線圓最值（知識(shí)解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題02線圓最值（知識(shí)解讀）

【專莖餞明】

直線與圓的位置關(guān)系是中考數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,

題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的

問(wèn)題.中考命題者對(duì)直線與圓知識(shí)中的最值問(wèn)題常常是情有獨(dú)鐘，這種導(dǎo)向性使

得該知識(shí)成為教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).從問(wèn)題解決的思路來(lái)看，學(xué)生要想順利地解

決此類問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識(shí)與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思

想，并在此過(guò)程中尋找到解決最值問(wèn)題的方法.本文通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，枚舉幾例直

線與圓中的最值問(wèn)題，以供參考.

【方放技巧】

考點(diǎn)：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點(diǎn)Q為O上一點(diǎn)，圓心O與直線I之

間的距離為d.

位置關(guān)系直線與。相離直線與。相切直線與0相交

圖示O工

---------1

點(diǎn)。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過(guò)點(diǎn)。作直線/的垂線，其反向延長(zhǎng)線與。的交點(diǎn)，即為

此時(shí)點(diǎn)Q的位置

點(diǎn)。

點(diǎn)。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時(shí)點(diǎn)。的位置過(guò)點(diǎn)。作直線/的垂線，與。的交點(diǎn)即為點(diǎn)。

拓展：在解決某些面積最值問(wèn)題時(shí)，常利用此模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)到定

邊的最大（?。┚嚯x，進(jìn)而利用面積公式求解

【舞例令新】

【典例1】如圖，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

矩形A3CD內(nèi)一點(diǎn)，且EP=AE,連接CP,PD,則△PCD面積的最小值為

【典例2］如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃BC,點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，連接CM.將4

ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，4BMC面積的最大值為.

【典例3】如圖，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,點(diǎn)尸是矩形A3CD內(nèi)一點(diǎn),

且N3PC=90°,連接AP,PD,則△APD面積的最小值為.

【典例4］如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形A3CD中，NA=60°,點(diǎn)般是AD邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)N是A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿所在直線翻折得到△AMN,連

接43,A'C,則△AZC面積的最小值為

D

ANB

【典例5】如圖，在RtZXABC中，AB=3,3C=4,點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E

是平面內(nèi)一點(diǎn)，且DE=1,連接AE,CE,則四邊形ABCE面積的最大值

為.

【變式1】如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,ZBCD=90°,

43=12,3。=16.點(diǎn)時(shí)是A3上一點(diǎn)，AM=4,點(diǎn)N是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且DN=5,連接CN,MN.

(1)當(dāng)M,N,。三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)求四邊形3CNM面積的最小值.

BB

備用圖

【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,R分別為AD,3C上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EE將矩形沿ER折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H,G.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)G落在DC邊上時(shí)，連接3G.

①若點(diǎn)G為。。的中點(diǎn)，求CR的長(zhǎng)；

②試探究ER與BG之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，若點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接AH,HC,求四邊形AHC3面積的

最大值.

專題02線圓最值（知識(shí)解讀）

【專莖餞明】

直線與圓的位置關(guān)系是中考數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,

題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的

問(wèn)題.中考命題者對(duì)直線與圓知識(shí)中的最值問(wèn)題常常是情有獨(dú)鐘，這種導(dǎo)向性使

得該知識(shí)成為教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).從問(wèn)題解決的思路來(lái)看，學(xué)生要想順利地解

決此類問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識(shí)與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思

想，并在此過(guò)程中尋找到解決最值問(wèn)題的方法.本文通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，枚舉幾例直

線與圓中的最值問(wèn)題，以供參考.

【方放技巧】

考點(diǎn)：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點(diǎn)Q為O上一點(diǎn)，圓心O與直線I之

間的距離為d.

位置關(guān)系直線與。相離直線與。相切直線與0相交

圖示O工

---------1

點(diǎn)。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過(guò)點(diǎn)。作直線/的垂線，其反向延長(zhǎng)線與。的交點(diǎn)，即為

此時(shí)點(diǎn)Q的位置

點(diǎn)。

點(diǎn)。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時(shí)點(diǎn)。的位置過(guò)點(diǎn)。作直線/的垂線，與。的交點(diǎn)即為點(diǎn)。

拓展：在解決某些面積最值問(wèn)題時(shí)，常利用此模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)到定

邊的最大（?。┚嚯x，進(jìn)而利用面積公式求解

【舞例令新】

【典例1】如圖，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

矩形A3CD內(nèi)一點(diǎn)，且EP=AE,連接CP,PD,則△PCD面積的最小值為

【答案】3

【解答】解：,.?50=243=4,

：.AB=2,

?點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

：.AE=BE=1.；

...點(diǎn)P在以點(diǎn)E為圓心，1為半徑的弧上運(yùn)動(dòng),

過(guò)點(diǎn)E作E/UCD于點(diǎn)孔

則SZCD=|CD=PQ'

...當(dāng)尸。最小時(shí)，APCD的面積取得最小值?EP+PQNEF

當(dāng)E,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，P。取得最小值，最小值為ER-EP的值;

???四邊形A3CD是矩形，

：.EF=BC=4,

：.P。最小=EF-EP=3,

??S4PCD最小=PQ最小=3,

故答案為：3.

