專(zhuān)題02排列與組合-《2021-2022高二下學(xué)期數(shù)學(xué)新教材提升訓(xùn)練（人教A版2019選擇性）》

專(zhuān)題02排列與組合一、單選題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出（）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．A．24 B．12 C．81 D．64【答案】A【解析】【分析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列，共可寫(xiě)出個(gè)三位數(shù).故選：A2．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專(zhuān)題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】A【解析】【分析】對(duì)中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動(dòng)有1種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個(gè)階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A3．（2022·安徽宿州·高二期末）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B4．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期末）從2，4中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．48 B．36 C．24 D．18【答案】B【解析】【分析】直接利用乘法分步原理分三步計(jì)算即得解.【詳解】從中選一個(gè)數(shù)字，有種方法；從中選兩個(gè)數(shù)字，有種方法；組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，有個(gè).故選：B5．（2022·福建漳州·高二期末）年底以來(lái)，我國(guó)多次在重要場(chǎng)合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負(fù)抵消，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論：兩個(gè)氧原子相同、兩個(gè)氧原子不同，分別計(jì)算出兩種情況下二氧化碳分子的個(gè)數(shù)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個(gè)氧原子相同，此時(shí)二氧化碳分子共有種；若兩個(gè)氧原子不同，此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故選：C.6．（2022·全國(guó)·高二）2021年1月10日，是我國(guó)設(shè)立的第一個(gè)“中國(guó)人民警察節(jié)”，2020年，某省人民群眾對(duì)公安機(jī)關(guān)的滿(mǎn)意度測(cè)評(píng)居首位．為感謝公安干警的辛勤付出，6名學(xué)生到甲、乙、丙、丁4個(gè)值勤崗?fù)ぷ鲋驹刚?，每名學(xué)生只去1個(gè)值勤崗?fù)ぃ颐總€(gè)值勤崗?fù)ぞ兄驹刚咧登冢艏字登趰復(fù)ぐ才?名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．96種 C．120種 D．240種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，完成安排方法這件事需要兩步：先從6人中任取3人去甲值勤崗?fù)ぃ蟹N方法，再將余下3人分別安排到另外3個(gè)值勤崗?fù)ぃ總€(gè)值勤崗?fù)?人，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：(種)，所以不同的安排方法共有120種.故選：C7．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)高二期末）入冬以來(lái)，梁老師準(zhǔn)備了4個(gè)不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個(gè)辦公室（每層樓各有一個(gè)辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點(diǎn)冷，所以1，2樓的每個(gè)辦公室至少需要1個(gè)烤火隊(duì)，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A．108 B．36 C．50 D．86【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要1個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要2個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C8．（2022·北京·101中學(xué)高二期末）從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點(diǎn)有（）A．36個(gè) B．30個(gè) C．25個(gè) D．20個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)不在y軸上，分2類(lèi)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為0，分兩類(lèi)考慮，第一類(lèi)含0且為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，共有個(gè)點(diǎn)，第二類(lèi)坐標(biāo)不含0的點(diǎn)，共有個(gè)點(diǎn)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)點(diǎn).故選：C二、多選題9．（2021·福建安溪·高二期中）2020年3月，為促進(jìn)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開(kāi)展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）A．