機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ) 課件 熊詩波 第6、7章 信號處理初步、測量儀器與數(shù)字接口

第6章

信號處理初步目錄數(shù)字信號處理的基本步驟離散信號及其頻譜分析相關(guān)分析及其應(yīng)用6.16.26.3功率譜分析及其應(yīng)用6.4現(xiàn)代信號分析方法簡介6.5

測試工作的目的是獲取反映被測對象的狀態(tài)和特征的信息。但是有用的信號總是和各種噪聲混雜在一起的,有時本身也不明顯,難以直接識別和利用。只有分離信號與噪聲,并經(jīng)過必要的處理和分析、清除和修正系統(tǒng)誤差之后,才能比較準(zhǔn)確地提取測得信號中所含的有用信息。因此,信號處理的目的是:①分離信、噪,提高信噪比;②從信號中提取有用的特征信號;③修正測試系統(tǒng)的某些誤差,如傳感器的線性誤差、溫度影響等。

信號處理可用模擬信號處理系統(tǒng)和數(shù)字信號處理系統(tǒng)來實現(xiàn)。

模擬信號處理系統(tǒng)由一系列能實現(xiàn)模擬運算的電路,諸如模擬濾波器、乘法器、微分放大器等環(huán)節(jié)組成。其中大部分環(huán)節(jié)在前行課程和前面幾章中已有討論。模擬信號處理也作為數(shù)字信號處理的前奏,例如濾波、限幅、隔直、解調(diào)等預(yù)處理。數(shù)字處理之后也常需進(jìn)行模擬顯示、記錄等。

數(shù)字信號處理是用數(shù)字方法處理信號,它既可在通用計算機(jī)上借助程序來實現(xiàn),也可以用專用信號處理器來完成。數(shù)字信號處理機(jī)具有穩(wěn)定、靈活、快速、高效、應(yīng)用范圍廣、設(shè)備體積小、重量輕等優(yōu)點,在各行業(yè)中得到廣泛的應(yīng)用。6.1數(shù)字信號處理的基本步驟數(shù)字信號處理的基本步驟如圖6-1所示。圖6-1數(shù)字信號處理的基本步驟

信號的預(yù)處理是把信號變成適于數(shù)字處理的形式,以減輕數(shù)字處理的困難。

預(yù)處理包括:1)電壓幅值調(diào)理,以便適宜于采樣,總是希望電壓峰-峰值足夠大,以便充分利用A-D轉(zhuǎn)換器的精確度。如12位的A-D轉(zhuǎn)換器,其參考電壓為±5V。由于212=4096,故其末位數(shù)字的當(dāng)量電壓為2.5mV。若信號電平較低,轉(zhuǎn)換后二進(jìn)制數(shù)的高位都為0,僅在低位有值,其轉(zhuǎn)換后的信噪比將很差。若信號電平絕對值超過5V,則轉(zhuǎn)換中又將發(fā)生溢出,這是不允許的。所以進(jìn)入A-D轉(zhuǎn)換的信號的電平應(yīng)適當(dāng)調(diào)整。6.1數(shù)字信號處理的基本步驟2)必要的濾波,以提高信噪比,并濾去信號中的高頻噪聲。3)隔離信號中的直流分量(如果所測信號中不應(yīng)有直流分量)。4)如原信號經(jīng)過調(diào)制,則應(yīng)先行解調(diào)。

預(yù)處理環(huán)節(jié)應(yīng)根據(jù)測試對象、信號特點和數(shù)字處理設(shè)備的能力妥善安排。A-D轉(zhuǎn)換是模擬信號經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的過程。

數(shù)字信號處理器或計算機(jī)對離散的時間序列進(jìn)行運算處理。計算機(jī)只能處理有限長度的數(shù)據(jù),所以首先要把長時間的序列截斷,對截取的數(shù)字序列有時還要人為地進(jìn)行加權(quán)(乘以窗函數(shù))以成為新的有限長的序列。對數(shù)據(jù)中的奇異點(由于強(qiáng)干擾或信號丟失引起的數(shù)據(jù)突變)應(yīng)予以剔除。對溫漂、時漂等系統(tǒng)性干擾所引起的趨勢項(周期大于記錄長度的頻率成分)也應(yīng)予以分離。如有必要,還可以設(shè)計專門的程序來進(jìn)行數(shù)字濾波,然后把數(shù)據(jù)按給定的程序進(jìn)行運算,完成各種分析。

運算結(jié)果可以直接顯示或打印,若后接D-A轉(zhuǎn)換器,還可得到模擬信號。如有需要可將數(shù)字信號處理結(jié)果送入后接計算機(jī)或通過專門程序再做后續(xù)處理。6.2離散信號及其頻譜分析

數(shù)字信號處理首先把一個連續(xù)變化的模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號,然后由計算機(jī)處理,從中提取有關(guān)的信息。信號數(shù)字化過程包含著一系列步驟,每一步驟都可以引起信號和其蘊含信息的失真?，F(xiàn)以計算一個模擬信號的頻譜為例來說明有關(guān)的問題。6.2.1概述

設(shè)模擬信號x(t)的傅里葉變換為X(f)(見圖6-2)。為了利用數(shù)字計算機(jī)來計算,必須使x(t)變換成有限長的離散時間序列。為此,必須對x(t)進(jìn)行采樣和截斷。圖6-2原模擬信號及其幅頻譜6.2離散信號及其頻譜分析

采樣就是用一個等時距的周期脈沖序列s(t)(即S(t,Ts)),也稱采樣函數(shù)(見圖6-3)去乘x(t)。時距Ts稱為采樣周期,1/Ts=fs稱為采樣頻率。由式(2-60)可知,s(t)的傅里葉變換S(f)也是周期脈沖序列,其頻率間距為fs=1/Ts。根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì),采樣后信號頻譜應(yīng)是X(f)和S(f)的卷積:X(f)*S(f),相當(dāng)于將X(f)乘以1/Ts,然后將其平移,使其中心落在S(f)脈沖序列的頻率點上,如圖6-4所示。若X(f)的頻帶大于1/2Ts,平移后的圖形會發(fā)生交疊,如圖中虛線所示。采樣后信號的頻譜是這些平移后圖形的疊加,如圖中實線所示。圖6-3采樣函數(shù)及其幅頻譜圖6-4采樣后信號及其幅頻譜6.2離散信號及其頻譜分析

由于計算機(jī)只能進(jìn)行有限長序列的運算,所以必須從采樣后信號的時間序列截取有限長的一段來計算,其余部分視為零而不予考慮。這等于把采樣后信號(時間序列)乘上一個矩形窗函數(shù),窗寬為T。所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)N=T/Ts。N也稱為序列長度。窗函數(shù)w(t)的傅里葉變換W(f)如圖6-5所示。時域相乘對應(yīng)著頻域卷積,因此進(jìn)入計算機(jī)的信號為x(t)s(t)w(t),是長度為N的離散信號(見圖6-6)。它的頻譜函數(shù)是[X(f)*S(f)*W(f)],是一個頻域連續(xù)函數(shù)。在卷積中,W(f)的旁瓣引起新頻譜的皺波。圖6-5時窗函數(shù)及其幅頻譜圖6-6有限長離散信號及其幅頻譜6.2離散信號及其頻譜分析

通過計算機(jī)實現(xiàn)離散傅里葉變換(DFT),將N點長的離散時間序列x(t)s(t)w(t)變換成N點的離散頻率序列。

注意到,x(t)s(t)w(t)的頻譜是連續(xù)的頻率函數(shù),而DFT計算后的輸出則是離散的頻率序列?？梢奃FT不僅算出x(t)s(t)w(t)的“頻譜”,而且同時對其頻譜[X(f)*S(f)*W(f)]實施了頻域的采樣處理,使其離散化。這相當(dāng)于在頻域中乘上圖6-7中所示的采樣函數(shù)D(f)。現(xiàn)在,DFT是在頻域的一個周期中輸出N個數(shù)據(jù)點,故輸出的頻率序列的頻率間距Δf=fs/N=1/(TsN)=1/T。頻域采樣函數(shù)是計算機(jī)的實際輸出是X(f)p(見圖6-8)。6.2離散信號及其頻譜分析與X(f)p相對應(yīng)的時域函數(shù)x(t)p既不是x(t),也不是x(t)s(t),而是d(t)是D(f)的時域函數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意到頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化,相應(yīng)地把其時域函數(shù)周期化了,因而x(t)p是一個周期函數(shù),如圖6-8所示。圖6-7頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)圖6-8DFT后的頻譜及其時域函數(shù)x(t)6.2離散信號及其頻譜分析

