專題21三角函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019）

專題21三角函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用目錄TOC\o"11"\h\u【題型一】正余弦對(duì)偶式求值 1【題型二】輔助角范圍型 3【題型三】零點(diǎn)型范圍：利用對(duì)稱軸等性質(zhì)求范圍 5【題型四】利用對(duì)稱中心求范圍 8【題型五】三角函數(shù)與冪指對(duì)函數(shù)的交點(diǎn) 10【題型六】三角函數(shù)比大小 12【題型七】三角函數(shù)奇偶性應(yīng)用 14【題型八】正切函數(shù)與均值求最值 16【題型九】三角函數(shù)單調(diào)性與最值 18【題型十】三角函數(shù)有界消元型 19【題型十一】三角函數(shù)應(yīng)用：換元型 21培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 23培優(yōu)第二階——能力提升練 27培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 31【題型一】正余弦對(duì)偶式求值【典例分析】在△ABC中，如果，則∠C的大小為（

）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】B【分析】對(duì)分別平方再求和即可得,進(jìn)而得，故【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，即：，由于，所以，由于，?故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律正余弦對(duì)偶式：正弦對(duì)應(yīng)余弦，余弦對(duì)應(yīng)正弦，系數(shù)一致（不涉及正負(fù)號(hào)）正余弦對(duì)偶式可以考慮整體話思想，兩式平方后相加，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，以及兩角差的正余弦公式?！咀兪接?xùn)練】1.已知，，則__________.【答案】【分析】將和分別平方，再求和，即可得出．【詳解】解：∵，兩邊同時(shí)平方得，又，同理得，兩式相加得，化簡(jiǎn)得，∴，∴，故答案為：．2.已知，則_______________．【答案】##【分析】將所給條件兩邊同時(shí)平方再相加即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，即，，兩式相加得，所以．故答案為?.已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，兩式平方相加得到，根據(jù)，得到代入求解.【詳解】因?yàn)?，，所以兩式平方相加得，即，又因?yàn)?，所以，即，，將代入，得，即，所以，?故選：D.【題型二】輔助角范圍型【典例分析】若，函數(shù)f(x)=3sinωx+4【答案】【解析】【分析】首先利用輔助角公式對(duì)化簡(jiǎn)，可得f(x)=5sinωx+φ，再利用的值域，可求出π2≤π3ω【詳解】f=5sinωx+φ，其中因?yàn)椋驭铡堞豿令ωx+φ=t，則y=5sint又因?yàn)閟inφ=4即0<π2-因?yàn)閏osπcosπ所以cosπ3ω的取值范圍是【提分秘籍】基本規(guī)律1.若角度是全體實(shí)數(shù)時(shí)。輔助角范圍滿足：2.角度不是全體實(shí)數(shù)時(shí)，可以借助單位圓或者三角函數(shù)圖像單調(diào)性求對(duì)應(yīng)的值域?！咀兪接?xùn)練】1.若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則正整數(shù)n的最小值是______．【答案】4【分析】化簡(jiǎn)，因?yàn)椋瑒t，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，故，即可得出答案．【詳解】，其中，，因?yàn)?，則，+在上有兩個(gè)不等實(shí)根，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，所以①對(duì)任意，，恒成立．由②得，存在，成立，所以，，所以．故答案為：42.函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的最小正周期，進(jìn)而在一個(gè)周期內(nèi)分類討論去掉絕對(duì)值，分別求得各部分的值域后即可得到函數(shù)的值域【詳解】∵，∴為周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為，故只需考慮在上的值域即可，當(dāng)時(shí)，，（為銳角，且，，）由，為銳角，可得又，，，則當(dāng)時(shí)，，（為銳角，且，，）由，為銳角，可得又，，，則綜上，的值域?yàn)?故選：D3.已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為______.【答案】【分析】化簡(jiǎn)得，其中，，，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】由題意得，其中，，，令，.因?yàn)?，，故，因?yàn)?，且，所以，，故，則.又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，，故.【題型三】零點(diǎn)型范圍：利用對(duì)稱軸等性質(zhì)求范圍【典例分析】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換,先求得的解析式.根據(jù),可知,即.根據(jù)可分別求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.【詳解】根據(jù)平移變換將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,可得。由,可知。即所以。的最大值為,的最小值為則的最大值為,的最小值為。所以的最大值為故選:A【提分秘籍】基本規(guī)律形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程。對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)（或者水平交線，復(fù)合方程的根），可以借助對(duì)稱軸等性質(zhì)來轉(zhuǎn)化求解【變式訓(xùn)練】1.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的解析式，然后根據(jù)得到，，這是本題的關(guān)鍵，接下來求出，，得到的最大值.【詳解】由題意得：，因?yàn)?，即，而最大值?，最小值為3，相差為6，∴，，令，，解得：，令，，解得：，∵?！嘁肴〉米畲笾担瑒t當(dāng)，，當(dāng)，，此時(shí)的最大值為。故選：C2.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，縱坐標(biāo)保持不變，得到圖象，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得函數(shù)，并由函數(shù)的最值可知，根據(jù)函數(shù)的定義域，利用函數(shù)取得最值的條件，求的最大值.【詳解】由條件可知，，若，，說明，當(dāng)時(shí)，，要使取得最大值，則，，所以的最大值是.故選：B3..將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的圖象.若gx1gx2=9，且，則的最大值為【答案】55【分析】根據(jù)圖象的平移得出函數(shù)gx=2sin2x+π3+1，再由已知得gx1=gx2【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得y=2sin2x+再向上平移1個(gè)單位，得到gx=2sin2x+因?yàn)?