冪函數(shù)與二次函數(shù)方程與不等式【12類題型】-2025年高考數(shù)學復習突破（新高考專用）

專題2-3幕函數(shù)與二次函數(shù)，方程與不等式

近4年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

年天津卷第題，分

202035從近五年全國卷的考查情況來

2020年江蘇卷第7題，5分看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨命題，露(1)森函數(shù)的定義、圖像

函數(shù)要求相對較低，常與指數(shù)函與性質(zhì)

2024年天津卷：第2題，5分

數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較賽值的(2)三個二次之間的關(guān)系

2024年上海卷：第3題，5分大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).

模塊一熱點題型解讀(目錄)

【題型1】幕函數(shù)的定義及圖像

【題型2】由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【題型3]森函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用

【題型4】三個“二次”關(guān)系的應用

【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)

【題型6】解含參一元二次不等式

【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題(1):判別式法

【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題(2):參變分離法

【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題(3):變更主元法解

【題型11】一元二次不等式能成立問題(不等式有解)

【題型12]一元二次方程根的分布

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】幕函數(shù)的定義及圖像

基礎(chǔ)知識1

1.氟函數(shù)的解析式

暴函數(shù)的形式是y=x°(Q￡R),其中只有一個參數(shù)夕，因此只需一個條件即可確定其解析式.

2.賽函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間（0,1）上，賽函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為“指大圖低”）,在區(qū)間（L+8）上，幕函

數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.

1.（多選題）（2024.新疆喀什.一模）若函數(shù)y=（病-〃是累函數(shù)，則實數(shù)相的值可能是（）

A.m=—2B.m=2C.m=-lD.m=l

【答案】BC

【解析】y=（病一加一1卜3是賽函數(shù)，則加-根-1=1,解得m=2或相=-1.

【鞏固練習1】（2024?山東日照?二模）已知幕函數(shù)圖象過點（2,4）,則函數(shù)的解析式為（）

x2

A.y=2B.y=xC.y=log2xD.y=sinx

【答案】B

【解析】設賽函數(shù)的解析式為y=J,由于函數(shù)過點（2,4）,故4=2°,解得。=2,該賽函數(shù)的解析

式為y=/；

故選：B

【鞏固練習2】已知函數(shù)為幕函數(shù)，則/■（/-2a）+/（2a-/）=（）

A.0B.-1C.a2D.a6-a4

【答案】A

【解析】由題意有機—1=1,可得m=2,〃力=/，其定義域為R,

且f（-X）=（-%）3=-X3=-/（%）,則函數(shù)“X）為奇函數(shù)，

所以/（a2-2a）+/（2a-4）=0.

【題型2】由瓶函數(shù)的單調(diào)性比較大小

基礎(chǔ)知識

在比較賽值的大小時，必須結(jié)合賽值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握

各個賽函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.若a=(g)"b=bgi|,c=3^,貝Ua,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

［解析］6=logi|>logj=l,a=(1匕守亦=(&5>RA=(；)1C,而a=(g)久1,

所以a,b,c的大小關(guān)系為Z?>a>c.

232

【鞏固練習1】設“OUC=守，則"，仇C大小關(guān)系是.

【答案】d>c>b

2..

【解析】因為在(°，+8)單調(diào)增,

22

所以即0>c,

在(-OO,+8)單調(diào)減,

32

所以(|J<(2：,即c>瓦綜上,a>c>b.

【鞏固練習2](2024?江西宜春?模擬預測)已知幕函數(shù)/(%)=(m-1)%九的圖象過點(m,8).設a=

032

/(2),b=/(0.3),c=/(log20.3),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義求出函數(shù)/(%)解析式，再利用新函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.

【解析】因氟函數(shù)f(%)=(m—1)%"的圖象過點(zn,8),則m—1=1,且m71=8,

于是得m=2,幾=3,函數(shù)/(%)=%3,函數(shù)/(%)是R上的增函數(shù)，

而Iog2().3<0<0,32<1<20-3,貝寸有/(log20.3)</(0.32)</(203),

所以c<b<a.

