2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題匯編：平面向量

專題03平面向量

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)a平面向量的線性運(yùn)算

向量

、^r'Zr"定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

必算

(1)交換律：

內(nèi)6a~\~b=b~\~a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

(2)結(jié)合律:

a

平行四邊形法則(a+A)+c=a+(》+c)

求a與辦的相反向量一辦的

減法a—b=a~\~(—b)

和的運(yùn)算叫作。與力的差a

三角形法則

(l)|2a|=|A||a|；(1)結(jié)合律:2(/1。)=4〃

(2)當(dāng)丸>0時(shí)，兒a與a=〃(2a)；

求實(shí)數(shù)丸與向量a的積的運(yùn)a的方向相同；(2)第一分配律：

數(shù)乘

算當(dāng)A<0時(shí)，4a與a(2+〃)a=2a+〃a；

的方向相反；(3)第二分配律：

當(dāng)丸=0時(shí)，4a=0^(a+b)=/a+/b

【考點(diǎn)2】共線向量定理、平面向量基本定理及應(yīng)用

1.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)丸使得8=癡，則向量b與a共線.

(2)性質(zhì)定理：若向量方與非零向量。共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使得b=觴.

(3)4B,C是平面上三點(diǎn)，且A與3不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線A3

上，則存在實(shí)數(shù)九使得(如圖所示).

2.向量共線定理的應(yīng)用

(1)證明點(diǎn)共線；(2)證明兩直線平行；(3)已知向量共線求字母的值.

3.平面向量基本定理

如果打，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只

有一對(duì)實(shí)數(shù)71,兒2,使a=7be/+/l2e2，其中以，e2是一組基底.

【考點(diǎn)3】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)若a=(xi,yi),b=(xi,y2)(b^0),貝Ua±Z>=(xi±x2,yi±>2).

(2)若A(xi,yi),B(xi,yi),則AB=(X2—XI,yi—yi).

(3)若a=(尤，y),4GR,貝Ij7a=(%,4y).

2.向量平行的坐標(biāo)表示

(1)如果a=(xi,yi),b=(x2,yi),則的充要條件為xi>2—x2>i=0.

(2)A(X1,yi),3(X2,>2),C(X3)丁3)三點(diǎn)共線的充要條件為(X2—Xl)(>3—yi)—(X3—Xl)(>2—yi)

=0.

a"的充要條件不能表示成交=/，因?yàn)榧?，戶有可能等?.判斷三點(diǎn)是否共線，先求每

%2,2

兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.

【考點(diǎn)4】平面向量的垂直與夾角

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和4記為="，/=》,則乙4。3=仇0°W9W180。)

叫作向量a與〃的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和"它們的夾角為仇則數(shù)量⑷向cos。叫作a

與力的數(shù)量積，記作a。，即a0=|a||Z>|cos。.規(guī)定：Oa=0.

(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模⑷與8在a的方向上的投影版|cos夕的乘積.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b都是非零向量，e是與〃方向相同的單位向量，。是a與e的夾角，貝U

⑴e?a=a?e=|a|cos9.

(2)a_L6o??b=0.

(3)當(dāng)a與力同向時(shí)，a-b=\a\\b\；當(dāng)a與辦反向時(shí)，a-b=~\a\\b\.

特別地，a?a=|°F或⑷=[〃?a.

(4)c°s°=而百

(5)|a旬W|a|步

3.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,丁2),a,力的夾角為仇則

(1)〃?》=11%2+p1y2.

(2)|。|=1/+八.若A(xi,yi),B(X2,yi),則|屈|=弋(％1-0)2+(十一")2、

xix2-\-yiy2

(3)cosS

yjxi+yl?4立+5

(4)。J_b=ab=0=xi%2+y=0.

%iy2一42丁1=0與aX2+”y2=0不同，前者是兩向量a=(%i,yi),b=g,”)共線的充要條

件，后者是它們垂直的充要條件.

【考點(diǎn)5】平面向量的模及其應(yīng)用

求平面向量的模的公式

(l)a2=a-a=\a\2^\a\=\la~^a=y[a^；

(2)\a±b\=y)(a±b)2=^a2±2a-b+b2；

(3)若a=(x,y),則⑷=^/4+'2.

三、解法解密

考向1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在幾何中的應(yīng)用

(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的充要條件:a外例=7*Xi”

—X2^1=0.

(2)證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：

a.Lb<=^a?8=00%i%2+yiy2=0.

(3)求夾角問(wèn)題，常用公式：

ab_________%i%2+yiy2

C°S⑷物?1一+歷

（4）求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模

12

\a\=y]a,a=yjx+y^l

|A5|=|A5|=<（X2-xi）2+（p—yi）

考向2平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)問(wèn)題.解此類問(wèn)題，

除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角

恒等變換的相關(guān)知識(shí).

四、考點(diǎn)解密

題型一:平面向量的基礎(chǔ)應(yīng)用

例L（1）、（2020?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量￡=（4,-2）石=（1,-3）,若￡+肪與B垂直，則/l=（）

A.-2B.2C.-ID.1

【變式訓(xùn)練1-1】、（2007?重慶?高考真題（理））與向量的夾角相等，且模為1的

向量是（）

、

(24211.1J201

C.D.