從以上過程看到,原來希望獲得模擬信號x(t)的頻域函數(shù)X(f),由于輸入計算機(jī)的數(shù)據(jù)是序列長為N的離散采樣后信號x(t)s(t)w(t),所以計算機(jī)輸出的是X(f)p。X(f)p不是X(f),而是用X(f)p來近似代替X(f)。處理過程中的每一個步驟:采樣、截斷、DFT計算都會引起失真或誤差,必須充分注意。工程上不僅關(guān)心有無誤差,而更重要的是了解誤差的具體數(shù)值,以及是否能以經(jīng)濟(jì)、有效的手段提取足夠精確的信息。只要概念清楚,處理得當(dāng),就可以利用計算機(jī)有效地處理測試信號,完成在模擬信號處理技術(shù)中難以完成的工作。下面討論信號數(shù)字化出現(xiàn)的主要問題。6.2離散信號及其頻譜分析6.2.2時域采樣、混疊和采樣定理

采樣是把連續(xù)時間信號變成離散時間序列的過程。這一過程相當(dāng)于在連續(xù)時間信號上“摘取”許多離散時刻上的信號瞬時值。在數(shù)學(xué)處理上,可看作以等時距的單位脈沖序列(稱其為采樣信號)去乘連續(xù)時間信號,各采樣點上的瞬時值就變成脈沖序列的強(qiáng)度。以后這些強(qiáng)度值將被量化而成為相應(yīng)的數(shù)值。

長度為T的連續(xù)時間信號x(t),從點t=0開始采樣,采樣得到的離散時間序列為式中Ts——采樣間隔; N——序列長度,N=T/Ts; fs——采樣頻率,fs=1/Ts。6.2離散信號及其頻譜分析

采樣間隔的選擇是一個重要的問題。若采樣間隔太小(采樣頻率高),則對定長的時間記錄來說其數(shù)字序列就很長,計算工作量迅速增大;如果數(shù)字序列長度一定,則只能處理很短的時間歷程,可能產(chǎn)生較大的誤差。若采樣間隔過大(采樣頻率低),則可能丟掉有用的信息。圖6-9a中,如果按圖中所示的Ts采樣,將得點1、2、3等的采樣值,無法分清曲線A、曲線B和C的差別,并把B、C誤認(rèn)為A。圖6-9b中用采樣間隔Ts對兩個不同頻率的正弦波進(jìn)行采樣,得到一組相同采樣值,無法辨識兩者的差別,將其中的高頻信號誤認(rèn)為某種相應(yīng)的低頻信號,出現(xiàn)了所謂的混疊現(xiàn)象。圖6-9混疊現(xiàn)象6.2離散信號及其頻譜分析

下面具體解釋混疊現(xiàn)象及其避免的辦法。

間距為Ts的采樣脈沖序列的傅里葉變換也是脈沖序列,其間距為1/Ts,即

由頻域卷積定理可知:兩個時域函數(shù)的乘積的傅里葉變換等于兩者傅里葉變換的卷積,即x(t)s(t)?X(f)*S(f)

考慮到δ函數(shù)與其他函數(shù)卷積的特性[見式(1-52)],上式可寫為

此式為x(t)經(jīng)過間隔為Ts的采樣之后所形成的采樣信號的頻譜。一般地說,此頻譜和原連續(xù)信號的頻譜X(f)并不一定相同,但有聯(lián)系。它是將原頻譜X(f)依次平移1/Ts至各采樣脈沖對應(yīng)的頻域序列點上,然后全部疊加而成(見圖6-4)。由此可見,信號經(jīng)時域采樣之后成為離散信號,新信號的頻域函數(shù)就相應(yīng)地變?yōu)橹芷诤瘮?shù),周期為1/Ts=fs。6.2離散信號及其頻譜分析

如果采樣的間隔Ts太大,即采樣頻率fs太低,平均距離1/Ts過小,那么移至各采樣脈沖所在處的頻譜X(f)就會有一部分相互交疊,新合成的X(f)*S(f)圖形與原X(f)不一致,這種現(xiàn)象稱為混疊。發(fā)生混疊以后,改變了原來頻譜的部分幅值(見圖6-4中虛線部分),這樣就不可能從離散的采樣信號x(t)s(t)準(zhǔn)確地恢復(fù)出原來的時域信號x(t)。

注意到原頻譜X(f)是f的偶函數(shù),f=0為對稱軸;現(xiàn)在新頻譜X(f)*S(f)又是以fs為周期的周期函數(shù)。因此,如有混疊現(xiàn)象出現(xiàn),從圖6-4中可見,混疊必定出現(xiàn)在f=fs/2左右兩側(cè)的頻率處。有時將fs/2稱為折疊頻率?？梢宰C明,任何一個大于折疊頻率的高頻成分f1都將和一個低于折疊頻率的低頻成分f2相混淆,將高頻f1誤認(rèn)為低頻f2。相當(dāng)于以折疊頻率fs/2為軸,將f1成分折疊到低頻成分f2上,它們之間的關(guān)系為(f1+f2)/2=fs/2這也就是稱fs/2為折疊頻率的由來。6.2離散信號及其頻譜分析

如果要求不產(chǎn)生頻率混疊(見圖6-10),首先應(yīng)使被采樣的模擬信號x(t)成為有限帶寬的信號。為此,對不滿足此要求的信號,在采樣之前,使其先通過模擬低通濾波器濾去高頻成分,使其成為帶限信號,為滿足下面要求創(chuàng)造條件。這種處理稱為抗混疊濾波預(yù)處理。其次,應(yīng)使采樣頻率fs大于帶限信號的最高頻率fh的2倍,即圖6-10不產(chǎn)生混疊的條件6.2離散信號及其頻譜分析

在滿足此條件下,采樣后的頻譜X(f)*S(f)就不會發(fā)生混疊(見圖6-10)。若把該頻譜通過一個中心頻率為零(f=0)、帶寬為±(fs/2)的理想低通濾波器,就可以把完整的原信號頻譜取出,也就有可能從離散序列中準(zhǔn)確地恢復(fù)原模擬信號x(t)。

為了避免混疊以使采樣處理后仍有可能準(zhǔn)確地恢復(fù)其原信號,采樣頻率fs必須大于最高頻率fh的兩倍,即fs>2fh,這就是采樣定理。在實際工作中,考慮到實際濾波器不可能有理想的截止特性,在其截止頻率fc之后總有一定的過渡帶,故采樣頻率常選為(3~4)fc。此外,從理論上說,任何低通濾波器都不可能把高頻噪聲完全衰減干凈,因此也不可能徹底消除混疊。6.2離散信號及其頻譜分析6.2.3量化和量化誤差

采樣所得的離散信號的電壓幅值,若用二進(jìn)制數(shù)碼組來表示,就使離散信號變成數(shù)字信號,這一過程稱為量化。量化是從一組有限個離散電平中取一個來近似代表采樣點的信號實際幅值電平。這些離散電平稱為量化電平,每個量化電平對應(yīng)一個二進(jìn)制數(shù)碼。A-D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)是一定的。一個b位(又稱數(shù)據(jù)字長)的二進(jìn)制數(shù),共有L=2b個數(shù)碼。如果A-D轉(zhuǎn)換器允許的動態(tài)工作范圍為D(例如±5V或0~10V),則兩相鄰量化電平之間的差Δx為Δx=D/2(b-1)(6-6)

其中采用2b-1而不用2b,是因為實際上字長的第一位用作符號位。

6.2離散信號及其頻譜分析

當(dāng)離散信號采樣值x(n)的電平落在兩個相鄰量化電平之間時,就要舍入到相近的一個量化電平上。該量化電平與信號實際電平之間的差值稱為量化誤差ε(n)。量化誤差的最大值為±(Δx/2),可認(rèn)為量化誤差在(-Δx/2,+Δx/2)區(qū)間各點出現(xiàn)的概率是相等的,其概率密度為1/Δx,均值為零,其均方值為Δx2/12,誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σε為0.29Δx。實際上,和信號獲取、處理的其他誤差相比,量化誤差通常是不大的。

