．答案eq\f(3,2)解析函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，方程f(x)＝0有三個實根時，一定有一個是eq\f(1,2)，另外兩個關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，其和為1，故方程f(x)＝0的三個實根之和為eq\f(3,2)．7．若y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x＋2)是偶函數(shù)；③當(dāng)0＜x≤2時，f(x)＝log2019x，當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，則方程f(x)＝－2019在區(qū)間(1，10)內(nèi)的所有實數(shù)根之和為()A．0B．10C．12D．247．答案D解析由f(x＋2)是偶函數(shù)得f(x＋2)＝f(－x＋2)，則f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱．又因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，x＝2n(n∈Z)是函數(shù)f(x)的對稱軸．因為當(dāng)0＜x≤2時，f(x)＝log2019x，當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，所以在區(qū)間(1，10)內(nèi)，方程f(x)＝－2019有4個根，關(guān)于x＝4對稱的兩個根之和為8，關(guān)于x＝8對稱的兩個根之和為16，所以方程f(x)＝－2019在區(qū)間(1，10)內(nèi)的所有實數(shù)根之和為24．8．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,x＋1)，x∈[0，1]，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞]，))則函數(shù)F(x)＝f(x)－eq\f(1,π)的所有零點之和為________．8．答案eq\f(1,1－2π)解析由題意知，當(dāng)x<0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,1－x)，x∈[－1，0]，,|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，))作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－eq\f(2x,1－x)＝eq\f(1,π)，解得x3＝eq\f(1,1－2π)，所以函數(shù)F(x)＝f(x)－eq\f(1,π)的所有零點之和為eq\f(1,1－2π)．9．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,\f(1,2)f(x－2)，x>2，))則函數(shù)g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零點之和為()A．8B．32C．eq\f(1,2)D．09．答案A解析令g(x)＝xf(x)－1＝0，則x≠0，所以函數(shù)g(x)的零點之和等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象和y＝eq\f(1,x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)之和，分別作出x>0時，y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的大致圖象，如圖所示，由于y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的圖象都關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)g(x)在[－6,6]上的所有零點之和為0，而當(dāng)x＝8時，f(x)＝eq\f(1,8)，即兩函數(shù)的圖象剛好有1個交點，且當(dāng)x∈(8，＋∞)時，y＝eq\f(1,x)的圖象都在y＝f(x)的圖象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零點之和為8．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－10≤x≤1，,f(x－1)＋mx＞1))在定義域[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且對于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x在區(qū)間[0，2n]