24.4 解直角三角形 同步練習(xí)

第24章解直角三角形24.4解直角三角形基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1解直角三角形的基本內(nèi)容1.(2022山西臨汾堯都期中)在Rt△ABC中，有下列情況，則直角三角形可解的是()A.已知BC=6，∠C=90° B.已知∠C=90°，∠A=60°，BC=5C.已知∠C=90°，∠A=∠B D.已知∠C=∠B=45°2.(2023四川眉山洪雅實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么下列結(jié)論正確的是()A.CD=AB·tanB B.CD=BC·sinB C.CD=AC·sinB D.CD=AD·cosA知識(shí)點(diǎn)2解直角三角形的基本類(lèi)型與解法3.(2023陜西延安新區(qū)三中期末)如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD=23，BC=10，∠B=30°，則tanC的值為()A.13 B.32 C.334.(2023吉林長(zhǎng)春凈月期末)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=45，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng)[變式1](2023河南開(kāi)封十四中月考)如圖，已知△ABC中，AB=BC=15，tan∠ABC=34，求邊AC的長(zhǎng)[變式2](2023吉林長(zhǎng)春第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)如圖，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)3解直角三角形的應(yīng)用5.(2023甘肅蘭州教育局第四片區(qū)期末)西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)計(jì)過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣的儀器，稱(chēng)為圭表，如圖所示的是一個(gè)根據(jù)石家莊市的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距離(即BC的長(zhǎng))為a.已知，冬至?xí)r石家莊市的正午日光入射角∠ABC約為28°，則立柱AC的高約為()A.asin28° B.acos28° C.atan28° D.a6.(2023陜西榆林府谷月考)某校九年級(jí)數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主題是“測(cè)量物體高度”.小聰所在小組想測(cè)量古塔的高度，經(jīng)研究得出一個(gè)測(cè)量方案如下：在點(diǎn)A處用距離地面高h(yuǎn)米的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向前進(jìn)a米到達(dá)點(diǎn)B，用同樣的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為45°，小聰所在小組計(jì)算出的古塔高度為()A.a·tan17°1+tan17°+?米 B.a·sin17°1?sin17°+?米7.(2023吉林長(zhǎng)春八十七中月考)長(zhǎng)泰大橋是長(zhǎng)春市“兩橫三縱”快速路的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)工程，大橋建筑類(lèi)型為斜拉式高架橋，其主塔高BD=96.9米，主塔處橋面距地面CD=7.9米，小明站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角為31°，則拉索AB的長(zhǎng)約為米.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)

8.(2022吉林長(zhǎng)春汽開(kāi)區(qū)模擬)我國(guó)某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)，剛返回到港口A，接到上級(jí)指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向上有一艘可疑船只C，與此同時(shí)在港口A北偏東60°方向，距離10km處的另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東30°方向上，則可疑船只C到港口A的距離為km.

9.山東煙臺(tái)蓬萊閣建筑群素有“人間仙境”之稱(chēng)，是國(guó)家重點(diǎn)文物保護(hù)單位.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量蓬萊閣主樓高度，進(jìn)行了如下操作：用一架無(wú)人機(jī)在樓基A處起飛，沿直線飛行34米到點(diǎn)B，在此處測(cè)得樓基A的俯角為60°，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向向右飛行7米到點(diǎn)C，在此處測(cè)得樓頂D的俯角為30°，試求蓬萊閣主樓AD的高度.(精確到0.1米，2≈1.41，3≈1.73)10.(2023湖南衡陽(yáng)南岳月考)如圖，四邊形ABCD是某水庫(kù)大壩的橫截面示意圖，壩高8米，背水坡的坡角為45°，現(xiàn)需要對(duì)大壩進(jìn)行加固，使上底加寬2米，且加固后背水坡的坡度i=1∶2，求加固后壩底增加的寬度AF的長(zhǎng).11.(2023重慶一中期末)如圖，某天我國(guó)一艘海監(jiān)船巡航到B港口正東方向的A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在A的北偏西60°方向，相距300海里的C處有一可疑船只正沿CB方向行駛，點(diǎn)C在B港口的北偏西30°方向上，海監(jiān)船向B港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從B港口駛出，沿BC方向行駛，在D處成功攔截可疑船只，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為1502海里.(1)求點(diǎn)A到直線CB的距離；(2)若執(zhí)法船的速度是50海里/小時(shí)，則執(zhí)法船從B出發(fā)經(jīng)過(guò)多久攔截到可疑船只?(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)能力提升全練12.(2022吉林長(zhǎng)春中考)如圖所示的是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直于地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C.設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是()A.sinα=ABBC B.sinα=BCAB C.sinα=ABAC D.sin13.(2022河南駐馬店汝南模擬)閱讀理解：為計(jì)算tan15°的三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建Rt△ACB(如圖)，使得∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB使BD=AB，連結(jié)AD，可得到∠D=15°，設(shè)AC=1，所以AB=BD=2，BC=3，所以tan15°=ACCD=12+3=2?3(2+3)(2?3)=2-3.A.2+1 B.2-1 C.2 D.114.(2022寧夏中考)2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，如圖，某一時(shí)刻在觀測(cè)點(diǎn)D測(cè)得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°，降落傘底面A點(diǎn)處的仰角∠ADE=46°12'.已知半徑OA長(zhǎng)14米，拉繩AB長(zhǎng)50米，返回艙高度BC為2米，這時(shí)返回艙底部離地面的高度CE約為米.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin46°12'≈0.72，cos46°12'≈0.69，tan46°12'≈1.04)