量化誤差ε(n)將形成疊加在信號采樣值x(n)上的隨機(jī)噪聲。假定字長b=8,峰值電平等于2(8-1)Δx=128Δx。這樣,峰值電平與σε之比為(128Δx/0.29Δx)≈450,即約近于26dB。A-D轉(zhuǎn)換器位數(shù)選擇應(yīng)視信號的具體情況和量化的精度要求而定。但要考慮位數(shù)增多后,成本顯著增加,轉(zhuǎn)換速率下降的影響。

為了討論簡便,今后假設(shè)各采樣點的量化電平就是信號的實際電平,即假設(shè)A-D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為無限多,則量化誤差等于零。6.2離散信號及其頻譜分析6.2.4截斷、泄漏和窗函數(shù)

由于實際只能對有限長的信號進(jìn)行處理,所以必須截斷過長的信號時間歷程。截斷就是將信號乘以時域的有限寬矩形窗函數(shù)?！按啊钡囊馑际侵竿高^窗口能夠“看見”“外景”(信號的一部分)。對時窗以外的信號,視其為零。

從采樣后信號x(t)s(t)截取一段,就相當(dāng)于在時域中用矩形窗函數(shù)w(t)乘采樣后信號。經(jīng)這些處理后,其時、頻域的相應(yīng)關(guān)系(見圖6-6)為x(t)s(t)w(t)?X(f)*S(f)*W(t)(6-7)

一般信號記錄,常以某時刻作為起點截取一段信號,這實際上就是采用單邊時窗,相當(dāng)于將第一章例1-3的矩形窗函數(shù)右移T/2。這時矩形窗函數(shù)為6.2離散信號及其頻譜分析

在時域右移T/2,在頻域作相應(yīng)的相移(見表2-3),但幅頻譜的絕對值是不變的。

由于W(f)是一個無限帶寬的sinc函數(shù)(見第2章例2-3),所以即使x(t)是帶限信號,在截斷后也必然成為無限帶寬的信號,這種信號的能量在頻率軸分布擴(kuò)展的現(xiàn)象稱為泄漏。同時,由于截斷后信號帶寬變寬,因此無論采樣頻率多高,信號總是不可避免地出現(xiàn)混疊,故信號截斷必然導(dǎo)致一些誤差。

為了減小或抑制泄漏,提出了各種不同形式的窗函數(shù)來對時域信號進(jìn)行加權(quán)處理,以改善時域截斷處的不連續(xù)狀況。所選擇的窗函數(shù)應(yīng)力求其頻譜的主瓣寬度窄些、旁瓣幅度小些。窄的主瓣可以提高頻率分辨能力;小的旁瓣可以減小泄漏。這樣,窗函數(shù)的優(yōu)劣大致可從最大旁瓣峰值與主瓣峰值之比、最大旁瓣10倍頻程衰減率和主瓣寬度等三方面來評價。6.2離散信號及其頻譜分析6.2.5頻域采樣、時域周期延拓和柵欄效應(yīng)

經(jīng)過時域采樣和截斷后,其頻譜在頻域是連續(xù)的。如果要用數(shù)字描述頻譜,這就意味著首先必須使頻率離散化,實行頻域采樣。頻域采樣與時域采樣相似,在頻域中用脈沖序列D(f)乘信號的頻譜函數(shù)(見圖6-8)。這一過程在時域相當(dāng)于將信號與一周期脈沖序列d(t)做卷積,其結(jié)果是將時域信號平移至各脈沖坐標(biāo)位置重新構(gòu)圖,從而相當(dāng)于在時域中將窗內(nèi)的信號波形在窗外進(jìn)行周期延拓。所以,頻率離散化,無疑已將時域信號“改造”成周期信號?？傊?經(jīng)過時域采樣、截斷、頻域采樣之后的信號[x(t)s(t)w(t)]*d(t)是一個周期信號,和原信號x(t)是不一樣的。

對一函數(shù)實行采樣,實質(zhì)上就是“摘取”采樣點上對應(yīng)的函數(shù)值。其效果有如透過柵欄的縫隙觀看外景一樣,只有落在縫隙前的少數(shù)景象被看到,其余景象都被柵欄擋住,視為零。這種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。不管是時域采樣還是頻域采樣,都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只不過時域采樣如滿足采樣定理要求,柵欄效應(yīng)不會有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響頗大,“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分,以致于整個處理失去意義。6.2離散信號及其頻譜分析6.2.6頻率分辨率、整周期截斷

頻率采樣間隔Δf也是頻率分辨率的指標(biāo)。此間隔越小,頻率分辨率越高,被“擋住”的頻率成分越少。前面曾經(jīng)指出,在利用DFT將有限時間序列變換成相應(yīng)的頻譜序列的情況下,Δf和分析的時間信號長度T的關(guān)系是Δf=fs/N=1/T(6-9)

這種關(guān)系是DFT算法固有的特征。這種關(guān)系往往加劇頻率分辨率和計算工作量的矛盾。根據(jù)采樣定理,若信號的最高頻率為fh,最低采樣頻率fs應(yīng)大于2fh。根據(jù)式(6-9),在fs選定后,要提高頻率分辨率就必須增加數(shù)據(jù)點數(shù)N,從而急劇地增加了計算工作量。6.2離散信號及其頻譜分析

在分析頻率為f0的簡諧信號時,需要了解某特定頻率f0的譜值,希望DFT譜線落在f0上。單純減小Δf,并不一定會使譜線落在頻率f0上。從DFT的原理來看,譜線落在f0處的條件是:f0/Δf=整數(shù)。考慮到Δf是分析時長T的倒數(shù),簡諧信號的周期T0是其頻率f0的倒數(shù),因此只有截取的信號長度T正好等于信號周期的整數(shù)倍時,才可能使分析譜線落在簡諧信號的頻率上,從而獲得準(zhǔn)確的頻譜。顯然,這個結(jié)論適用于所有周期信號。

因此,對周期信號實行整周期截斷是獲得準(zhǔn)確頻譜的先決條件。從概念來說,DFT的效果相當(dāng)于將時窗內(nèi)信號向外周期延拓。若事先按整周期截斷信號,則延拓后的信號將和原信號完全重合,無任何畸變。反之,延拓后將在t=kT交接處出現(xiàn)間斷點,波形和頻譜都發(fā)生畸變。其中k為某個整數(shù)。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

在測試技術(shù)領(lǐng)域中,無論分析兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系,還是分析兩個信號或一個信號在一定時移前后之間的關(guān)系,都需要應(yīng)用相關(guān)分析。例如在振動測試分析、雷達(dá)測距、聲發(fā)射探傷等都用到相關(guān)分析。6.3.1兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

通常,兩個變量之間若存在一一對應(yīng)的確定關(guān)系,則稱兩者存在著函數(shù)關(guān)系。當(dāng)兩個隨機(jī)變量之間具有某種關(guān)系時,隨著某一個變量數(shù)值的確定,另一變量卻可能取許多不同值,但取值有一定的概率統(tǒng)計規(guī)律,這時稱兩個隨機(jī)變量存在著相關(guān)關(guān)系。

圖6-11表示由兩個隨機(jī)變量x和y組成的數(shù)據(jù)點的分布情況。圖6-11兩隨機(jī)變量的相關(guān)性6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

圖6-11a中各點分布很散,可以說變量x和變量y之間是無關(guān)的。圖6-11b中x和y雖無確定關(guān)系,但從統(tǒng)計結(jié)果、從總體看,大體上具有某種程度的線性關(guān)系,因此說它們之間有著相關(guān)關(guān)系。