所有不同分派方案共種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共32種【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：利用分步計(jì)數(shù)原理求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：按1，1，2分組求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，分A企業(yè)分2人和1人兩類(lèi)求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：分企業(yè)沒(méi)有派醫(yī)生去和派1名醫(yī)生兩類(lèi)求解判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：所有不同分派方案共有34種，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有種，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，若A企業(yè)分2人，則有種；若A企業(yè)分1人，則有種，所以共有種，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若企業(yè)沒(méi)有派醫(yī)生去，每名醫(yī)生有2種選擇，則共有種，若企業(yè)派1名醫(yī)生則有種，所以共有種，故錯(cuò)誤；故選：BC．10．（2021·河北·高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種【答案】ABCD【解析】【分析】對(duì)于A利用捆綁法可求，對(duì)于B分成甲在左和乙在左兩類(lèi)進(jìn)行排列，對(duì)于C采用插空法求解，對(duì)于D按定序問(wèn)題即解.【詳解】對(duì)于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，可將甲乙捆綁看成一個(gè)元素，則不同的排法有種，故正確，對(duì)于B，最左端排甲時(shí)，有種不同的排法，最左端排乙時(shí)，最右端不能排甲，則有種不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有24+18=42種,故正確，對(duì)于C，因?yàn)榧滓也幌噜?，先排甲乙以外的三人，再讓甲乙插空，則有種，故正確，對(duì)于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，故正確．故選：ABCD．11．（2022·福建漳州·高二期末）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每天開(kāi)設(shè)一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的是（）A．從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法共有20種B．課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種C．課程“禮”、“書(shū)”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．課程“樂(lè)”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用排列、組合知識(shí)，逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法有種，A不正確；對(duì)于B，前5天中任取1天排“數(shù)”，再排其它五門(mén)體驗(yàn)課程共有種，B正確；對(duì)于C，“禮”、“書(shū)”排在相鄰兩天，可將“禮”、“書(shū)”視為一個(gè)元素，不同排法共有種，C正確；對(duì)于D，先排“禮”、“書(shū)”、“數(shù)”，再用插空法排“樂(lè)”、“射”、“御”，不同排法共有種，D不正確.故選：BC12．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)高二期末）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用含有限制條件的組合問(wèn)題，逐一分析各選項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，B，抽1件不合格品有種，再抽2件合格品有種，由分步計(jì)數(shù)乘法原理知，抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種，A正確，B不正確；對(duì)于C，至少有1件是不合格品有兩類(lèi)：1件是不合格品的抽法有種，2件是不合格品的抽法有種，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種，C正確；對(duì)于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，從100件產(chǎn)品中任意抽出3件有種，抽出3件全是合格品有種，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()種，D正確.故選：ACD三、填空題13．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）馬路上有12盞燈，為了節(jié)約用電，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰兩盞燈，那么熄燈的方法共有_______種．【答案】56【解析】【分析】采用插空法可求出.【詳解】采用插空法，現(xiàn)將亮的9盞燈排成一排，由題意，兩端的燈不能熄滅，則有8個(gè)符合條件的空位，在8個(gè)空位中任取3個(gè)插入熄滅的3盞燈，有種方法.故答案為：56.14．（2020·海南·高二期末）甲、乙、丙、丁個(gè)人站成一排合影，若甲和乙不相鄰，且丙和丁相鄰，則不同的站法有_____種.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，丙丁看成整體，并且在甲和乙之間，從而得到結(jié)果.【詳解】∵甲和乙不相鄰，且丙和丁相鄰，∴丙和丁必在甲和乙之間，∴不同的站法有，故答案為：415．（2021·遼寧·高二階段練習(xí)）將學(xué)號(hào)為1~6的六名大學(xué)生全部安排到4所中學(xué)教育實(shí)習(xí)，若每所中學(xué)都有大學(xué)生教育實(shí)習(xí)，且學(xué)號(hào)為1，2的兩名學(xué)生要安排在同一所中學(xué)，學(xué)號(hào)為5，6的兩名學(xué)生不能安排在同一所中學(xué)，則不同的安排方法共有______種.【答案】216【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先求出第一步將六名大學(xué)生分成4組，要求1、2在同一組，5、6不在同一組的方法，再求出將分好的四組全排列，分配到4所中學(xué)的方法，最后相乘即可.