【鞏固練習3】(2024河北衡水三模)已知1。8〃；<1,<1,j<i，則實數(shù)〃的取值范圍為()

B.(0,1)

【答案】A

【解析】由log?；＜l,得或0＜a＜；,

由＜1'得。＞0，

由/＜1，得

:.當log]＜1,W＜1,同時成立時，取交集得0＜a＜；

【題型3】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用

基礎(chǔ)知識

緊扣氟函數(shù)y=x"的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意a為奇

數(shù)時，f為奇函數(shù)，a為偶數(shù)時，/為偶函數(shù).

m

3.已知募函數(shù)/(%)=%三(加九€2),下列能成為“/(%)是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是()

A.m=—3,n=1B.m=l,n=2

C.771=2,71=3D.771=1,71=3

【分析】根據(jù)森函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進行判斷即可.

【解析】當m=-3,n=1時，/(x)=x~3=3

因為函數(shù)/(%)=2的定義域(一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱，且/(-%)==一點=一/(%),

所以"%)=妥為奇函數(shù)，不合題意，故A錯誤；

當771=1,71=2時，y(x)=X2=y/x＞因為/'(%)=?函數(shù)的定義域[0,+8),不關(guān)于原點對稱，

所以/(%)=?為非奇非偶函數(shù)，不合題意，故B錯誤；

當771=2,71=3時，f(x)=X2-Vx^,定義域為R,關(guān)于原點對稱，且/(—x)=(―X)2==/(X),

所以/(X)=xl為偶函數(shù)，符合題意，故C正確；

當TH=1,=3時，=%3＞定義域為R,關(guān)于原點對稱，且/(—久)=(-x)3=—%3=-/(X)?

所以“X)=/為奇函數(shù)，不合題意，故D錯誤.

【鞏固練習1】已知aw卜2,1,2,31.若暴函數(shù)/(%)=/為奇函數(shù)，且在(0,+8)上遞減，則

a-

【答案】-1

【解析】因為森函數(shù)/(x)=x°在(。,+8)上遞減，所以々=-2,-L-1,

又氟函數(shù)/(1)二元。為奇函數(shù)，可知。為奇數(shù)，即a=-l.

【鞏固練習2】已知事函數(shù)八%)=(2根-1)龍〃的圖象經(jīng)過點(2,8),下面給出的四個結(jié)論：①〃耳=婷；

②“龍)為奇函數(shù)；③〃X)在R上單調(diào)遞增；④/(4+1)<”1),其中所有正確命題的序號為()

A.①④B.②③C.②④D.①②③

【答案】B

【解析】對于①：由森函數(shù)的定義可知2租-1=1,解得m=1,

將點(2,8)代入函數(shù)/(X)=x"得2"=8,解得〃=3,

所以故①錯誤；

對于②：因為定義域為R,Af(-x)=(-x)3=-%3=-f(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，故②正確；

對于③：由賽函數(shù)的圖象可知，/(X)在R上單調(diào)遞增，故③正確；

對于④：因為"+121,且在R上單調(diào)遞增，所以⑴，故④錯誤，

綜上可知，②③正確，①④錯誤.

【鞏固練習3](山東荷澤?三模)已知函數(shù)/(%)=7+(a—2)/+2%+b在[—2c—l,c+3]上為奇

函數(shù)，則不等式/(2%+l)+/(a+h+c)>。的解集滿足()

A.(-2,4]B.(-3,5]C.(-|,2]D.(-2,2]

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)a、b、c的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單

調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【解析】因為函數(shù)/(%)=%3+(a—2)/+2%+b在[—2c—l,c+3]上為奇函數(shù)，