，所以?dāng)gx1gx2=9∵，∴2x1要使最大，則最大，最小.則當(dāng)2x1+π3=7π2最大，2故答案為：55π【題型四】利用對(duì)稱中心求范圍【典例分析】.已知函數(shù)的最小正周期，且是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)在上的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意求出的解析式，再根據(jù)x的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】函數(shù)的最小正周期，∴，解得：，由于是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，且為的一個(gè)對(duì)稱中心，∴，（），則，（），則，又∵，，由于，∴，故，∵，∴，∴，∴.故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像：1.對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；2.正弦“第一零點(diǎn)”：；正弦“第二零點(diǎn)”：3.余弦“第一零點(diǎn)”：；余弦“第二零點(diǎn)”：【變式訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù).若，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象可得，x2，x1關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，|x2﹣x1|最小，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）＝sin（2x+）∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），令x2＞x1，根據(jù)圖象，可得x2，x1關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱時(shí)，|x2﹣x1|最小，∵x1x2＜0，∴x2＞0，則x1．∴可得|x2﹣x1|，故選：B．2.已知函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，則（）.A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用，求得的對(duì)稱中心，從而問題得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)則故可得，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而區(qū)間也關(guān)于對(duì)稱，故可得，即.故選：A.3.已知（）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合五點(diǎn)作圖法及函數(shù)圖象進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】可設(shè)滿足,且（）,則,注意到五點(diǎn)作圖法的最左邊端點(diǎn)為,而,,故有,,當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí),故選：C．【題型五】三角函數(shù)與冪指對(duì)函數(shù)的交點(diǎn)【典例分析】關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)是____________.【答案】4031【分析】計(jì)算函數(shù)的周期為2；化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖像得到答案.【詳解】的周期為2；畫出函數(shù)圖像，如圖所示：當(dāng)時(shí)：每個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，共有2014個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)：有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)：每個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，共有2016個(gè)交點(diǎn)；故共有4031個(gè)解。故答案為：4031.【提分秘籍】基本規(guī)律利用冪指對(duì)函數(shù)與三角函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，結(jié)合圖像，借助數(shù)形結(jié)合思想求解交點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為__________.【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，然后作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用對(duì)稱性可求得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和.【詳解】由于函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且有對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為.2.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2020，則滿足條件的所有整數(shù)k的值是______.【答案】1006或1007.【分析】由題意可得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合所有橫坐標(biāo)之和等于2020即可得到k的值.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖像也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖所示：故函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閮蓚€(gè)圖像的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2020，當(dāng)時(shí)，它們共有1010對(duì)交點(diǎn)，所以或，解得或.故答案為：1006或1007.3.定義在上的函數(shù)滿足且.當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在區(qū)間上所有的零點(diǎn)之和為__________.【答案】【分析】由是周期函數(shù)，奇函數(shù)，得對(duì)稱中心，又也有對(duì)稱性，利用對(duì)稱性及單調(diào)性得的圖象與圖象的交點(diǎn)的性質(zhì)，也即零點(diǎn)的性質(zhì)，從而可得和．可畫出圖象說明．【詳解】得，是偶函數(shù)，，是周期為4的周期函數(shù)，因此可得的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱．是奇函數(shù)，它關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間上所有的零點(diǎn)，即為方程的解，在同一坐標(biāo)系中作出和的大致圖象，如圖，它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)從小到大依次為，其中，，由對(duì)稱性知，∴，∴題中零點(diǎn)和為．