2024年人教版初中九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義：一元二次方程單元檢測（一）

第09課一元二次方程單元檢測(一)

一、單選題

i.下列方程是一元二次方程的是()

A.-------=0B.xy+爐=9

xx

C.7x+6=x2D.(%—3)(x—5)=x2—4x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義即可解答.

【詳解】

選項A,方程含有分式，選項A不是一元二次方程；

選項B,方程中含有兩個未知數(shù)，選項B不是一元二次方程；

選項C,符合一元二次方程的定義，選項C是一元二次方程；

選項D,原方程化簡后為-4x+15=0,是一元一次方程，選項D不是一元二次方程.

故選C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.若關(guān)于x的一元二次方程Ax2+2x-l=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是

A.k>-lB.k>-l

C.k>-l1.k*0D.k>-l且AwO

【答案】C

【詳解】

解：?一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個實數(shù)根，，A=〃-4ac=4+4k20,且上0,解得：kN-1且上0.故

選C.

點睛：此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判

別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.

3.我國"一帶一路”戰(zhàn)略給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民2017年年收入500美元，

預(yù)計2019年年收入將達到1000美元，設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為無，可列方

程為

A.500（1+2x）=1000B.500（1+x）2=1000

C.500（1+＜）=1000D.500+2x=1000

【答案】B

【解析】

【分析】

關(guān)于增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量x（l+增長率）,如果設(shè)2017年到2019年該地區(qū)居民年人均收

入平均增長率為X,那么根據(jù)題意可用x表示2019地區(qū)居民年人均收入，然后根據(jù)已知可以得出方程

【詳解】

根據(jù)題意得出等量關(guān)系：500X（1+增長率）2=1000即500（1+"=1000,故選B.

【點睛】

此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵在于列出方程

4.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程f-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A.12B.9C.13D.12或9

【答案】A

【詳解】

因式分解可得：(x—2)(x—5)=0,解得：士=2,無2=5,

當(dāng)2為底，5為腰時，則三角形的周長為12；

當(dāng)5為底，2為腰時，則無法構(gòu)成三角形，

故選A.

5.若關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個根為-1,則另一個根為()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)方程另一個根為xi,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+(-1)=2,解此方程即可.

【詳解】

解：設(shè)方程另一個根為刈，

xi+(-1)=2,

解得xi=3.

故選：D.

【點睛】

b

本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為xi,x2,則XI+X2=-2,

c

X1*X2=—.

a

6.一元二次方程x2+6x-5=0配方后可化為()

A.(x+3)2=5B.(x+3)2=14

C.(x-3)D.(x-3)『14

【答案】B

【分析】

直接利用配方法進行求解.

【詳解】

解：x2+6x—5=0,

x2+6x+9=14，

(x+3)2=14,

故選：B.

【點睛】

本題考查了配方法，解題的關(guān)鍵是：掌握配方法的基本操作步驟.

7.關(guān)于x的一元二次方程-kx2-6x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()

A.k>-3B.k<3C.k<3且k*0D,k>-3且kwO

【答案】D

【分析】

根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則根的判別式的值大于0,列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，即

可得到k的范圍，同時注意二次項的系數(shù)不為0.

【詳解】

解：關(guān)于x的一元二次方程-kx2-6x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

:△>0且-k30,

36-4x(-k)x3>0且k#0,

k>-3且k*0,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，把一塊長為50cm,寬為40cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿

虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為400cm2,設(shè)剪去小正方形的

邊長為xcm,則可列方程為（）

A.（40-x）（50-2x）=400B.（40-2%）（50-2%）=400

C.（40-尤）（50—x）=400D.（40-2x）（50-x）=400

【答案】B

【分析】

分別用代數(shù)式表示出底面矩形的長和寬，即可列出方程

【詳解】

根據(jù)題意，底面矩形的長為：（50-20x）0%寬為：（40-2x）s,根據(jù)題意得：

（40-2x）（50-2x）=400

故選B

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意求出底面矩形的長和寬是解題的關(guān)鍵.

9.已知關(guān)于x的一元二次方程。x2+bx+c=0（awO）,下列命題是真命題的有（）

①若a+2b+4c=0,則方程ax2+bx+c=O必有實數(shù)根；

②若b=3a+2,c=2a+2,則方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；

③若c是方程ax2+bx+c=O的一個根，則一定有ac+b+l=O成立；

④若t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則b2-4ac=（2at+b）2.

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】C

【分析】

①正確，利用判別式判斷即可.②錯誤，a=-2時，方程有相等的實數(shù)根.③錯誤，c=0時，結(jié)論不成立.(4)

正確，利用求根公式，判斷即可.

【詳解】

解：①：a+2b+4c=0,

/.a=-2b-4c,

「?方程為(-2b-4c)x2+bx+c=0,

Zl=b2-4(-2b-4c)?c=b2+8bc+16c2=(b+4c)2>0,

方程ax2+bx+c=0必有實數(shù)根，故①正確.