變量x和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)ρxy表示,即式中

E——數(shù)學(xué)期望;μx——隨機(jī)變量x的均值,μx=E[x];μy——隨機(jī)變量y的均值,μy=E[y];σx、σy——隨機(jī)變量x、y的標(biāo)準(zhǔn)差利用柯西-施瓦茨不等式,有E[(x-μx)(y-μy)]2≤E[(x-μx)2]E[(y-μy)2](6-11)故知|ρxy|≤1。當(dāng)數(shù)據(jù)點分布越接近于一條直線時,ρxy的絕對值越接近1,x和y的線性相關(guān)程度越好,將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才越有意義。ρxy的正負(fù)號則是表示一變量隨另一變量的增加而增或減。當(dāng)ρxy接近于零,則可認(rèn)為x、y兩變量之間完全無關(guān)。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用6.3.2信號的自相關(guān)函數(shù)

假如x(t)是某各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的一個樣本記錄,x(t+τ)是x(t)時移τ后的樣本(見圖6-12),在任何t=ti時刻,從兩個樣本上可以分別得到兩個值x(ti)和x(ti+τ),而且x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。把ρx(t)x(t+τ)簡寫作ρx(τ),那么有圖6-12自相關(guān)6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用將分子展開并注意到從而得對各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號及功率信號可定義自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)為則6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

顯然ρx(τ)和Rx(τ)均隨τ而變化,而兩者成線性關(guān)系。如果該隨機(jī)過程的均值μx=0,則自相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì):1)由式(6-14)有又因為|ρx(τ)|≤1,所以2)自相關(guān)函數(shù)在τ=0時取最大值,并等于該隨機(jī)信號的均方值3)當(dāng)τ足夠大或τ→∞時,隨機(jī)變量x(t)和x(t+τ)之間不存在內(nèi)在聯(lián)系,彼此無關(guān),故6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用4)自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù),即Rx(τ)=Rx(-τ)(6-18)上述4個性質(zhì)可用圖6-13來表示。5)周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù),其幅值與原周期信號的幅值有關(guān),而丟失了原信號的相位信息。圖6-13自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

例6-1求正弦函數(shù)x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相關(guān)函數(shù),初始相角φ為一隨機(jī)變量。解

此正弦函數(shù)是一個零均值的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程,其各種平均值可以用一個周期內(nèi)的平均值表示。該正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為式中

T0——正弦函數(shù)的周期,令ωt+φ=θ,則于是6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

可見正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個余弦函數(shù),在τ=0時具有最大值,但它不隨τ的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號的幅值和頻率信息,而丟失了初始相位信息。

表6-1是4種典型信號的自相關(guān)函數(shù),稍加對比就可以看到自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段。只要信號中含有周期成分,其自相關(guān)函數(shù)在τ很大時都不衰減,并且有明顯的周期性。不包含周期成分的隨機(jī)信號,當(dāng)τ稍大時自相關(guān)函數(shù)就將趨近于零。寬帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)很快衰減到零,窄帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)則具有較慢的衰減特性。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

圖6-14a是某一機(jī)械加工表面粗糙度的波形,經(jīng)自相關(guān)分析后所得到的自相關(guān)圖(見圖6-14b)呈現(xiàn)出周期性。這表明造成表面粗糙度的原因中包含有某種周期因素。從自相關(guān)圖能確定該周期因素的頻率,從而可以進(jìn)一步分析其原因。圖6-14表面粗糙度與自相關(guān)函數(shù)6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用6.3.3信號的互相關(guān)函數(shù)兩個各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)信號x(t)和y(t)的相互關(guān)系函數(shù)Rxy(τ)定義為

當(dāng)時移τ足夠大或τ→∞時,x(t)和y(t)互不相關(guān),ρxy→0,而Rxy(τ)→μxμy。Rxy(τ)的最大變動范圍在μxμy±σxσy之間,即(μxμy-σxσy)≤Rxy(τ)≤(μxμy+σxσy)(6-20)式中

μx、μy——x(t)、y(t)的均值; σx、σy——x(t)、y(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。

如果x(t)和y(t)兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的周期成分,那么,即使τ→∞,互相關(guān)函數(shù)也不收斂并會出現(xiàn)該頻率的周期成分。如果兩信號含有頻率不等的周期成分,則兩者不相關(guān)。這就是說,同頻率相關(guān),不同頻不相關(guān)。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

例6-2設(shè)有兩個周期信號x(t)和y(t),即x(t)=x0sin(ωt+θ)

y(t)=y0sin(ωt+θ-φ)式中

θ——x(t)相對t=0時刻的相位角;φ——x(t)與y(t)的相位差。試求其互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)。解

因為信號是周期函數(shù),可以用一個共同周期內(nèi)的平均值代替其整個歷程的平均值,故

由此例可見,兩個均值為零且具有相同頻率的周期信號,其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩個信號的圓頻率ω、對應(yīng)的幅值x0和y0以及相位差值φ的信息。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

例6-3若兩個周期信號的圓頻率不等x(t)=x0sin(ω1t+θ)

y(t)=y0sin(ω2t+θ-φ)試求其互相關(guān)函數(shù)。解

因為兩信號的圓頻率不等(ω1≠ω2),不具有共同的周期,因此按式(6-19)計算,有根據(jù)正(余)弦函數(shù)的正交性,可知Rxy(τ)=0可見,兩個非同頻的周期信號是不相關(guān)的。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù),即Rxy(τ)一般不等于Rxy(-τ);Rxy(τ)和Ryx(τ)一般是不等的,因此書寫互相關(guān)函數(shù)時應(yīng)注意下標(biāo)符號的順序。

互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可用圖6-15來表示。圖中表明τ=τ0時呈現(xiàn)最大值,時移τ0反映x(t)和y(t)之間的滯后時間。圖6-15互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

互相關(guān)函數(shù)的這些特性,使它在工程應(yīng)用中有重要的價值。它是在噪聲背景下提取有用信息的一個非常有效的手段。如果我們對一個線性系統(tǒng)(例如某個部件、結(jié)構(gòu)或某臺機(jī)床)激振,所測得的振動信號中常常含有大量的噪聲干擾。根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性,只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振而引起的響應(yīng),其他成分均是干擾。因此只要將激振信號和所測得的響應(yīng)信號進(jìn)行互相關(guān)(不必用時移,τ=0)就可以得到由激振而引起的響應(yīng)信號幅值和相位差,消除了噪聲干擾的影響。這種應(yīng)用相關(guān)分析原理來消除信號中噪聲干擾、提取有用信息的處理方法叫作相關(guān)濾波。它是利用互相關(guān)函數(shù)同頻相關(guān)、不同頻不相關(guān)的性質(zhì)來達(dá)到濾波效果的。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

互相關(guān)技術(shù)還廣泛地應(yīng)用于各種測試中。工程中還常用兩個間隔一定距離的傳感器來不接觸地測量運動物體的速度。圖6-16是測定熱軋鋼帶運動速度的示意圖。鋼帶表面的反射光經(jīng)透鏡聚焦在相距為d的兩個光電池上。反射光強(qiáng)度的波動,經(jīng)過光電池轉(zhuǎn)換為電信號,再進(jìn)行相關(guān)處理。當(dāng)可調(diào)延時τ等于鋼帶上某點在兩個測試點之間經(jīng)過所需的時間τd時,互相關(guān)函數(shù)為最大值。該鋼帶的運動速度v=d/τd。圖6-16鋼帶運動速度的非接觸測量6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

圖6-17是確定深埋在地下的輸油管裂損位置的例子。漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源,在兩側(cè)管道上分別放置傳感器1和2,因為放傳感器的兩點距漏損處不等遠(yuǎn),則漏油的音響傳至兩傳感器就有時差,在互相關(guān)圖上τ=τm處(τ)有最大值,這個τm就是時差。由τm就可確定漏損處的位置,即s=vτm式中

s——兩傳感器的中點至漏損處的距離; v——音響通過管道的傳播速度。圖6-17確定輸油管裂損位置6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

由式(6-13)和式(6-19)所定義的相關(guān)函數(shù)只適用于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號和功率信號。對于能量有限信號的相關(guān)函數(shù),其中的積分若除以趨于無限大時的隨機(jī)時間T后,無論時移τ為何值,其結(jié)果都將趨于零。因此,對能量有限信號進(jìn)行相關(guān)分析時,應(yīng)按下面定義來計算,即6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用6.3.4相關(guān)函數(shù)估計