故答案為：．【題型六】三角函數(shù)比大小【典例分析】設(shè)，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)得到，，，，得到答案.【詳解】；；；.根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知：.故選：.【提分秘籍】基本規(guī)律三角函數(shù)比大小，通常從以下幾方面入手：(1)變角：目的是把角變?yōu)橐粋€(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，便于比較大小，其手法通常是“配湊”.(2)變名：函數(shù)名稱變?yōu)橐恢?，便于借助圖像單調(diào)性比較大小。其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.【變式訓(xùn)練】1.若，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知中，，可得，進(jìn)而可將已知變形為和，即，進(jìn)而結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到答案．解：，，，又，，故，又，即，，即，故，綜上所述，，故選：C．2.已知,則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式,將三個(gè)三角函數(shù)中的角度均轉(zhuǎn)換成再比較即可.【詳解】解：,,..故選：C.3.已知函數(shù)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得函數(shù)關(guān)于直線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，即得.【詳解】∵函數(shù)，∴函數(shù)關(guān)于直線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，∴，∴.故選：B.【題型七】三角函數(shù)奇偶性應(yīng)用【典例分析】已知函數(shù)，若（），則=________．【答案】【解析】試題分析：，又函數(shù)是奇函數(shù)，由題意，所以，即，．【提分秘籍】函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶奇基本規(guī)律【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)的圖象上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)恰有9對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍_________.【答案】【分析】求出函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，利用數(shù)形結(jié)合可得到結(jié)論.【詳解】若，則，，設(shè)為關(guān)于軸對(duì)稱的圖像，畫出的圖像，要使圖像上有至少9個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，即與有至少9個(gè)交點(diǎn)，則，且滿足，即．則，解得，故答案為2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】計(jì)算得到，，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對(duì)稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，，，當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確；，，故，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故④正確；根據(jù)圖像知：①③不正確；故選：.3..已知為正常數(shù)，f(x)=x2-ax+1,x?a【答案】1【分析】由f(a+x)=f(a-x)，可求出的圖象關(guān)于直線x【詳解】當(dāng)x<a時(shí)，fx當(dāng)x≥a時(shí)，fx=x∴f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞減，在則f(f(a-同理可得，當(dāng)x<0時(shí)，上式也成立，∴f(x)的∵fa=12(sin∴12<22sin【題型八】正切函數(shù)與均值求最值【典例分析】設(shè)，均為銳角，且，則的最大值是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】由已知條件可得，而目標(biāo)三角函數(shù)式可化為，結(jié)合基本不等式即可求其最大值.【詳解】由題意，，得，即，∴由為銳角，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是．故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律切化弦，或者正切函數(shù)兩角和與差公式，可以達(dá)到化“切”，以統(tǒng)一函數(shù)。求最值或者值域，可以適當(dāng)?shù)臉?gòu)建變量，用均值不等式求解【變式訓(xùn)練】1.已知，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)兩角和的正切公式可得，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，所以，即，又因，所以，即，解得或（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.2.已知，為銳角，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入到所求式子后，結(jié)合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.3..在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若為銳角三角形，且滿足B=2A，則1tanA-1tanB的取值范圍是A． B．1,2 C．233,【答案】A根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍.【詳解】因?yàn)锽因此1tan因?yàn)棣BC為銳角三角形，所以0<因?yàn)閥=12(x+【題型九】三角函數(shù)單調(diào)性與最值【典例分析】若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是答案．(－∞，2]【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，則的最小值是_____________．【答案】詳解：，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是.2.設(shè)函數(shù)，若，且，則的取值范圍是_______．【答案】(，)【詳解】不妨設(shè)，則，由圖可知．故答案為：(，)3，已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的值域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．的最小正周期為 D．在單調(diào)遞增【答案】A【分析】先由周期的定義判斷函數(shù)的周期為，然后分析函數(shù)在一個(gè)周期上的值域和單調(diào)區(qū)間即可【詳解】由于，所以的最小正周期不是.