平行線的四大基本模型重難點題型專訓(xùn)（原卷版+解析）

專題03平行線的四大基本模型重難點題型專訓(xùn)

國【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

丹【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結(jié)論1]若AB〃CD,則NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB/7EF,貝1]NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

1

23.

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型

【例1】（2022春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB//CD,則Na、Zp>/丫之間的

A.Za+Zp+Zy=180°B.Za-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za-Zp-Zy=180°[

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春.全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC（ZA=60°）

按如圖所示放置.若/1=43。，則/2的度數(shù)為（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【變式2］（2022秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分NADC,

ZBAD=80°,/BCD=,則N3ED的度數(shù)為.（用含”的式子表示）

D

【變式3】(2022春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線AB//CD,所是截線，點M在直線A3、CD

之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如圖2,在NGHC的角平分線上取兩點M、Q,使得NAGAf=///GQ.試判斷與NGQH之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

丹【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

變異的鉛筆頭：拐點數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)

【例2】(2021.全國?九年級專題練習(xí))如圖，兩直線AB、CO平行，貝UNl+/2+N3+N4+N5+N6=().

AR

A.630°B.720°C.800°D.900°

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，直線機//〃，在RGABC中，2B90?,點A落在直線加上,

3C與直線〃交于點。，若N2=130。，則N1的度數(shù)為（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【變式2］（2020春.山西臨汾.七年級統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后,

又變成了東西方向的FE段，則NB+NC+NO+NE的度數(shù)是.

AB

__________/D

FE

【變式3］（2022春.江蘇揚州?七年級校考階段練習(xí)）已知直線尸為平面內(nèi)一點，連接出、PD.

（1）如圖1,已知NA=50。，ND=150。，求的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷NE4B、ZCDP,44尸。之間的數(shù)量關(guān)系為.

（3）如圖3,在（2）的條件下，APLPD,DN平分/PDC,若/B4N+；/AP。，求NAN￡）的度

數(shù).

p

個【經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2022秋.全國?八年級專題練習(xí)）①如圖1,AB〃CD,則ZA+NE+NC=360。；②如圖2,AB//CD,

則NP=NA-NC；③如圖3,AB//CD,則NE=NA+N1；④如圖4,直線A3〃8//EF,點。在直

線防上，則Na-4+N7=180。.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2021秋?八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（a）,直線求證：ZABC+Z.CDE=ZBCD-

（2）如圖（b）,如果點C在AB與之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

ABB

(a)

【變式2](2021春.廣東東莞.七年級東莞市光明中學(xué)校考期中)(1)如圖(1)AB〃CD猜想/2尸。與乙8、

的關(guān)系，說出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃C￡>,猜想圖中的/BPD與NB、ND的關(guān)系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知4B〃C。，猜想圖中的/8尸￡(與/8、ND的關(guān)系，不需要說明理由.

(1)(2)(3)(4)

【變式3】(2022?全國?七年級假期作業(yè))已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,作NBAE的平分線交CO于點尸，點G為AB上一點，連接尸G,若NCFG的平分線交線段AG

于點、H,連接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,過點H作舊拉，戶H交FG的延長線于點M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求ZEAF+Z.GMH的度數(shù).

【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021.全國.九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD,/E=37。,/C=20°,則NEAB的度數(shù)為

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春?湖北黃岡?七年級?？计谥校┤鐖D，己知AB//OE,NA2C=80。，ZC￡）E=140°,則

/BCD=.

【變式2］（2022春?江蘇鹽城.七年級景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，若AB//CD,則/1+N3-N2的度數(shù)為

E

【變式3］（2021春?全國?七年級專題練習(xí)）（1）如圖，AB//CD,CF平分/DCE,若/。（才=30。，ZE=2Q°,

求NA8E的度數(shù)；

（2）如圖，AB//CD,ZEBF=2ZABF,CF平分/DCE,若NP的2倍與/E的補角的和為190。，求/ABE

的度數(shù).

D

H

AB

E

(3)如圖，尸為(2)中射線BE上一點，G是8上任一點，P。平分/BPG,GN//PQ,GM平分4DGP,

若/8=30。，求/MGN的度數(shù).