所以—2c—l+c+3=0,解得c=2,又/(—%)=—/(x),

即—+(a—2)%2—2x+b=—x3—(a—2)x2—2x—b,

所以2(a—2)/+26=0,解得除?’°,解得｛￡：j，

所以f(x)=x3+2x,xG[—5,5],

由y=/與y=2x在定義域[-5,5]上單調(diào)遞增，所以/(%)在定義域[-5,5]上單調(diào)遞增，

則不等式J(2x+l)+](a+b+c)>0,即f(2x+1)+/(4)>0,等價于/(2工+1)>/(—4),

所以解得一|<xW2,即不等式的解集為(-Q]

【題型4】三個“二次”關(guān)系的應用

基礎(chǔ)知識

二次函數(shù)y=ax2-\-bx-\-c的圖象、一■元二次方程ax2+/?x+c=O的根與一■元二次不等式

>0與qf+bx+c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：

方程的判別式

△>0△△

△=b2-4ac=O<0

y=ax2+bx+ckJ

(a>0)的圖象X'1

卜□V

o

2有兩相等實根

ax+bx+c=0有兩相異實根

(a>0)的根b沒有實根

x,x(X!<vr)Xi="2=

x222a

ax2+bx+c>0b

(a>0)的解集或x>x2}--4R

2a

ax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x,<X<x2}0

若。<0時，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解.

通過以上論述，可對''三個二次”的關(guān)系有一個較為全面的了解，在解題中，我們要不失時機的滲

透“三個二次”三位一體的思維意識，實現(xiàn)“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，能自然規(guī)范的運用函數(shù)

方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，提高數(shù)學解題思維水平。

知識點詮釋：

(1)一元二次方程以2+以+。=0(。/0)的兩根占、%是相應的不等式的解集的端點的取值，是

拋物線y=+C與X軸的交點的橫坐標；

(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；

(3)解集分A>0,A=0,A<。三種情況，得到一元二次不等式始；2+b%+c〉o與Q2+6*+c<o

的解集.

4.(2020?山東.高考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,則不等式a/+fox+c>

0的解集是（）

A.(-2,1)B.(—CO,—2)U(1,+co)C.[—2,1]D.(—8,—2]U

[1,+8）

【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.

【解析】結(jié)合圖像易知，不等式a%2+bx+c>0的解集（-2,1）

【鞏固練習1】不等式ax?一法+0>0的解集為{x卜2cx<1},貝I]函數(shù)》=依2一法+，的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】因為依2—6x+c>o的解集為{引―2<x<1},

所以方程ox?—6x+c=0的兩根分別為-2和1,且a<0,

-2+1=-,「

則0變形可得:‘

（-2）x1，，匕=一2。，

.a

故函數(shù)y=依2-bx+c=a>^+czr-2q=a（x+2）（x-l）的圖象開口向下，

且與x軸的交點坐標為（1,0）和（-2,0）,故A選項的圖象符合.故選：A

【鞏固練習2】關(guān)于尤的不等式爐―2奴—8。2<0（?！?）的解集為（和%2），且％—%=15,則0=

（）

571515

A.-B.—C.—D.—

2242

【分析】看問題：求實數(shù)a的值.（屬于求值問題）

想方法：尋找等量關(guān)系建立關(guān)于所求量的方程，利用方程思想求解，

看條件：一2以一8。2<0（〃>0）的解集為（再,乙），且%2一玉=15,

定措施：由題意知％2,玉是方程》2—2依—8/=0的兩根，根據(jù)韋達定理及九2一百=15建關(guān)于a方

程去求值。

【答案】A

【解析】因為關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集為（國,馬）,所以

=2。,再々=-8",又馬—%=15,所以（々一xj2=（々+玉）2—4々再=36/=15?,

解得。=±—，因為a>0,所以。=2.