故C錯(cuò)誤；關(guān)于函數(shù)的值城，我們可以僅考慮一個(gè)周期即可，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，我們可得在時(shí)遞增；當(dāng)時(shí)，，我們可得在時(shí)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：A.【題型十】三角函數(shù)有界消元型【典例分析】若0<α<【答案】18【分析】由0<α<π2,-π2<β【詳解】由sinα+2又由0<α<π由0<1-2cosβ又由-π2<β則sin當(dāng)cosβ=14時(shí)，sinα【提分秘籍】基本規(guī)律多個(gè)角及對(duì)應(yīng)的角的三角函數(shù)時(shí)，可以通過“消元”消去，然后再構(gòu)造單元函數(shù)求最值。無論是消去的三角函數(shù)，還是保留色三角函數(shù)，都要注意正余弦的“有界性”【變式訓(xùn)練】1.已知，則的最大值為________.【答案】【分析】先求出，再利用二次函數(shù)求函數(shù)的最大值得解.【詳解】∵，，所以∴當(dāng)時(shí)，上式取最大值，故答案為：.2.已知，則的最大值為____________【答案】9/16【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，即。又，3.已知，則函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)即可求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故函數(shù)的值域是.故選：A.【題型十一】三角函數(shù)應(yīng)用：換元型【典例分析】若y=x-4【答案】[【分析】首先求出的取值范圍，令x=4+2sin2t解：因?yàn)閥=x-4+18-3x所以則y=4+2sin2因?yàn)閠∈0,π2所以y∈2【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，借助整體化思想，可以換元構(gòu)造新函數(shù)求最值。常見的三角換元，有單根號(hào)換元，雙根號(hào)換元，指對(duì)型換元等等，注意區(qū)別這些換元之間的不同選擇【變式訓(xùn)練】1.已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．【答案】【解析】設(shè)因此因?yàn)?，所以，即取值范圍?..已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為__________.【答案】【分析】由，得，用換元法，令，，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可求得答案.【詳解】由題意得：，令，，又，為非負(fù)實(shí)數(shù)，，，，即，解得，.故（其中），，即，，即又在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，故當(dāng)，時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：3.函數(shù)y＝x＋的最小值為________．【答案】5－【分析】整理y＝x＋得：y＝x＋，利用作三角換元得：x－5＝cosα，，即可整理函數(shù)為：y＝2sin＋5，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】原函數(shù)可化為：y＝x＋.由2－(x－5)2≥0?|x－5|≤，令x－5＝cos，那么y＝cos＋5＋sin＝2sin＋5.因?yàn)椋?，所以sin∈，所以函數(shù)的最小值為5－.分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．若“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】寫出全稱命題為真命題，利用輔助角公式求出，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤?，使得”為假命題，則“，使得”為真命題，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D2．已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得的范圍，進(jìn)而比較出大小關(guān)系.【詳解】，；又，，，，.故選：D.3．已知實(shí)數(shù)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用正余弦函數(shù)的圖像和單調(diào)性求出結(jié)果.【詳解】由于，∴，則，由于，所以，得，∴．故選：A4．已知ω>0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】由題意得，則當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，得無解，同理時(shí)無解，故選：A5．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增【答案】B【分析】利用二倍角正弦公式化簡(jiǎn)得到，利用代入檢驗(yàn)的方式可確定結(jié)果.【詳解】；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則先減后增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則先增后減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：B.6．記函數(shù)的最小正周期為T，若，且的最小值為1.則曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得，根據(jù)的最小值求得，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱中心的求法求得正確答案.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)?，所以，所以，又函?shù)的最小值為1，所以，所以，令，所以對(duì)稱中心為，只有選項(xiàng)C符合題意（）.故選：C7．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】把函數(shù)化為的二次函數(shù),根據(jù)求出函數(shù)的最大值,由此求得的值.【詳解】函數(shù)由,得,所以時(shí),函數(shù)在區(qū)間上取得最大值,解得故選:8．函數(shù)的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)，換元成二次函數(shù)易得函數(shù)最小值.【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．故選：D．9．已知函數(shù)，若在上的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法將在上的值域?yàn)檗D(zhuǎn)化為在上的值域?yàn)椋缓蠼Y(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】，令，則，，因?yàn)?，，的值域?yàn)?，所以，解?故選：B.10．在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)題干函數(shù)，然后根據(jù)零點(diǎn)建立等式即可獲解.【詳解】其中,不妨設(shè)因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn),所以即結(jié)合的范圍知所以,即所以故選：D培優(yōu)第二階——能力提升練1．函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（