【培優(yōu)檢測】

1.（2022?全國.七年級假期作業(yè)）如圖，AB//ED,a^ZA+ZE,￡=/B+/C+/D,則力與a的數(shù)量關(guān)系

是（）

A.2汽=3aB.B=2aC.2/i=5aD.4=3a

2.（2020?湖南.中考真題）如圖，己知Nl=30。，N2=35。，則NBCE的度數(shù)為（）

DE

A.70°B.65°C.35°D.5°

3.（2021.全國.九年級專題練習(xí)）把一副三角板放在水平桌面上，擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點

重合，兩條斜邊平行，則N1的度數(shù)是（）

4.（2021春.新疆烏魯木齊.七年級新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB〃CD,則

NA+NE+NF+NC等于（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

5.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，已知AB//CD,N4=140。，NE=120。，則/C的度數(shù)是（）

A.80°B.120°

C.100°D.140°

6.（2022春.甘肅金昌.七年級?？计谥校┤鐖D，已知ABIIDE,則N1+N2+N3的度數(shù)是（）

A.180°B.270°C.360°D.540°

7.（2022.全國?七年級假期作業(yè)）如圖，已知.//。，將直角三角形如圖放置，若N2=40。，則/I為（)

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.（2021春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，已知AB〃CD,則/a,",々之間的等量關(guān)系為（）

A.Za+Z^-Z/=180°B.Zy0+Zx-Z<z=18O°

C.Za+Z/?+Z/=360°D,Za+Z^+Z/=180°

9.(2022秋?山東臨沂?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，已知點尸是矩形ABCD內(nèi)一點(不含邊界)，設(shè)

ZPAD=6l,ZPBA=e2,ZPCB=93,ZPDC=e4,若/AP8=80°,NCPZ)=50°,貝!!()

A.(4+%)-(%+4)=30°B.(。2+，4)-(4+。3)=40"

C.(4+%)-(%+4)=70°D.?+%)+(。3+%)=180。

10.(2021春?全國?七年級河南省淮濱縣第一中學(xué)?？计谀?如圖，AB//CD,點E在AC上，NA=110。,

Z￡>=15°,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)ZA=ZCED+ZD；(4)/BED=45。

-D

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.（2021春.全國?七年級專題練習(xí)）如圖，/BCD=I0°,AB//DE,則Na與/p滿足（）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°

12.（2021春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖,AB〃EF,/D=90。,則的大小關(guān)系是（）

A.B=a+yB.P=a+y-90°

c.j3=/+90°-aD.P=a+90°-y

13.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖所示,直角三角板的60。角壓在一組平行線上，AB//CD,ZABE=40°,

貝(JN￡Z)C=.度.

14.（2021春?甘肅慶陽?七年級校考期中）如圖，如果AB〃C￡）,那么/B+NE+

15.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，若直線//〃/2,Za=Zp,/1=30。則N2的度數(shù)為

16.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，如果EF//CD,則Nl,Z2,/3的關(guān)系式.

D

17.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，EE//MN,CA±CB,ZEAC=35°27,,則

ZMBC=_____________________

18.（2021春?安徽安慶?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB//CD,點〃、N分別在直線AS、C。上，點E為直

線AB與C。之間的一點，連接ME、NE,且/MEN=80。，NAME的角平分線與NCNE的角平分線交于點尸,

則ZMFN的度數(shù)為.

CD

19.（2022秋?貴州六盤水?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB〃C。，易得Nl+/2+/3=360。，Z1+Z2+Z3+Z4

=540°,根據(jù)以上的規(guī)律求N1+N2+/3+...+N"=.

ZECF=-ZECD,

3

則ZAEC=____度.

21.（2022秋.全國?七年級統(tǒng)考期末）請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問

題.

小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今

天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即

已知:如圖1,ABUCD,E為AB、8之間一點，連接AE,CE得到/AEC.

求證:ZAEC=ZA+NC

小明筆記上寫出的證明過程如下：

證明:過點￡作石尸//川，

???N1=N5

*：AB//CD,EF//AB

：.EFI/CD

：.N2=NC.

ZAEC=Z1+Z2

ZAEC=ZA+AC

請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.

(1)如圖，若AB//CD,ZE=60°,貝！jNB+NC+/=.

(2)如圖，AB//CD,BE平分NABG,CF平分NDCG,NG=N"+27。，則NH=.

