福建省南安市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第1次階段考試（10月）數(shù)學(xué)試題含答案

福建省南安市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第1次階段考試（10月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量a=2,?1,3，b=?4,2,x，且A．103B．113C．4D．62．若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．兩條平行直線和間的距離為，則的值分別為（

）A． B．C． D．4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線和平面的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．5．已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B．0 C．5 D．6．已知直線l的傾斜角等于，且l經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．l的一個(gè)方向向量為B．l在x軸上的截距等于C．l與直線垂直D．點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的最短距離是17．如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點(diǎn)，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．8．如圖，邊長為2的正方形沿對(duì)角線折疊，使，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．4二、多選題（本大題共3小題）9．下列四個(gè)選項(xiàng)中，說法錯(cuò)誤的是（

）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線與直線互相平行，則C．過兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為.10．已知空間向量，則（

）A．B．在上的投影向量為C．若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi)D．向量是與平行的一個(gè)單位向量11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值．13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，其中、，若平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為．14．長方體中，，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，的值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，(1)求與的夾角；(2)若與垂直，求實(shí)數(shù)t的值．16．在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求直線的方程；(2)求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).17．如圖，已知平行六面體的底面是矩形，且，，，為與的交點(diǎn)，設(shè)，，.

(1)用，，表示，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.18．如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的正弦值．19．人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)若點(diǎn)，，求的最大值；(3)已知點(diǎn)，是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案1．【答案】A【分析】代入空間向量垂直的數(shù)量積坐標(biāo)表示的公式，即可求解.【詳解】a⊥b?a?故選A.2．【答案】C【詳解】由直線經(jīng)過兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.故選：C.3．【答案】B【詳解】由已知可得，，解得.代入化簡可得，.根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得，.故選：B.4．【答案】A【詳解】由，，，所以，即，所以.故選：A5．【答案】C【詳解】因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故選：C6．【答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€l的傾斜角等于，所以直線l的斜率，所以直線l的一個(gè)方向向量為，又，所以是直線l的一個(gè)方向向量，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知直線l的斜率，又l過點(diǎn)，所以直線l的方程為，即，令，得，所以l在x軸上的截距等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的斜率為，因?yàn)?，所以l與直線垂直，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線l：的距離為，所以點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的最短距離是1，故D正確.故選：B7．【答案】C【詳解】一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射,與交于點(diǎn)P,由題意可得，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上，設(shè),則,,故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是.故選：C.8．【答案】C【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C

9．【答案】AD【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率判斷A；根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，即可判斷B；根據(jù)兩點(diǎn)式方程判斷C；分截距都為與都不為兩種情況討論，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角，但是與軸平行（重合）的直線的傾斜角為，斜率不存在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)橹本€與直線互相平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)直線與直線重合，故舍去，當(dāng)時(shí)直線與直線平行，符合題意，綜上可得，故B正確；對(duì)于C：過兩點(diǎn)的所有直線的方程為，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)截距都為時(shí)直線方程為，當(dāng)截距都不為時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上可得滿足條件的直線方程為或，故D錯(cuò)誤.故選AD.10．【答案】ABD【詳解】由已知可得，A正確；由于，所以在上的投影向量即為，B正確；若在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得，而,所以，上述方程組無解，故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi)，C錯(cuò)誤;由，故，且，所以正確．故選：ABD．11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為，D正確；故選：ACD.12．【答案】【詳解】由解得，所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，過定點(diǎn)，若直線不能圍成三角形，只需經(jīng)過點(diǎn)，或與平行，或與平行，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得；當(dāng)與平行時(shí)，，解得；當(dāng)與平行時(shí)，，解得.故的值為.故答案為：（只需寫出其中一個(gè)即可）.13．【答案】/【詳解】因?yàn)?、，所?記平面的一個(gè)法向量為，則，解得，故平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)椋?所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.14．【答案】/0.25【詳解】在長方體中，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系，則，令，則有，，，由為鈍角，得，解得，，因此；顯然，點(diǎn)到直線的距離，整理得，解得，所以.故答案為：；15．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，，，，令與的夾角為，則，則與的夾角為.（2），，又與垂直，，即，解得.16．【答案】(1)(2)直線的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對(duì)稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．17．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以，（2）因?yàn)椋酌媸蔷匦?，所以，又因?yàn)?，，所以，，因此，，若異面直線與所成角為，則，因此異面直線與所成角的余弦值為．18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以；底面為菱形，所以；又因?yàn)?，平面，所以平?（2）如圖：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，所以平面.故可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉橹本€與平面所成的角，所以.又，所以，，，，，

則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，取，則，則，又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的角為，，則，，即平面與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)，(2)(3)存在，和【詳解】（1），，；（2）設(shè)，由題意得：，即，而