高一數(shù)學下學期期中模擬試題三

高一數(shù)學下學期期中模擬試題三數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、班級、學校在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試卷上作答無效.3.考試結束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡得復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)與復數(shù)的幾何意義，可得共軛復數(shù)應的點所在象限.【詳解】因為，則，因此，對應的點，在第三象限.故選：C.2．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【詳解】依題意在上的投影向量為.故選：A.3．下圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點，，分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，測得柱子與之間的距離是（為測量單位），柱子與之間的距離是．如果把，視作線段，記，，是的四等分點，，，是的四等分點，若，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出平面圖形，根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】依題意，如圖所示：其中點與點重合，因為該建筑關于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，，，是的四等分點，，，是的四等分點所以，，，所以為直角三角形，四邊形為矩形，所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故選：A.4．如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)各選項結合線面平行的判定定理即可判斷出.【詳解】對于A，由正方體的性質可得，可得直線平面ABC，能滿足；對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質可得，可得直線平面ABC，能滿足；對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質可得，可得直線平面ABC，能滿足；對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.故選：D.5．斛是我國古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺，若該正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側面積為72，則該正四棱臺的體積為（

）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】求出正四棱臺的側棱長和高，根據(jù)棱臺的體積公式即可求解.【詳解】如圖，記該正四棱臺為，在等腰梯形中，過作于E，則．由該正四棱臺的側面積為72可知，，∴，則．連接AC，，則，，在等腰梯形中，過作于F，則．根據(jù)正四棱臺的性質可知，平面ABCD．在中，．該正四棱臺的體積，故選：B．6．設是兩個非零向量，則下列命題中錯誤的是（

）A．若，則存在實數(shù)，使得B．若⊥，則C．在邊長為1的三角形中，的值為D．已知非零向量，則是的必要不充分條件【答案】C【分析】對兩邊平方，利用向量運算判斷A；由模長公式結合判斷B；由模長公式結合數(shù)量積公式判斷C；由特殊值以及數(shù)量積運算判斷D.【詳解】對于A：兩邊平方得：，即，而，則，則，即共線且反向，即存在實數(shù)，使得，故A正確；對于B：由題意，，故B正確；對于C：設，，則，故C錯誤；對于D：當時，不一定得出，比如當與反向，且與、都垂直，則.當時，顯然滿足，故是的必要不充分條件，故D正確；故選：C7．已知直三棱柱中，，，當該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結合余弦定理得，進而得，當且僅當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.【詳解】因為三棱柱為直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因為，令因為，所以，在中，，所以，，所以，，所以，當，即時，取得最大值，所以，當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：B8．已知的內(nèi)角A，B，C滿足，的面積S滿足，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式得到，確定，根據(jù)面積范圍得到，得到，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，則，即，故，，即，，整理得到.設外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，，故，即，，故，即，，則，對選項A：，即，但不一定正確；對選項B：，即，正確；對選項C：，不一定正確；對選項D：，不一定正確；故選：B【點睛】關鍵點睛：本題考查了三角恒等變換，三角形面積公式，正弦定理，以此考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用三角恒等變換公式將條件轉化為是解題的關鍵二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．在平面直角坐標系中，已知點，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標為D．與垂直的單位向量的坐標為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因為，所以，A正確因為，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯誤；因為，設與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標為或，D正確，故選：ABD．10．已知平面α，β，直線l，m，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則“”是“”的充分不必要條件D．若，，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【分析】根據(jù)面面垂直的性質定理可判斷A,根據(jù)線面平行的判斷以及性質可判斷BD,根據(jù)線面垂直的性質可判斷C.【詳解】由面面垂直的性質定理可知A正確,對于B,若，，則,或者異面，故B錯誤,對于C,若,則,故充分性成立,但是，，不能得到，故C正確，對于D,若，，,不能得到,因為有可能異面，但是，，，則，故D正確，故選：ACD11．在銳角中，角的對邊分別為，外接圓半徑為，若，，則（

）A． B．C．的取值范圍為 D．周長的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑，即可判斷A；由銳角得角的范圍，從而得的范圍，由正弦定理得，即可得的范圍，即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的定義將，再由，結合三角恒定變換將其轉換為正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質即可得的取值范圍為從而判斷C；同樣由正弦定理得，將三角形周長邊化角之后，結合三角恒定變換將其轉換為正弦型函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質即可得周長的最大值，即可判斷D.【詳解】由正弦定理得，則，故A正確；在銳角中，，則，所以，得，則，由正弦定理得，則，故B不正確；又由于，所以，則，于是有，即的取值范圍為，故C正確；由正弦定理得，則，所以周長為：由于，所以，則，于是有，故周長的最大值為，故D正確.故選：ACD.12．如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱的中點，則（