D

E

G

22.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示，已知AB//CD,3E平分/ABC,OE平分一ADC,求證:

ZE=1（ZA+ZC）

23.（2022.全國?七年級假期作業(yè)）如圖，ABIICD,點、E為兩平行線間的一點.請證明兩個結(jié)論.

(1)ZB￡D=Z1+Z2；

(2)ZEBM+ZEDN+ABED=360°.

24.(2021春?山東德州?七年級統(tǒng)考期中)(1)如圖1,AB//CD,ZA=33°,ZC=40°,則NAPC=

（2）如圖2,AB〃DC,點P在射線O河上運動，當點P在8、。兩點之間運動時，ZBAP=Za,4DCP=4/3,

求/CR4與/￡、"之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點尸在5、。兩點外側(cè)運動時（點尸與點8、D、。三點不重合），請你直接

寫出NCR4與/a、/之間的數(shù)量關(guān)系.

25.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）綜合探究：已知AB//CD,點V、N分別是45、8上兩點，點G在A3、

CD之間，連接MG、NG.

圖1

(1)如圖1,若GM1GN,求/AMG+NOVG的度數(shù);

（2）如圖2,若點P是CD下方一點，MG平分N3MP,ND平分NGNP,已知N3MG=4O。，求

NMGV+ZWPN的度數(shù).

26.（2022?全國?七年級假期作業(yè)）⑴問題情景：如圖1,AB//CD,ZE4B=130°,NPC￡）=120。，求/APC的

度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過尸作尸E〃A2,AZAPE+ZE4B=180°,

ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°

\'AB//CD,：.PE//CD.

請你幫助小明完成剩余的解答.

（2）問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,當點尸在A、2兩點之間時，ZADP=Za,ZBCP=Z^,則NCP。，Za,/p之間有何數(shù)

27.（2021春?廣西柳州?七年級統(tǒng)考期中）已知直線?！?,直線所分別與直線a,b相交于點E,F,點A,

8分別在直線a,6上，且在直線跖的左側(cè)，點P是直線EP上一動點（不與點E,尸重合），設(shè)/以E=N1,

ZAPB=Z2,ZPBF=Z3.

（D如圖1,當點尸在線段所上運動時，試說明Nl+/3=/2；

（2）當點尸在線段所外運動時有兩種情況.

①如圖2寫出/I,Z2,23之間的關(guān)系并給出證明；

②如圖3所示，猜想/I,Z2,N3之間的關(guān)系（不要求證明）.

28.（2022春?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖①，直線AB〃CD,點E,E分別在直線AB,CD

上.

(1)猜想：若4=130。，Z2=150°,試猜想NP='

(2)探究：在圖①中探究Nl,N2,一尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若Nl+N2=325。，ZEPG=15°,求/PG廠的度數(shù).

29.(2022秋?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期末)如圖:

⑴如圖1,AB//CD,^ABE=45°,NCDE=21。,直接寫出N3ED的度數(shù).

(2)如圖2,AB〃CD,點E為直線AB,8間的一點，BF平分/ABE,DF平分NCDE,寫出NBED與Nb

之間的關(guān)系并說明理由.

(3)如圖3,與CO相交于點G,點E為4GD內(nèi)一點，BF平分/ABE,DF平分NCDE,若N3GD=60。，

ZBFD=95°,直接寫出N3即的度數(shù).

30.(2022春?江西九江?七年級統(tǒng)考期中)如圖1,ABHCD,ZR4B=130°,ZPCD=120°,求/APC的度

數(shù).小明的思路是：如圖2,過P作尸E7/AB,通過平行線性質(zhì)可求NAPC的度數(shù).

(1)請你按小明的思路，寫出NAPC度數(shù)的求解過程；

(2)如圖3,AB〃CD,點尸在直線上運動，記NR4B=N(z,乙PCD=4/3.

①當點尸在線段上運動時，則/APC與/a、4之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

②若點尸不在線段3。上運動時，請直接寫出/"C與Na、”之間的數(shù)量關(guān)系.

專題03平行線的四大基本模型重難點題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

,4【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結(jié)論1］若AB〃CD,貝l］NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB//EF,貝ljNB+ND=NC+NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

1名

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型

【例0（2022春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，如果AB〃CD,則/a、Zp>

/丫之間的關(guān)系為（）

A.Za+Zp+Zy=180°B.Za-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za-Zp-Zy=180o[

【答案】C

【分析】過E作EF〃AB,由平行線的質(zhì)可得EF〃CD,Za+ZAEF=180°,ZFED=Zy,

由/p=/AEF+/FED即可得/a、Zp>/丫之間的關(guān)系.