22

【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)

基礎(chǔ)知識

先判斷開口方向，再結(jié)合圖像，通過韋達定理列出參數(shù)相關(guān)的方程組

5.已知關(guān)于x的一元二次不等式辦2+加一”0的解集為{x[3<x<5},則不等式cY+fec-a〉。的

解集為（）

x卜或1一1

A.B.了<一§或工>一二

【答案】D

【解析】因為關(guān)于x的一元二次不等式一+6x-c<0的解集為{x[3<x<5},

所以a>O且方程ar2+陵-c=o的解為3,5,

bc

所以——=8,—=15,所以b=—8a,c=_15a,

aa

則不等式cf+Z?x—tz>0,即為不等式一15以2-86—〃>。,

則15%2+8X+1V0,解得一；<1<一]，

所以不等式cd+陵—4>0的解集為\x—?故選：D.

6.（多選題）（2024?高一?江蘇.專題練習）已知關(guān)于x的不等式d+fex+cNO的解集為何*4-3或

x>4},則下列說法正確的是（）

A.?>0

B.不等式bx+c>0的解集為{x|尤<-4}

0的解集為X<—L或V〉，

C.不等式o?—bx+a<

43

D.a+b+c>0

【答案】AC

【解析】關(guān)于x的不等式G?+bx+c>0的解集為（-D[4,+oo）,

所以二次函數(shù)y=a/+灰+。的開口方向向上，即〃>0,故A正確;

且方程ax2+陵+c=0的兩由艮為一3、4,

--=-3+4

b=-a

由韋達定理得,解得

c=—12a

-=-3x4

.0

對于B,bx-^c>0<^-ax-12a>0,由于〃>0,所以無v-12,

所以不等式法+c〉0的解集為{x|x<-12},故B不正確；

（b=—a

對于C,因為<,所以c/一<o,Fp—12ax2+ax+a<0,

[c=-12a

所以12%2一%一1>0,解得了<-；或

所以不等式Ck2—法+〃<0的解集為<Xxj—Z或>,故C正確；

對于D,a+b+c=a—a—12a=—12a<G,故D不正確.

【鞏固練習1】（多選題）（2024?高一?湖南株洲?期中）已知不等式分2+法+。40的解集為{%|xw-i

或元23},則下列結(jié)論正確的是（）

A.a<0

B.a+b+c>G

C.c<0

D.cf_公+〃<0的角軍集為

【答案】ABD

【解析】因為不等式g?+加;+c<0的解集為{x|xV-1或x>3},則一1,3是方程av?+〃％+c=o的

a<0

b

兩根，則《—1+3=—,解得a<O,Z?=—2。,。=—3a〉0,故A正確，C錯誤；

a

-1x3=-

、a

因為a+b-^-c=a-2a-3/a=-4a>0,故B正確；

不等式ex2—+a<o可以化簡為3——2x—1v0,解得—故D正確；

故選：ABD

【鞏固練習2】(多選題)(2024?高一?山東聊城?期末)不等式加+fec+cNO的解集是｛x|T4x42｝,

則下列結(jié)論正確的是()

A.a+Z?=0B.a+b+c>GC.c>0D.b<0

【答案】ABC

【解析】因為不等式ox?+〃％+c之0的解集是｛%|—1<x<2|,

b

——=-1+2=1>0b>0

a，所以，

可得。<0,且vb=—a9所以Q+Z?=0,C>0,〃>0,

-=-2<0c>0

所以A、C正確，D錯誤.

因為二次函數(shù)y=々/+bx+c的兩個零點為-1,2,且圖像開口向下,

所以當％=1時，y=Q+〃+c>。，所以B正確.

【題型6】解含參一元二次不等式

基礎(chǔ)知識

對于含參數(shù)的一元二次不等式，一般不會單獨考察，往往和導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一起考察

解法：若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對

判別式分類討論，分類要不重不漏

7.解關(guān)于x的不等式：x2-(m-3)x-3m>0.

