高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)大題沖關(guān)（一）函數(shù)與與導(dǎo)數(shù)問題

高考大題沖關(guān)系列(1)〕高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的熱點題型

命題動向：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因

此，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是歷年高考的重點與熱點.常涉及的問題有:討論函數(shù)的單調(diào)性(求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)，求極值、最值、切線方程、函數(shù)的零點或方程的根，求參數(shù)的

范圍及證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、

轉(zhuǎn)化與化歸等，中、高檔難度均有.

題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

例1(2024?鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)/(x)=ln尤+ax_g,g(x)=xlnx+(a-l)x+

(1)當(dāng)。=—2時，判斷犬x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。＞1時，記#x)的零點為xo,g(x)的極小值點為xi,判斷xo與xi的大小

關(guān)系，并說明理由.

解(D當(dāng)。=一2時，五x)=lnx—2x—；,人》)的定義域為(0,+8),

11—2%2+x+1(2x+1)(—x+1)

所以/(X)=--2+-2=-----了----=----------了---------.

令，(x)>0,解得令，(x)<0,解得x>l,

所以1x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

111ax2+x+1

(2)因為/(x)=lnx+ax—不貝1J/(x)=-+tz+^=福(x>0),

當(dāng)。>1時,則/。)>0,故於)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又41)=。-1>0,(古)=-1lna<0,

所以存在唯一的xo€博，1),使五xo)=O.

因為g(x)=xln冗+(〃一l)x+-(x>0),

貝ljg'(x)=lnx-^+a,

令h(x)=Inx-^+a(x>0),

則//(x)=：+|>0,

所以/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又屋(1)=。一1>0,g

所以存在加?1,使g'0)=0,

則當(dāng)0<%<加時，g'(x)<0;當(dāng)x>m時，g'(x)>0.

所以g(x)在(0,附上單調(diào)遞減，在(〃2,+8)上單調(diào)遞增,

所以m為g(x)的極小值點，故xi=",

故。=衣Tnxi,

所以火的)=Inxi+axi——=Inxi+xi-=(1-xi)lnxi,

所以人為)=(1-xi)lnxi<0,

又因為xoeRt，1),於0)=0,且人X)在(O,I)上單調(diào)遞增，

所以xo>xi.

?沖關(guān)策叨

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，首先建立規(guī)范化解題的意識，

即按照求定義域、求導(dǎo)數(shù)、研究，。)=0實根的情況、用所得實根分割定義域、

逐個區(qū)間分析導(dǎo)數(shù)的正負、求極值和端點函數(shù)值進而確定最值.

已知人勸的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式/(x)》0或/(x)W0在單調(diào)區(qū)間上恒

成立問題；求函數(shù)的極值、最值問題的關(guān)鍵是極值點與給定區(qū)間位置關(guān)系的討

論，此時要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進行分析.

3-2%

變式訓(xùn)練1(2021.北京高考)已知函數(shù)=

x+a

⑴若。=0,求曲線y=/x)在(1,(D)處的切線方程;

(2)若函數(shù)人為在x=-1處取得極值，求人x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小

值.

3-2%

解(1)當(dāng)。=0時，人為=二^,

2(x—3)

則/。)=——,f(1)=-4,

此時，曲線y=/U)在點(1,五D)處的切線方程為y-1=-4(x-l),即4x+y

-5=0.

3-2x

(2)因為火x)=

x1+a

-2(x2+a)-2x(3-2x)

所以/。)=一(x2+a)2

2(x2-3x-a)

(x2+a)2

2(4—a)

由題意可得，(-D=(a+i)2=0,解得。=4,

3-2%2(x+1)(x-4)

故外)=777,fw(f+4)2,列表如下:

X(-8,-1)-1(-1,4)4(4,+8)

f(X

+0—0+

)

?極大值極小值

所以函數(shù)Hx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1,4).

當(dāng)x<|時，4》)>0；當(dāng)x>|時，1x)<0.

所以Hx)max=五一1)=1,?min=汽4)=-

題型2利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點)

例2(2021.新高考II卷)已知函數(shù)五x)=(x-l)ex-ax^+b.

⑴討論於)的單調(diào)性;

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：人為有一個零點.

2

1e1

①/<aW爹，b>2a；②0<a</,bW2a.