②:b=3a+2,c=2a+2,

方程為ax2+(3a+2)x+2a+2=0,

.,"=(3a+2)2-4。(2a+2)=a2+4a+4=(o+2)2,

當(dāng)o=2時，4二0,方程有相等的實數(shù)根，故②錯誤，

③當(dāng)c=0時，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0,故③錯誤.

④二t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

.-b±y/b2-4ac

??t=---------------------,

2a

2

2at+b=±y/b-4ac,

b2-4ac=(2at+b)2,故④正確，

故選：C.

【點睛】

本題考查命題與定理，一元二次方程的根的判別式，公式法解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題

10.已知一元二次方程（加-2）/-3彳+療一4=。的一個根為0,則加=

【答案】-2

【分析】

把x=0代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過解新方程可以求得m的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意將x=0代入原方程得：m2-4=0,

解得：m=2或m=-2,

又m-2^0,即m*2,

m=-2,

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解的定義.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解,

特別需要注意的條件是二次項系數(shù)不等于0.

11.如圖，在一塊長15m,寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬且相互垂直的道路，剩余部分栽種花草,

要使綠化面積為126m2,設(shè)修建的路寬為xm,則滿足的方程是.

【答案】1

【分析】

把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公

式列方程求解即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：（10-尤）（15-x）=126,

解得：玉=1,超=24（不合題意，舍去），

則道路的寬為1米；

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形底面的最上邊和最左邊是做本題

的關(guān)鍵.

12.據(jù)美國約翰斯霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)實時統(tǒng)計系統(tǒng)，截至美國東部時間3月28日晚6

時，全美共報告新冠肺炎確診人數(shù)超過3025萬，死亡超過54.9萬.已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪

傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了人.

【答案】11

【分析】

設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了X人，再根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎"建立方程，解方程

即可得.

【詳解】

解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，

由題意得：l+x+x（x+l）=144,

解得x=ll或％=-13<0（不符題意，舍去），

即每輪傳染中平均每人傳染了11人,

故答案為：IL

【點睛】

本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確建立方程是解題關(guān)鍵.

13.一元二次方程2/-4工+1=0的兩個根為占，龍2貝!!2馬2-4%+占尤2的值為

【答案】-1

【分析】

根據(jù)M,X2是一元二次方程2/一4x+l=0的兩個根，可以求得-4%=-1,代入計算即可.

【詳解】

解：：2/一4了+1=0的兩個根為%,x2,

2]

2%2_4%2=_1f苔%2=5，

c2/111

J.2x2-4%2+玉%2=-1+]=-2，

故答案為：-;.

【點睛】

本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是找出所求問題需要的條件.

14.若方程ar2+Zzx+c=0（aH0）,滿足3a"+；c=0則方程必有一根為_.

【答案】-3

【分析】

將x=-3代入原方程并整理，可得到系數(shù)之間的關(guān)系滿足題意，由此確定出答案即可.

【詳解】

當(dāng)左=-3時，代入原方程得：

9a—3b+c—0,即：3a—b+—c—0,

3

?1.原方程必有一根為％=-3,

故答案為：-3.

【點睛】

本題考查一元二次方程根的定義，理解根的定義，并且熟記常見的幾組未知數(shù)的值對應(yīng)的系數(shù)關(guān)系是解題

關(guān)鍵.

15.已知方程（/+力2-26+也_3=0,貝！j/+y2的值為.

【答案】3

【分析】

設(shè)a=x2+y2,把原方程變?yōu)椤?_2a一3=0,求得方程的解即可.

【詳解】

解：a=x2+y2,

則原方程變?yōu)閍2-2o-3=0,

解得：ai=-l,a2=3,

x2+y2>0,

x2+y2=3.

故答案為：3.

【點睛】

此題考查換元法解一元二次方程，滲透整體思想，注意非負數(shù)的性質(zhì).

16.如果兩個數(shù)的差為3,并且它們的積為88,那么其中較大的一個數(shù)為.

【答案】11或-8

【分析】

根據(jù)題意設(shè)較小的數(shù)為x,表示出較大的數(shù)，列出方程求出解即可.

【詳解】

解：設(shè)較小的數(shù)為X,則較大的數(shù)為x+3,

根據(jù)題意得：x(x+3)=88,即x?+3x-88=0,

分解因式得：(x-8)(x+11)=0,

解得：*=8或*=-11,

x+3=ll或-8,

則較大的數(shù)為11或-8,

故答案為：11或-8.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意并根據(jù)題意列出方程求出解是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.按照指定方法解下列方程：

(1)x(x-26)+3=0.(自選方法)

(2)3/—6x-2=0.(配方法)

(3)X2-9=2X+6(因式分解法)

【答案】(1)xl=x2=\/3；(2)再=1+^^~,%=1一;(3)%=—3,無2=5.