【解析】不等式尤2-(m-3)龍一3加>0,即(x+3)(x-m)>0,

當相=-3時，原不等式即(X+3)2>0,解得號-3,即不等式的解集為｛x|xw-3｝；

當相>一3時，解得%>加或％<-3,即不等式的解集為｛11相或％<-3｝；

當機<一3時，解得%>-3或%〈根，即不等式的解集為或xvm｝；

綜上可得：當m=-3時不等式的解集為｛x|%W-3｝,

當機>一3時不等式的解集為｛%|x>相或xv-3｝,

當機<一3時不等式的解集為｛不|%>-3或無<加｝.

8.解關(guān)于％的不等式--(4。+1)%+4>0.

【答案】答案見解析

【解析】由題意可知，“？一(4〃+1)%+4>0可化為(依一1)(1—4)>0

(1)當。=0時，不等式化為1—4<0,解得％<4,

(2)當一<0時，不等式化為［％---|(x—4)<0,解得一<%<4,

a<a)a

(3)當0<—<4時，不等式化為［九—|(x—4)>0,解得％<—或x>4,

a<aJa

(4)當工=4時，不等式化為(x—4)2>0,解得了w4,

a

(5)當一〉4時，不等式化為(x—1—|(%—4)>0,解得x<4或x>—,

avaJa

綜上所述，a=0時，不等式的解集為(—8,4)

°<0時，不等式的解集為；

(7〉一時，不等式的解集為1―00,—］<j(4,+oo);

4Ia)

。=工時，不等式的解集為(―8,4)|J(4,+8)；

4

0<a<一時，不等式的解集為(—8,4)—,+00|;

4U)

【鞏固練習1】解不等式/一(加+2)冗+2機<0

【解析】即(x—m)(無一2)v。，

當機>2時，不等式的解集為｛,2<%<相｝；

當m=2時，不等式的解集為0;

當機<2時，不等式的解集為｛X機<x<2｝.

【鞏固練習2］當a<1時，解關(guān)于％的不等式?-1)(工-1)<0.

【解析】當〃=0時，代入不等式可得一%+1<0,解得了>1;

當0<Q<］時，化簡不等式可得）（x—1）<0即［x—］（x—1）<0,

由L>1得不等式的解為1<尤<L,

aa

當a<0時，化簡不等式可得1（x—1）<0即（x1（x—1）>0,

由得不等式的解為或

aa

綜上可知，當〃=0時，不等式（公-1）。-1）〈。的解集為｛x\x>l｝；

當0<々<1時，不等式（以一1）（尤一1）<0的解集為1<x<—1；

當〃<0時，不等式（5―D（xT）V。的解集為《%卜<工或%>1｝.

【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

基礎(chǔ)知識

解決二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值常用的方法是數(shù)形結(jié)合.

9.已知函數(shù)〃耳=/+皿-2尤+1在區(qū)間［2,+8）上是增函數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】［-2,+8）

―2

【解析】二次函數(shù)〃犬）=X2+（根—2）x+l的圖象開口向上，對稱軸為直線x=———,

因為函數(shù)在區(qū)間［2,+w）上是增函數(shù)，則-與242,解得加2-2.

因此，實數(shù)機的取值范圍是［-2,+8）.

【鞏固練習1］函數(shù)/⑶=Sx2-x-3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.（-co,-l）C.彳，+8D.-,+oo

I4」L2）［4

【答案】C

3

【解析】由題意，^r=2x2-x-3=（2%-3）（x+l）>0,^x<-l^x>~,

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知：f=2x?-x-3在（-°°，-1］上遞減，在■1,+coj上遞增

又y=JF在定義域上遞增，故/（無）=亞/-無-3的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+?1

【鞏固練習2］函數(shù)/(幻=,一(加—2?+1|在-g1上單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為()

11

A.r1u34B.2u

2i2號

11

C.3D.23

f2u'142'u4

【答案】C

1

2,

<0,

a11Q

解得3VwV］或WW1,即實數(shù)機得取值范圍為［--,1］U［3,-］.