解(1)由函數(shù)的解析式可得，

f(x)=x(e^-2tz),

當(dāng)aWO時，若xe(-8,0),則，(x)<0,/)單調(diào)遞減，

若出0,+8),則，(x)>0,於)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<g時，若x?(_8,in(2a)),則/(力>0,/)單調(diào)遞增，

若x￡(ln(2a),0),則/(x)<0,於)單調(diào)遞減，

若無￡(0,+8),則/(x)>0,外)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，⑴部，益)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時,

若尤e(-8,0),則/(x)>0,外)單調(diào)遞增，

若無W(0,ln(2a)),則/(x)<0,於)單調(diào)遞減,

若無￡(In(2a),+8),則/(x)>0,/)單調(diào)遞增.

(2)證明：若選擇條件①：

12

由于爹e，故l<2a^e2,則b>2a>l,fiO)-b-1>0,

2b

x-2Z?)=(-1-2b)e-2b_4ab2+b=(_1_2b)e-+b(l-4ab)<0,

而函數(shù)於)在區(qū)間(-8.0)上單調(diào)遞增，故函數(shù)八元)在區(qū)間(-8,0)上有一

個零點.

filn(2a))=2〃[ln(2a)-1]-a\ln+b>2a\ln(2d)-1]-a[ln(2a)]2+2〃=

2aln(2a)-a[ln(2Q)F=aln(2a)[2-In(2〃)],

12

由于el<2a^e2,

所以0<ln(2〃)W2,

故din(2(2)[2-In(2〃)]NO,

所以加i(2a))>0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)人x)在區(qū)間(0,+8)上沒有零點.

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

若選擇條件②：

由于0<a<g,故0<2a<l,則旭)=6-1W2a-1<0,

當(dāng)6三0時，e2>4,4a<2,fi2)=^-4a+b>0,

而函數(shù)Hx)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故函數(shù)人x)在區(qū)間(0,+8)上有一

個零點.

當(dāng)。<0時，令H(x)=ex—x-1,則〃(x)=eA-1,

當(dāng)x@(-8,0)時，H'(x)<0,H(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x?(0,+8)時，H'(x)>0,H(x)單調(diào)遞增,

注意到8(0)=0,故H(x)》0恒成立,

從而有1,

當(dāng)尤>1時，x-1>0,貝I」.x)=(1_1).—ox2+-2(尤一l)(x+1)-ox2+6=(1—

a)%2+(Z?-1),

[T^b.

當(dāng)x>\/工工時，(l-a)x~+(b-1)>0,

ll-b

取xo='/+1,則/(xo)>O,

(ll-b)

由于<0)<0,函數(shù)人勸在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故函

數(shù)人x)在區(qū)間(0,+8)上有一個零點.

,/(ln(2a))=2a[In(2a)-1]-a[ln(2a)]2+6W2a[ln(2a)-1]-tz[ln(2a)]2+2a=

2aln(2a)-a[In(2a)]2=aln(2a)[2-In(2a)],

由于0<2tz<l,所以In(2tz)<0,

故aln(2a)[2-In(2a)]<0,

所以加i(2a))<0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)人x)在區(qū)間(-8,0)上沒有零點.

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

隼沖關(guān)策叫

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)零點存

在定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形

結(jié)合思想畫草圖確定參數(shù)范圍.

變式訓(xùn)練2(2023?秦皇島第一中學(xué)二模)已知函數(shù)人%)=肥2戶1-2^+1+?》

X

2-

⑴當(dāng)。=1時,求於)的極小值.

⑵若人x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解(DHx)的定義域為(-8,+8),

當(dāng)a=1時，/'(x)=2e2x+1-2ex+1+ge*-g=^(e￥-l)(4e'+1+1),

令/(x)=0,解得x=0.

當(dāng)無變化時，1(x),40的變化情況如表:

X(-8,0)0(0,+8)

fw—0+

1

於)單調(diào)遞減2-e單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=0時，加)有極小值，極小值為五0)=；-e.

(2)f(x)=2aelx+1-一；=2(?e%-l)(4er+1+1),

6)若。?0,則，(x)<0,所以1x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，八%)至多有一

個零點.

(五)若。>0,令，(x)=0,解得x=-lna

當(dāng)尤W(-8,Ina)時，/(x)<0;當(dāng)xG(-Ina,+-)0^,f(x)>0,

所以Hx)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=-lna時，兀0取得最小值,最小值為7(-lna)=|-^+|lna.