按照定義,相關(guān)函數(shù)應(yīng)該在無窮長的時間內(nèi)進(jìn)行觀察和計算。實際上,任何的觀察時間都是有限的,我們只能根據(jù)有限時間的觀察值去估計相關(guān)函數(shù)的真值。理想的周期信號,能準(zhǔn)確重復(fù)其過程,因此一個周期內(nèi)的觀察值的平均值就能完全代表整個過程的平均值。對于隨機(jī)信號,可用有限時間內(nèi)樣本記錄所求得的相關(guān)函數(shù)值來作為隨機(jī)信號相關(guān)函數(shù)的估計。樣本記錄的相關(guān)函數(shù),亦就是隨機(jī)信號相關(guān)函數(shù)的估計值可分別由下式計算：式中

T——樣本記錄長度。

為了簡便,假定信號在(T+τ)上存在,則可用下兩式代替式(6-23)和式(6-24),即而且兩種寫法實際結(jié)果是相同的。6.3相關(guān)分析及其應(yīng)用

使模擬信號不失真地沿時軸平移是一件困難的工作。因此,模擬相關(guān)處理技術(shù)只適用于幾種特定信號(如正弦信號)。在數(shù)字信號處理中,信號時序的增減就表示它沿時間軸平移,是一件容易做到的事。所以實際上相關(guān)處理都是用數(shù)字技術(shù)來完成的。對于有限個序列點N的數(shù)字信號的相關(guān)函數(shù)估計,仿照式(6-25)可寫成r=0,1,2,…,m<N式中

m——最大時移序數(shù)。6.4功率譜分析及其應(yīng)用

時域中的相關(guān)分析為在噪聲背景下提取有用信息提供了途徑。功率譜分析則為頻域提供相關(guān)技術(shù)的信息,它是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。6.4.1自功率譜密度函數(shù)1.定義及其物理意義

假定x(t)是零均值的隨機(jī)過程,即μx=0(如果原隨機(jī)過程是非零均值的,可以進(jìn)行適當(dāng)處理使其均值為零),那么當(dāng)τ→∞,Rx(τ)→0。這樣,自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)可滿足傅里葉變換的條件利用式(2-28)和式(2-29)可得到Rx(τ)的傅里葉變換Sx(f)為逆變換為6.4功率譜分析及其應(yīng)用

定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù),簡稱自譜或自功率譜。由于Sx(f)和Rx(τ)之間是傅里葉變換對的關(guān)系,兩者是唯一對應(yīng)的,Sx(f)中包含著Rx(τ)的全部信息。因為Rx(τ)為實偶函數(shù),Sx(f)亦為實偶函數(shù)。由此常用在f=(0~∞)范圍內(nèi)Gx(f)=2Sx(f)來表示信號的全部功率譜,并把Gx(f)稱為x(t)信號的單邊功率譜(見圖6-18)。圖6-18單邊譜和雙邊譜6.4功率譜分析及其應(yīng)用若τ=0,根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)和自功率譜密度函數(shù)Sx(f)的定義,可得到

由此可見,Sx(f)曲線下和頻率軸所包圍的面積就是信號的平均功率,Sx(f)就是信號的功率密度沿頻率軸的分布,故稱Sx(f)為自功率譜密度函數(shù)。6.4功率譜分析及其應(yīng)用2.帕塞瓦爾定理

在時域中計算的信號總能量,等于在頻域中計算的信號總能量,這就是帕塞瓦爾定理,即式(6-30)又叫作能量等式。這個定理可以用傅里葉變換的卷積公式導(dǎo)出。設(shè)x(t)?X(f),h(t)?H(f)，按照頻域卷積定理有x(t)h(t)?X(f)*H(f)，即令q=0,得又令h(t)=x(t),得6.4功率譜分析及其應(yīng)用x(t)是實函數(shù),則X(-f)=X*(f),所以|X(f)|2稱為能譜,它是沿頻率軸的能量分布密度。在整個時間軸上信號平均功率為因此,并根據(jù)式(6-29),自功率譜密度函數(shù)和幅值譜的關(guān)系為利用這一種關(guān)系,就可以通過直接對時域信號進(jìn)行傅里葉變換來計算功率譜。6.4功率譜分析及其應(yīng)用3.功率譜的估計

無法按式(6-31)來計算隨機(jī)過程的功率譜,只能用有限長度T的樣本記錄來計算樣本功率譜,并以此作為信號功率譜的初步估計值。現(xiàn)以分別表示雙邊、單邊功率譜的初步估計,即對于數(shù)字信號,功率譜的初步估計為

也就是對數(shù)字信號序列{x(n)}進(jìn)行DFT運算,取其模的二次方,再除以N(或乘以2/N),便可得信號的功率譜初步估計。這種計算功率譜估計的方法稱為周期圖法。它也是一種最簡單、常用的功率譜估計算法。6.4功率譜分析及其應(yīng)用

可以證明:功率譜的初步估計不是無偏估計,估計的方差為

這就是說,估計的標(biāo)準(zhǔn)差和被估計量Gx(f)一樣大。在大多數(shù)的應(yīng)用場合中,如此大的隨機(jī)誤差是無法接受的,這樣的估計值自然是不能用的。這也就是上述功率譜估計使用“~”符號而不是“∧”符號的原因。

為了減小隨機(jī)誤差,需要對功率譜估計進(jìn)行平滑處理。最簡單且常用的平滑方法是“分段平均”。這種方法是將原來樣本記錄長度T總分成q段,每段時長T=T總/q。然后對各段分別用周期圖法求得其功率譜初步估計最后求諸段初步估計的平均值,并作為功率譜估計值

，即不難理解,這種平滑處理實際上是取q個樣本中同一頻率f的譜值的平均值。6.4功率譜分析及其應(yīng)用當(dāng)各段周期圖不相關(guān)時,

可見,所分的段數(shù)q越多,估計方差越小。但是,當(dāng)原始信號的長度一定時,所分的段數(shù)q越多,則每段的樣本記錄越短,頻率分辨率會降低,并增大偏度誤差。通常應(yīng)先根據(jù)頻率分辨率的指標(biāo)Δf,選定足夠的每段分析長度T,然后根據(jù)允許的方差確定分段數(shù)q和記錄總長T總。為進(jìn)一步增大平滑效果,可使相鄰各段之間重疊,以便在同樣T總之下增加段數(shù)。

譜分析是信號分析與處理的重要內(nèi)容。周期圖法屬于經(jīng)典的譜估計法,是建立在FFT的基礎(chǔ)上的,計算效率很高,適用于觀測數(shù)據(jù)較長的場合。這種場合有利于發(fā)揮計算效率高的優(yōu)點又能得到足夠的譜估計精度。對短記錄數(shù)據(jù)或瞬變信號,此種譜估計方法無能為力,可以選用其他方法。6.4功率譜分析及其應(yīng)用4.應(yīng)用

自功率譜密度Sx(f)為自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的傅里葉變換,故Sx(f)包含著Rx(τ)中的全部信息。自功率譜密度Sx(f)反映信號的頻域結(jié)構(gòu),這一點和幅值譜|X(f)|一致,但是自功率譜密度所反映的是信號幅值的二次方,因此其頻域結(jié)構(gòu)特征更為明顯,如圖6-19所示。圖6-19幅值譜與自功率譜6.4功率譜分析及其應(yīng)用

對于一個線性系統(tǒng)(見圖6-20),若其輸入為x(t),輸出為y(t),系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H(f),x(t)?X(f),y(t)?Y(f),則Y(f)=H(f)X(f)(6-36)

不難證明,輸入、輸出的自功率譜密度與系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系為Sy(f)=|H(f)|2Sx(f)(6-37)

通過對輸入、輸出自譜的分析,就能得出系統(tǒng)的幅頻特性。但是在這樣的計算中丟失了相位信息,因此不能得出系統(tǒng)的相頻特性。圖6-20理想的單輸入、單輸出系統(tǒng)6.4功率譜分析及其應(yīng)用