-2x-+4x).x>0在區(qū)間g_i,3_2a)上有最大值，則實數(shù)的取值范圍

【鞏固練習3】若函數(shù)〃x)=a

2x,x<0

是.

【答案】［0,1)

【解析】4^^(^)=-2x2+4x,x>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減,

又/(1)=2=/(-1),作出函數(shù)/⑴的大致圖象，

由于函數(shù)〃x)=［在區(qū)間g_］,3_2a)上有最大值,

I2x,x<0

3-2a>l

結(jié)合圖象，由題意可得解得。立<1，所以實數(shù)0的取值范圍是［?！?

【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題(1):判別式法

基礎(chǔ)知識

一元二次不等式在R上的恒成立問題

與恒成立問題有關(guān)的詞有：“任意”、“全體實數(shù)”、“都”、“一切實數(shù)”等.

方法是通過二次函數(shù)的圖像來理解.

].若〃N+Zzx+c>0恒成立，貝I6z>0,A<0；

2.若,恒成立，貝i]0V0,AO；

10.（多選）VxwR,關(guān)于X的不等式Y(jié)-6+。>°恒成立的一個必要不充分條件是（）

A.a<10B.0<a<4

C.ci>—2D.0<iz<—

2

【答案】AC

【分析】由VxeR,關(guān)于x的不等式尤2-亦+a>0恒成立得A<0,求得。的取值范圍，然后根據(jù)充

分條件與必要條件的概念判斷即可得出答案.

【詳解】VxeR,關(guān)于x的不等式X?-辦+a>0恒成立，則△=6-4a<0,解得0<a<4.

對于/,因為{a[0<a<4}*{a|a<10},符合題意，故/正確；

對于5是充要條件，故B錯誤；

對于C,因為{a[0<a<4}*{a|a>-2},符合題意，故C正確；

對于D,因為當0<。<4時，0<。<：不一定成立，不符合題意，故。錯誤

【鞏固練習1】若關(guān)于Z的不等式狽?+2依+3"-4<°對xeR恒成立，則〃的取值集合為()

A.{a|-2<q<0}B.^a|-2<a<0}C.?<()}D.?(()}

【答案】D

【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對。分類討論即可得a的取值集合.

【詳解】當。=0時，不等式0^+2辦+3.-4<0化為T<0對xeR恒成立；

ftz<0

當要使得不等式ox?+2依+3々-4<0對xeR恒成立，則"-4/_4Q(3Q-4)<0'解得。<°

綜上，a的取值集合為{司。V。}

【鞏固練習2】已知函數(shù)y=(a-2)V+2(a-2)x-4,若對任意實數(shù)x,函數(shù)值恒小于0,則a的取值

范圍是________

【答案】-2<a<2

【分析】根據(jù)給定條件，分段討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)列式求解作答.

【詳解】當a=2時，>=一4<0恒成立，則a=2;

當aw2時，依題意，二次函數(shù)〉=(。-2)/+2(。一2口-4的圖象總在x軸下方，

于是1=4(”2)2+16(…解得一2<"2,則-2<“<2

【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題(2):參變分離法

基礎(chǔ)知識

含參一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題一般通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最

值問題

參變分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量尤的關(guān)系，

X/xeAf,使得/(x)..a,等價于/⑺..。，\/x&M,使得/(x)”a,等價于一⑺即，a

11.當TVxW。時，關(guān)于z的不等式—+6+15-aN。恒成立，則。的取值范圍是

【答案】a<6

【分析】參變分離得。4二一~再利用基本不等式求三~2的最小值即可得答案.

x—\X—1

【詳解】關(guān)于1的不等式％2+依+15—〃之0恒成立

-X2-15

即〃4一——,TWxKO時恒成立，

x-1

-f-15

a<

x-1

min

又一%2]5_—2(%1)一]6=1———2>2-%)?-^―——2=6,

X—1x—1

當且僅當1一尤=生，即x=—3時等號成立，.?.aV6.