333

7

題型二:平面向量的綜合應(yīng)用

例2.（1）、（2007?福建?高考真題（理））已知|次|=1,|礪|=6,則.礪=0,點(diǎn)C^ZAOB內(nèi),且ZAOC=30°.

設(shè)玩=加9+〃麗（相、neR）,則一等于（）

n

A.」B.3C."D.6

33

（2）、（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量％各滿足2=（1,1）,B+@=l,則W的取值范圍

為.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量扇瓦萬(wàn)滿足：|苕|=1,B0=-1,若對(duì)滿足條件的任

意向量修-6|2曰-<?|恒成立，則cos伍+汗,萬(wàn)〉的最小值是.

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)（理））已知“15C中，A=1,AC=2,AB=5,點(diǎn)尸為邊

AB上的動(dòng)點(diǎn)，則麗?元的最小值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

題型三:平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

例3.（1）、（2022?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了

勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

.16.12?

形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若麗甫，BF=—BC+—BA,則實(shí)數(shù)X=（）

A.2B.3C.4D.5

（2）、（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°,AM=MB,麗=2近，點(diǎn)

。在邊BC上，則麗.麗■的最大值為（）

511

A.3B.2C.—D.—

24

【變式訓(xùn)練3-1】、（2022?北京?高考真題）在AA5c中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)

的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,則麗.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.M,6]

【變式訓(xùn)練3-2】、（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量靛滿足|2-3訓(xùn)=|￡+3加，\a+b\=4,

若向量工=力￡+〃方（彳+〃=1,2,〃?7?）,^.a-c=b-c＞則I句的最大值為（）

A.IB.2C.3D.4

題型四:平面向量在其他知識(shí)中的應(yīng)用

例4.（1）、（2022?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八

角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)

紋樣.八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué).八角星紋延續(xù)的

時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的感澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角

星紋星紋.圖2是圖1抽象出來(lái)的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是

正方形且邊長(zhǎng)為2,其中動(dòng)點(diǎn)尸在圓。上，定點(diǎn)A、8所在位置如圖所示，則抵避最大值為（）

A.9B.10C.10夜D.106

（2）、（2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）平面向量扇反心，滿足

|町=|B|=2萬(wàn)?5=1,5（2-2）5（2eR）,|1+45|=拒，貝!J7+dI的最小值為.

【變式訓(xùn)練4-1】、（2022?湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來(lái)設(shè)計(jì)漂亮的圖案，我國(guó)國(guó)旗上五顆

耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉

正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖，設(shè)。是正五邊形A88E的中心，

則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（）

A.AD+DB=OB-OAB.AOBE=O

c.AC+AD=3A0D.AdAD=BOBD

【變式訓(xùn)練4-2】、（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知各滿足同=1,忖=0,貝+0+的最大值

為.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

__.2__?

1.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在AABC中，的■=%而，祈=〃尼，直線AM交2N于點(diǎn)。=

則（）

A.X+〃=1B.4〃=：C.（X-1）（2〃-3）=1D.（2A-3）（//-l）=l

2.（2022?四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））在AABC中，AC=3,BC=5,。為線段3c的中點(diǎn)，

，萬(wàn)卜。月4，E為線段BC垂直平分線/上任一異于。的點(diǎn)，則2元?。=（）

7

A.-B.4C.7D.-6

3

3.（2022?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在等腰直角AABC中，斜邊3c=4,M,N為線段8c上的動(dòng)

點(diǎn)，且MN=1,則麗.加的最小值為（）

1315

A.—B.—C.4D.6

44

4.（2022?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在“BC中，已知AB=2,AC=8,ZBAC=60°,

BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P,則Q在而上的投影為（）

A4后2s8幣「4^/3

37213

3

5.（2022?全國(guó)?大化瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））己知點(diǎn)A、B在單位圓上，ZAOB=^-n,若

4

OC=2OA+xOB（x^R）,貝！J|靈廣的最小值是（）

A.2B.3C.5-2夜D.4

6.（2022?全國(guó)?清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量b，"滿足2,方，且口=1|=2,/+%+q=1,

貝|]卜+4+2卜+司的最小值為（）

A.—B.V15C.叵D.sfn

22

jr

7.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在AABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P為8上一點(diǎn)，且滿足

-------?--------?1-------?UUIU____.

AP=mAC+-AB,若|AC|=3,IAB|=4,則Q.函的值為（）

A.-3B.--C.—D.—

121212

8.（2022?四川?模擬預(yù)測(cè)（理））八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2

中的正八邊形ABCDE尸G”，其中|C閶=1,給出下列結(jié)論：

①幅與兩的夾角為:；

@OD+OF=OE;

@\OA-OC\=^\DH\；

④向量正在向量笳上的投影向量為-Y2工（其中"是與那同向的單位向量）.