當(dāng)a=e時，由于汽-lna)=O,故人x)只有一個零點;

當(dāng)aG(e,+8)時，由于3+；lna>0,即1-lna)>0,故—九)沒有零點;

當(dāng)?！?0,e)時，|-1+|lna<0,

即一Ina)<0.

因為於)=e(ae*】-2e+?一會

所以當(dāng)x--8時，火》)-+8,

故八工)在(-8,-Ina)上有一^1K零點；

當(dāng)X—+8時，五x)—+8,

故兀0在(-Ina,+8)上有一^零點.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(0,e).

題型3利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)問題

例3(2023.全國甲卷)已知=—x€[o,

(1)若。=8,討論於)的單調(diào)性；

(2)若八%)vsin2x恒成立，求。的取值范圍.

cosxcos3%*+3s*inxcos2xsinxcos2x+3sin2x

解>,64

十、(1V〃v(x)7=a-cosx-a-cosx=a

3-2cos2%

4.

COSX

令cos2%=%,貝|J/￡(O,1),

3—2taP+21—3

貝11/(x)=g(t)=a--^=j

8P+21-3⑵一1)(47+3)

當(dāng)a=8時，/(x)=g(t)=不=

當(dāng)聞0,1仔,等時

即XG(X)<0；

當(dāng)1),即正(0,勺時,/a)>o.

所以於)在上，戴上單調(diào)遞增，在百號上單調(diào)遞減.

(2)設(shè)h(x)=f(x)-sin2x,

aP+2%—3

h'(x)=f(x)-2cos2%=g(t)-2(2COS2X-1)=?-2(2t-1)=a+2-

,23

47+7-產(chǎn)

23

=ci-^2—4-t+~—0</<1,

26-4戶—2%+6

(P⑺二-4一科+不二----j-----

2?-1)(2P+2/+3)

=-7>°，

所以9⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，

23

所以9(。<tz+2—4x1+1-?=〃-3.

①若〃￡(一8,3],h'(x)=9⑺v〃一3W0,

即貼)在(0,9上單調(diào)遞減，

所以貽)<0.

所以當(dāng)。6(-8,3]時，於)<sin2x,符合題意.

②若。6(3,+8),

當(dāng)7時，72-再3一<匕1高1、2+『1一，

所以9(/)->_8.

9⑴=a-3>0,

所以3o€(o,1),使得夕(m)=o,即三次€(0,.

使得今(xo)=o.

當(dāng)一(01)時，0(/)>0,即當(dāng)xG(0,X。)時，h'(x)>0,以無)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)XG(O,X0)時，A(x)>0,不符合題意.

綜上，。的取值范圍為(-8,3].

|?沖關(guān)策噴

(1)恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進行求解，若不能分

離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解.

(2)證明不等式，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.對于較復(fù)雜的不等式，要先

用分析法進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.

(3)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明緊密相連且互相滲透，解題時應(yīng)注意構(gòu)造

函數(shù)、合理放縮、累加、裂項等方法技巧的綜合應(yīng)用.

變式訓(xùn)練3(2023?福州模擬)已知函數(shù)次x)=(x+l)lnx-ax+a.

(1)若。=2,試判斷汽用的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2)若無>1,於)>0恒成立.

①求。的取值范圍；

②設(shè)+…+=印表示不超過》的最大整數(shù)，求［10洞.

〃+1n+2〃+3zn

參考數(shù)據(jù)：ln2、0.69.

解(1)當(dāng)a=2時，汽x)=(x+l)lnx_2x+2(x>0),/(x)=lnx+--1,

記g(x)=InX+7-1,

所以當(dāng)尤e(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)X?(1,+8)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以gC^nunnglDnO,所以g(X)NO,

即/a)2o,且僅有1f⑴=o,

所以Hx)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑵①由題意得，，(x)=lnx+：+l—a,

人

令/z(x)=lnx+(+1-a,x€(1,+°°),

x-1

貝y。)=丫，因為%￡(i,+8),所以今a)>o,所以/(%)在a,+oo)

上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X>1時，/(尤)y⑴=2-a

(i)當(dāng)aW2時，，(x)>0在(1,+8)上恒成立,

所以?x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時，汽x)41)=0,滿足題意；

(ii)當(dāng)。>2時，f(1)=2-?<0,f?)=1+七>0,

又當(dāng)x?