線圓最值（知識解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點題型專項訓(xùn)練

專題02線圓最值（知識解讀）

【專莖餞明】

直線與圓的位置關(guān)系是中考數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識點較多,

題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學(xué)知識體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的

問題.中考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導(dǎo)向性使

得該知識成為教學(xué)中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學(xué)生要想順利地解

決此類問題，需要綜合運用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思

想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學(xué)實踐，枚舉幾例直

線與圓中的最值問題，以供參考.

【方放技巧】

考點：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點Q為O上一點，圓心O與直線I之

間的距離為d.

位置關(guān)系直線與。相離直線與。相切直線與0相交

圖示O工

---------1

點。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過點。作直線/的垂線，其反向延長線與。的交點，即為

此時點Q的位置

點。

點。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時點。的位置過點。作直線/的垂線，與。的交點即為點。

拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定

邊的最大（?。┚嚯x，進而利用面積公式求解

【舞例令新】

【典例1】如圖，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,點E是A3的中點，點P是

矩形A3CD內(nèi)一點，且EP=AE,連接CP,PD,則△PCD面積的最小值為

【典例2］如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃BC,點M是DE的中點，連接CM.將4

ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，4BMC面積的最大值為.

【典例3】如圖，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,點尸是矩形A3CD內(nèi)一點,

且N3PC=90°,連接AP,PD,則△APD面積的最小值為.

【典例4］如圖，在邊長為2的菱形A3CD中，NA=60°,點般是AD邊的中

點，點N是A3邊上一動點，將△AMN沿所在直線翻折得到△AMN,連

接43,A'C,則△AZC面積的最小值為

D

ANB

【典例5】如圖，在RtZXABC中，AB=3,3C=4,點。是AC邊上一點，點E

是平面內(nèi)一點，且DE=1,連接AE,CE,則四邊形ABCE面積的最大值

為.

【變式1】如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,ZBCD=90°,

43=12,3。=16.點時是A3上一點，AM=4,點N是四邊形ABCD內(nèi)一點,

且DN=5,連接CN,MN.

(1)當M,N,。三點共線時，求的長；

(2)求四邊形3CNM面積的最小值.

BB

備用圖

【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,R分別為AD,3C上的

兩個動點，連接EE將矩形沿ER折疊，點A,3的對應(yīng)點分別為點H,G.

(1)如圖①，當點G落在DC邊上時，連接3G.

①若點G為。。的中點，求CR的長；

②試探究ER與BG之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，若點E為AD的中點，連接AH,HC,求四邊形AHC3面積的

最大值.

專題02線圓最值（知識解讀）

【專莖餞明】

直線與圓的位置關(guān)系是中考數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識點較多,

題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學(xué)知識體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的

問題.中考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導(dǎo)向性使

得該知識成為教學(xué)中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學(xué)生要想順利地解

決此類問題，需要綜合運用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思

想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學(xué)實踐，枚舉幾例直

線與圓中的最值問題，以供參考.

【方放技巧】

考點：線圓最值

已知O及直線I,O的半徑為r,點Q為O上一點，圓心O與直線I之

間的距離為d.

位置關(guān)系直線與。相離直線與。相切直線與0相交

圖示O工

---------1

點。到直線/距離的

d+r2rd+r

最大值

過點。作直線/的垂線，其反向延長線與。的交點，即為

此時點Q的位置

點。

點。到直線/距離的

d-r0r-d

最小值

此時點。的位置過點。作直線/的垂線，與。的交點即為點。

拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定

邊的最大（小）距離，進而利用面積公式求解

【舞例令新】

【典例1】如圖，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,點E是A3的中點，點P是

矩形A3CD內(nèi)一點，且EP=AE,連接CP,PD,則△PCD面積的最小值為

【答案】3

【解答】解：,.?50=243=4,

：.AB=2,

?點E是AB的中點，

：.AE=BE=1.；

...點P在以點E為圓心，1為半徑的弧上運動,

過點E作E/UCD于點孔

則SZCD=|CD=PQ'

...當尸。最小時，APCD的面積取得最小值?EP+PQNEF

當E,P,。三點共線時，P。取得最小值，最小值為ER-EP的值;

???四邊形A3CD是矩形，

：.EF=BC=4,

：.P。最小=EF-EP=3,

??S4PCD最小=PQ最小=3,

故答案為：3.

【典例2】如圖，iSAABC^AADE^,AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃3C,點”是DE的中點，連接CM.將4

ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△3MC面積的最大值為.

【答案】12?.

【解答】解：連接AM,交BC于H,.