【詳解】解：過點E作EF〃AB,

Na+NAEF=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

VAB//CD,

；.EF〃CD,

ZFED=ZEDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

Zp=ZAEF+ZFED,

又：Zy=ZEDC,

.,.Za+Zp-Zy=180°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式1]（2021春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC

（ZA=60°）按如圖所示放置.若Nl=43。，則N2的度數(shù)為（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如圖，首先證明/AMO=N2；然后運用對頂角的性質(zhì)求出/ANM=43。，借助三角

形外角的性質(zhì)求出NAMO即可解決問題.

【詳解】解：如圖，：直線2〃b

.?.ZAMO=Z2；

VZANM=Z1,Zl=43°,

ZANM=43°,

ZAMO=ZA+ZANM=60°+43°=103°,

，/2=NAMO=103°.

故選：B.

【點睛】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點及

其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎(chǔ).

【變式2］（2022秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE

平分/ADC,ZBAD=8O°,NBCD=n。,則ZBED的度數(shù)為.（用含w的式子

表示）

【答案】40°+-?°

2

【分析】首先過點E作抄〃AB,由平行線的傳遞性得再根據(jù)兩直線平行,

內(nèi)錯角相等，得出入%刀=N4%=〃。，ZS4D=ZADC=80°,由角平分線的定義得出

ZABE=~n°,ZEDC=40°,再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出NBEF=ZABE=：。

22

/FED=NEDC=40°,由ABED=ZBEF+NFED即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E作砂〃AB,則AB〃CD〃班，

B

?：AB//CD,

：.ABCD=/ABC=if,ABAD=ZADC=80°,

又；BE平分/ABC,DE平分NADC,

：.ZABE=-ZABC=-n°,

22

NEDC=-NADC=L80°=40°,

22

,/AB//EF//CD,

ZBEF=ZABE=-n°,

2

/FED=NEDC=40。,

：.ABED=ZFED+NBEF=40。+Lz。，

2

故答案為：40。+；“。.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平

行線的性質(zhì)和角平分線的定義.

【變式3](2022春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線4B//CD,跖是截線，點M

在直線A3、C。之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如圖2,在/GHC的角平分線上取兩點M、Q,使得試判斷與/GQH

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解

(2)ZG2W=180°-ZM;理由見詳解

【分析】(1)過點M作肱V〃鉆，由AB〃C￡>,可知MN〃AB〃CD.由此可知：

ZAGM=ZGMN,ZCHM=ZHMN,?ZAGM+Z.CHM=Z.GMN+AHMN^AM；

(2)由(1)可知+.再由=/AGM=/HG。，可知：

AM=ZHGQ+ZGHM,利用三角形內(nèi)角和是180。，可得NGQH=180。-NM.

(1)

解：如圖：過點M作MV〃AB,

：.MN//AB//CD,

：.ZAGM=ZGMN,ZCHM=4HMN,

'：AM=ZGMN+4HMN,

：.ZM=ZAGM+Z.CHM.

(2)

解：ZGgH=180°-ZM,理由如下：

如圖：過點〃作肱V〃回，

由(1)知NM=NAGA/+NCHM,

:HM平濟NGHC,

：.ZCHM=ZGHM,

:ZAGM=ZHGQ,

：.ZM=ZHGQ+ZGHM,

ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°,

ZGgH=180°-ZM.

【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題

的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用.

X【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

4

D-----------------1

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點萬點,G點，8點作￡1,￡2,￡3,14平行于

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，

貝！JNl+N2+N3+N4+N5+N6=180。x5=900：

故選D

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，直線mlln,在中，?B90?,點A

落在直線加上，5C與直線〃交于點O,若N2=130。，則N1的度數(shù)為（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【答案】B

【分析】由題意過點B作直線”/加，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進行分析即可得出

答案.

【詳解】解：如圖，過點B作直線/〃機,

二?直線m//n,IIIm,

.\Z2+Z3=180°,

VZ2=130°,

AZ3=50°,

VZB=90°,

Z4=90°-50°=40°,

VZ//m,

.\Z1=Z4=4O°.