【分析】

(1)原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；

(2)先把二次項系數(shù)化為1,即兩邊都除以3,然后配方即可；

(3)方程兩邊分別分解因式，再把左邊移項后，提取公因式即可.

【詳解】

(1)原方程整理得：尤2一2氐+3=0

即（x-后=0

Xy=x2=A/3

2

(2)方程兩邊同除以3,得：x2—2x——=0

配方，得：(X-l)2=g

根據(jù)平方根的定義，得：》一1=姮或天-1=-姮

33

解得：X1=1+~~~'X[=\一^^~

(3)兩邊分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)

即：(x+3)(x-3)—2(x+3)=0

提取公因式得：(x+3”-5)=0

x+3=0或x-5=0

..——3,%2—5

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法較多，有直接開平方法，配方法，公式法及因式分

解法等方法，要根據(jù)方程的特點靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ岣呓夥匠痰乃俣?

18.已知關(guān)于x的方程3x2-(a-3)x-a=0(a>0).

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根大于2,求a的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析(2)a>6

【詳解】

試題分析：(1)先計算根的判別式得到^=(a+3)2,然后根據(jù)a>0得到△>0,則可根據(jù)判別式的意義得

到結(jié)論；

(2)利用公式法求得方程的兩個解為xi=-1,X2=],再由方程有一個根大于2,列出不等式，解不等式

即可求得a的取值.

試題解析：

(1)證明：4=(0—3)2—4X3X(—a)=(a+3)2.

a>0,

(a+3)2>0,A>0.

方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)(a+3)2>o,由求根公式得x="—(。43)，

Xl=-1,X2=".

方程有一個根大于2,

爭2.

a>6.

點睛：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根的判別式△=bJ4ac：當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的

實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.

19.某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟收入，購買了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)各用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻長

15m)圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(如圖所示)，

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為90m2,求雞場的長(AB)和寬(BC)；

(2)該扶貧單位想要建一個100m2的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由.

z)|IF|C

AEB

【答案】(1)雞場的長(AB)為15m,寬(BC)為6m；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)設(shè)BC=xm,則AB=(33-3x)m,根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合矩形養(yǎng)雞場面積為90m2,即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，解之即可求出x的值，分別代入(33-3X)中，取使得(33-3X)小于等于15的值即可得

出結(jié)論；

(2)不能，理由如下，設(shè)BC=ym,則AB=(33-3y)m,同(1)可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判

別式△=-111<0,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)設(shè)BC=xm,則AB=(33-3x)m,

依題意，得：x(33-3x)=90,

解得：xi=6,X2=5.

當(dāng)x=6時，33-3x=15,符合題意,

當(dāng)x=5時，33-3x=18,18>15,不合題意，舍去.

答：雞場的長(AB)為15m,寬(BC)為6m.

(2)不能，理由如下：

設(shè)BC=ym,則AB=(33-3y)m,

依題意，得：y(33-3y)=100,

整理,得：3y2-33y+100=0.

△=(-33)2-4X3X100=-111<0,

該方程無解，即該扶貧單位不能建成一個100m2的矩形養(yǎng)雞場.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

20.已知：如圖所示，在中，/S=90。，AB=5cm,BC=lcm,點P從點A開始沿AB邊向點B以

lm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.當(dāng)P、Q兩點中有一點到達終點,

則同時停止運動.

(1)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，△P8Q的面積等于40加？

(2)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于2比6C"7?

(3)APQB的面積能否等于7"/?請說明理由.

【答案】(1)1秒；(2)3秒；(3)不能，理由見解析

【分析】

(1)設(shè)P、Q分別從A、B兩點出發(fā)，x秒后，AP=xcm,PB=(5-x)cm,BQ=2xcm,則^PBQ的面積等于3x2x

(5-x),令該式等于4,列出方程求出符合題意的解；

(2)利用勾股定理列出方程求解即可；

(3)看△PBQ的面積能否等于7cm2,只需令gx2t(5-t)=7,化簡該方程后，判斷該方程的從一4℃與0

的關(guān)系，大于或等于。則可以，否則不可以.

【詳解】

解：(1)設(shè)經(jīng)過x秒以后，面積為4cm2(0＜工工3.5),

此時=BP=[5-x)cm,BQ=2xcm,

由;BP.8Q=4,得；(5-尤)x2尤=4,

整理得：J—5工+4=0,

解得：x=l或％=4(舍)，

答：1秒后△尸的面積等于4c病.

(2)設(shè)經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于2加。機

由PQ2=BP2+BQ2,

即40=(5T)2+⑵產(chǎn),

解得：t=3或-1(舍)，

???3秒后，PQ的長度為2vHic機;

(3)假設(shè)經(jīng)過t秒后，△尸2。的面積等于7c療，

即BPx華=7,