'：AB^AC,AD=AE,點/是DE的中點，

：.AM±DE,AH±BC,

將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°,即M、M,H在同一直線上時，ABMC

面積取最大值.

'：AB^AC=6,AD=AE,NB4C=ND4E=60°,且皮）=2AD,

.,.AD=AE-2,BH=近-雙=立-x6=3如,

__22

：.AM=^3-AD=^-x2=V3>

22

.,.AAf=百，

：?MH=+3V3~4^3>

此時，△BMC面積=JBC"1H=yX6X4V3=12V3.

故答案為：12?.

【典例3】如圖，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,點尸是矩形A3CD內(nèi)一點,

且NBPC=90°,連接AP,PD,則△APD面積的最小值為

【答案】2

【解答】解：?.?/3PC=90°,

...點P在以為直徑的圓上，

即點P到的最大距離為2,

???點尸到AD的最小值=3-1X4=1,

2

/.SAAPD=1X4X1=2,

2

二AAPD面積的最小值為2.

故答案為：2.

【典例4］如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，NA=60°,點又是AD邊的中

點，點N是A3邊上一動點，將△AMN沿所在直線翻折得到△AMN,連

接A3,AC,則△ABC面積的最小值為.

【答案］?二1

由折疊知

又?“是A。的中點，

：.MA=MA'=MD,

點4的運動軌跡就是在以點M為圓心，MA長為半徑的工誦上，

過點M作MELBC于點E,連接3。，

在菱形A3CD中，

"：AD=AB,ZA=60°,

△A3。是等邊三角形.

是的中點，

點E與點8重合，

2272s

設(shè)點4到3C的距離為人，當點4在ME上時，/?取得最小值，最小值為

-A'M=y[3T，

.,.△A5c面積的最小值為=_13。?/1=工*2乂（V3-1）=6-1,

22

故答案為：Vs-1.

【典例5】如圖，在Rt^ABC中，AB=3,3C=4,點。是AC邊上一點，點E

是平面內(nèi)一點，且DE=1,連接AE,CE,則四邊形ABCE面積的最大值

為.

【答案】2

2

【解答】解：?.,在RtZVIBC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=4,

?"?AC=VAB2+BC2=^32+42=5-

經(jīng)分析，當。E,AC于。時，四邊形ABCE面積的最大.

四邊形ABCE面積的最大值為S四邊形ABCE=Sz\45C+Sz\ACE=—A.R?EC+^AC?DE

=yX3X4+1x5Xl=-^-

故答案為：IL.

2

【變式1】如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,/BCD=90°,

43=12,3。=16.點”是A3上一點，AM=4,點N是四邊形ABCD內(nèi)一點,

且DN=5,連接CN,MN.

(1)當M,N,。三點共線時，求MN的長；

(2)求四邊形3CNM面積的最小值.

備用圖

【解答】解：(1)延長。4到E作于G,AE±BC^E,

VZB=60°,AB=12,

：.BE=6.

：.AD=EC=10,

'：AM^4,ZAMG=30°,

：.AG=2,MG=2^,

：.DG=\2,

"：DM2=DG2+MG1,

：.DM2=122+(2A/3)2,

：.DM=2^,

:.MN=2腌-5；

(2)取3c中點K,連接MC,MK,作NHLMC于H,DLLMC于L,

VZB=60°,BM=BK=8,

：.△M3K是等邊三角形，

：.MK=KC=6,

/MKB=60°,

：.NKMC=/MCK=30°,

ZBMC=90°

**?MC~8,

SAMBC=l.MC*MB=3243,

2

...當△NMC面積最小時，四邊形MBCN面積最小，

,:DN=5,

.?.當D,N,H三點共線時，NH最小,

△M0c面積最小，

由（1）知DC=AE=6我，

:.DL=?DC=9,

2

.?.M/最小值為：4,

.??SANMC的最小值為：、CM?NH=16如,

2

...四邊形M3CN面積最小值為：32?+16百=48?.

【變式2】如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=6,E,R分別為AD,3C上的

兩個動點，連接EE將矩形沿ER折疊，點A,3的對應(yīng)點分別為點H,G.

(1)如圖①，當點G落在DC邊上時，連接BG.

①若點G為。C的中點，求CR的長；

②試探究ER與BG之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，若點E為AD的中點，連接AH,HC,求四邊形AHC3面積的

最大值.

HH

【解答】解：（1）①如圖①中，???四邊形ABC。是矩形,

AZC=90°,AB=CD^4,BC=6,

,:DG=CG=2,

由翻折的性質(zhì)可知，F(xiàn)B=FG,

設(shè)FB=FG=x,

'：FG2=CCP+CF2