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一

條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵.

【變式2］（2020春.山西臨汾.七年級統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的AB段為東西方向，

經(jīng)過四次拐彎后，又變成了東西方向的FE段，則NB+NC+ND+ZE的度數(shù)是.

AB

FE

【答案】540°

【分析】分別過點C,D作AB的平行線CG,DH,進而利用同旁內(nèi)角互補可得NB+NBCD

+ZCDE+ZE的大小.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AB〃EF,

分別過點C,D作AB的平行線CG,DH,

所以AB〃CG〃DH〃EF,

則NB+NBCG=180°,ZGCD+ZHDC=180°,ZHDE+ZDEF=180°,

ZB+ZBCG+ZGCD+ZHDC+ZHDE+ZDEF=180°x3=540°,

ZB+ZBCD+ZCDE+NE=540。.

故答案為：540°.

【點睛】考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計算角的大小.

【變式3](2022春.江蘇揚州?七年級校考階段練習(xí))已知直線42〃。，尸為平面內(nèi)一點,

連接B4、PD.

(1)如圖1,已知NA=50。，ZZ)=150°,求乙4尸。的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷NP42、ZCDP.NAPD之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP±PD,DN平分/PDC,若NAPD,

求/AND的度數(shù).

【答案】(1)ZAPD=80°；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；(3)ZAND=45°.

【分析】(1)首先過點尸作尸?！ˋb則易得AB〃PQ〃C。，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)

角互補以及內(nèi)錯角相等，即可求解；

(2)作尸?！ˋB,易得A3〃尸?！–D,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)先證明NNO。二;NB45,ZODN=^ZPDC,利用(2)的結(jié)論即可求解.

【詳解】解：(1)VZA=50°,Z￡)=150°,

過點尸作尸?！ˋ3,

ZA=ZAPQ=50°,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.NQ+NQPQ=180°,貝1」/。尸。二180。-150。=30。,

???ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=500+30°=80°；

(2)ZB4B+ZCDP-ZAPD=180°,

如圖，作尸0〃A5,

???ZPAB=ZAPQ,

*：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZCDP+ZDPQ=180°,即NO尸。=1800-NCQP,

?/ZAPD=ZAPQ-ZDPQ,

：.ZAPD=ZB4B-(180°-ZCZ)P)=ZB4B+ZCDP-180°；

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)設(shè)尸。交AN于O,如圖，

N

C

VAPXPD,

???ZAPO=90°,

由題知/PAN+-ZPAB=ZAPD,即/PAN+-ZPAB=90°,

22

又；ZPOA+ZRiN=1800-ZAPO=90°,

：.ZPOA=-ZPAB,

2

ZPOA=ZNOD,

：.ZNOD=-ZPAB,

2

?:DN平分NPDC,

：.ZODN=-ZPDC,

2

NAND=180°-ZNOD-ZODN=180°-1(ZPAB+ZPDC),

由⑵得APAB+ZCDP-ZAPD=180°,

ZPAB+ZPDC=1SO°+ZAPD,

：.ZA^D=180°-1(ZB4B+ZPZ)C)

=180°-1(180°+ZAPO)

=180°-1(1800+90°)

=45°,

即/AND=45°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

人【經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】(2022秋?全國?八年級專題練習(xí))①如圖1,AB//CD,則ZA+ZE+NC=360。；②

如圖2,AB//CD,貝l|/P=NA-NC；③如圖3,AB//CD,貝！14=/4+/1；④如圖4,

直線A3〃CD//EF,點。在直線E尸上，則4-4+々=180。.以上結(jié)論正確的個數(shù)是

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】①過點E作直線所〃AB,由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得

出結(jié)論；

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N1=/C+NP,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等

即可作出判斷；

③如圖3,過點E作直線E尸〃由平行線的性質(zhì)可得出NA+NAEC-/1=180。，即得

ZAEC=18O°+Z1-NA；

④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/a=N20RZy+ZCOF=180°,再利用角的關(guān)系解答

即可.