1-x

【鞏固練習1】若不等式d-2x-機<0在尤€g，2上有解，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.(-l,+oo)

(3

C.一二+8D.(0,+司

I4

答案：B

【解析】將不等式/一2%一根<0在XE-,2上有解，轉(zhuǎn)化為不等式機>%2-2%在X￡—,2上有解

求解.

【詳解】因為不等式爐-2%-機<0在于2上有解,

所以不等式機>X2-2%在工￡—,2上有解,

令/=—2%=(%—1)—1,則，min=—1,

所以用〉一1,

所以實數(shù)加的取值范圍是

【鞏固練習2】若不等式f—比+1>。在］￡(0,2)時不等式恒成立，則實數(shù)，的取值范圍為

若不等式爐—比+ivo在九金(1,2)上恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為.

【答案］?<2J>(

2

【解析】首先分離參數(shù)可得f>x+,，然后結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求得無+!<3,從而可確定r的取值范

圍.

【詳解】⑴因為不等式爐—笈+1>0,所以，<X±l=x+J■在區(qū)間(0,2)上恒成立，x+->2,

XXX

當x=l時取等號，故1<2

2

r11

(2)不等式尤2-優(yōu)+1<0對一切xe(l,2)恒成立，t>-----=尤+—

XX

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=x+2在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,

x

且當x=2時，y=2+—=—,所以x

22x2

故實數(shù)/的取值范圍是二2.

2

【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題(3):變更主元法解

基礎(chǔ)知識

變更主元：在有幾個變量的問題中，常常有一個變量處于主要地位，我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的

不等式時，有時若能換一個角度,變參數(shù)為主元，則可以得到意想不到的效果。

12.已知Vae[0,2]時，不等式辦~+(a+l)x+l-怖。<0恒成立，則工的取值范圍為

【答案】(-2,-1)

【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)關(guān)于a的函數(shù)/(a)=+x-|Ja+x+l/(0)<0

則可得從而可求出z

/(2)<0,

的取值范圍.

【詳解】由題意，因為當ae[0,2],不等式+(a+l)x+1—<0恒成立,

可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)/(。)=]/+工—|^4+%+1,

則/(a)<。對任意?！闧0,2卜恒成立，

ry(o)=x+i<o

則滿足12,

[7(2)=2Y+2x-3+%+1<0

解得-2<X<-1,

即Z的取值范圍為(-2,-1)

【鞏固練習1】若不等式2》-1>〃工卜2-1)對任意機4-1』恒成立，實數(shù)支的取值范圍是.

【答案】(73-1,2)

【分析】把題意轉(zhuǎn)化為加(爐-1)-2彳+1<0,設“祖六網(wǎng)尤?一[)—2^1,由一次函數(shù)的單調(diào)性列不

等式組，即可求解.

【詳解】2x-l>m(爐-1)可轉(zhuǎn)化為/”(x?-l)-2x+l<0.

設=根T)-2x+l,則/(m)是關(guān)于加的一次型函數(shù).

要使恒成立，只需，,解得1<x<2.

f(-l)=-x2-2x+2<0

【鞏固練習2】函數(shù)/(x)=爐+"+3,若ae[4,6]J(x)N0恒成立,則實數(shù)工的取值范圍是.

【答案】(-co,-3-V6]U[-3+V6,+oo)

【分析】采用變換主元的策略，看作關(guān)于。的一次函數(shù)，利用端點函數(shù)值不小于0建立不等式組求

解即可.

【詳解】令/7(。)=X°+/+3,當ae[4,6]時，6(。)2。恒成立，

f/z(4)>0,[X2+4X+3>0,“-r-

只需7心、c即<2z°c解得尤4-3-后或xN-3+6.

[/?(6)>0,^X2+6X+3>0,

所以實數(shù)1的取值范圍是(-00,-3-指支[-3+#,+00).