自相關(guān)分析可以有效地檢測出信號中有無周期成分。自功率譜密度也能用來檢測信號中的周期成分。周期信號的頻譜是脈沖函數(shù),在某特定頻率上的能量是無限的。但是在實際處理時,用矩形窗函數(shù)對信號進(jìn)行截斷,這相當(dāng)于在頻域用矩形窗函數(shù)的頻譜sinc函數(shù)和周期信號的頻譜δ函數(shù)實行卷積,因此截斷后的周期函數(shù)的頻譜已不再是脈沖函數(shù),原來為無限大的譜線高度變成有限長,譜線寬度由無限小變成有一定寬度。所以周期成分在實測的功率譜密度圖形中以陡峭有限峰值的形態(tài)出現(xiàn)。6.4功率譜分析及其應(yīng)用6.4.2互譜密度函數(shù)1.定義如果互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)滿足傅里葉變換的條件則定義Sxy(f)稱為信號x(t)和y(t)的互譜密度函數(shù),簡稱互譜。根據(jù)傅里葉逆變換,有

互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)并非偶函數(shù),因此Sxy(f)具有虛、實兩部分。同樣,Sxy(f)保留了Rxy(τ)中的全部信息。

6.4功率譜分析及其應(yīng)用式中

X*(f)i、Y*(f)i——X(f)i、Y(f)i的共軛函數(shù)。對于數(shù)字信號

這樣得到的初步互譜估計的隨機(jī)誤差太大,不適合應(yīng)用要求,應(yīng)進(jìn)行平滑處理,平滑的方法與功率譜估計相同?；プV估計的計算式如下:對于模擬信號6.4功率譜分析及其應(yīng)用2.應(yīng)用

對圖6-20所示的線性系統(tǒng),可證明有Sxy(f)=H(f)Sx(f)(6-44)

故從輸入的自譜和輸入、輸出的互譜就可以直接得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。式(6-44)與式(6-37)不同,所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性。這是因為互相關(guān)函數(shù)中包含有相位信息。

如果一個測試系統(tǒng)受到外界干擾,如圖6-21所示,n1(t)為輸入噪聲,n2(t)為加于系統(tǒng)中間環(huán)節(jié)的噪聲,n3(t)為加在輸出端的噪聲。顯然該系統(tǒng)的輸出y(t)為y(t)=x'(t)+n1'(t)+n2'(t)+n3'(t)(6-45)式中

x'(t)、n1'(t)和n2'(t)——系統(tǒng)對x(t)、n1(t)和n2(t)的響應(yīng)。圖6-21受外界干擾的系統(tǒng)6.4功率譜分析及其應(yīng)用輸入x(t)與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)為

由于輸入x(t)和噪聲n1(t)、n2(t)、n3(t)是獨立無關(guān)的,故互相關(guān)函數(shù)均為0，即Rxy(τ)=R'xx(τ)(6-47)故

Sxy(f)=S'xx(f)=H(f)Sx(f)(6-48)式中

H(f)=H1(f)H2(f)——所研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

由此可見,利用互譜進(jìn)行分析將可排除噪聲的影響。這是這種分析方法的突出優(yōu)點。然而應(yīng)當(dāng)注意到,利用式(6-48)求線性系統(tǒng)的H(f)時,盡管其中的互譜Sxy(f)可不受噪聲的影響,但是輸入信號的自譜Sx(f)仍然無法排除輸入端測量噪聲的影響,從而形成測量的誤差。

為了測試系統(tǒng)的動特性,有時人們故意給正在運行的系統(tǒng)以特定的已知擾動——輸入z(t)。從式(6-46)可以看出,只要z(t)和其他各輸入量無關(guān),在測量Sxy(f)和Sz(f)后就可以計算得到H(f)。這種在被測系統(tǒng)正常運行的同時對它進(jìn)行測試,稱為“在線測試”。6.4功率譜分析及其應(yīng)用

評價系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號之間的因果性,即輸出信號的功率譜中有多少是輸入量所引起的響應(yīng),在許多場合中是十分重要的。通常用相干函數(shù)來描述這種因果性,其定義為

實際上,利用式(6-49)計算相干函數(shù)時,只能使用Sy(f)、Sx(f)和Sxy(f)的估計值,所得相干函數(shù)也只是一種估計值;并且唯有采用經(jīng)多段平滑處理后的

來計算,所得到的

才是較好的估計值。

如果相干函數(shù)為零,表示輸出信號與輸入信號不相干。當(dāng)相干函數(shù)為1時,表示輸出信號與輸入信號完全相干,系統(tǒng)不受干擾而且系統(tǒng)是線性的。相干函數(shù)在0~1之間,則表明有如下3種可能:①測試中有外界噪聲干擾;②輸出y(t)是輸入x(t)和其他輸入的綜合輸出;③聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)是非線性的。6.4功率譜分析及其應(yīng)用

例6-4

圖6-22是船用柴油機(jī)潤滑油泵壓油管振動和壓力脈沖間的相干分析。

潤滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781r/min,油泵齒輪的齒數(shù)為z=14。測得油壓脈動信號x(t)和壓油管振動信號y(t)。壓油管壓力脈動的基頻為fo=nz/60=182.24Hz。

在圖6-22c上,當(dāng)f=f0=182.24Hz時,則

；f=2f0≈361.12Hz時,；f=3f0≈546.54Hz時,；f=4f0≈722.24Hz時,。齒輪引起的各次諧頻對應(yīng)的相干函數(shù)值都比較大,而其他頻率對應(yīng)的相干函數(shù)值很小。由此可見,油管的振動主要是由油壓脈動引起的。從x(t)和y(t)的自譜圖也明顯可見油壓脈動的影響(見圖6-22a、b)。圖6-22油壓脈動與油管振動的相干分析6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介

本節(jié)簡單介紹一些現(xiàn)代信號分析和處理方法,詳細(xì)內(nèi)容請參考有關(guān)書籍。6.5.1功率譜估計的現(xiàn)代方法1.非參數(shù)方法(1)多窗口法(MultiTaperMethoolMTM)

MTM是使用多個正交窗口以獲取相互獨立的譜估計,然后把它們合成為最終的譜估計。這種估計方法比經(jīng)典非參數(shù)譜估計法具有更大的自由度和較高的精度。(2)子空間方法

子空間方法又稱為高分辨率方法。這種方法在相關(guān)矩陣特征分析或特征分解的基礎(chǔ)上,產(chǎn)生信號的頻率分量估計。如多重信號分類法(MultipleSignalClassificationMUSIC)或特征向量法(EV)。此法檢測埋藏在噪聲中的正弦信號(特別是信噪比低時)是有效的。6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介2.參數(shù)方法

參數(shù)方法是選擇一個接近實際樣本的隨機(jī)過程的模型,在此模型的基礎(chǔ)上,從觀測數(shù)據(jù)中估計出模型的參數(shù),進(jìn)而得到一個較好的譜估計值。此方法與經(jīng)典功率譜估計方法相比,特別是對短信號,可以獲得更高的頻率分辨率。參數(shù)方法主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型和最小方差功率譜估計等。通過模型分析的方法來做譜估計,預(yù)先要解決的是模型的參數(shù)估計問題。6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介6.5.2時頻分析

時域分析可以使我們了解信號隨時間變化的特征,頻域分析體現(xiàn)的是信號隨頻率變化的特征,兩者都不能同時描述信號的時間和頻率特征,這時就要用到時頻分析。

對于工程中存在的非平穩(wěn)信號,在不同的時刻,信號具有不同的譜特征,時頻分析是非常有效的分析方法。時頻分析的目的是建立一個時間-頻率二維函數(shù),要求這個函數(shù)不僅能夠同時用時間和頻率描述信號的能量分布密度,還能夠體現(xiàn)信號的其他一些特征量。6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介1.短時傅里葉變換(STFT)

短時傅里葉變換的基本思想:把非平穩(wěn)的長信號劃分成若干段小的時間間隔,信號在每一個小的時間間隔內(nèi)可以近似為平穩(wěn)信號,用傅里葉變換分析這些信號,就可以得到在那個時間間隔的相對精確的頻率描述。

短時傅里葉變換的時間間隔劃分并不是越細(xì)越好,因為劃分就相當(dāng)于加窗,這會降低頻率分辨率并引起譜泄漏。由于短時傅里葉變換的基礎(chǔ)仍是傅里葉變換,雖能分析非平穩(wěn)信號,但更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)信號。6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介2.小波變換