15.(2023吉林長(zhǎng)春東北師大附中期末)已知△ABC中，tanB=23，BC=6.過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為點(diǎn)D，且滿足BD∶CD=2∶1，則△ABC的面積為.16.(2022貴州黔西南州中考)如圖，我國(guó)海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測(cè)得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向，A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的距離約是nmile.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7，結(jié)果保留整數(shù))

17.(2022湖北襄陽(yáng)中考)位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度.無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)18.(2023吉林長(zhǎng)春凈月期末)圖1是一種三角車(chē)位鎖，其主體部分是由兩條長(zhǎng)度相等的鋼條組成的.當(dāng)位于頂端的小掛鎖打開(kāi)時(shí)，鋼條可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此時(shí)汽車(chē)可以進(jìn)入車(chē)位；當(dāng)車(chē)位鎖上鎖時(shí)，鋼條按圖1所示的方式立在地面上，以阻止底盤(pán)高度低于車(chē)位鎖高度的汽車(chē)進(jìn)入車(chē)位.圖2是其示意圖，經(jīng)測(cè)量，AB=AC=50cm，∠ABC=47°.(參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)圖1 圖2(1)求車(chē)位鎖的底盒BC的長(zhǎng)；(2)若一輛汽車(chē)的底盤(pán)高度為35cm，當(dāng)車(chē)位鎖上鎖時(shí)，這輛汽車(chē)能否進(jìn)入該車(chē)位?通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.19.(2022湖南株洲中考)如圖1所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處.如圖2所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i=1∶1，BN⊥l于N，且CN=2千米.(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程.圖1 圖220.(2022山西中考)隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度.某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處的俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi).請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73).素養(yǎng)探究全練21.(2023重慶一中期末)去年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬.如圖，媽媽位于游客中心A正北方向的B處，其中AB=2km.明明位于游客中心A西北方向的C處.烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽(yáng)帽給明明送去，于是媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn).15分鐘后，他們?cè)谟慰椭行腁的北偏西37°方向的點(diǎn)D處相遇.(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73，2≈1.41，結(jié)果保留兩位小數(shù))22.(2022四川自貢中考)某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下：(1)探究原理：制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON以及鉛垂線OG重合(如圖①)，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線(如圖②)，此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON，請(qǐng)說(shuō)明這兩個(gè)角相等的理由；圖① 圖②(2)實(shí)地測(cè)量：如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為測(cè)樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹(shù)頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹(shù)高PH；(3≈1.73，結(jié)果精確到0.1米)圖③(3)拓展探究：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH(如圖④)，同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F(E、F、H在同一直線上)，分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離為m米，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米.求PH(用α、β、m表示).圖④