【典例2】如圖，iSAABC^AADE^,AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃3C,點(diǎn)”是DE的中點(diǎn)，連接CM.將4

ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△3MC面積的最大值為.

【答案】12?.

【解答】解：連接AM,交BC于H,.

'：AB^AC,AD=AE,點(diǎn)/是DE的中點(diǎn)，

：.AM±DE,AH±BC,

將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,即M、M,H在同一直線上時(shí)，ABMC

面積取最大值.

'：AB^AC=6,AD=AE,NB4C=ND4E=60°,且皮）=2AD,

.,.AD=AE-2,BH=近-雙=立-x6=3如,

__22

：.AM=^3-AD=^-x2=V3>

22

.,.AAf=百，

：?MH=+3V3~4^3>

此時(shí)，△BMC面積=JBC"1H=yX6X4V3=12V3.

故答案為：12?.

【典例3】如圖，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,點(diǎn)尸是矩形A3CD內(nèi)一點(diǎn),

且NBPC=90°,連接AP,PD,則△APD面積的最小值為

【答案】2

【解答】解：?.?/3PC=90°,

...點(diǎn)P在以為直徑的圓上，

即點(diǎn)P到的最大距離為2,

???點(diǎn)尸到AD的最小值=3-1X4=1,

2

/.SAAPD=1X4X1=2,

2

二AAPD面積的最小值為2.

故答案為：2.

【典例4］如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，NA=60°,點(diǎn)又是AD邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)N是A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿所在直線翻折得到△AMN,連

接A3,AC,則△ABC面積的最小值為.

【答案］?二1

由折疊知

又?“是A。的中點(diǎn)，

：.MA=MA'=MD,

點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡就是在以點(diǎn)M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑的工誦上，

過(guò)點(diǎn)M作MELBC于點(diǎn)E,連接3。，

在菱形A3CD中，

"：AD=AB,ZA=60°,

△A3。是等邊三角形.

是的中點(diǎn)，

點(diǎn)E與點(diǎn)8重合，

2272s

設(shè)點(diǎn)4到3C的距離為人，當(dāng)點(diǎn)4在ME上時(shí)，/?取得最小值，最小值為

-A'M=y[3T，

.,.△A5c面積的最小值為=_13。?/1=工*2乂（V3-1）=6-1,

22

故答案為：Vs-1.

【典例5】如圖，在Rt^ABC中，AB=3,3C=4,點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E

是平面內(nèi)一點(diǎn)，且DE=1,連接AE,CE,則四邊形ABCE面積的最大值

為.

【答案】2

2

【解答】解：?.,在RtZVIBC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=4,

?"?AC=VAB2+BC2=^32+42=5-

經(jīng)分析，當(dāng)。E,AC于。時(shí)，四邊形ABCE面積的最大.

四邊形ABCE面積的最大值為S四邊形ABCE=Sz\45C+Sz\ACE=—A.R?EC+^AC?DE

=yX3X4+1x5Xl=-^-

故答案為：IL.

2

【變式1】如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,/BCD=90°,

43=12,3。=16.點(diǎn)”是A3上一點(diǎn)，AM=4,點(diǎn)N是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且DN=5,連接CN,MN.

(1)當(dāng)M,N,。三點(diǎn)共線時(shí)，求MN的長(zhǎng)；

(2)求四邊形3CNM面積的最小值.

備用圖

【解答】解：(1)延長(zhǎng)。4到E作于G,AE±BC^E,

VZB=60°,AB=12,

：.BE=6.

：.AD=EC=10,

'：AM^4,ZAMG=30°,

：.AG=2,MG=2^,

：.DG=\2,

"：DM2=DG2+MG1,

：.DM2=122+(2A/3)2,

：.DM=2^,

:.MN=2腌-5；

(2)取3c中點(diǎn)K,連接MC,MK,作NHLMC于H,DLLMC于L,

VZB=60°,BM=BK=8,

：.△M3K是等邊三角形，

：.MK=KC=6,

/MKB=60°,

：.NKMC=/MCK=30°,

ZBMC=90°

**?MC~8,

SAMBC=l.MC*MB=3243,

2

...當(dāng)△NMC面積最小時(shí)，四邊形MBCN面積最小，

,:DN=5,

.?.當(dāng)D,N,H三點(diǎn)共線時(shí)，NH最小,

△M0c面積最小，

由（1）知DC=AE=6我，

:.DL=?DC=9,

2

.?.M/最小值為：4,

.??SANMC的最小值為：、CM?NH=16如,

2

...四邊形M3CN面積最小值為：32?+16百=48?.

【變式2】如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=6,E,R分別為AD,3C上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EE將矩形沿ER折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H,G.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)G落在DC邊上時(shí)，連接BG.

①若點(diǎn)G為。C的中點(diǎn)，求CR的長(zhǎng)；

②試探究ER與BG之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，若點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接AH,HC,求四邊形AHC3面積的

最大值.

HH

【解答】解：（1）①如圖①中，???四邊形ABC。是矩形,

AZC=90°,AB=CD^4,BC=6,

,:DG=CG=2,

由翻折的性質(zhì)可知，F(xiàn)B=FG,

設(shè)FB=FG=x,

'：FG2=CCP+CF2