小波變換是20世紀(jì)80年代中后期發(fā)展起來的一門新興的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支,近年來已被引入工程應(yīng)用領(lǐng)域并得到廣泛應(yīng)用。小波變換具有多分辨特性,通過適當(dāng)?shù)剡x擇尺度因子和平移因子,可得到一個伸縮窗,只要適當(dāng)?shù)剡x擇基本小波,就可使小波變換在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力,在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率,在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率,很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分。3.Wigner-Ville分布

短時傅里葉變換和小波變換本質(zhì)上都是線性時頻表示,它不能描述信號的瞬時功率譜密度,雖然Wigner-Ville分布也是被直接定義為時間與頻率的二維函數(shù),但它是一種雙線性變換。Wigner-Ville分布是最基本的時頻分布,由它可以得到許多其他形式的時頻分布。6.5現(xiàn)代信號分析方法簡介6.5.3統(tǒng)計信號處理

在大多數(shù)情況下,信號往往混有隨機(jī)噪聲。由于信號和噪聲的隨機(jī)特性,需要采用統(tǒng)計的方法來分析處理,這就使得數(shù)學(xué)上的概率統(tǒng)計理論方法在信號處理中得以應(yīng)用,并演化出統(tǒng)計信號處理這一領(lǐng)域。

統(tǒng)計信號處理涉及如何利用概率模型來描述觀測信號和噪聲的問題,這種信號和噪聲的概率模型往往需信息的函數(shù),而信息則由一組參數(shù)構(gòu)成,這組參數(shù)是通過某個優(yōu)化準(zhǔn)則從觀測數(shù)據(jù)中得來的。顯然,用這種方法從數(shù)據(jù)中得到的所需信息的精確程度,取決于所采用的概率模型和優(yōu)化原理。在統(tǒng)計信號處理中,常用的信號處理模型包括高斯隨機(jī)過程模型、馬爾可夫隨機(jī)過程模型和α穩(wěn)定分布隨機(jī)信號模型等。而常用的優(yōu)化準(zhǔn)則包括最小二乘(LS)準(zhǔn)則、最小均方(LMS)準(zhǔn)則、最大似然(ML)準(zhǔn)則和最大后驗概率(MAP)準(zhǔn)則等。在上述概率模型和優(yōu)化準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,出現(xiàn)了許多統(tǒng)計信號處理算法,包括維納濾波器、卡爾曼濾波器、最大熵譜估計算法和最小均方自適應(yīng)濾波器等。思考題與習(xí)題6-1

求h(t)的自相關(guān)函數(shù)。6-2

假定有一個信號x(t),它由兩個頻率、相角均不相等的余弦函數(shù)疊加而成。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為x(t)=A1cos(ω1t+φ1)+A2cos(ω2t+φ2)

求該信號的自相關(guān)函數(shù)。6-3

求方波和正弦波(見圖6-23)的互相關(guān)函數(shù)。圖6-23題6-3圖思考題與習(xí)題6-4

某一系統(tǒng)的輸入信號為x(t)(見圖6-24),若輸出y(t)與輸入x(t)相同,輸入的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)和輸入—輸出的互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)之間的關(guān)系為Rx(τ)=Rxy(τ+T),試說明該系統(tǒng)起什么作用。圖6-24題6-4圖6-5

試根據(jù)一個信號的自相關(guān)函數(shù)圖形,討論如何確定該信號中的常值分量和周期成分。6-6

已知信號的自相關(guān)函數(shù)為Acosωτ,請確定該信號的均方值和均方根。6-7

應(yīng)用帕塞瓦爾定理求下式的積分值。6-8

對三個正弦信號x1(t)=cos2πt、x2(t)=cos6πt、x3(t)=cos10πt進(jìn)行采樣,采樣頻率fs=4Hz,求三個采樣輸出序列,比較這三個結(jié)果,畫出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采樣點位置,并解釋頻率混疊現(xiàn)象。謝謝！第7章

測量儀器與數(shù)字接口目錄概述測試信號采集的基本原理與裝置插卡式測試系統(tǒng)7.17.27.3儀器前端及控制7.4測量系統(tǒng)的數(shù)字接口7.57.1概述

測量儀器是“單獨地或連同輔助設(shè)備一起,用來進(jìn)行測量的器具”(國家計量技術(shù)規(guī)范:JJF1001《通用計量術(shù)語及定義》)。即測量儀器是用來測量并能得到被測對象量值的一種技術(shù)工具或裝置。如體溫計、電壓表、直尺等可以單獨地用于完成某項測量;砝碼、熱電偶、標(biāo)準(zhǔn)電阻等需與其他測量儀器或輔助設(shè)備一起使用才能完成測量。

測量儀器按其結(jié)構(gòu)特點和計量用途可分為測量用的儀器儀表、實物量具、標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)及測量系統(tǒng)(或裝置)。本書所述的“測量儀器”主要是指儀器儀表類測量裝置,特別是電子測量儀器。20世紀(jì)80年代,計算機(jī)技術(shù)開始應(yīng)用到儀器當(dāng)中。隨著計算機(jī)技術(shù)、大規(guī)模集成電路技術(shù)和通信技術(shù)的飛速發(fā)展,傳感器技術(shù)、通信技術(shù)和計算機(jī)技術(shù)的結(jié)合,使得計算機(jī)與測試技術(shù)的關(guān)系發(fā)生了根本性的變化,計算機(jī)已成為現(xiàn)代測試和測量系統(tǒng)的基礎(chǔ)。隨著微處理器的廣泛應(yīng)用,出現(xiàn)了以微處理器為核心的智能儀器,并對儀器儀表的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

基于計算機(jī)的測量儀器的發(fā)展大致可以分為三個階段:

第一階段:利用計算機(jī)增強(qiáng)傳統(tǒng)儀器的功能。由于GPIB總線標(biāo)準(zhǔn)確立,計算機(jī)和儀器的通信成為可能,只需要把傳統(tǒng)儀器通過GPIB和RS-232同計算機(jī)連接起來,用戶就可以用計算機(jī)控制儀器。隨著計算機(jī)系統(tǒng)性能價格比的不斷提高,用計算機(jī)控制測量儀器已成為一種發(fā)展趨勢。

第二階段:開放式的儀器構(gòu)成。儀器硬件上出現(xiàn)了兩大技術(shù)進(jìn)步:一是插入式計算機(jī)數(shù)據(jù)采集卡的出現(xiàn);二是VXI儀器總線標(biāo)準(zhǔn)的確立。這些新的技術(shù)使儀器的構(gòu)成得以開放,消除了第一階段內(nèi)在的由用戶定義和供應(yīng)商定義的儀器功能的區(qū)別。

第三階段:虛擬儀器(VirtualInstrument,VI)框架得到了廣泛認(rèn)同和采用。軟件領(lǐng)域面向?qū)ο蠹夹g(shù)把任何用戶構(gòu)建VI需要知道的東西封裝起來。許多行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)在硬件和軟件領(lǐng)域產(chǎn)生,幾個VI平臺已經(jīng)得到認(rèn)可并逐漸成為VI行業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)工具。發(fā)展到這一階段,人們認(rèn)識到了VI軟件框架才是數(shù)據(jù)采集和儀器控制系統(tǒng)實現(xiàn)自動化的關(guān)鍵。7.1概述

