2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十一節(jié)第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值教師文檔教案文北師大版

PAGE其次課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè)[基礎(chǔ)梳理]1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的微小值與微小值點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a旁邊的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)的微小值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)的微小值．(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b旁邊的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫作函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫作函數(shù)的極大值．2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：假如在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條連綿不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．1．留意兩種條件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件．(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．2．分清極值與最值的關(guān)系(1)極值與最值的關(guān)系：極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不肯定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，特別數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取，則必定在極值處?。?2)若函數(shù)f(x)的圖像連續(xù)，則f(x)在[a，b]內(nèi)肯定有最值．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f(x)肯定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值．(4)若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值肯定是函數(shù)的最值．[四基自測(cè)]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有微小值點(diǎn)()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案：A2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：閉區(qū)間上的函數(shù)的最值)函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是()A．－eq\f(17,3) B．－eq\f(10,3)C．－4 D．－eq\f(64,3)答案：A3．(易錯(cuò)點(diǎn)：微小值點(diǎn))已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的微小值點(diǎn)，則a＝________．答案：24．(基礎(chǔ)點(diǎn)：極值與最值關(guān)系)函數(shù)y＝xex的最小值是________．答案：－eq\f(1,e)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè)考點(diǎn)一求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)挖掘極值的存在性問(wèn)題/互動(dòng)探究[例](2024·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)lnx－x－1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．[證明](1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝eq\f(x－1,x)＋lnx－1＝lnx－eq\f(1,x).因?yàn)閥＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝eq\f(ln4－1,2)>0，故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.又當(dāng)x<x0時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α.由α>x0>1得eq\f(1,α)<1<x0.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)－1))lneq\f(1,α)－eq\f(1,α)－1＝eq\f(f（α）,α)＝0，故eq\f(1,α)是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．綜上，f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．[破題技法]1.利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及f′(x)＝0的根；(3)依據(jù)方程f′(x)＝0的根將函數(shù)定義域分成若干區(qū)間，列出表格，檢查導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)左右f′(x)的值的符號(hào)，假如左正右負(fù)，那么y＝f(x)在這個(gè)根處取極大值，假如左負(fù)右正，那么y＝f(x)在這個(gè)根處取微小值．假如左右不變更符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值．2．推斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)首先確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再依據(jù)極值的定義，確定零點(diǎn)是否為極值點(diǎn)．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2，a∈R.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線(xiàn)方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，探討g(x)的單調(diào)性并推斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值．解析：(1)由題意f′(x)＝x2－ax，所以當(dāng)a＝2時(shí)，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線(xiàn)方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因?yàn)間(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)，令h(x)＝x－sinx，則h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閔(0)＝0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，h(x)＜0.①當(dāng)a＜0時(shí)，g′(x)與g(x)的函數(shù)關(guān)系為x(－∞，a)a(a，0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大微小所以當(dāng)x＝a時(shí)，g(x)有極大值為g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina.當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)有微小值g(0)＝－a.②當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝x(x－sinx)．當(dāng)x∈(－∞，＋∞)時(shí)，g′(x)≥0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)無(wú)極大值也無(wú)微小值．③當(dāng)a＞0時(shí)，g′(x)與g(x)的函數(shù)關(guān)系為：x(－∞，0)0(0，a)a(a，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大微小所以當(dāng)x＝0時(shí)g(x)取到極大值，極大值是g(0)＝－a；當(dāng)x＝a時(shí)g(x)取到微小值，微小值是g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina.綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina，微小值是g(0)＝－a；當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是g(0)＝－a，微小值是g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題挖掘含參數(shù)的函數(shù)的最值/互動(dòng)探究[例](2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0<a<3時(shí)，記f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為M，最小值為m，求M－m的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,3).若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))單調(diào)遞減；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))單調(diào)遞減．(2)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，1))單調(diào)遞增，所以f(x)在[0，1]的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝－eq\f(a3,27)＋2，最大值為f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－eq\f(a3,27)＋2，M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－a，0<a<2，,2，2≤a<3.))所以M－m＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a＋\f(a3,27)，0<a<2，,\f(a3,27)，2≤a<3.))當(dāng)0<a<2時(shí)，可知2－a＋eq\f(a3,27)單調(diào)遞減，所以M－m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，2)).當(dāng)2≤a<3時(shí)，eq\f(a3,27)單調(diào)遞增，所以M－m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，1)).綜上，M－m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，2)).[破題技法]1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．若f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，則該極值為最值．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．(1)當(dāng)k＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k＝1時(shí)，求f(x)在[0，2]上的最值．解析：(1)當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln2＞0.由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln2.由f′(x)＜0，得0＜x＜ln2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)和(ln2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，ln2)．(2)由(1)可知x＝0和x＝ln2是f(x)的極值點(diǎn)，且0∈[0，2]，ln2∈[0，2]，f(0)＝－1，f(ln2)＝(ln2－1)·eln2－(ln2)2＝2(ln2－1)－(ln2)2，由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，在(ln2，＋∞)上f(x)為增函數(shù)，∴f(2)＞f(1)＞f(ln2)，∴f(x)的最大值為f(2)＝e2－4.f(x)的最小值為f(ln2)＝2ln2－2－(ln2)2.考點(diǎn)三利用極值、最值求參數(shù)挖掘已知最值求參數(shù)/互動(dòng)探究[例](2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0，1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的全部值；若不存在，說(shuō)明理由．[解析](1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,3).若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))時(shí)，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))單調(diào)遞減．若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增．若a<0，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))單調(diào)遞減．(2)滿(mǎn)意題設(shè)條件的a，b存在．①當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知，f(x)在[0，1]單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]的最小值為f(0)＝b，最大值為f(1)＝2－a＋b.此時(shí)a，b滿(mǎn)意題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.②當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知，f(x)在[0，1]單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為f(0)＝b，最小值為f(1)＝2－a＋b.此時(shí)a，b滿(mǎn)意題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.③當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝－eq\f(a3,27)＋b，最大值為b或2－a＋b.若－eq\f(a3,27)＋b＝－1，b＝1，則a＝3eq\r(3,2)，與0＜a＜3沖突．若－eq\f(a3,27)＋b＝－1，2－a＋b＝1，則a＝3eq\r(3)或a＝－3eq\r(3)或a＝0，與0＜a＜3沖突．綜上，當(dāng)a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時(shí)，f(x)在[