【詳解】第一步，將六名大學(xué)生分成4組，要求1，2在同一組，5，6不在同一組，若分為3，1，1，1的四組，1，2必須在3人組，有種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，1，2必須在兩人組，有種分組方法，則一共有5+4=9種分組方法；第二步，將分好的四組全排列，分配到4所中學(xué)，有種.故總的分配方法有種.故答案為：21616．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）西湖龍井茶素來(lái)有“綠茶皇后”“十大名茶之首”的稱(chēng)號(hào)，按照產(chǎn)地品質(zhì)不同，西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅”五個(gè)字號(hào)．某茶文化活動(dòng)給西湖龍井茶留出了三個(gè)展臺(tái)的位置，現(xiàn)在從五個(gè)字號(hào)的產(chǎn)品中任意選擇三個(gè)字號(hào)的茶參加展出活動(dòng)，如果三個(gè)字號(hào)中有“獅、梅”，則“獅”字號(hào)茶要排在“梅”字號(hào)茶前（不一定相鄰），則不同的展出方法有_____________種．（用數(shù)字作答）【答案】51【解析】【分析】分當(dāng)選出的字號(hào)中沒(méi)有“獅、梅”，有“獅梅”中的一種，“獅、梅”都有，三種情況討論分別求解，然后再求和即得.【詳解】當(dāng)選出的字號(hào)中沒(méi)有“獅、梅”時(shí)，共有種展出的方法；當(dāng)選出的字號(hào)中有“獅梅”中的一種時(shí)，共有種展出的方法；當(dāng)選出的字號(hào)中“獅、梅”都有時(shí)，共有種展出的方法,所以共有種不同的展出方法．故答案為：51.四、解答題17．（2022·全國(guó)·高二）已知一個(gè)兩位數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都從1，2，3，4中任意選取.(1)如果兩位數(shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)如果兩位數(shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？【答案】(1)12個(gè)(2)16個(gè)【解析】【分析】（1）因?yàn)閿?shù)字不允許重復(fù)，所以可用排列數(shù)公式求解；（2）因?yàn)閿?shù)字允許重復(fù)，所以用分步相乘計(jì)數(shù)原理計(jì)算求解即可.(1)因?yàn)閮晌粩?shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，所以一個(gè)兩位數(shù)相當(dāng)于從1，2，3，4中任意取2個(gè)數(shù)的排列，故有個(gè)，所以可以得到12個(gè)不同的兩位數(shù).(2)因?yàn)閮晌粩?shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，所以確定兩位數(shù)分兩步，每步有4種方法，利用分步相乘原理有個(gè)，所以可以得到16個(gè)不同的兩位數(shù).18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）電視臺(tái)有個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分天播出，每天播出個(gè)，其中某電視劇和某專(zhuān)題報(bào)道必須在第一天播出，某談話(huà)節(jié)目必須在第二天播出，共有多少種不同的播出方案？【答案】【解析】【分析】確定第一天和第二天播放的節(jié)目，然后再確定節(jié)目的播放順序，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一步，從無(wú)限制條件的個(gè)節(jié)目中選取個(gè)連同某電視劇和某專(zhuān)題報(bào)道在第一天播出，共有種；第二步，某談話(huà)節(jié)目和其他剩余的個(gè)節(jié)目在第二天播出，有種播出方案.綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.19．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二期末）從0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字，試問(wèn)：(1)有多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的排列？(2)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）任取4個(gè)數(shù)字，然后再排列即可．（2）第一位數(shù)字不能為0，故有6種取法，其它3個(gè)位置任意，問(wèn)題得以解決．(1)任取4個(gè)數(shù)字，然后再排列，故有個(gè)排列.(2)第一位數(shù)字不能為0，故有6種取法，其它3個(gè)位置任意，故有，即能組成720個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).20．（2021·河北·高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？【答案】(1)161700種；(2)9506種；(3)9604種.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意直接利用組合列式計(jì)算即可.(2)利用分步計(jì)數(shù)乘法原理結(jié)合組合列式計(jì)算即可(3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算作答.(1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，即(種)所以有161700種不同的抽法.(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，則(種)，所以抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有9506種.(3)抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，由(2)知，有1件是次品的抽法有種，有2件次品的抽法有種，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：(種)，所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604種.21．（2021·遼寧沈陽(yáng)·高