智能儀器的整個測量過程,如鍵盤掃描、量程選擇、開關(guān)啟動閉合、數(shù)據(jù)采集、傳輸與處理以及顯示、打印等都用單片機(jī)或微控制器來控制操作,實現(xiàn)測量過程的全自動化。其主要功能有:1)具有自測功能,包括自動調(diào)零、量程自動轉(zhuǎn)換、自動故障與狀態(tài)檢驗、自動校準(zhǔn)、自診斷等。智能儀表能自動檢測出故障的部位甚至故障的原因。這種自測試可以在儀器啟動時運行,同時也可以在儀器工作中運行,極大地方便了儀器的使用和維護(hù)。2)具有數(shù)據(jù)處理功能,這是智能儀器的主要優(yōu)點之一。智能儀器由于采用了單片機(jī)或微控制器,使得許多原來用硬件邏輯難以解決或根本無法解決的問題,通過軟件非常靈活地加以解決。例如,傳統(tǒng)的數(shù)字萬用表只能測量電阻、交直流電壓、電流等,而智能型的數(shù)字萬用表不僅能進(jìn)行上述測量,而且還具有對測量結(jié)果進(jìn)行諸如零點平移、取平均值、求極值、統(tǒng)計分析等復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理功能。于是不僅使用戶從繁重的數(shù)據(jù)處理中解放出來,也有效地提高了儀器的測量精度。7.1概述3)具有友好的人機(jī)對話能力。智能儀器使用鍵盤代替?zhèn)鹘y(tǒng)儀器中的切換開關(guān),操作人員只需通過鍵盤輸入命令,就能實現(xiàn)某種測量功能。與此同時,智能儀器還通過顯示屏將儀器的運行情況、工作狀態(tài)以及對測量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果及時告訴操作人員,使儀器的操作更加方便直觀。4)具有可程控操作能力。一般智能儀器都配有GPIB、RS-232C、RS-485等標(biāo)準(zhǔn)的通信接口,可以很方便地與微機(jī)和其他儀器一起組成用戶所需要的多種功能的自動測量系統(tǒng),以完成更復(fù)雜的測試任務(wù)。7.1概述7.2測試信號采集的基本原理與裝置7.2.1信號采集的意義和任務(wù)

信號采集是指把傳感器和其他測試設(shè)備中采集的非電量或者電量信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字量,然后送入計算機(jī),再由計算機(jī)進(jìn)行分析、處理的過程。完成這個過程的相應(yīng)系統(tǒng)稱為信號采集系統(tǒng)。

信號采集系統(tǒng)的任務(wù)是采集傳感器輸出的模擬信號并轉(zhuǎn)換成計算機(jī)能識別的數(shù)字信號,根據(jù)不同的需要由計算機(jī)進(jìn)行相應(yīng)的計算和處理,得出所需的數(shù)據(jù)。與此同時,將計算得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲、顯示或打印,以便實現(xiàn)對某些物理量的監(jiān)視,其中一部分?jǐn)?shù)據(jù)還將被生產(chǎn)過程中的計算機(jī)控制系統(tǒng)用來控制某些物理量。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是結(jié)合基于計算機(jī)或者其他專用測試平臺的測量軟硬件產(chǎn)品來實現(xiàn)靈活的、用戶自定義的測量功能。7.2測試信號采集的基本原理與裝置

被采集數(shù)據(jù)是已被轉(zhuǎn)換為電信號的各種物理量,如溫度、壓力、流量、位移等,可以是模擬量,也可以是數(shù)字量。采集一般是采樣方式,即隔一定時間(稱采樣周期)對同一點數(shù)據(jù)重復(fù)采集。采集的數(shù)據(jù)大多是瞬時值,也可是某段時間內(nèi)的一個特征值。準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)量測是數(shù)據(jù)采集的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)量測方法有接觸式和非接觸式,檢測元件多種多樣。不論哪種方法和元件,均以不影響被測對象狀態(tài)和測量環(huán)境為前提,以保證數(shù)據(jù)的正確性。數(shù)據(jù)采集含義很廣,包括對連續(xù)物理量的采集。在計算機(jī)輔助制圖、測圖、設(shè)計中,對圖形或圖像數(shù)字化過程也可稱為數(shù)據(jù)采集,此時被采集的是幾何量(或包括物理量,如灰度)數(shù)據(jù)。

隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的快速發(fā)展,數(shù)據(jù)采集已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于互聯(lián)網(wǎng)及分布式領(lǐng)域,數(shù)據(jù)采集領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)生了重要的變化。國內(nèi)外分布式控制應(yīng)用場合中的智能數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)已經(jīng)取得了長足的發(fā)展,總線兼容型數(shù)據(jù)采集插件的數(shù)量不斷增加,與個人計算機(jī)兼容的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的數(shù)量也在增加,從而將數(shù)據(jù)采集帶入了一個全新的時代。7.2測試信號采集的基本原理與裝置7.2.2信號采集系統(tǒng)的組成原理

圖7-1是一個典型的多通道信號采集系統(tǒng)原理框圖。大多數(shù)的傳感器輸出信號都是模擬信號,包括電壓和電流,對它們的采集過程通常包括模擬量的選通、信號調(diào)理、采樣保持、A-D轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)。圖7-1典型的多通道信號采集系統(tǒng)原理框圖7.2測試信號采集的基本原理與裝置1.模擬通道選通

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)有時需要進(jìn)行多路和多參數(shù)的采集與控制,如果每一路都單獨采用各自的輸入回路,即每一路都采用放大、濾波、采樣/保持(S/H)、A-D轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié),不僅成本比單路成倍增加,而且會導(dǎo)致系統(tǒng)體積龐大,且由于模擬器件、阻容元件參數(shù)特性不一致,對系統(tǒng)的校準(zhǔn)帶來很大困難。對于多路巡檢如128路信號采集情況,每路單獨采用一個回路幾乎是不可能的。因此,除特殊情況下采用多路獨立的放大和A-D轉(zhuǎn)換外,通常采用公共的采樣保持和A-D轉(zhuǎn)換電路(有時甚至可將某些放大電路共用),利用多路模擬開關(guān),可以方便實現(xiàn)共用。

多路選擇器是數(shù)據(jù)選擇器的別稱。在多路數(shù)據(jù)傳輸過程中,能夠根據(jù)需要將其中任一選出的電路選通。它也稱多路選擇器或多路開關(guān),其原理如圖7-2所示。圖7-2多路選擇器原理7.2測試信號采集的基本原理與裝置2.信號調(diào)理

實際應(yīng)用中,傳感器信號需要經(jīng)過信號調(diào)理電路,才能與基于計算機(jī)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的輸入相匹配,獲取有效、準(zhǔn)確的信號(參見本書第四章信號的調(diào)理與記錄)。前端信號調(diào)理系統(tǒng)可以包括如信號放大、衰減、濾波、電氣隔離等功能。此外,許多傳感器還需要提供激勵電流或電壓、線性化處理等。因此,大多數(shù)基于計算機(jī)的測量系統(tǒng)包括某種形式的信號調(diào)理。在第5章中介紹了幾種信號調(diào)理方法。典型的信號調(diào)理功能有以下幾種。(1)放大放大器提高輸入信號電平,以便更好地匹配模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換器(ADC)的輸入范圍,從而提高測量精度和靈敏度。此外,使用放置在更接近信號源或轉(zhuǎn)換器的外部信號調(diào)理裝置,可以通過在信號被環(huán)境噪聲影響之前提高信號電平,來提高測量的信噪比。(2)衰減衰減即與放大相反的過程,這在電壓超過數(shù)字化儀輸入范圍時,是十分必要的。這種形式的信號調(diào)理降低了輸入信號的幅度,以使經(jīng)調(diào)理的信號處于ADC范圍之內(nèi)。衰減對于測量高電壓是十分必要的。(3)隔離隔離的信號調(diào)理設(shè)備通過使用變壓器、光或電容性的耦合技術(shù),無需物理連接即可將信號從它的源傳輸至測量設(shè)備。除了切斷接地回路之外,隔離也阻隔了高電壓浪涌以及較高的共模電壓,既保護(hù)了操作人員,也保護(hù)了昂貴的測量設(shè)備。7.2測試信號采集的基本原理與裝置(4)過濾從傳感器或其他接收設(shè)備獲得的電信號,由于傳輸過程中的各種噪聲干擾,如工作現(xiàn)場的電磁干擾、前段電路本身的影響等,往往會有多種頻率成分的噪聲信號,嚴(yán)重情況下,這種噪聲信號甚至?xí)蜎]有效輸入信號,致使測試無法正常進(jìn)行。為了減少噪聲對測控過程的影響,需采取濾波措施,濾除干擾噪聲,提高系統(tǒng)的信噪比(S/N)。

過去常用模擬濾波電路實現(xiàn)濾波,模擬濾波技術(shù)較為成熟。模擬濾波可分為有源濾波和無源濾波。設(shè)計有源濾波器,首先根據(jù)所要求的幅頻特性,尋找可實現(xiàn)的有理數(shù)進(jìn)行逼近設(shè)計。常用的逼近函數(shù)有Butterworth、Chebyshev、Besel等,然后計算電路參數(shù),完成設(shè)計。(