【詳解】解：

①如圖1,過點￡作直線EF//AB,

'."AB//CD,

J.AB//CD//EF,

：.ZA+Zl=180°,Z2+ZC=180°,

/.ZA+ZB+ZAEC=36Q°,

故①錯誤；

②如圖2,是ACEP的外角，

.\Z1=ZC+ZP,

'：AB//CD,

：.ZA=Z1,

即NP=NA-NC,

故②正確；

③如圖3,過點E作直線E尸〃AB,

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z3=180°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-/I=180。，

即NAEC=180°+N1-ZA,

故③錯誤；

④如圖4,'：AB//EF,

:.Na=NBOF,

'JCD//EF,

；.NY+NC。/=180°,

'：ZBOF=ZCOF+Z^,

：.ZCOF=Za-Zp,

AZy+Za-Zp=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2,

故選：B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題

意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021秋?八年級課時練習(xí)）（1）已知：如圖（°）,直線求證：

ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如圖（6）,如果點C在與之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能

就本題作出什么新的猜想？

(a)

【答案】（1）見解析；（2）當點C在A8與EO之外時，ZABC-NCDE=NBCD,見解析

【分析】（1）由題意首先過點C作CfWAB,由直線AB〃￡D,可得A2〃CP〃/）E然后由

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得N42C+/CDE=/BC。；

（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得/ABC=/BFD,然后根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)即可證得ZABC-ZCDE=ZBCD.

【詳解】解：（1）證明：過點C作C/〃AB,

B

,:AB〃ED,

J.AB//ED//CF,

，ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

：.ZABC+ZCDE=ZBCD；

(2)結(jié)論：ZABC-ZCDE=ZBCD,

證明：如圖：

,:AB〃ED,

NABC=NBFD,

在△DFC中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

：.ZABC=ZBCD+ZCDE,

：.ZABC-ZCDE^ZBCD.

若點C在直線AB與之間，猜想ZABC+ZBCD+ZCDE=360°,

'：AB//ED//CF,

：.ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,

ZABC+ZBCD+ZCDE=ZABC+NBCF+ZDCF+ZCDE=360°.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法.

【變式2](2021春.廣東東莞.七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥?(1)如圖(1)AB//CD,

猜想N8尸。與NB、的關(guān)系，說出理由.

(2)觀察圖(2),已知A8〃CD,猜想圖中的28PO與/B、的關(guān)系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知A8〃CD,猜想圖中的/8P。與48、的關(guān)系，不需要

說明理由.

【答案】（1）ZB+ZBPD+ZD=360°,理由見解析；（2）ZBPD=ZB+ZD,理由見解析；（3）

NBPD=/D-NB或/BPD=NB-/D,理由見解析

【分析】（1）過點尸作班'〃根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解；

（2）首先過點P作由AB〃CD,可得PE〃AB〃CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角

相等，即可得Z2=ZD,則可求得

（3）由AB〃CO,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得/8PO與

NB、NO的關(guān)系.

【詳解】解：（1）如圖（1）過點尸作E尸〃

：.ZB+ZBPE=18Q°,

'：AB//CD,EF//AB,

：.EF//CD,

：.ZEPD+ZD=180°,

：.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36Q°,

：.ZB+ZBPD+ZD=360°.

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如圖2,過點尸作PE〃AB,

(2)

9：AB//CD,

J.PE//AB//CD,

???N1=NB,Z2=ZD,

ZBPD=Z1+Z2=ZB+ZD.

(3)如圖(3),ZBPD=ZD-ZB.

理由：\'AB//CD,

.\Z1-ZD,

'：Z1=ZB+ZBPD,

：.ZD=ZB+ZBPD,

即

如圖(4),ZBPD=ZB-ZD.

(4)

理由：'：AB//CD,

：.Z1=ZB,

'：Z\=ZD+ZBPD,

：.NB=ND+NBPD,

即NBP￡)=/aND.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意

掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法.

【變式3】(2022?全國?七年級假期作業(yè))已知，AE//BD,ZA^ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,作，54E的平分線交。于點尸，點G為上一點，連接FG,若NCWG的

平分線交線段AG于點連接AC,若NACE=44C+/BGM,過點H作加1.用交FG

的延長線于點M,且3/E-5NAFH=18。，求/E4F+NGMH的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)72°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZA+ZB=180。，再根據(jù)等量代換可得NB+NO=180。，

最后根據(jù)平行線的判定即可得證；

(2)過點E作b//CD,延長。。至Q,過點M作根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代

換可得出NECQ=ZBGM=/D尸G,再根據(jù)平角的含義得出NECF=NCFG,然后根據(jù)平行

線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出NBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB；設(shè)

/FAB=a,/CFH=0,根據(jù)角的和差可得出NAEe=2NA7",結(jié)合已知條件

3NAEC-5NAFH=180。可求得NA/0=18。，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得

出答案.