）A．直線為異面直線 B．C．直線與平面所成角的正切值為 D．過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【分析】作出圖形，利用中位線定理和平行的傳遞性即可判斷選項A；利用等體積法計算即可判斷選項B；根據(jù)線面角的概念即可判斷選項C；利用平面的性質即可判斷選項D.【詳解】對于A，連接，由題意可知，因為，所以，所以共面，故選項A錯誤；對于B，連接，由題意可知，所以，故選項B正確；對于C，連接，由正方體的性質可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項C正確；對于D，連接，根據(jù)正方體的性質可得，且，所以平面即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項D錯誤；故選：BC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)，滿足，，則______.【答案】【分析】利用復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模即可求出結果.【詳解】因為，故，，故，故.故答案為：.14．如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】3【分析】利用向量線性運算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】因為，所以，所以，即，故答案為：315．如果滿足的恰有一個，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用正弦定理可求出，由只有一個結合正弦函數(shù)的性質可得解.【詳解】由，得，又，所以，則當時，三角形只有一個解，此時，所以.故答案為：.16．如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為______．【答案】【分析】取的中點E，連接AE，易得，由面面垂直的性質得面，再由線面垂直的性質有、，根據(jù)線面垂直的判定和性質得，【詳解】取的中點E，連接AE，如圖．因為，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．又AE，面，且AE，相交，所以面，面，所以．設，則，解得，所以．所以三棱柱外接球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在中，，，，D是邊BC上一點，，設，．(1)試用，表示；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結合平面向量的線性運算即可求解；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，結合數(shù)量積的運算律計算即可求解.【詳解】（1）∵D是邊BC上一點，，∴，又∵，，得，∴．（2）∵，，，∴，．18．在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因為，所以.（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.19．芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣。芻，草也。甍，屋蓋也。求積術日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一?！狈g為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂。……”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為長方形，平面，和是全等的等邊三角形.(1)求證：；(2)若已知，求該五面體的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用線面平行的性質定理即得；（2）過點作，作，過點作，作，利用割補法可把該五面體分為兩個四棱錐和一個三棱柱，然后利用錐體及柱體的體積公式即得.【詳解】（1）五面體中，因為平面，平面，平面平面，所以.（2）過點作，作，垂足分別為，，過點作，作，垂足分別為，，連接，，如圖，取中點，連接，由知，，因為，，且，是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，因為平面，所以，又，是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，在中，，，可得，所以，四棱錐和的體積均為，三棱柱的體積，所以，該五面體的體積為.20．在中，角A、B、C對的邊分別為a、b、c．且．(1)求角B的大小；(2)求的取值范圍；(3)若，，P為AC邊中點，求BP的長．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡結合特殊角的三角函數(shù)值即得；（2）根據(jù)三角恒等變換結合正弦函數(shù)的性質即得；（3）由題可得，然后利用模長公式結合條件即得.【詳解】（1）因為，所以，即，化簡得，故，又，故；（2）由（1）知，，故，又，則，，即；（3）∵，∴，又，，∴，∴，即BP的長為.21．如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，側面PAD與底面ABCD的夾角為.(1)求正四棱錐P－ABCD的體積；(2)若點M是正四棱錐P－ABCD內(nèi)任意一點，點M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距離分別為，，，，，證明：；【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）連接交于點，取的中點，證明即為面PAD與底面ABCD所成角的平面角，從而可求得底面邊長及高，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解；（2）根據(jù)，利用等體積法即可得證.【詳解】（1）連接交于點，取的中點，連接，由正四棱錐的幾何特征可得為的中點，因為，所以，同理，，平面，平面，平面，所以，，，因為為的中點，所以，所以即為面與底面ABCD所成角的平面角，即，，則，所以；（2），因為，所以；22．如圖所示，在中，P在線段BC上，滿足，O是線段AP的中點．(1)過點O的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設，．①求證為定值；②設的面積為，的面積為，求的最小值．(2)若是邊長為1的正三角形，且，