第24章解直角三角形24.4解直角三角形答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B∵選項(xiàng)C、D缺少邊的條件，選項(xiàng)A缺少銳角的條件，∴不能解直角三角形；選項(xiàng)B中，由∠A的正弦可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC的長(zhǎng).2.B∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，tanB=CDBD，∴CD=BD·tanB，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵sinB=CDBC，∴CD=BC·sinB，選項(xiàng)B正確；在Rt△ADC中，sinA=CDAC，∴CDsinA，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵tanA=CDAD，∴CD=AD·tanA，選項(xiàng)D錯(cuò)誤3.B∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AD=23，∠B=30°，∴BD=3AD=3×23=6，∵BC=10，∴CD=BC-BD=10-6=4，在Rt△ADC中，tanC=ADCD=2344.解析在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，sinA=BCAB=4∴AB=BCsinA=845=8×54=10，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB=5[變式1]解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，設(shè)AE=3k，則BE=4k，∴AB=5k=15，∴k=3，∴AE=9，BE∴CE=BC-BE=15-12=3，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得AC=AE2+CE[變式2]解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AD=DC，根據(jù)勾股定理得AD2+DC2=AC2，即2AD2=AC2=122，∴AD=DC=62，∵∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD∴BD=623=26，∴BC=DC-DB=62-25.C在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=28°，∴tan28°=ACBC，∴AC=BC·tan28°=atan286.D如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H，易知點(diǎn)F在EH上，則四邊形ADHE是矩形，∴DH=AE=h米，設(shè)CH=x米，在Rt△CHF中，∠CFH=∠FCH=45°，∴CH=FH=x米，在Rt△CHE中，tan∠CEH=CHEH，∴xx+a=tan17°，∴x=a·tan17°1?tan17°，∴CD=CH+DH=a·tan17°1?tan17°+?米，即古塔CD7.172.8解析由題意得BC=BD-CD=96.9-7.9=89(米)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=BCABsin31°≈0.515，∴AB≈BC0.515=890.515≈172.8(米)，即拉索AB的長(zhǎng)約為172.8.20解析∵可疑船只C在港口A的北偏東30°方向，驅(qū)逐艦B在港口A的北偏東60°方向，∴∠CAB=60°-30°=30°，∵驅(qū)逐艦B在可疑船只C的南偏東30°方向上，∴∠ACB=30°+30°=60°，∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，∴sin∠ACB=ABAC，∴AC=ABsin∠ACB=10sin60°9.解析由題意可知，在Rt△ABE中，AB=34米，∠ABE=60°，∴BE=AB·cos60°=34×12=17(米)，AE=AB·sin60°=34×32=173(米).在Rt△CDE∠DCE=30°，CE=BE+CB=17+7=24(米)，∴DE=CE·tan30°=24×33=83(米)∴AD=AE-DE=173-83=93≈15.6(米)，即蓬萊閣主樓AD的高度約為15.6米.10.解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四邊形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DHtan45°=8tan45°=8(米)，在Rt△FGE中，i=1∶2=EG∶∴FG=2EG=16(米)，∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10(米)，即加固后壩底增加的寬度AF的長(zhǎng)是10米.11.解析(1)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖.由題意得∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠C=180°-30°-120°=30°，∴AH=sinC×300=150(海里)，故點(diǎn)A到直線CB的距離是150海里.(2)在Rt△ADH中，AD=1502海里，AH=150海里，∴DH=AD2∵∠C=30°，∠CHA=90°，∴∠CAH=60°，∴∠BAH=30°，∵tan∠BAH=BHAH=tan30°=3∴BH150=33，∴BH=503海里，∴BD=DH-BH=(150-503(150-503)÷50=3-3≈1.3(小時(shí))，故執(zhí)法船從B出發(fā)大約經(jīng)過(guò)1.3小時(shí)攔截到可疑船只.能力提升全練12.D在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由銳角三角函數(shù)的定義可知sinα=sin∠ABC=ACAB13.B如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延長(zhǎng)CB使BD=AB，連結(jié)AD，∴∠BAD=∠D=22.5°，設(shè)AC=BC=1，則AB=BD=2AC=2，∴CD=BC+BD=1+2，在Rt△ADC中，tan22.5°=ACCD=11+2=14.1614解析在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=AB2?O∴AF=OE=OB+BC+CE=50+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=x米，則AF=(50+x)米，DF=(x-14)米，∵∠ADE=46°12'，∴tan46°12'=AFDF=50+xx?14≈1.041614，∴CE約為1614米.15.8或24解析圖形未知，涉及高時(shí)，易忘分類(lèi)討論而致錯(cuò).本題分情況求解如下：(1)如圖1所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=83，∴S△ABC=12BC·AD=12(2)如圖2所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=8，∴S△ABC=12BC·AD=1綜上所述，△ABC的面積為8或24.圖1圖216.34解析如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，設(shè)CF=xnmile.由題意得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在Rt△ACF中，∠CAF=30°，∴AF=3CF=3xnmile.在Rt△CFB中，∠FBC=60°，∴BF=33CF=33x∵AF+BF=AB，∴3x+33x=80，解得x=203≈34，即C島到航線AB的距離約為34nmile17.解析由題意得∠BAD=45°，∠DAC=61°，∴在Rt△ABD中，BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18m，∴BC=BD+CD∴烈士塔的高度約為28m.18.解析(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB=AC，∴BH=HC=12BC，在Rt△ABH中，∠ABC=47°，AB=50cm，∴BH=AB·cosB=50×cos47°≈50×0.68=34(cm)，∴BC=2BH68cm.(2)不能.理由：在Rt△ABH中，AH=AB·sinB=50×sin47°≈50×0.73=36.5(cm)，∵36.5cm>35cm，∴當(dāng)車(chē)位鎖上鎖時(shí)，這輛汽車(chē)不能進(jìn)入該車(chē)位.19.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1，∴CN=BN，∴∠BCN=45°，∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=30°，AM=0.6千米，∴AC=2AM=1.2(千米)，在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45°，CN=2千米，∴BC=2CN=2(千米)，∴在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程為1.2+2=3.2(千米).20.解析如圖，延長(zhǎng)AB，CD分別與直線OF交于點(diǎn)G，點(diǎn)H，則AG=CH=60m，GH=AC，∠A