湖南省名校大聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案_第1頁(yè)
湖南省名校大聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案_第2頁(yè)
湖南省名校大聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案_第3頁(yè)
湖南省名校大聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案_第4頁(yè)
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湖南省名校大聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題)1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知橢圓的離心率為,左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上除左?右頂點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn),則的面積最大為(

)A.1 B. C.2 D.3.設(shè),直線,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若函數(shù)為偶函數(shù),則(

)A. B.0 C.1 D.35.已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),則的最小值是(

)A. B.2 C. D.6.如圖,在異面直線上分別取點(diǎn)和,使,且,若,則線段的長(zhǎng)為(

A. B. C. D.7.已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值為(

)A. B.4 C. D.8.如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,且,則(

)A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.黨的二十大作出“發(fā)展海洋經(jīng)濟(jì),保護(hù)海洋生態(tài)環(huán)境,加快建設(shè)海洋強(qiáng)國(guó)”的戰(zhàn)略部署.如圖是2018—2023年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知下列結(jié)論正確的是(

A.從2018年開始,中國(guó)海洋生產(chǎn)總值逐年增大B.從2019年開始,中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率最大的是2021年C.這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為15122D.這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是9462810.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),則(

)A.直線的方程是B.四點(diǎn)不共圓C.圓的過點(diǎn)的切線方程為D.11.在正方體中,點(diǎn)滿足,其中,則下列說法正確的是(

)A.若在同一球面上,則B.若平面,則C.若點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等,則D.若平面,則三、填空題(本大題共3小題)12.已知直線在軸上的截距為1,則.13.已知,則.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論:平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn),為直線上的動(dòng)點(diǎn),為圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知直線的方程為,直線經(jīng)過點(diǎn)和.(1)若,求的值;(2)若當(dāng)變化時(shí),總過定點(diǎn),求.16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求;(2)若的面積為,求.17.已知圓,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求的方程;(2)若與圓相交于兩點(diǎn),圓心到的距離為,圓的圓心在線段上,且圓與圓相切,切點(diǎn)在劣弧上,求圓的半徑的最大值.18.如圖,在三棱錐中,分別是棱,上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且.(1)證明:平面平面.(2)設(shè),則當(dāng)為何值時(shí),的長(zhǎng)度最小?(3)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí),求平面與平面的夾角的余弦值.19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程.(2)過點(diǎn)且不與軸重合的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為.(i)證明:直線與的斜率之積為定值;(ii)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求直線的方程.

參考答案1.【答案】D【詳解】由可得,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第四象限,故選:D2.【答案】B【詳解】由題可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,,因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,解得,所以,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)A與橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合時(shí),的面積最大,此時(shí)的最大面積為,故選:B.3.【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€,當(dāng)時(shí),,此時(shí),即可以推出,當(dāng)時(shí),,解得或,又時(shí),,此時(shí),所以推不出,所以“”是“”的充分不必要條件,故選:A.4.【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以,所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,故選:B.5.【答案】C【詳解】點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),又的幾何意義為直線上的點(diǎn)到的距離,故最小值為到直線的距離,即最小值為故選:C.6.【答案】C【詳解】如圖,過作,過作于,連接,因?yàn)?,所以,又,,面,所以面,又面,所以,又易知,所以,又,所以,在中,,所以,在中,,,所以,又,所以?/p>

故選:C.7.【答案】D【詳解】由題可設(shè),則點(diǎn)到直線的距離為,其中,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故選:D.8.【答案】D【詳解】如圖連接,則由題可知,∴,,,∴,在中,,,在中,故選:D.9.【答案】BD【詳解】對(duì)于A,根據(jù)條形圖數(shù)據(jù)可以看到2020年較2019年海洋生產(chǎn)總值是下降的,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,2019年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是,2020年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是,2021年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是,2022年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是,2023年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是,故年增長(zhǎng)率最大的是2021年,故B正確;對(duì)于C,這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,將這6年的海洋生產(chǎn)總值按照從小到大排列80010,83415,89415,90385,94628,98537,又,所以這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628,故D正確.故選:BD.10.【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閳A與圓,兩圓方程相減得到,即直線的方程是,所以選項(xiàng)A正確,對(duì)于選項(xiàng)B,由和,解得或,即,,又,所以中點(diǎn)為,則,又,所以到四點(diǎn)距離相等,即四共圓,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤,對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B知,所以,得到圓的過點(diǎn)的切線方程為,整理得到,所以選項(xiàng)C正確,對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)椋谥?,由余弦定理得,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選:AC.11.【答案】BCD【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足,所以點(diǎn)在線段上(不包含點(diǎn)).對(duì)于A,若在同一球面上,則此球?yàn)檎襟w的外接球,所以與重合,所以,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,如圖1,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則平面與平面的交線為直線,要使平面,則需,則為的中點(diǎn),此時(shí),故B正確;對(duì)于C,點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等,則為正方體外接球的球心,即的中點(diǎn),此時(shí),故正確;對(duì)于D,如圖2,設(shè)正方形的中心為,連接,與交于點(diǎn),連接易證,所以,所以是上靠近的三等分點(diǎn),假設(shè)正方體的邊長(zhǎng),則,如圖所示,在平面中,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,所以,因?yàn)?,所以,若平面,面,則,由對(duì)稱性易知,則,從而是上靠近的三等分點(diǎn),此時(shí),故D正確.故選:BCD.12.【答案】【詳解】因?yàn)橹本€,令,得到,由題有,解得,故答案為:.13.【答案】/【詳解】,故答案為:.14.【答案】9【詳解】令,則.由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn),的阿波羅尼斯圓,且,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,整理得,由題意得該圓的方程為,即所以,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,當(dāng)時(shí),此時(shí)最小,最小值為,因此當(dāng)時(shí),的值最小為,故答案為:9

15.【答案】(1)或.(2)【詳解】(1)直線經(jīng)過點(diǎn)和,所以,所以直線的斜率為,因?yàn)橹本€的斜率為,,所以,解得或.(2)直線的方程為可以改寫為,由,解得,所以總過定點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,16.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由,得到,又,,得到,即,所以,得到,又,所以,所以,解得.(2)因?yàn)?,由?)知,所以,由正弦定理,得到,又,所以,又的面積為,所以,整理得到,解得.17.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,所以,得到,又易知中點(diǎn)為,則,解得,所以直線的方程為.(2)因?yàn)閳A的圓心為,由題有,解得或,當(dāng)時(shí),圓,不合題意,所以,圓,即,設(shè),由,消得到,所以,設(shè)圓的圓心為,半徑為,又圓與圓相切,切點(diǎn)在劣弧上,則,得到,又易知,所以當(dāng)時(shí),圓的半徑最大,最大值為.18.【答案】(1)證明見解析(2)時(shí),的長(zhǎng)度最小(3)【詳解】(1)由于又平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以平面平?(2)作交于,連接,由于平面,故平面,平面,故,,故,,故又易知是等腰直角三角形,由余弦定理可得,故,故當(dāng)時(shí),此時(shí)的最小值為.(3)由于,故,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為和軸,以過點(diǎn)垂直與平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,當(dāng)時(shí),分別為的中點(diǎn),則,,所以,設(shè)平面的法向量為,則,即,取,可得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面的所成角為,則,

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