故答案為：(-co,-3-A/6]U[-3+A/6,+co)

【題型11]一元二次不等式能成立問題(不等式有解)

基礎(chǔ)知識

一元二次不等式有解問題一般可以結(jié)合函數(shù)圖像通過分析開口方向以及判別式正負來確定參數(shù)范圍

13.已知命題“VxeR,4f+(a-2)x+!>0"是假命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

4

A.(YO,0]U[4,+OO)B.[0,4]

C.[4,-H?)D.(0,4)

答案：A

【分析】先求出命題為真時實數(shù)。的取值范圍，即可求出命題為假時實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】若“VxeR,4f+(a-2)x+,>0”是真命題，

4

91

即判別式A=(Q—2)-4X4X-<0,解得：0<?<4,

所以命題“VxGR,+(〃—2)xH—>0’’是假命題，

4

則實數(shù)。的取值范圍為：(-00刈11[4,用).

【鞏固練習1】若不等式尤2一2%-機<0在尤e1,2上有解，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.(-l,+oo)

C.］一|+8

D.(0,+oo)

答案：B

【解析】將不等式爐-2尤-根<0在xe-,2上有解，轉(zhuǎn)化為不等式“7>尤?-2元在xe-,2上有解

求解.

【詳解】因為不等式爐-2尤-加<0在xe-,2上有解，

所以不等式機>f-2x在xe-,2上有解，

令，=一—2工=(%-1)2_1,則%=-1,

所以m〉-l,所以實數(shù)加的取值范圍是

a

【鞏固練習2】已知命題P：使得2爪2十履—wo成立，，是真命題，則實數(shù)上的取值范圍

O

是.

【答案】

3

【分析】利用分離參數(shù)法得,只需求出不等式右邊的最大值即可.

2x+x

33

【詳解】2kx2+kx——<0,{lx1+x\k<—,

88

設>=2/+》=2心+工].,.對稱軸為x=-4，在[1,2]上單調(diào)遞增，

-I4)84

^2xl2+l<y<2x22+2,Fp3<y<10,

33

Z<8,;*e[1,2],使得2kx~+kx—<0成立，

-8

1rni

,?.-3<y<10,.1，故公

"7Lso^J8

【題型12]一元二次方程根的分布

基礎(chǔ)知識

一元二次方程根的分布問題，原理簡單，難點在于要有清晰的分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.一般

考慮以下幾方面：

1.開口（若不能判定，則需分類討論，特別要注意二次項系數(shù)有可能等于零的情況）.

2,判定給定點處函數(shù)值的正負.（開口向上的二次函數(shù)若存在函數(shù)值小于零，則恒成立）

3.判定△符號.

4.判定對稱軸的位置.

總之，耐心去分類討論（分類討論不容易失誤，一步到位往往會漏解或多解），借助圖象去分

析就可以得到結(jié)論，無需記憶.

（1）二元二次方程在R上根的分布情況

①方程有兩個不等的實數(shù)根=△=/—4砒〉0；

②方程有兩個相等的實數(shù)根oA="2—4ac=0;

③方程沒有實數(shù)根=△=/一4ac＜0

（2）一元二次方程的根的“0”分布

A=Z?2-4ac>0

b

①方程有兩個不等正根尤”尤2o,4+Z=--->U；

a

c

xx=—>n0

{2a

△=〃-4ac>0

b

②方程有兩個不等負根=須+=---〈0

a

c

xx=—>0

x2a

③方程有一■正根和一負根，設兩根為Xj,X。玉=—＜。

2a

（3）一元二次方程（。＞0）的根的“左”分布

A>0

,b,

①兩根都小于％=<----<k-

2。

f(k)>0

A>0

b

②兩根都大于％=<----->k

2a

③一根小于左,一根大于f(k)<0

(4)一元二次方程根(〃>0)在區(qū)間的分布

A(m)>0

①兩根都在(加,〃)內(nèi)u><