）A．奇函數(shù)，最大值為2 B．偶函數(shù)，最大值為2C．奇函數(shù)，最大值為1 D．偶函數(shù)，最大值為1【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值．【詳解】解：函數(shù)，又，所以，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又所以當(dāng)即時(shí)，取最大值1．故選：D．2．函數(shù)的圖象在[0，2]上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（

）A．[π，2π） B． C． D．【答案】D【分析】首先代入求的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象，列式求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在此區(qū)間恰取得兩個(gè)最大值，則，解得：.故選：D3．已知函數(shù)中，則（

）A．的最大值為2 B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)解析式可直接判斷A項(xiàng)；代入結(jié)合正弦函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)可判斷B、C、D項(xiàng).【詳解】由題意知，函數(shù)的最大值為3，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，但是，所以是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，而點(diǎn)不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以D項(xiàng)正確.故選：D.4．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性比較b，c，再利用“媒介數(shù)”結(jié)合不等式性質(zhì)比較a，b作答.【詳解】令函數(shù)，，求導(dǎo)得：，令，，有，因此函數(shù)在上遞減，即有，即，于是得在上遞減，而，則，即，，則，又，則，即，有，則，所以.故選：B5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出，由是函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可求出.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，且恒成立，所以，即，解得，又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，是函數(shù)的最小值點(diǎn)，所以，又，解得.故選：D.6．若函數(shù)，的圖像與僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出與的圖像，利用數(shù)形結(jié)合去求的取值范圍【詳解】則單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，又，又函數(shù)的圖像與僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍是故答案為：7．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，對(duì)于住意的，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】【分析】本題沒有解析式，屬于抽象函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題，把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減去掉f可解.【詳解】，，可化為，又在上單調(diào)遞減，在上恒成立，，令，，此時(shí)故答案為：8．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.【答案】3【分析】將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】函數(shù)，即，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知，在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故答案為：39．若存在，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【分析】設(shè)，要使不等式有解，只需要即可.所以，先求出的最小值，化簡(jiǎn)，根據(jù)基本不等式可求得最小值，然后求解絕對(duì)值不等式即可.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，顯然存在.所以，最小值為9.要使不等式有解，只需要即可，即，去絕對(duì)值可得或，所以或.故答案為：.10．函數(shù)的最大值和最小值是、，則________.【答案】1【分析】設(shè)，結(jié)合三角恒等變換得到，平方整理后結(jié)合一元二次不等式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】設(shè)，即，即，即，所以，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，設(shè)關(guān)于的方程的兩根是，則，而不等式的解為：，即分別是函數(shù)的最小值和最大值，所以.故答案為：1.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．若在上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，的最大值是_____.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)得，利用整體代換的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得，由可確定，由此可得的最大值.【詳解】；當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格遞增，，解得：；由得：；由得：；又，，，則的最大值為.故答案為：.2．已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍為______．【答案】【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)性質(zhì)求解，【詳解】，而若在上無零點(diǎn)，則，，而時(shí)，，有，，則或或，解得或，故答案為：3．對(duì)任意閉區(qū)間，用，表示函數(shù)在上的最小值．若正數(shù)滿足，則正數(shù)的取值范圍為______．【答案】或【分析】對(duì)分類討論，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)及二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，為在上為減函數(shù)，所以，，由，則，即，解得或，不合題意；當(dāng)時(shí)，有，，，由，則，可得；當(dāng)時(shí)，有，，，不合題意；當(dāng)時(shí)，有，，，適合題意；當(dāng)時(shí)，的區(qū)間長(zhǎng)度不小于，故，，適合題意．綜上正數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或4．若，，且，則的最大值為______．【答案】【分析】由題意結(jié)合商