2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

9.（2022?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓柱。02的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB為圓。1的直徑，P

為圓。2上的點(diǎn)，貝U（西+麗）?西=（）

A.4B.4A/2C.8D.8近

10.（2022?上海松江?二模）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M、N分別在邊AD、3c上，且AM=1,

BN=2,若點(diǎn)尸在正方形ABCD的邊上，則麗■.兩的取值范圍是（）

A.[-6,6]B.[-6,2]C.[-2,6]D.[-2,2]

11.（2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量;=（1,2）,5=（九-1）,若￡〃B，則晨坂=（）

3355

A.——B.—C.——D.—

2222

12.（2022?浙江?樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足|￡-司=3,|￡|=2出|,則2一萬(wàn)與Z夾角最大值

時(shí)㈤為（）

A.V2B.乖1c.2A/2D.2A/3

13.（2022?安徽省舒城中學(xué)三檄理））已知平面向量［,《，￡,同=同=1,若R（［+刈22,向（心421,

則口的最小值是.

14.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））在“1BC中，〃為的中點(diǎn)，N為線段CM上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），

UUULULILlUUU］］

AN=xAB+yAC＞則一+1的最小值為_(kāi)_____.

'xy

15.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)。，A,B,C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將

麗順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到赤，貝H況?次^+1阮?麗I的最大值為.

16.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位?三模）已知平面向量力，［滿足0+楊石=2,且向=2,|昨1,則

\a+b\=.

B組能力提升

17.（2022?山東煙臺(tái)?三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓。，尸為圓。上任一點(diǎn)，若

AP=xAB+yACf則2x+2y的最大值為（）

84

A.—B.2C.—D.1

33

18.（2022?安徽?合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在"RC中，M,N分別是線段A3,AC上的點(diǎn),

21__,______.___12

5.AM=-AB,AN=-AC,D,E是線段2C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且也+通=了說(shuō)+y麗'（x,ywR）,則—+一

33xy

的的最小值是（）

49

A.4B.—C.—D.2

34

19.（2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量入b，［滿足問(wèn)第=Z%=2,且僅_q儂_@=0,

貝1最小值為（）

A.2-V2+1B.3拒-3c.J7-1D.273-2

20.（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知向量Z，b滿足2=（61）,25=4,則目的最小值為（）

A.IB.0c.百D.2

21.（2022?湖南懷化?一模）已知平面向量。、①—5）滿足國(guó)1=3,且方與5V的夾角為30。,則一|的最

大值為（）

A.2B.4C.6D.8

__.2__.

22.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）在"LBC中，M,N分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，^.AN=jAC,

:W通，點(diǎn)。是線段MN上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且滿足2礪+3而+4第=。（/1W0）,則2=.

23.（2022?四川資陽(yáng)?一模（理））已知平面向量入b，"滿足同第=忖+q=2,且*2日一q=J7,則，

的最大值為.

24.（2020?天津?二模）已知是單位向量，￡4=0.若向量"滿足貝的最大值是.

25.（2022?北京市第十二中學(xué)三模）AABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,則通與元的夾角大小為120。，

若國(guó)=1,CE=EA，則而說(shuō)的最小值為.

26.（2022?四川涼山?三模（理）AABC）中，角A,B,C對(duì)邊分別為a,6,c,點(diǎn)尸是AABC所在平面內(nèi)

（___________,\

___,___、R]D/

的動(dòng)點(diǎn)，滿足麗=麗+彳=+門（2>0）.射線2尸與邊AC交于點(diǎn)D若8=f,BD=2,則AABC

IM間3

面積的最小值為.

C組真題實(shí)戰(zhàn)練

27.（2019?天津?高考真題（文））。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

禺+黑]'則尸的軌跡一定通過(guò)AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

28.（2020?全國(guó)?高考真題）已知向量7。滿足|3=1，山=2,/一1|=2,則/+辦|=（）

A.IB.yf2C.y/5D.

29.（2017?全國(guó)?高考真題（理））已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面A3C內(nèi)一點(diǎn)，則可?（而+定）

的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

30.（2018?天津?高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ABAD=120°,AB=AD=1,

若點(diǎn)E為邊CO上的動(dòng)點(diǎn)，則衣.屁的最小值為

31.（2018?天津?高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知

OM=1,ON=2,AMON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BCOM的值為

A.-15B.-9

C.-6D.0

32.（2016?天津?高考真題（理））AABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)2E分別是邊AB,8c的中點(diǎn)，連

接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使得DE=2￡F,則赤.沅的值為（）

A.-^B.lc.ID.H

8848

33.（2015?福建?高考真題（理））已知通,前，|礪卜;，區(qū)斗=乙若尸點(diǎn)是44BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

-i-5AB4AC__

且人尸=同+斥[’則PBP。的最大值等于0?

A.13B.15C.19D.21

34.（2017?浙江?高考真題）如圖，已知平面四邊形ABC。，ABYBC,A8=BC=AO=2,CD=3,AC與

BD交于點(diǎn)O,記/]=。5?仍，I^OBOC,I3=OCOD,貝U

A.Il<I2<I3B.Z1</3<Z2C./3</l</2D.Z2<Z1<Z3

35.（2011?全國(guó)?高考真題（理））設(shè)