【詳解】(1)證明：???AE//5。

/.ZA+ZB=180°

?.?NA=ND

.?.N5+ND=180。

:.AB//CD；

(2)過點石作EP//CD,延長0c至。，過點M作ACV〃Ag

-.-AB//CD

ZQCA=ZCAB,/BGM=NDFG,/CFH=NBHF,ZCFA=FAG

???ZACE=ABAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

???ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

：./ECF=/CFG

?：ABIICD

:.AB//EP

ZPEA=NEAB,APEC=NECF

?.?ZAEC=ZPEC-ZPEA

/.ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAEC-^-ZEAB

???A廠平分/B4后

ZEAF=ZFAB=-/EAB

2

FH平分/CFG

/.ZCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

設(shè)ZFAB=a,/CFH=0

?/ZAFH=ZCFH-ZCFA=Z.CFH-ZFAB

/.AAFH=/3-a,ABHF=ACFH=/3

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/7

ZECF+2ZAFH=NE+2ZBHF

,\ZAEC=2ZAFH

?/3ZAEC-5ZAFH=180°

..ZAFH=18°

:"FHM=90。

NGHM=90。—0

?.?ZCFM-^-ZNMF=180°

ZHMB=ZHMN=90。—夕

\-ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=尸一18。

/.ZEAF+ZGMH=/3-lS°+90°-/3=12°

:.ZEAF+ZGMH=12°.

【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判

定進行推理是解此題的關(guān)鍵.

為【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖所示，A5〃CD,ZE=37°,/C=20°,則NEA5

的度數(shù)為.

Ar------------------B

CD

E

【答案】57°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位

角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補；3、如果兩直線平行，那么它們

的內(nèi)錯角相等，據(jù)此計算即可.

【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點、F,

VZE=37O,ZC=20°,

ZCF￡=180°-37o-20o=123°,

ZAFD=123°,

'：AB//CD,

ZAFD+ZEAB=ISO°,

.?.ZEAB=180°-123o=57°,

故答案為：57°.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式11（2022春?湖北黃岡?七年級?？计谥校┤鐖D，已知AB//DE,ZABC=80°,ZCD￡=140°,

則N8CZX.

【答案】40°

【分析】延長即交于根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明再求解

ZCMD,再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：延長瓦＞交BC于M,

AB//DE,

.,.ZBMD=ZABC=80°,

,NCMD=180°-ZBMD=100°；

又；ZCDE=ZCMD+ZC,

ZBCD=Z.CDE-Z.CMD=140°-100°=40°.

B

故答案是：40°

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的定義，掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022春.江蘇鹽城?七年級景山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，若ABHCD,則

Z1+Z3-Z2的度數(shù)為

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點F,則有N2+NEFC=N3,然后根據(jù)AB//C?？傻肗1=NEFD,

最后根據(jù)領(lǐng)補角及等量代換可求解.

【詳解】解：延長EA交CD于點F,如圖所示：

AB//CD,

Z1=ZEFD,

Z2+ZEFC=Z3,

ZEFC=Z3-Z2,

VZEFC+ZEFD=180°,

Zl+Z3-Z2=180°；

故答案為180°.

［點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平

行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2021春?全國?七年級專題練習(xí))(1)如圖,AB//CZ),CF平分/DCE,若NDCF=30。,

/E=20。，求NABE1的度數(shù)；

(2)如圖，AB//CD,ZEBF=2ZABF,C尸平分/OCE,若/尸的2倍與/E的補角的和為

190°,求/A8E1的度數(shù).

(3)如圖，尸為(2)中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分/BPG,GN//PQ,

GM平分NOGP,若/B=30。，求/MGN的度數(shù).

【答案】(1)ZABE=40°；(2)ZABE=30°；(3)ZMGN=15°.

【分析】(1)過E作EM〃AS根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；

(2)過E作過P作版〃A8,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及

解一元一次方程解答即可；

(3)過尸作包〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外

角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：(1)過E作

圖1

9：AB//CD,

：.CD//EM//AB,

ZABE=ZBEM,ZDCE=